Построение кластеров из тетраэдров и октаэдров на основе фигурных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.8

Построение кластеров из тетраэдров и октаэдров на основе фигурных чисел

Чернышев С.Л.

МАТИ-Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского

nature@front. ru

На основе фигурных чисел моделируются кластеры, состоящие из тетраэдров и октаэдров и представляющие вложения в гранецентрированную и объемно-центрированную кубические решетки.

Ключевые слова: кластер, тетраэдр, октаэдр, кубические решетки, фигурное число.

Construction of Clusters consisting of Tetrahedrons and Octahedrons on

the Basis of Figurate Numbers

Chernyshev S.L.

“MATI”Russian State Technological University, Moscow, Russia

nature@front. ru

The models of clusters, consisting of tetrahedrons and octahedrons embedded in fcc- and bcc-lattices, constructed on the basis of figurate numbers.

Key words: cluster, tetrahedron, octahedron, cubic lattices, figurate number

Введение. Решетчатые и квазирешетчатые структуры, а также кластеры, представляющие фрагменты этих структур, представляют основу разработки новых материалов [1,2]. Результаты исследования свойств таких структур, оказываются полезными для решения задач преобразования информации и управления [3]. Моделирование решетчатых структур на основе фигурных чисел рассмотрено в [4,5]. В данной работе на основе фигурных чисел моделируются кластеры, состоящие из тетраэдров и октаэдров и представляющие вложения в гранецентрированную и объемноцентрированную кубические решетки.

Определение фигурных чисел. Фигурное число представляет математический объект, объединяющий в себе число, множество и геометрическую фигуру [6].

Фигурный объект характеризуется тремя целочисленными параметрами. Значение параметра L определяет порядок арифметического ряда, задающего фигурные числа. Параметр М определяет количество составных частей геометрических фигур и соответственно их группу симметрии. Натуральные числа N — это номера, например, моментов времени,

определяющие эволюцию объектов. Фигурное число ФМ(N) задается

следующими соотношениями [6]:

i=N

®!1,(N)=(1)

i=0

Здесь L=0,1,2, ...; М=0,1,2, ... ; N=0,1,2, ... . При этом ФМ(0)=0; фМ(1)=1;

ФМ(^=М+1 при N>1. Значению L=1 соответствуют фигурные числа на прямой (евклидово пространство размерности 1); значению L=2 — фигурные числа на плоскости; значению L=3 — фигурные числа в трехмерном пространстве и т.д. Значение М=0 соответствует треугольным числам; М=1 — четырехугольным; М=2 — пятиугольным и т.д. Таким образом, количество углов многоугольника k определяется с помощью параметра M соотношением М= k+3. Для натуральных значений L и N справедлива формула:

— N—1

ФМ (N) = —(L + (M + 1)(N — 1)), (2)

L

где СN—L—2— биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний N-1 элементов из N+L-2 элементов, (или N-1 сочетаний из L элементов с повторениями) определяемый по формуле:

С

N—1 N+L—2

(N + L — 2)!

(L — 1)!(N — 1)!.

Фигурные числа могут служить моделями как решетчатых, так и нерешетчатых упаковок объектов (частиц), представляющих d-мерные шары. Каждая единица фигурного числа представляет один шар. С точки зрения передачи информации по кодируемым каналам, каждая точка (шар) представляет собой кодовое слово размерности шара. Размерность евклидова пространства, в котором размещаются точки фигурного числа, определяется числом отсчетов в соответствии с теоремой В.А.Котельникова, необходимым для заданной полосы частот при кодировании. В табл.1 указаны виды решетчатых упаковок, обозначаемых согласно [3], соответствующие определенным фигурным числам в пространствах размерностей 2 и 3 [4,5]. Пятиугольные числа представляют нерешетчатые упаковки.

Таблица 1

Фигурные числа как вложения в упаковки

Фигурные числа Размерность пространства d

2 3

Ф0(п) Г ексагональная решетка А2 Г ранецентрированная кубическая решетка (ГЦК) А3

Ф1(п) Квадратная гу2 решетка Z Объемно-центрированная кубическая решетка (ОЦК) A*

Ф2(п) Нерешетчатая упаковка Нерешетчатая упаковка

Построение кластеров из тетраэдров и октаэдров. Рассмотрим треугольные числа Ф°3(п) в трехмерном пространстве (рис.1). Согласно (2) для

треугольных чисел справедлива формула Ф03(п) = n(n + 1)(п + 2)/6. При n=1 фигурное число Ф°3(1)представляет один шар. Случай n=2 соответствует образованию фигурного числа Ф°3(2), состоящего из четырех плотно прилегающих друг к другу шаров. Если центры соседних шаров, образующих фигурное число Ф°3(2), соединить прямыми линиями и через эти прямые провести плоскости, то многогранник, образованный в результате пересечения этих плоскостей, — базовый тетраэдр, который обозначим G°3(2).

Из подобия базового тетраэдра G°3(2) и тетраэдра G0(n +1) следует, что взаимоотношение объемов фигур, соответствующих фигурным числам Ф°3(п +1)и Ф°3(2), определяется выражением VG°3(n +1) = n3VG°3(2). При этом

тетраэдр G°3(n +1) , называемый далее тетраэдрическим кластером, содержит в себе Ф0(п +1) точек-шаров, упакованных в гранецентрированную кубическую решетку A3.

Рис.1

Проводя аналогичные построения для фигурных чисел

ф1(п) = n(n + 1)(2n +1)6, получаем базовую четырехугольную пирамиду G1(2), соответствующую фигурному числу Ф\ (2). Отметим, что объем пирамиды G1(2) в два раза меньше объема октаэдра, который будем обозначать 2G1(2). Поскольку для ребра, равного единице, VG!3(2) = 42 / 6, а VG0(2) = 42 /12 объем октаэдра ровно в четыре раза больше объема тетраэдра.

Из подобия четырехугольных пирамид G\(2)и G\(n +1) следует, что взаимоотношение объемов фигур, соответствующих фигурным числам Ф\(п +1)и Ф1(2), определяется выражение VGl(n +1) = n3VGl(2) .

При этом четырехугольная пирамида G\(n +1) , называемая далее октаэдрическим кластером, содержит в себе Ф\(п +1) точек-шаров, упакованных в объемно центрированную кубическую решетку A*.

Фигуры, вершинами которых служат точки n-го и n+1-го слоев фигурного числа, и которые полностью (без пустот и пересечений) заполняют объем, ограниченный плоскостями, проходящими через указанные точки, образуют n-й слой кластера, образованного точками-шарами фигурного числа.

Послойное заполнение тетраэдрического кластера G°3(n +1) , приводит к следующей формуле, выражающей зависимость объема кластера от объемов, составляющих его базовых тетраэдров и октаэдров

VG°3(n +1) = Ф03(п^03(2) + Ф0(п- 1)V2G\(2) + Ф°3(п-2)VG°3(2) . (3)

Здесь n=2,3,4,... . При n=1 имеет место тождество VG03(2) ° VG03(2). Формулы для числа вершин, числа базовых тетраэдров и октаэдров (в слоях и суммарное) для тетраэдрического кластера приведены в табл.2.

Так, согласно табл.2, во втором слое тетраэдрического кластера содержится 9 вершин. Второй слой кластера полностью заполняют 3 базовых

тетраэдра и 1 базовый октаэдр, заполняющий пустоты между тетраэдрами. В десятом слое — 121 вершина, 91 базовых тетраэдра и 45 базовых октаэдра.

В справедливости формулы (3) можно убедиться, сравнивая ее с формулой для объемов подобных фигур. При увеличении стороны кластера вдвое, для n=2 с учетом соотношений объемов базовых тетраэдра и октаэдра получаем VG°3(3) = Ф03(2)УО03(2) + Ф03(1)У2О13(2) = 8УО°3(2) . При n>2 из (3) приходим к формуле Ф3(п)+4Ф3(п-1)+Ф3(п-2)=п3.

Таблица 2

Число вершин, тетраэдров и октаэдров в тетраэдрическом кластере G0(n +1)

Определяемая величина Формула

Число вершин в слое кластера Ф1(п + 1)

Число тетраэдров в слое кластера Ф02(п) + Ф02(п-2)

Число октэдров в слое кластера Ф>-1)

Суммарное число вершин Ф:3(п + 1)

Суммарное число тетраэдров Ф°3(п) + Ф0(п-2)

Суммарное число октаэдров Ф0(п-1)

Послойное заполнение октаэдрического кластера Gl(n +1) приводит к

следующей формуле, выражающей зависимость объема кластера от объемов, составляющих его базовых тетраэдров и четырехугольных пирамид (половинок октаэдров)

VG1 (п +1) = Ф1 (п)VG1 (2) + 4Ф0(п- 1)VG°3(2) + Ф\(п-1)V2G\(2) . (4)

Здесь n=1,2,3,... . Формулы для числа вершин, числа базовых

четырехугольных пирамид и тетраэдров (в слоях и суммарное) для октаэдрического кластера приведены в табл.3.

Таблица 3

Число вершин, базовых четырехугольных пирамид и тетраэдров в октаэдрическом кластере G1 (п +1)

Определяемая величина Формула

Число вершин в слое кластера Ф]2(п +1) + Ф1(п)

Число четырехугольных пирамид в слое кластера Ф\(п) +2 Ф\(п-1)

Число тетраэдров в слое кластера 4 Ф2(п-1)

Суммарное число вершин Ф1(п + 1)

Суммарное число четырехугольных пирамид Ф1(п) + 2Ф\(п-1)

Суммарное число тетраэдров 4Ф03(п-1)

Например, из табл.3 следует, что второй слой октаэдрического кластера образуют 13 вершин. Второй слой кластера полностью заполняют 5 базовых четырехугольных пирамиды и 4 базовых тетраэдра, заполняющих пустоты

между пирамидами. В десятом слое — 221 вершина, 181 базовых

четырехугольных пирамид и 180 базовых тетраэдра.

При увеличении стороны октаэдрического кластера вдвое, для n=2 с учетом соотношений для объемов базовых тетраэдра и октаэдра получаем

¥01(3) = Ф12(2)¥013(2) + 4Ф03(1)¥О°3(2) + Ф13(1)¥2013(2) = 8VG1(2) . При n>2 из (4) приходим к формуле Ф(п>2ф(П-1)+2ф;(п-1)=п3.

Выводы. Гранецентрированная и объемно-центрированная кубические решетки представляют плотные упаковки частиц (шаров) в трехмерном пространстве. Исследование кластеров, представляющих фрагменты

(подрешетки) таких структур важно, как с точки зрения задач эффективного преобразования информации, так и для создания наноустройств. Например, в ГЦК подрешетку кристаллизуются атомы в полупроводниковых соединениях, таких как GaAs и ZnS.

Наночастицы моделируют с помощью кластера Маккея, построенного из октаэдров и тетраэдров, присоединяемых к икосаэдру, служащему основой кластера. Кластер Маккея представляет собой «множественное двойникование 20 фрагментов ГЦК-структуры», т.е повторяющиеся фрагменты упаковки атомов в гранецентрированную кубическую решетку. При этом суммарное

число вершин Nm в кластере, включая n-й слой определяется выражением

2

Nm =n(10n +15n+11)/3 [1]. Магические числа атомов определяются как

локальные максимумы в масс-спектрах кластеров. Кластеры с магическим числом атомов характеризуются максимальной энергией связи атомов кластера

[2]. Результаты построения тетраэдрического и октаэдрического кластеров позволяют провести сравнение с кластерами, включающими магические числа атомов. Работа поддержана грантом №11-07-00007-а.

Литература

1. Лорд Э.Э., Маккей А.Л., Ранганатан С. Новая геометрия для новых материалов. / Пер. с англ. к.х.н. Л.П.Мезенцевой под ред. В.Я. Шевченко,

В.Е. Дмитриенко. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 264 с.

2. Бери Р.С., Смирнов Б.М. Фазовые переходы в кластерах различных типов // Успехи физических наук. — 2009. — Т. 179, №2. — С.147-176.

3. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. В двух томах. — М.: Мир, 1990.

4. Чернышев С. Л. Моделирование двумерных и трехмерных решеток на основе фигурных чисел // Вопросы радиоэлектроники. Сер. общетехническая. — 2010. — Вып.2. — С.188-202.

5. Потапов А. А., Чернышев С. Л. Применение фигурных чисел для моделирования решетчатых упаковок. Материалы международной конференции «Математическая физика и ее приложения». — Самара: Изд-во «Книга»,

2010. — С.269-271.

6. Чернышев С. Л. Моделирование и классификация наноструктур.

М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 216 с.

Рис.1. Фигурное число Ф03(п) — вложение в гранецентрированную кубическую решетку. Столбцы кортежей соответствуют координатам точек N-го слоя фигурного числа.