CC BY
44
Чернышев С.Л. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАТОРНЫХ ЧИСЕЛ
Наноматериалы служат основой многих современных технических систем [1]. В основе анализа атомных структур лежат числовые последовательности, взаимосвязанные с квантовыми числами, которые необходимо учитывать при моделировании свойств наноматериалов [2,3]. Представление квантовых числовых последовательностей с помощью комбинаторных чисел дает возможность выявить их структуру и в дальнейшем использовать эти данные для исследования и прогнозирования свойств нанообъектов.
Покажем, что свойства квантовых числовых последовательностей в точности соответствуют свойствам фигурных чисел [4,5], т.е. общий элемент квантовых последовательностей с общим элементом в виде многочлена степени D может быть представлен с помощью комбинаторных чисел, называемых фигурными числами, в пространствах размерности D.
Арифметическая прогрессия Zl(n) с общим элементом 2(2п-1) определяет количество электронов, размещаемых соответственно на первой (г-электроны), второй (р-электроны), третьей ^-электроны), четвертой (^-электроны) и т.д. орбитах или подоболочках атома. Последовательность Z2(n) с общим элементом 2п2 показывает, сколько электронов может находиться на оболочке, характеризуемой главным квантовым числом п. Сумма вида 22п2 определяет суммарное количество электронов при полном насыщении на всех орбитах всех оболочек, с порядковыми номерами от 1 до п. Общие элементы рассматриваемых последовательностей обозначим ZD(n), где п - номер элемента в последовательности равен значению главного квантового числа, D - максимальная степень величины п в выражении для общего элемента.
Данные последовательности подчиняются определенным закономерностям. При D>1 значение элемента ZD(n) под номером п можно получить, суммируя значения элементов ZD-l (і), от номера 1 до номера п . Свойство суммирования взаимосвязано со значениями квантовых чисел: главного квантового числа п;
орбитального квантового числа 1; магнитного квантового числа ml; спинового квантового числа ms. Величина 1 принимает значения 0, 1, ..., п-1; величина ml — пробегает все целые (положительные, отрицательные и нуль) значения, не превышающие 1 по модулю; ms=±1/2. Так, все состояния квантового объекта, характеризуемые различными наборами квантовых чисел, для заданного значения главного квантового числа п определяются по формуле 22(21+1), где суммирование производится от 1=0 до 1=п-1. При этом получаем величину 2п2 .
Важной особенностью числовых квантовых последовательностей является существование рекуррентного соотношения ZD (n)=ZD-l (n)+ZD (п-1), на основе которого могут быть получены все элементы таких последовательностей для D>1 и п>1. При этом ZD (1)=2, а Zl(n)=2(2n -1).
Фигурное число представляет математический объект, объединяющий в себе число, множество и геометрическую фигуру. Каждый такой объект характеризуется тремя целочисленными параметрами. Значение параметра Ь определяет порядок арифметического ряда, задающего фигурные числа. Параметр М определяет количество составных частей геометрических фигур и соответственно их группу симметрии. Натуральные числа N - это номера, например, моментов времени, определяющие эволюцию объектов.
Фигурное число Ф\ ОТ — целый неотрицательный образ трехмерного неотрицательного целочисленного вектора ^,М,Щ. Отображение ^,М,Щ^ Ф\ОТ задается следующими соотношениями:
Ф\+іОТ=ІФ\(і), 0 <і < N (1)
Ф\(0)=0; ФМо(1)=1; ФМоОТ=М+1 при N>1. Здесь парметры Ь=0,1,2,..; М=0,1,2,.. ; N=0,1,2,. . Значению L=1 соответствуют фигурные числа на прямой (евклидово пространство размерности 1); значению L=2 — фигурные числа на плоскости; значению L=3 — фигурные числа в трехмерном пространстве и т.д. Значение М=0 соответствует треугольным числам; М=1 - четырехугольным; М=2 - пятиугольным и т.д. Таким образом, количество углов многоугольника к и значение параметра М взаимосвязаны соотношением к=М+3. Здесь М - верхний индекс в обозначении фигурного числа.
Фигурные числа оказываются удобным инструментом для анализа атомных структур, поскольку объединяют в себе геометрические и комбинаторные свойства [6]. Фигурное число может быть также определено рекуррентным соотношением
Ф\ ОТ=Ф\- і ОТ+Ф\Ш-1), (2) где справедливы те же граничные и начальные условия, что и для выражения (1). Указанные свойства фигурных чисел (1) и (2) позволяют представить общий элемент ZD(n) квантовой степенной шкалы степени D в виде произведения ZD(n) =2Ф1D (п).
При этом справедливы, во-первых, правило суммирования ZD(n)=LZD-l (і), где 0<і< п и, во-вторых, рекуррентное соотношение ZD (n)=ZD(n-l)+ZD-l(п), с помощью которых могут быть определены элементы квантовых числовых последовательностей.
На рис 1. показаны примеры фигурных чисел на плоскости (Ь=Б=2).
Рис.1. Фигурные числа на плоскости; а) треугольные числа; б) квадратные числа.
Фигурные числа подчиняются следующим закономерностям: АыФ 1(ы )=м+1; а ыФ 2(Ы)=м1+1; ...; а ыФ б(Ы)=м1+1, где ДСыФМб ОТ — конечная разность степени Б фигурных чисел вида ФМб ОТ. При этом Ф^ (п)=2. Таким образом, общий элемент квантовых числовых последовательностей можно представить в следующем виде:
(п) =2Ф\ (п)=Ф1б (п) АБпФ1б(п). (3)
Здесь АБпФ1б (п) - значение единицы (вида «орта») в Б-мерном пространстве; Ф1б (п) - числовое значение величины.
Возможность моделирования атомных структур с использованием фигурных чисел и матрицы квантовых измерений [6] обусловлена тем, что они взаимосвязаны со свойствами симметрии волновой функции водородоподобного атома. Так, для водородоподобного атома, описываемого уравнением Шредингера в Б-мерном пространстве, свойства угловой компоненты волновой функции задаются функцией д(1,Б), которая удовлетворяет рекуррентному соотношению д( 1,Б)=д(1,Б-1)+д(1-1 ,Б), 1 - орбитальное квантовое число,
1=1,2.; Б>2 [3]. Эта функция задает кратность вырождения энергетических уровней атома, определяемых из решения уравнения Шредингера в многомерном пространстве, и оказывается тождественно равной фигурному числу вида
Ф1б-2 (1 + 1)=д(1,Б). (4)
В соответствии с принципом насыщения электронных оболочек атомов функция 2g(1,d) определяет количество электронов, размещаемых соответственно на орбитах (подоболочках) атома в зависимости от размерности пространства D и квантового числа 1 [3].
Так, для двумерного пространства D=2, при 1=0 2Ф1о(1)=2д (0,2)=2; при 1=1 — 2Ф12(2)=2д (1,2)=4; при 1=2— 2Ф1о(3)=2д(2,2)=4. Значения 1=0 соответствуют s-элементам, 1=1 — p-элементам, 1=2 — d-
элементам в Периодической системе элементов на плоскости, построенной в [3]. Для трехмерного пространства D=3, при 1=0 2Ф11 (1)=2g(0,3)=2; при 1=1 — 2Ф\(2)=2д (1,3)=6; при 1=2— 2Ф\(3)=2д(2,3)=10; при 1=3 — 2Ф11(4)=2д (3,3)=14. Значения 1=0 соответствуют s-элементам, 1=1 — p-элементам, 1=2 — d-элементам и 1=3 — f-элементам в общепринятой Периодической системе элементов, соответствующей трехмерному пространству.
Рассмотрим частный случай выражения (3) при n=D. Если значение главного квантового числа n равно размерности пространства D приходим к выражению:
Zd(D)=2Cd-^d-12d-2(2). (5)
Здесь Cd-1 - число Каталана; фигурное число вида Ф^^^(2).
Отметим, что в выражениях (3) и (4) параметр М равен 1 и соответствует квадратным числам. Как показано в [4,5], параметр М представляет собой порядок золотой пропорции. Фигурное число Ф3-^^^) соответствует логарифму вероятности того, что в результате измерений величины, принимающей единственное значение D-1, с учетом вероятностей ошибок первого и второго рода при сравнениях с мерами получим значение 2D-2, т.е. 1одР1з-1(23-2)=Ф3-12з-2(2). Логарифмирование производится по основанию 1/qi=1-ai, где qi - отношение золотой пропорции первого порядка (золотое сечение), а ai- вероятность ошибки первого рода. При этом вероятности ошибок первого ai и второго pi рода равны.
Величина Cd-1 определяет число способов разбиения D+1-угольника на треугольники. Используя равенство Ф3-12з-2 (2)=Ф3-22з-1 (2), после замены в (5) получаем, что в основании фигурного числа также лежит D+1-угольник.
С учетом разнообразных приложений чисел Каталана возможны различные интерпретации соотношения (5). Пусть D=2, тогда Z2(2) =2СхФХ2 (2)=8, при этом С1=1, а фигурное число Ф°э(2)=4 представляет собой треугольное число в трехмерном пространстве. Пусть D=3, тогда Z3(3) =2С2Ф24 (2 )=28 , при этом С2=2 (Cd-1 - число способов расстановки D-1 пар скобок в последовательности из D символов с образованием бинарных отношений), а фигурное число Ф24(2)=7 (пятиугольное число в четырехмерном пространстве) соответствует вероятности Р12(4).
Таким образом, квантовые числовые последовательности оказываются взаимосвязанными с матрицей квантовых измерений [5,6], каждый элемент которой в свою очередь взаимосвязан с фигурными числами. Представление квантовых числовых последовательностей с помощью фигурных чисел дает возможность выявить их геометрическую структуру и учитывать эти данные для исследования и прогнозирования свойств нанообъектов как в трехмерном пространстве, так и на плоскости.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 05-07-90144-в).
ЛИТЕРАТУРА
1. Еленин Г.Г. Нанотехнологии, наноматериалы, наноустройства/ В кн. «Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие». - М.:Наука, 2002. - с. 123-159.
2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики.-СПб.: Изд-во «Лань», 2004.
3. Negadi Т., Kibler M. The Periodic Table in Flatland // Intern. Journal of Quantum Chemistry,
Vol. 57, 1996, №1. p.53-61.
4. Чернышев С.Л. Описание последовательной процедуры принятия решений с помощью комбинаторных чисел// Надежность и качество: Труды международного симпозиума: в 2-х ч./Под ред. Н.К.Юркова- Пенза: Изд-во Пенз. Гос.ун.-та, 2004.
5. Чернышев С.Л. Измерение как обобщенное воздействие// Измерительная техника. 2003, №8, с.11.
6. Чернышев С.Л. Определение атомных структур на основе матрицы квантовых измерений// Фракталы и
прикладная синергетика: Труды ФиПС-2005/Под ред. В.С.Ивановой.-М.:Интерконтакт Наука, 2005, с.196.
