Отображение результатов вибрационных испытаний с помощью нумерационных алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чернышев С.Л. ОТОБРАЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВИБРАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ С ПОМОЩЬЮ НУМЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ

Исследование качества функционирования технических систем предусматривает проведение вибрационных испытаний, по результатам которых может быть составлена «карта» откликов испытуемого объекта на вибрационные нагрузки. Результаты вибрационных испытаний, например, монтажной платы радиоэлектронного устройства можно представить в виде трехмерной решетки, т.е. целочисленных линейных комбинаций линейно независимых векторов е1, е2, е3 [1].

Каждая точка такой решетки задается тремя координатами. Для рассматриваемой задачи будем рассматривать неотрицательные целочисленные координаты решетки. Две координаты Х1 и Х2 определяют точку на плоской решетке, а третья координата Х3 соответствует уровню отклика при вибрационном воздействии.

Результаты вибрационных испытаний (множества исходных сигналов или «сигнальное множество») можно преобразовать в некоторое «ситуационное множество», удобное для выработки управляющих решений. Как правило, «ситуационное множество» должно удовлетворять следующим требованиям: во-первых, обладать

меньшей размерностью фазового пространства, чем исходное сигнальное, во-вторых, соответствовать минимальным искажениям информации. Одновременно на основе «ситуационного множества» формируется множество действий (управляющих решений) [2].

Если построенное ситуационное множество одномерно, то построение словаря «Ситуация — Действие» на этой основе не представляет никаких затруднений. Однако при этом желательно, чтобы множество исходных сигналов было взаимно однозначно преобразовано в одномерное «ситуационное множество».

Известно, что взаимно однозначное преобразование неотрицательных целых кординат (Х1,Х2) на плоскости в неотрицательное число Z задается нумерационной функцией Кантора [3,4]:

Z= С2(* ,Х2 ) = (Х + ^2)2 + Х1 + 3Х2 . (1)

Согласно [3,4], выражение (1) принципиально может быть обобщено на случай взаимно однозначных преобразований неотрицательных целых координат n-мерного пространства на множество неотрицательных целых чисел Z.

В данной работе приведены в явном виде выражения, позволяющее тройке неотрицательных целых чисел (Х1,Х2,Хз) поставить во взаимно однозначное соответствие число Z=С3(Xl,Х2 ,Х3). Таким образом, могут быть установлены взаимно однозначные соответствия между парами (Х1,Х2) и тройками (Х1,Х2,Хз) неотрицательных целых чисел.

Функция С3(Х1,Х2,Хз) определяется следующим образом [5]:

с3(адд3) X + + хз)3 + 3Х + х2 + х3)2 +

, 6 . (2)

3( х2 + X )2 + 2Х1 + 5 Х2 +1IX з

6

Взаимно однозначное представление координат трехмерного куба в одном, и двух измерениях представлено в табл.1.

Отметим, что соотношения вида (1) и (2) позволяют представить единственное взаимно однозначное преобразование координат только в том случае, когда все оси координат жестко закреплены. Так, в (1) остается неизменным положение начала координат и орта на оси Х, соответствующего единице числовой прямой.

С учетом перенумерации (переобозначения) осей координат получаем два возможных преобразования в выражении (1), а в соотношении (2) соответственно — 6 подобных преобразования.

Для единственного взаимно однозначного преобразования точек на плоскости с неотрицательными целыми координатами в аналогичные точки трехмерного пространства нужно фиксировать положения осей как минимум с помощью четырех точек, включая начало координат.

Таблица 1

Обозначение вершин куба Виды пространств

Хі (Хі,Х2) (Х1,Х2,Хз)

А1 0 (0,0) (0,0,0)

В1 1 (1,0) (1,0,0)

В2 2 (0,1) (0,1,0)

В3 3 (2,0) (0,0,1)

С1 5 (0,2) (1,1,0)

С2 6 (3,0) (1,0,1)

С3 8 (1,2) (0,1,1)

Б1 14 (0,4) (1,1,1)

На примере отображения результатов вибрационных испытаний возникают два варианта нумерационных преобразований. Первый вариант соответствует двукратному применению алгоритма, основанного на соотношении (1), второй однократному — алгоритма, основанного на соотношении (2). Сравнение эффективности указанных вариантов позволяет найти оптимальный вариант отображения для конкретного сигнального множества.

Как показано в [5], взаимно однозначное преобразование неотрицательных целых координат (Х1,Х2) на плоскости в неотрицательное число Z(Xl,Х2) с помощью нумерационной функции Г.Кантора, задаваемой (1), может быть представлено с помощью специальных комбинаторных (фигурных) чисел в виде:

Ф0 (2) = Ф0 (X + Х2) + Ф0(Х2) . (3)

Здесь Z=Z(Xl,Х2) — натуральное число, взаимно-однозначно отображаемое в точку на плоскости с неотрицательными целочисленными координатами (Х1,Х2). При этом остается неизменным положение начала координат и орта на оси X!, соответствующего единице числовой прямой.

Фигурное число Ф^ (Ы) — целый неотрицательный образ трехмерного неотрицательного целочисленного

вектора {Ь,М,Ы} — задается соотношениями: і=И

ФММАЮ =£Ф(І) . (4) і=0

ФМ(0) =0; ФМ (1) =1; ФМ (Ы) =М+1 при N>1. Здесь парметры L=0,1,2, ...; М=0,1,2, ... ; N=0,1,2, ... .

Для натуральных Ь, N и неотрицательных целых М при тех же начальных и граничных условиях фигурное число может быть определено рекуррентным соотношением [6]

ФМ(к) = ф^1 (К)+ФМ (к-1). (5)

Значению Ь=1 соответствуют фигурные числа на прямой (евклидово пространство размерности 1); значению Ь=2 — фигурные числа на плоскости; значению Ь=3 — фигурные числа в трехмерном пространстве и т.д. Значение М=0 соответствует треугольным числам; М=1 — четырехугольным; М=2 — пятиугольным и т.д. Параметр N определяет этап построения фигурного числа.

На основе (3) соотношение (2) с помощью фигурных чисел могут быть представлено соответственно следующим образом:

Ф0(2) = Ф0(Х + X2 + X3) + Ф0(X2 + Хз) + ф0(Хз), (6)

Выражение (6) преобразутся к виду (2), если воспользоваться явным выражением для фигурного числа

Ф°(Ъ), вытекающего из определения (4) и рекуррентного соотношения (5):

Ф°( N) = С+К-1 . (7)

В справедливости выражения (1) можно убедиться, рассматривая кортежи, т.е. пары чисел (0,0); (1,0), (0,1); (2,0), (1,1), (0,2), ..... Каждой паре неотрицательных целых чисел поставленно в соответствие определенное неотрицательное целое число 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... . Доказательство справедливо-

сти выражения (2) также основывается на исследовании кортежей, т.е. записанных в определенном порядке троек неотрицательных целых чисел вида:

(0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); (2,0,0), (1,1,0), (1,0,1), ...

0 1 2 3 4 5 6 , ... (8)

Каждому кортежу из последовательности (8) взаимно однозначно соответствуют определенные неотрицательные целые числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,., указанные под кортежами.

Доказательство справедливости выражения (2) и (6) с использованием кортежей (8) основано на известном свойстве выражения (7) [7] . Действительно, фигурное число Ф°(N)определяет число способов

разбиения числа N-1 на Ь+1 неотрицательных целых чисел. Это свойство позволяет однозначно сформировать и пронумеровать рассматриваемые кортежи.

Отметим, что в табл.1 восемь вершин трехмерного куба обозначены с помощью четырех букв с индексами, причем каждая из букв определяет определенный класс эквивалентности этих вершин. Вершина А1 соответствует началу координат (сумма всех координат равна нулю). Вершины, обозначенные буквой В, расположены на концах ортов (сумма координат каждого орта равна 1) . Вершины, обозначенные буквой С, соответствуют сумме координат равной 2, а вершина Б — равной 3.

Отыскание преобразования сигнального множества в «ситуационное множество», допускающее невырожденное обратное преобразование важная проблема развития средств информационного обеспечения. Применение алгоритмов нумерации — одно из направлений решения данной проблемы применительно к анализу результатов вибрационных испытаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.-М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. Изд-ва

«Наука», 1974.-432 с.

2. Платонов А. К. Проблемы и перспективы робототехники. В кн. Будущее прикладной математики. Лекции

для молодых исследователей/ Под ред. Г.Г.Малинецкого.-М.: Едиториал УРСС, 2005.-512 с.

3. Ершов Ю.Л. Теория нумераций.-М.: Наука, 1977.

4. Ершов Ю.Л., Гончаров С.С. - Конструктивные модели.- Новосибирск, 1999.

5. Чернышев С.Л. Применение нумерационных алгоритмов для преобразова-ния информации и управле-

ния// Вопросы радиоэлектроники. Сер. Радиолока-ционная техника, вып.4, 2007, с. 174-181.

6. Чернышев С.Л., Чернышев Л.С.// Измерительная техника, №12, 2006, с.5.

7. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. Сачков В.Н.- М.: Наука. Главная редак-

ция физико-математической литературы, 1982.- 384 с.