CC BY
8
УДК 517.95
И.Д. Макарова, *С.Е. Макаров
Омский государственный технический университет, г. Омск *Омский государственный университет им.Ф.М. Достоевского, г. Омск
Ж1 - УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В РЕАКТОРЕ С НЕПОДВИЖНЫМ СЛОЕМ КАТАЛИЗАТОРА
Введение. Рассмотрим в полуполосе П = [0,1] х [0, от) краевую задачу
ди + А(х)дП + В(х)и + / (х,и) = 0 (1)
с начальным условием и(х,0) = Н0 (х),
(2)
и граничными условиями
и+ (0, г) = [ Р0и- + 8 (и- )]
и- (1, г) = [ Р1и+ + 3{и+)]
х=0
(3)
Здесь
А, В - матрицы порядка N, А, В е ^[0,1],
А = й1а^(а (х)1,...,а (х)1 X
дг дх
х=1
1 1 п п
а, > ... > ат > 0 > ат+1 >... > ап , Iк
1 т т+1 п ’ к
- единичная матрица порядка
N. , = N
Р,, Р -
постоянные матрицы размеров
N+ х N_
N = N т+1 + •••+ N
и = (и+ ,и- ) , и+ = (u1,..., ит )
и_ = (ит+Х,.,ип )
и, - столбец размера
66
N. , /
= (/„■■■, /п ) , *0
= (*01,., к0т ) , 5
= (5,...,5„ ) ,
8 = (81,.,8г-т ) , (здесь аналогично /к - столбец размера N. и т. д.),
/ е СЧ[0,1] х КN ),
0
к е ^([0,1]),
8 еС\Кп-т),
5 еС^К ), при этом /(х,и) = о(\ и |), | и 0,
8(и-) = о(\ и_ \), \ и- \^ 0,
5(и+ ) = о(\ и+ \), \ и+ \-^ 0.
Предполагаются выполненными условия согласования граничных и начальных данных в точках (0,0), (1,0) :
*
*
*
*
*
*
*
условия нулевого порядка
+ +
к (0,1) = [Р0к0
+ 8 (к0 Л , к0 (1,1) = [ Р1к0
+
5(к0)1 ,
(4)
условия первого порядка
к+ (0,1) = [(Р +8 ' (к~ ))к_ 1
0 1
х=0
к~ (1,1) = [(Р + 5 '(к+))к+ 1
0 1
х=1
(5)
где к
=_[ Ак + Вк + /(х,к )].
х=0
х=1
1 0 0 0
Равенства (5) получаются дифференцированием равенств (3) по 1 , заменой в левых
частях [и' ]
х
= _[ Аи + Ви +
/ ] и предельным переходом при 1 ^ 0.
±
Из результатов работ [1]-[2] следует, что указанные выше условия гарантируют ло-
+
1
0
I
10 > 0
существует точно одно решение краевой задачи (1)-(5) в прямоугольнике
1
П0 = [0,1] х [0,10 ] в классе С (П>).
Если данные удовлетворяют дополнительным условиям гладкости
Ве С![0,1],
/ є С2 ([0,1] х КЛ ), к є С 2([0,1]),
8 еС2[Кп-т ],
5 еС2[Кт ]
(6)
и выполняются условия согласования второго порядка
к2 (0) = [(Р0 + £ы (к0 ))к2 + кі
и 0 1
к(1) = [(Р + 3 (к,))к + к1
и 0 1
(7)
^ (к ))к ] ,
— х=0
+ + +* " + +
х=1
к2 — —[Ак> + (В + А')к0 + В1 к) + /х (X к) ) +
/и (x, к)
0
* И
+
+
+
то имеет место локальная
Признак экспоненциальной устойчивости в Ж 1 _ норме. Пусть данные в (1) удовлетворяют дополнительным условиям гладкости (6) и выполняются условия согласования второго порядка (7), тогда имеет место однозначная разрешимость краевой задачи (1)-(5) в классе С 2 . Обозначим
Н пространство Соболева Ж!([0,1] ^ ),
_ норму в Н :
1 2 1 1
67
к = |
(\ к \ + \ к' \ )йх |
М ! - многообразие в Н1 , состоящее из функций
ке С 2[0,1],
удовлетворяющих условиям (4), (5) с заменой
0 0
к± (к )± на
к* (к )± . Ограничения решения и(х,1) краевой задачи
(1)-(5) на горизонтали 1=СОПБ1 _ элементы М ! .
Будем говорить, что решение и = 0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво
2
в Ж1
_ норме, если существуют такие числа Г > 0,
. г!
>
)
1
2
2
И > 0, v > 0,
что для решений u(x,t) , удовлетворяющих условию max | h01< г, верна оценка
u(x,t) < ie h ,
t > 0.
Зафиксируем гладкие матрицы
Г Г Г
1 0 ->L 15і і
порядка N , имеющие такую же блочнодиагональную структуру, как матрица A :
k kl kn
Г = diag(Г ,...,Г ) єC'[0,1], k = 0,1^
(8)
с диагональными блоками порядков
N1,., Nn , и такие, что выполняется неравенство
ГГГ( x) =
Г0 1 > 0, x є [0,1].
(9)
ІГ* Г I
[ o і J
Очевидно,
AГ = Г A,
ЛҐ
= Г' A. Представим матрицы
A,Г
0
к к
А = А , А ),Г = diag(Г+ ,Г ), В =
В12 1
+ - к
к к 1 В В 1
с диагональными блоками порядков И+ , И_ . Построим матрицы
Г/ V 1
Г/
/ 1 Г/
/ 1
ф(*) =
11 12
, Ф = I
Г В
11
|_ 21 22 J
11 12
I ,Ф = I
11 12
I ,
I * I 0
1 / /
_ 12 22 J _ 12
22 J
I.
12
22 J
где
/11 = (Г1А)'_ Г1В_ В Г1 _ ГоВ'_ В
Г
V12 = (Го А)'_ Го (В + А) _ В Го _ В
к
к к
*
•* *
Г2 ,
22 2 2 2
V = (Г А)'_ Г (В + А') _ (В + А')*Г ,
(10)
V /
0 1 а ч
- вычисляются при X = 0 и
X = 1 соответственно. Нетрудно убедиться, что матрицы (9) симметрические.
68
Теорема 1[3]. Если при дополнительных условиях гладкости (6) и условиях согласования (7), существуют матрицы неравенства
Г Г Г
0 12
со свойствами (8), (9) такие, что выполняются
* _1
р22 < 0,
^11 _ ^12^22^12 < 0,
0 0 0* 0
_1 0
V ^ 0,
22
11
V _Pl2 V)
V ^ 0,
12
1 1 1* 1
_1 1
V > 0,
22
11
V _Pl2 V )
(р > 0.
12
Тогда решение и=0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в Ж1 _ норме. Применим данную теорему для задачи, описывающей каталитический процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора в случае реакции нулевого порядка:
дв + дх
= у є0
— 5( в -вг ),
|двг -
двг
= 5(в -вг), (х, ї) єП,
(11)
^ дї дх
І
(в-0г )х=0 = 0 0х=1 =в0 ,
[ (в, 0г )ї=0 - даааі и .
Здесь П — полуполоса (0,1) х (0, от),
од
- температура в реакторе и в холодильнике,
Д У, 5, в0 - константы, из них первые три положительны. Начально-краевая задача вида (1)-
(5) с фазовыми переменными в , 0х ,0г ,0гх получается присоединением к (11) продифференцированных по X уравнений и начальных условий и продифференцированных по ї краевых условий (11). Пусть
0^ V )
V
- стационарное решение (11). Построим функции ^■(х) = Vl — V2 , v(x) = уЄ 1 , введем вектор отклонений
*
и = (и1 ,и2 ,и3 ,и4 )
х 1 г 2 гх 2 *
= (в — v1 ,в ' — V,в — V ,в ' — V ) ,
получим начально-краевую задачу вида (1)-(5), где
N = 4 ,
т = п = N = N = 2,
—1
и+ = (и1, и2 ) , и_ = (и3 ,и4 ) / = в
v(1 + и1 — Є 1 ) ,
(в'[(5
— V)/ — V3 ]
—вч5/ ^
А = diag(в~l/, — /), 5 В = |
/ = (/
, /', 0, 0)* .
—5/
I ,
/ )
Выберем гладкие матрицы Г0 ,Г1,Г2 порядка 2:
Г
0
1 = I
69
I , Г
Г—вgv 01 Г—вg(l
2 2 + V — V
|_ 0
0
(0)) 01
g(x) = Є
—2 2( х)—5ях
константа (10). Имеем
5 > 0 . Построим матрицы
*
*
и
1 1
Гв g 01
2 I I
|_ 0
ф(х) .
Фо .
Ф1 по формулам
11
р =8 \
2 2
|_ 1 + 8 (1 + V - V (0))
2 ]
Г^Су + 2)
-яу~\
Г-8(у + 2) 1 + 8 \
Р12 = 8 \
Г-(у + 2)8(1 + V2 - у2 (0)) 1 + 8(1 + V2
| , Р22 8 \
-2
I ,
Р11 = (8 -1 - 8У
(0))
х=0
V
(0) , Рх2 = в 8(у - у(0))х=0 = 0
2 2
0 2
Р22 (в 8 - 1) х=0 = в
-1, Р11 = (8(1 + у - у (0) -8
)ф=1 , р12 = (-ёу')х=1 , р22 = §(1) •
Применяя теорему 1, получаем
Теорема 2[4]. Для
2
Ж1 - устойчивости решения начально-краевой задачи (11) достаточно выполнения неравенств
_
_
0
2
2
0
2
2
1
V2(0))\
в < 1, 8
< у єд°
1
< , 8 + уєв° +
Г
1 2А
+
-1/2
< 1,
2
І
)
где А = 1 — (2уєв° )2 .
Библиографический список
1. Аболиня, В. Э. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости / В. Э. Аболиня, А. Д. Мышкис // Мат. сборник. - 1960. - Т.50, № 4. - С. 423-442.
2. Зеленяк, Т. И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения / Т. И. Зеленяк // Дифференц. уравнения. - 1967. - Т.3, № 1. - С.19-29.
2
3. Макарова, И. Д. Ж 1 — устойчивость решения смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы с двумя независимыми переменными / И. Д. Макарова // Вестник Омского университета. - 2007. - № 2. - С. 25-30.
4. Макарова, И. Д. Об
Ж1 — устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипя-
2
щим слоем катализатора при реакции нулевого порядка / И. Д. Макарова // Доклады АН ВШ РФ. - 2004. - № 1. - С.20-27.
