CC BY
76
514.8; 621.37
Алгоритм построения фигурных сверхрешеток на основе обобщенных чисел Фибоначчи
К.В.Малышев, С.Л.Чернышев
Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана,
МАТИ-Российский государственный технологический университет им.
К. Э. Циолковского, [email protected]
Рассмотрен алгоритм построения квазипериодических сверхрешеток, содержащих два и более видов базовых структур, на основе фигурных чисел и обобщенных чисел Фибоначчи Ключевые слова: сверхрешетка, квазипериодическая наноструктура, одномерный квазикристалл, фигурное число, число Фибоначчи.
Algorithm of Construction of Figurate Superlattices on the Basis of Generalised
Fibonacci Numbers
K.V.Malyshev, S.L.Chernyshev.
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia,
“MATI”Russian State Technological University, Moscow, Russia,
The algorithm of construction of the quasiperiodic lattices containing two and more kinds of basic frames, on the basis of the figure numbers and generalised Fibonacci numbers is considered
Key words: superlattice, quasiperiodic nanostructure, 1D quasicrystal, figurate number, Fibonacci number.
Введение. Первые представления о сверхрешетках связаны с твердотельными периодическими структурами, в которых на электроны помимо обычного потенциала кристаллической решётки действует дополнительный потенциал.
Сверхрешетки (СР) обладают уникальными электронными свойствами, которые могут быть использованы для усиления и детектирования высокочастотного излучения (10 ТГц) [1], а также в нейронных сетях, клеточных автоматах, нелинейных преобразователях радиосигналов и в криптографических системах.
Квазипериодические СР занимают промежуточное положение между идеально упорядоченными и идеально разупорядоченными СР. Типичными примерами квазипериодических СР служат решетки Фибоначчи [2]. Аналоги кристаллических минизон в энергетической зависимости их туннельной прозрачности имеют сильно изрезанный вид и обладают самоподобием. В отличие от периодических СР в квазипериодических СР приложение внешнего напряжения не просто сдвигает, уширяет и понижает резонансные пики, но сильно меняет и положение, и форму «минизон» прозрачности. Это открывает новые возможности управления, например для электронных фильтров, на основе СР. Вольтамперные характеристики фигурных сверхрешеток, содержащих два вида базовых структур (например, AlAs и GaAs) и построенных на основе фигурных чисел рассмотрены в [3].
Повышение степени разнообразия СР достигается путем использования при их построении числовых систем, обладающих большим числом управляемых параметров по сравнению с числами Фибоначчи. К таким математическим объектам относятся обобщенные числа Фибоначчи и фигурные числа [4]. В данной работе рассмотрен алгоритм построения квазипериодических фигурных СР, содержащих два и более видов базовых структур, с использованием разложения обобщенных чисел Фибоначчи по треугольным числам.
Построение фигурных сверхрешеток с двумя видами базовых структур
Фибоначчиева решетка SN ранга N=1,2,..., начиная с N=3,4,..., строится путем последовательного соединения (конкатенации) SN+2=SN+1+SN решеток двух предыдущих рангов SN+1, и SN [2,3]. Построение фибоначчиевой решетки показано в табл.1. При этом присутствуют два вида базовых структур S1=А и S2=В. Здесь структура SN соответствует FN-1, где FN число Фибоначчи под номером N=0,1,2,. .
Таблица 1
Символьное представление фибоначчиевых решеток рангов от 1 до 7
N Sn
1 A
2 B
3 B+A=BA
4 BA+B=BAB
5 BAB+BA=BABBA
6 BABBA+BAB=BABBABAB
7 BABBABAB+BABBA=BABBABABBABB A
Значительное расширение наборов квазипериодических структур, достигается путем использования фигурных чисел, взаимосвязанных с числами Фибоначчи и обладающими дополнительными управляемыми параметрами.
Фигурное число представляет математический объект, объединяющий в себе число, множество и геометрическую фигуру. Каждый такой объект характеризуется тремя неотрицательными целочисленными параметрами L, M,
N. Значение параметра L определяет порядок арифметического ряда, задающего фигурные числа. Параметр L связан с размерностью пространства, в котором расположены фигурные числа. Параметр М определяет форму геометрических фигур и соответственно их группу симметрии (назовем его параметром порядка). Натуральные числа N — это номера, определяющие эволюцию объектов (например, моментов времени). Фигурное число Ф М (N) задается следующими соотношениями [4]:
i=N
Ф l+i(N) = £фМ (i), (1)
i=0
Здесь L=0,1,2, М=0,1,2, ... ; N=0,1,2, ... . При этом ФМ(0)=0; фМ(1)=1;
ФM(N)=M+1 при N>1. Фигурное число подобно числам Фибоначчи может задаваться рекуррентными соотношениями вместе с начальными и граничными условиями.
Для построения фигурных СР воспользуемся разложением чисел Фибоначчи Fn по треугольным (нулевого порядка) фигурным числам Ф L(N)[4].
n=[N/ 2]+1
Fn = ZФN-2(n-1)(n) . (2)
n=1
Здесь квадратные скобки означают целую часть числа. Двигаясь слева направо по символьной последовательности SN (табл.1), ставим в соответствие каждому слагаемому (фигурному числу) в сумме (2), равной Fn-i, очередной участок последовательности символов. Для Sl=А и S2=B сумма (2) для F0 и Fi содержат только по одному слагаемому. Так получаем выражения для исходных элементов последовательности символов
S1=A^F0= Ф 0(1); S2=B^F1=Ф°(1).
Стрелка означает соответствие решетки SN числу Фибоначчи Fn-1. Аналогично поставим в соответствие фигурным числам ФL(N) фигурную решетку Fl0(N), определяемую последовательностью символов А и В. Тогда №(1) = A и F10 (1) = B.
Из разложения числа Фибоначчи F2, соответствующего структуре S3 получаем символьные представления для фигурных решеток F20 (1) и F00 (2).
Бз=ВА^2= Ф 2(1) + Ф 0(2).
Первое в этой сумме число Ф2(1)=1. Поэтому отмеряем в полученном символьном выражении BA отрезок длиной 1 слева. Он равен В. Это и есть символьное представление фигурной решетки F20 (1) соответствующей
фигурному числу Ф 2(1). Следующему числу Ф 0 (2)=1 соответствует следующий отрезок слева длиной 1, обозначаемый А. Так получаем символьное представление Ф 0(2)=A, соответствующее фигурной решетке F00 (2) .
Продолжая построения, например, из разложения
S 7 = BABBABABBABBA ® F6 = Ф 6(1) + Ф 4(2) + Ф 2(3) + Ф 0(4) получаем символьное представление F60(1)=B (один символ слева). Аналогично F40(2)=ABBAB (следующие пять символов слева). Предпоследнее число F20 (з)=ABBABB (следующие шесть символов слева). Последнее число F00(4) =A (последний
символ). Получаемые таким способом фигурные СР (табл.2) наследуют от фибоначчиевых сверхрешеток их стохастические свойства.
Таблица 2
Символьное представление фигурных решеток FLM (N)
^________(две базовые структуры А и В)_______________
Решетка Параметр N
1 2 3 4
F0(N) B AB BAB ABAB
F2°(N) B ABB ABBABB BBABABBABB
F1(N) B ABB BABAB ABABBAB
F2(N) B ABBB BABABAB ABABBABBAB
Фигурные решетки вида F-L4(N) (т.е. символьные последовательности, соответствующие фигурным числам Ф М (N)) при М>0 получаем из рекуррентного соотношения для фигурных чисел [4]
Ф M(N)= Ф£(К) + МФ0^ -1). (3)
Построение фигурных сверхрешеток с тремя и более видами базовых структур
Обобщение чисел Фибоначчи путем введения неотрицательного целого параметра порядка М позволяет конструировать квазипериодические структуры (сверхрешетки), содержащие М+1 базовых структур. Обобщенные числа Фибоначчи порядка М определяются следующими соотношениями [4]
F0
aN+1
F1
А N+2
= F0 + F0 F0 = 1;
aN ~aN > ±0 ’
= F + F F1 = 1 F1 = 1;
x N+1 ^ x N5 0 ’1 ’
FM
x N+M+1
FM
XN+M
+ FM
1 -I v
F0M = 1, F,M = 1,
FM = 1
M
(4)
Здесь номер N>0. М=0,1,2, ... .
Предел отношения limFjM+j/FjM при бесконечно большом номере элемента последовательности N и конечном М равен отношению обобщенной золотой пропорции qM порядка М.
Если параметр порядка М=0, то отношение q0 равно 2. Структуры, моделируемые на основе обобщенных чисел Фибоначчи нулевого порядка — это совокупность одинаковых базовых структур, обозначаемых, например, буквой А. Число таких структур FN равно 2N, где N=0,1,2,. , и равно числу символов А, используемых для обозначения решетки нулевого порядка S0N
ранга N, где N=1,2,3,... . Таким образом, в случае М=0 получаем периодическую систему. Предел отношения числа символов В к числу символов А для конструкций табл.1 (М=1) при бесконечно большом номере N равен отношению золотой пропорции q1=1,618034... . Числа Фибоначчи и соответствующие им решетки в табл.1 указаны без верхних индексов.
В соответствии с (4) сверхрешетки SN на основе обобщенных чисел Фибоначчи второго порядка (М=2) содержат три вида базовых структур и образуются следующим образом (табл.3).
Таблица 3
Символьное представление обобщенных фибоначчиевых решеток SN
N S2 SN
1 A
2 B
3 С
4 С+А=СА
5 СА+В=САВ
6 САВ+С=САВС
7 САВС+СА=САВССА
8 САВССА+САВ=САВССАСАВ
9 САВССАСАВ+САВС= САВССАСАВСАВС
Обобщенные числа Фибоначчи аналогично (2) можно выразить с помощью треугольных чисел следующим образом:
T7M
Fn
N
M+1
1+1
^ Ф N-(M+1)(n-1)(n) . n=0
(5)
Так, для М=2 в соответствии с табл.3: S12=А, S2=B и S2 =С. Сумма (5) в разложении F02,F12 ,F22 содержат только по одному слагаемому. Так получаем
выражения для исходных элементов последовательности символов S?=A— F02 = Ф 0(1); S2=B— Fj2 = Ф°(1); S2 =С—^ F22 = Ф 2(1).
Далее построения при М=2 продолжаются также как и в случае М=1. Полученные решетки показаны в табл.4. Здесь фигурному числу Ф 0L (N) соответствует фигурная решетка 2Fl°(N).
Таблица 4
Символьное представление фигурных решеток 2Fl°(N)
Решетка Параметр N
1 2 3
2f°°(n) А А А
2F°(N) В АВ САВ
2f2°(n) C АВС АВСАВС
Выводы. Рассмотренный алгоритм построения фигурных сверхрешеток основан на возможности каждому фигурному (треугольному) числу Ф L(N) поставить в соответствие определенный фрагмент фибоначчиевой символьной последовательности. При этом в разложении обобщенного числа Фибоначчи (5) при заданном М=1,2,3,... каждое треугольное число для всех допустимых значений параметров L=0,1,2,...; N=1,2,3,. встречается только один раз.
На основе рекуррентного соотношения (3), позволяющего любые фигурные числа выразить через треугольные, полученные фрагменты символьных фибоначчиваемых последовательностей комбинируются. Таким образом, на основе обобщенных чисел Фибоначчи FN могут быть построены сверхрешетки К Flm(N), в которых представлены К+1 базовых структур, обозначаемых, например, символами А,В,С,... .
Работа поддержана грантом №11-07-00007-а.
Литература
1. Шорохов А.В., Алексеев К.Н. Квантовые производные и усиление тера-герцового излучения в сверхрешетке// ЖЭТФ.— 2007.— Т.132.—
Вып. 1(7).— С. 223-226.
2. Current density in generalized Fibonacci Superlattices under a uniform electric field /P.Panchdhyayee, R.Biswas, A.Khan, P.K.Mahapatra //Journal of Physics: Condensed Matter.— 2008/ Vol/20.— 275243 (7pp).
3. Малышев К.В., Чернышев С.Л. Вольтамперные характеристики AlGaAs фигурных сверхрешеток// Нано- и микросистемная техника.— 2011,
№2.— С. 48-54.
4. Чернышев С.Л. Моделирование и классификация наноструктур.
М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 216 с.
