Совершенствование зондовых методов исследования наноструктур с учетом четырехзначной логики измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чернышев С.Л. , Малышев К.В. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЗОНДОВЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НАНОСТРУКТУР С УЧЕТОМ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассматриваются пути совершенствования зондовых методов исследования с учетом прогнозируемой неоднозначности электронных состояний в наноструктурах на примере оксидов.

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ), созданный в лаборатории фирмы ИБМ для исследования особенностей и неоднородностей поверхности монокристаллов кремния, стал важнейшим инструментом нанотехнологий [1]. Зондовые микроскопы, включающие сканирующие туннельные, атомно-силовые, магнитные и оптические микроскопы позволяют не только видеть атомы и наночастицы, но и манипулировать ими, создавая новые наноструктуры [2].

Зондовые методы исследований наноструктур связаны с решениями фундаментальных проблем физики катализа, электроники, коррозионной стойкости, прочности и энергоемкости материалов [2-4].

Согласно теории статистических квантовых измерений во всяком эксперименте можно выделить две основные стадии. В стадии приготовления фиксируется экспериментальная ситуация, приводящая к определенному состоянию объекта. В последующей стадии измерения «приготовленный» объект воздействует на измерительный прибор, в результате чего распределение вероятностей результата измерений становится зависимым от исходного состояния объекта. Квантовое измерение — взаимодействие неквантового объекта (средства измерений) и квантового объекта.

Четырехзначная логика измерений дополняет два классических состояния истинное утверждение и истинное отрицание двумя новыми состояниями: ложное отрицание и ложное утверждение. В этой логике алгоритм выбора решения обусловлен статистическими правилами, которые выражает оператор сравнения. Объект измерения в общем случае характеризуется дискретным распределением вероятностей измеряемых значений, а условия проведения измерений и соответственно воздействия - парой действительных чисел, т.е. вероятностями ошибок первого и второго рода при сравнениях (IIIII П<П<1П 0<Ш<1. Таким образом, окружающая среда представляет наблюдателя в процессе измерений, в том числе и квантовых [6,7].

Квантование состояний объектов предполагает объединение в классы эквивалентности неразличимых состояний. Если в классической статистической модели множество состояний объекта описывается распределением вероятностей, то в статистической модели квантовой механики этой цели служит матрица плотности.

Динамическая модель процесса измерений [6], приводит к стохастическим матрицам измерений-воздействий, которые в ряде случаев могут представлять собой матрицы плотности. Матрица измерений-воздействий — это стохасти-ческая матрица-оператор (в общем случае бесконечного порядка), преобразующая исходное распределение вероятностей измеряемой величины в распределение измеренного значения.

Матрица квантовых измерений возникает в результате квантования условий проведения измерений (воздействий) [8], при котором, во-первых, равны вероятности мод распределений в соответствующих строках матрицы, и, во-вторых, равны вероятности ошибок первого и второго рода. Квантование воздействий приводит к определению золотой пропорции порядка М. Например, вероятности I Н II I- соответствуют меньшей части единичного отрезка, поделенного в золотой пропорции первого порядка. При этом воздействия можно охарактеризовать единственным обобщенным параметром — порядком золотой пропорции М.

Матрицы квантовых измерений позволяют, во-первых, каждому результату измерений поставить в соответствие определенную вероятность и, во-вторых, сопоставить вероятностям их геометрические образы в виде фигурных чисел.

Фигурное число (N) представляет собой целый неотрицательный образ трехмерного неотрица-

тельного целочисленного вектора {L,M,N}. Отображение {L,M,N}^^(L,M,N) задается следующими соотношениями [7]: i=N

®M+i(N) =2ФМ(i), i=0

Здесь L=0,1,2, ...; М=0,1,2, ... ; N=0,1,2, ... . При этом ф (0) =0; ф (1) =1; Ф (N) =М+1 при N>1.

Значению L=1 соответствуют фигурные числа на прямой (евклидово пространство размерности 1); значению L=2 — фигурные числа на плоскости; значению L=3 — фигурные числа в трехмерном пространстве и т.д. Значение М=0 соответствует треугольным числам; М=1 — четырехугольным; М=2 — пятиугольным и т.д. Параметр N определяет этап построения фигурного числа.

Моделирование атомных электронных структур и выявление их неоднозначности основываются на следующих положениях, взаимосвязанных с четырехзначной логикой измерений:

1. Квантовые числовые последовательности определяются с помощью фигурных чисел. Так, арифметическая прогрессия Z (п) с общим элементом 2(2n-1) определяет количество электронов, размещаемых соответственно на первой (s-электроны), второй (p-электроны), третьей (d-электроны), четвертой (f-электроны) и т.д. орбитах или оболочках атома. Последовательность Z2 (n) с общим элементом 2n2 показывает, сколько электронов может находиться на оболочке, характеризуемой главным квантовым числом n. Общие элементы квантовых числовых последовательностей ZD(n), где n — номер элемента в последовательности, D — максимальная степень числа n в выражении для общего элемента определяются по формуле ZD(n) =2 ФХв(п) [6] .

2. Каждый элемент (N) матрицы квантовых измерений связан с фигурным числом Ф^(2)следующим соотношением [ 7]:

log„FM(N) = Ф™(2) .

Здесь Ф^ (2) =1+N+KH, L,N - номера строки и столбца матрицы; М- порядок золотой пропорции; параметр К=1 при N<L и K=NDL при N>L. Логарифмирование производится по отношению золотой пропорции qM=l/ (1 ам) ,(Хм=[Зм*

3. Квантовые числовые последовательности взаимосвязаны с фигурными числами в матрице квантовы измерений следующим образом [9]:

фв+і(п +1) - ^ ^ Св+1Ф0+1 (2)

Здесь С^+і - число сочетаний из D+l элементов по п элементам без повторений. Ф^+і (2)- фигурное число в матрице; ------- С^.і — обобщенное число Каталана. Числа Каталана связаны с подсчетом числа

В +1

комбинаций, обусловленных построением диаграмм и таблиц Юнга [10].

4. На главной диагонали матриц квантовых измерений расположены фигурные числа ф\ (2) , представляющие вершины симплексов размерности Z. Эти симплексы служат исходными моделями для представления электронных состояний атомов с порядковым номером Z, где Z=L=N. Здесь L,N - номера строк и столбцов матриц квантовых измерений.

5. Классификация элементов, характеризуемых порядковым номером Z, и выявление периодичности электронных структур атомов основываются на диаграммах и таблицах Юнга, соответствующих квантовым числовым последовательностям. Таблицы Юнга — комбинаторные объекты, опреде-ляющие геометрическую форму разбиения натурального числа на натуральные слагаемые [10].

Размещение таблиц Юнга в матрице квантовых измерений позволяет фигурным числам Ф0 (2), расположенным на главной диагонали, гомоморфно, т.е. с сохранением вероятностей состояний, поставить в соответствие недиагональные элементы матриц. Тогда каждому элементу с порядковым номером Z можно

поставить в соответствие от одного до трех образов в виде фигурных чисел (2), характеризуемых

различными значениями параметра порядка М.

Полученная классификация порядковых номеров Z приводит к водородоподобной системе, поскольку в основе ее построения лежат квантовые числовые последовательности. Существенное отличие состоит в том, что набор квантовых чисел для каждого порядкового номера Z характеризует единственную электронную конфигурацию, в то время как, набор значений М для каждого Z соответствует от одной до трех конфигураций.

При этом натуральное число Ъ разбивается на два слагаемых: г=Ы+КМ, где К=1, если Ы<Ь; К=Ы1 1Ъ, если Ы^. Здесь L, N — номера строки и столбца матрицы; ^число сторон многоугольника в основании фигурного числа; k=KM+3; М — порядок золотой пропорции, определяющий условия измерений. Параметры L,M и N — неотрицательные целые числа.

Фигурное число Ф™ (2), соответствующее каждому элементу Z, помещенному в определенную ячейку

матрицы, может быть представлено с помощью графа. При этом C — количество конструкций графа; P — количество ребер графа; Г — односвязных плоских областей (граней) графа. Тогда с учетом того, что 2=ВП1, где В — число вершин графа, отображающего данное состояние элемента, справедливо соотношение 2=С+Р1Г. При С=1 для фигурных чисел в виде выпуклых многоугольников и многогранников получаем соотношение Эйлера В+ГІ 1Р=2.

В табл. 1 представлены модели электронных состояний для элемента с порядковым номером Z=8 (кислород), согласно [9].

Таблица 1____________________________________________

Эле-

мент

Характеристики образа

элемента

Фигурное число

Характеристики фигурного числа

18

12

Z=8

21

14

к

L

N

M

C

P

Г

2

5

1

6

2

5

2

6

У

1

у

2

5

4

4

7

1

Квантовые числовые последовательности и соответственно решения уравнения Шредингера не предусматривают неоднозначность в строении атомных оболочек. В то же время неоднозначность исследуемых структур проявилась в опытах А.Майера (187 8-187 9 гг.) с плавающими намагниченными иголками.

Так, например для восьми иголок, расположенных под цилиндрическим магнитом (образом ядра) возникали две устойчивые конфигурации: шестиугольная с двумя иглами в центре и семиугольная с одной иглой в центре. Эти опыты послужили основой построения первой неквантовой модели атома Дж.Дж. Томсона [11]. Подобные симметрийные соображения применимы для описания неоднозначности электронных состояний в наноструктурах, в частности, при зондовых измерениях.

Методическое и программное обеспечение зондовых измерений нанообъектов предполагается отрабатывать на действующем макете СТМ, который предназначен для исследования и модификации наноматериалов, в том числе для процессов самоорганизации наночастиц под зондом СТМ, исследования механических напряжений и диффузии при самоорганизации, определении размеров наноструктур [4].

Макет СТМ включает: зонд - вольфрамовую иглу с радиусом закругления острия 10 0 нм; пьезокерамический трипод; инерциальный нанопозиционер, ПЭВМ [5]. Основные характеристики макета СТМ приведены в табл.2.

Таблица 2

Технические характеристики Значение

Изображение рельефа поверхности на поле с размерами, нм2: минимальное максимальное 30 х 30 500 х 500

Погрешность измерения рельефа, нм: 1

Длина шага инерциального нанопозиционера, нм: 100

Погрешность шага инерциального нанопозиционера, нм: 30

Время, требуемое для получения одного изображения: на минимальном поле, с на максимальном поле, мин 33

Диапазон токов при измерении временных зависимостей тока через нанослои на поверхности проводящего материала, нА от 0,010 до 2

Погрешность измерения временных зависимостей тока, нА 0,010

Время, требуемое для получения одной вольтамперной характеристики, мс 7

Разработка методов и методик зондовых измерений, в том числе оксидов, включающих воду и ржавчину, предполагает построение и экспериментальное исследование моделей временных последовательностей наблюдаемых величин, в частности, туннельного тока. В качестве математической модели зондовых измерений наноструктуры предлагается процедура последовательного сравнения набора классических и квантовых состояний системы наноструктура плюс взаимодействующий с ней зонд с набором модельных дискретных мер. Это сравнение проводится с учетом ошибок первого и второго рода в соответствии с четырехзначной логикой измерений. Изменения со временем погрешностей сравнений описываются эволюционными уравнениями в дискретном фазовом пространстве состояний наноструктура плюс измерительная система (зонд).

Таким образом, с учетом неоднозначности электронных структур, могут быть разработаны и усовершенствованы ряд методик: исследования электронных состояний в наноматериалах; измерения шумовых

характеристик квазижидких нанослоев; измерения фрактальных характеристик нанослоев; определения размеров наноструктур.

Разработка программного обеспечения зондовых методов исследования наноструктур предусматривает использование результатов, полученных в проекте «Мультимедийный комплекс для анализа атомных и наноструктур на основе четырехзначной логики измерений», (грант РФФИ 05-07-90144в) [12].

http://kvart.photonics.ru.

Работа подготовлена по материалам заявки на грант РФФИ по конкурсу ориентированных исследований по междисциплинарным темам 2 0 0 9 г.

Литература

1. Введение в нанотехнологию/ Н.Кобаяси.- Пер. с японск.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2 0 07.

2. Далидчик Ф.И., Шуб Б.Р. Сканирующая туннельная микроскопия и спектроскопия несовершенных и взаимодействующих наночастиц (оксиды металлов и углерод)// Российские нанотехнологии, Т.2, №№1-2, 2006, С.82-96.

3. Пул Ч., Оуэнс Ф. Нанотехнологии- М.: Техносфера, 2004. -328 с.

4. Малышев К.В., Е.А.Скороходов, В.А.Шалаев. Нанотехнологические процессы самоорганизации наноструктур и наносборки радиоэлектронных систем/ Учебное пособие.-Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,

2008. - 54 с

5. Малышев К.В. Измерение параметров процесса наносборки квантовых нитей из наночастиц в неоднородном электрическом поле// Измерительная техника, 2005, №10, с.27-29.

6. Чернышев С.Л.Измерение как обобщенное воздействие// Измерительная техника, 2003, №8, с.11-

15;

7. Чернышев С.Л., Чернышев Л.С. Квантовый анализ результатов измерений// Измерительная техника. 2 0 0 6, №12, с.3.

8. Чернышев С.Л. Квантование воздействий: условия и результаты// Надежность и качество: Труды международного симпозиума/ Под ред. Н.К.Юркова - Пенза: Изд-во Пенз. Гос.ун.-та, 2008.

9. Чернышев С.Л. Четырехзначная логика измерений.- М.: Изд. центр АНО «Метеоагентство Росгидромета», 2008.-163 с.

10. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии/ Пер. с англ.-М.: МЦНМО, 2006.- 328 с.

11. Льоцци М. История физики/ Пер.с ит.- М.: Мир, 1971.

12. Дмитриев А.С., Чернышев С.Л., Качарава В.П. Мультимедийный комплекс для анализа атомных и

наноструктур структур// Надежность и качество: Труды международного симпозиума: в 2-х т./ Под

ред. Н.К.Юркова - Пенза: Изд-во Пенз. Гос.ун.-та, 2006, т.1.