Применение фигурных чисел для моделирования сложных объектов и принятия решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.8:621.38 Чернышев С.Л.

МАТИ-Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского

ПРИМЕНЕНИЕ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Аннотация. Фигурные числа объединяют в одно целое арифметические свойства числа, геометрические свойства фигуры и топологические свойства множества. Результаты исследования свойств фигурных чисел указывают на возможности их применения для моделирования сложных объектов различной природы, а также при создании информационных моделей процессов принятия решений.

Ключевые слова: число, фигура, множество, фигурное число, модель сложного объекта, принятие решений.

При создании информационных моделей процессов принятия решений и построении интеллектуальных компьютерных обучающих систем, как показано в [1], гибкость или возможность адаптивной эволюции системы представляет один из основных критериев эффективности. Представления о сложных процессах окружающего мира могут быть расширены, если научный аппарат обучающегося или исследователя пополнить объектами, объединяющими в одно целое арифметические свойства числа, геометрические свойства фигуры и топологические свойства множества.

Данными особенностями обладают фигурные числа. Результаты исследования свойств фигурных чисел указывают на возможности их применения для моделирования сложных объектов различной природы и принятия решений [2, 3] . Первые представления о фигурных числах появились в древнейших

культурах, задолго до пифагорейцев. У пифагорейцев и их последователей (VI век до н.э. - I век н.э.) числа становятся основополагающими универсальными объектами, к которым сводились не только математические построения, но и все многообразие действительности. Представление о многоугольных числах в первоначальном виде было сформировано Диофантом (I век н.э) . Развитие представлений о фигурных числах нашло свое отражение, в том числе, в известной формуле Эйлера с пятиугольными числами, используемой для анализа решеток и свойств симметрических групп, а также в исследованиях Ферма, Лагранжа, Коши и других ученых [4, 5].

Фигурное число характеризуется тремя целочисленными переменными. Значение параметра размерности L определяет порядок арифметического ряда, задающего фигурные числа. Параметр формы М определяет количество составных частей геометрических фигур и соответственно их группу симметрии. Натуральные числа N — это номера, например, моментов времени, определяющие эволюцию

объектов. Фигурное число (N) размерности L задается следующими соотношениями [3,6]:

<+i(N) = уФ() , (1)

i=0

Здесь L=0,1,2, ...; М=0,1,2, ... ; N=0,1,2, ... . При этом ФМ (0) =0; ФМ (1) =1; ФМ (N) =М+1 при N>1. Значению параметра L=1 соответствуют фигурные числа на прямой (евклидово пространство размерности 1); значению L=2 — фигурные числа на плоскости; значению L=3 — фигурные числа в трехмерном пространстве и т.д. Значение параметра М=0 соответствует треугольным числам; М=1 — четырехугольным; М=2 — пятиугольным и т.д. Таким образом, количество углов многоугольника k определяется с помощью параметра M соотношением М= k+3. Для натуральных значений L и N справедлива формула:

ФМ (N)

fN-1 CN + L - 2

L

(L + (M + 1)(N -1))

(2)

где C_N+1_2 — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний N-1 элементов из N+L-2 элементов, (или N-1 сочетаний из L элементов с повторениями). Фигурные числа представляют математические объекты, возникающие подобно биномиальным коэффициентам в результате построения обобщенного треугольника Паскаля [7]. Фигурные числа взаимосвязаны с обобщенными числами Фибоначчи, обобщенными золотыми пропорциями и числами Каталана.

Фигурные числа представляют вложения в наиболее плотные решетчатые конструкции в двумерном и трехмерном пространстве. Трехмерные фигурные числа, показанные на рис. 1, служат основой построения кластеров, состоящих из тетраэдров и октаэдров, проявляющиеся во многих кристаллических структурах [8].

Рис. 1. Трехмерные фигурные числа: а) треугольные; б) четырехугольные.

Треугольные фигурные числа вида Ф^(Ы) (рис. 1а) представляют собой тетраэдрические кластеры, которые в свою очередь представляют вложения в гранецентрированную кубическую (ГЦК) решетку. В такую решетку кристаллизуются атомы в полупроводниковых соединениях, таких как GaAs и

ZnS. Четырехугольные фигурные числа вида Ф1(N ) (рис. 1б) представляют собой октаэдрические кластеры, а также могут представлять вложения в объемно-центрированную кубическую (ОЦК) решет-

ку. Необходимо подчеркнуть, что для параметра формы фигурного числа М=1 проявляется неоднозначность (двойственность), геометрического представления фигурного числа. Эта двойственность аналогична свойствам квантового объекта, который может представлять собой или волну или частицу. Действительно, четырехугольное трехмерное число может представлять либо октаэдрический кластер, либо вложение в ОЦК решетку, но не одновременно и то и другое.

Выявлено, что фигурные числа представляют результаты квантовых измерений. Показана связь фигурных чисел со стохастическими матрицами бесконечного порядка, возникающими при последовательных сравнениях измеряемого значения с мерами с учетом вероятностей ошибок сравнения. Порядок формы фигурных чисел, взаимосвязанных с матрицами квантовых измерений, равен параметру порядка обобщенной золотой пропорции. Показано, что квантовые числовые последовательности представляют собой фигурные числа, у которых параметр формы М равен единице [6].

На основе фигурных чисел определен явный вид канторовских нумерующих функций, позволяющих построить биективные (взаимно однозначные) отображения многомерных векторов с неотрицательными целыми координатами. В [3] доказана следующая теорема: нумерующая функция Cl(Xi,X2,...,Xl) взаимно однозначно отображает кортеж (Xi,X2,...,Xl), где Xi,X2,...,Xl — неотрицательные целые числа, в неотрицательное целое число X при выполнении условия

z=oL(Xi,X2,..,Xl) = ф?(X + X +... + X) + Ф0_1 (X +... + X) +... + Ф?^) .

При этом натуральные числа от 1 до L взаимно однозначно соответствуют L кортежам из L неотрицательных целых чисел (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1), а кортеж (0,0,...,0) соответствует нулю. Исследования биекций многомерных объектов на плоскость показывают возможности визуальной кластеризации многомерных объектов по их плоским изображениям [9].

За последнее время существенно вырос интерес к квазикристаллическим структурам, в которых существует дальний порядок с недопустимой в кристаллах симметрией. Этот интерес обусловлен перспективностью применения квазикритсаллов в материаловедении, электронике, оптике и в других областях [10]. Простейшим примером одномерных квазикристаллов служат фибоначчиевы сверхрешетки. На основе этих решеток и фигурных чисел построены модели нового типа полупроводников квазипериодических структур — фигурные сверхрешетки (ФСР), обладающие уникальными вольтамперными и туннельными характеристиками.

Теоретически исследовано преобразование изображения с помощью клеточной нелинейной сети, построенной из полупроводниковых ФСР [11]. Поскольку каждому элементу матриц квантовых измерений соответствует определенное фигурное число, следовательно, этим же элементам соответствуют ФСР. Расчеты показывают, что нелинейные элементы на основе ФСР, расположенных в матрицах, обеспечивают более качественную фильтрацию полутонового изображения по сравнению с нелинейными элементами на основе резонансно-туннельных диодов. Эти свойства ФСР могут быть использованы для создания быстродействующих преобразователей оптических изображений типа «искусственная сетчатка».

Работа поддержана РФФИ (грант 11-07-00007-a).

ЛИТЕРАТУРА

1. Юрков Н.К. Интеллектуальные компьютерные обучающие системы / Н.К. Юрков/ - Пенза: Изд-во ПГУ.—2010.—304 с.

2. Чернышев С. Л. Описание последовательной процедуры принятия решений с помощью комбинаторных чисел / С.Л. Чернышев // Надёжность и качество: Труды международного симпозиума / Под

ред. Н. К. Юркова.—Пенза: Изд-во Пензенского гос. ун.-та.—2004.

3. Чернышев С.Л. Нумерующие функции неотрицательных целочисленных координат L-мерных векторов / С.Л. Чернышев // Фундаментальная и прикладная математика.—2009.— Том 15, №1.— с.147-155.

4. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие / Е.И. Деза/— М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ» .— 2011.— 240 с.

5. Кац В.Г. Квантовый анализ / В.Г. Кац, П. Чен / Пер. с англ.- М.: МЦНМО.— 2005.

6. Чернышев С.Л. Моделирование и классификация наноструктур / С.Л. Чернышев/— М.: Книжный

дом «ЛИБРОКОМ» .— 2011. - 216 с.

7. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения / О.В. Кузьмин / — Новосибирск:

Наука.— 2001.

8. Чернышев С. Л. Построение кластеров из тетраэдров и октаэдров на основе фигурных чисел /

С.Л. Чернышев // Надежность и качество: Труды международного симпозиума: в 2 т./ Под ред. Н.

К. Юркова.— Пенза: Изд-во Пенз. Гос.ун.-та.— 2011.— Т.1.— С.338-340.

9. Притьмов И.А. Биективные отображения трехмерных и четырехмерных структур на плоскость в целях кластеризации / И.А. Притьмов, С.Л. Чернышев // Радиопромышленность. — 2012.— Вып.4.— С.108-119.

10. Векилов Ю.Х. Квазикристаллы / Ю.Х. Векилов, М.А.Черников // Успехи физических наук. —

2010. — Т. 180, №6. — С.561-586.

11. Малышев К.В. Фигурные сверхрешетки для фильтрации шума клеточной нелинейной сетью / К.В. Малышев, А.А. Потапов, С.Л.Чернышев // Радиотехника и электроника.— 2013.— Т.58.—№4.