Численное исследование модели химического реактора при реакциях нулевого и первого порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

14. Kolokolov A. A,. Guseletova O. N.. Yarosh A. V. Application ol some discrete optimization methods to computer-added design ot clothes // Operadons Research 2005, University of Bremen. Germany, T*#* September, 2005. - P. 107.

15. Kolokolov A A, Yarosh A V. On solving some complex design problems using discrete optimization models // Operations Research 2003, Annual International Conference of the German Operations Research Society (GOR) University ol Heidelberg, September 3 — 5, Germany, 2003. - P. 136.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, диктор физико-математических наук, профессор кафедры

прикладной математики и информационных систем Омского государственного технического университета. заведующий лабораторией дискретной оптимизации Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected] ЯРОШ Александра Викторовна, кандидат технических наук, заведующая кафедрой информационных технологий Омского филиала Московской финансово-промышленной академии.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 8.04.2010 г.

© А. А. Колоколов, А. В. Ярош

УДК 517.95+541.124

И. Д. МАКАРОВА С. Е. МАКАРОВ

Омский государственный технический университет Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА ПРИ РЕАКЦИЯХ НУЛЕВОГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ______________________________________

Рассмотрены начально-краевые задачи, описывающие процесс в химическом реакторе с неподвижным слоем катализатора. Изучен вопрос о количестве стационарных решений данной задачи, приведена процедура построения таких решений.

Ключевые слова: гиперболическая система, стационарное решение, реактор, устойчивость.

Постановка задачи

При математическом моделировании реакторов идеального вытеснения возникают начально-краевые задачи для гиперболических систем [11. В частности, каталитический процесс в неподвижном слое в рамках квазигомогенной модели в случае реакции нулевого порядка (скорость реакции не зависит от количества реагирующего вещества) описывается с учетом внутреннего теплообмена. смешанной задачей для нелинейной гиперболической системы на плоскости {!]:

а ах

^JA=S(0-0,% (лг.ОеП.

а дк

(0-4U=o. о,L-4.

(<9Д),*-заданы.

(I)

Здесь П - полуполоса (0,1)х(0,со). 0, 0, -температура в реакторе и в холодильнике, С —

концентрация реагирующего вещества, р. у, 6, 00 — константы, из них первые три положительны.

Процесс в реакторе с неподвижным слоем катализатора при реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) моделируется (см. (1,2) смешанной задачей для нелинейной гиперболической системы на плоскости:

1+1=*.-сУ.

А^=Х1-<У-*(0-0г),

а са

^кЖ-вф-ох (*')еП.

с* ах

си=0-

(СМ**- заданы

(2)

Как и в первом случае, П - полуполоса (0,1 )х(0.оо), С— концентрация реагирующего вещества, 0,0Г—тем-

(а)

~1

/

г:

п*1

І І+І 1-І і Рпс. 1. Трехточечные шаблоны

Рис. 2. Распределение температуры 0 в реакторе и температуры теплоносители О, при 0в=1.9; 1=0,01

Рис. 3. Распределение температуры 0,, 0,, 0,, 0, в реакторе при (**60.100, 200, 300 соответственно

Таблица I

Зависимость температуры при выходе из реактора 0(1) от 0#

во -0,5 -0,1 0,1 0,5 0,9 1,3 1.7 1,9

0{ 1) -0,44 -0,01 0,22 0,68 1,19 1,76 2,51 3,05

пература и реакторе и в холодильнике, а, 0, у, 5,0о — константы, из них первые четыре положительны, начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков.

Классическая разрешимость начально-краевых задач (1) и (2) следует из общих результатов работ [З — 5|. В11) указаны условия на параметры, при которых существуют стационарные решения задач (1) и (2).

Данная работа содержит результаты численных расчетов по нахождению нестационарных решений моделей (1) и (2). При проведении расчетов применялись разноспшіе схемы для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с использованием пакета МаШСасі 2001.

2. Модель реактора при реакции нулевого порядка

Для нахождения численного решения задачи (1) применяем неявную разностную схему [6,7) первого порядка точности на равномерной прямоугольной сетке

V* = = М, і = 0,...,ЛГ,Л = —; /„ = пт,п = 0,1,...},

/V

используя трехточечный шаблон (а) для второго и шаблон (б) для первого уравнений (рис. 1).

и"' -и? | 1 и?"-иГ' У ^ 3

і±. = ї-еи‘ - —(и*'' -Vя’1)

Р Ь р /Г' ' }’

Vя*1-Vя Vn'l-^vнfl

^^ * *(«г - у* >,

г И

/ = 0.N-1

М1=СУ£=0<» п = 0Х... 4° = ^°=^. / = 0.....М

Здесь и; и V," — разностные решения для 0 и 0, соответственно. Разрешая первое уравнение относительно переменной и*’1, а второе уравнение относительно переменной V'"*1 и обозначая г= т/Л,

получим разностные уравнения

|=1 ^ (з)

р + го +• г

С=у’+<1+т6и’, ^=е0,1=N -1.............о, (4)

I + го + г

при следующих начальных данных

Ч°=< = 0„,/ = О..N. (5)

Алгоритм расчета достаточно прост: сначала по рекуррентному соотношению (4) насчитываются у“", а затем, используя только что найденные значения функции у,"*1. но формулам (3) слева направо находится значения «;•'. Расчеты проводились в области изменения параметров, удовлетворяющих условиям устойчивости задачи (1), а именно, при выполнении следующих условий:

6 + уе* < I, А-51 уел < 1 (6)

З + ге* (7)

Аналитически достаточно сложно построить такую область. Заметим, что из четырех параметров 3, у, 5, 0„, наиболее важным является последний 0о — температура теплоносителя на выходе из реактора (из-за наличия экспоненты ^е"в правой части первого уравнения (1)). При больших значениях параметра 0„ при фиксированном значении у (для нашей модели 00>2,15 при у=0,/), наступает быстрый рост (при численных расчетах наступает переполнение) температуры 0 на выходе из реактора, что на практике приводит к разрушению катализатора и самого реактора. При 0О<2,15 расчеты были проведены при следующем наборе параметров: р=1; 5=0,03; у=0,1;/1=0,01; значения т варьировались от 1 /300 до 0,1 до установления стационарного состояния с точностью 10\ Характерное поведение температуры в реакторе и темпе-

Рис. 4. Распределение концентрации С, температуры в реакторе 0 и температуры холодильника О,

'т

тЬ

Рис. 5. Распределение концентрации С при параметре а = 0,7;

1,5; 2,3

ратуры теплоносителя приведено на рис. 2, а значения температуры 0 на выходе из реактора в зависимости от параметра в0 приведены в табл. 1.

Заметим, что температура теплоносителя 0, остается практически постоянной на протяжении всего реактора.

На рис. 3 показано поведение температуры в реакторе при значении параметра 0а=2,1, нарушающего условие экспоненциальной устойчивости, для различных значений времени I = 50, 100,200, 300. Для небольших моментов времени значения температуры в реак торе ограничены, но с увеличением итераций, например, при / = 300 значение 0( 1) быстро растет, что приводит к резкому нагреву реактора.

3. Модель реактора при реакции первого порядка

Для нахождениячисленного решения задачи (2) применяем неявную разностную схему (6, 7) первого порядка точности на равномерной прямоугольной сетке

= {*1 = /Л, / = о....,УУ, /| = /„ = Ш-, я = 0,1,...},

N

для первого и второго уравнений выбираем шаблон (б), для третьего — шаблон (а) (рис. 1):

,*►1

-с? сГ'-Л

ы_

сс{)-с?У:,

Г Р

.(*♦1

г И

/=о,...,лг-и с;=с0,м;=у?»у^=^0, /1=0,1,...

с?,и%у* - разностные решения для с, 0,0, соответственно. Разрешая первое уравнение относительно переменной с"41, второе уравнение относительно

Рис. 7. Решение уравнения (21), определяющего количество стационарных режимов в реакторе при реакции первого порядка

переменной и*“, а третье уравнение относительно \^' и обозначая г=т/Л, получим разностные уравнения

с<=С; + г^Чга(1-су- с.„ = ^ „ (8)

-.1

р + гб + г

^‘=^'./«1........и,

у;+/г::,' * тЗи:

(9)

Іііі.

ЧС*0о./«лг-1...0, (10)

1 + то + г

при следующих начальных данных

м,° -О^І-0...= 0.

(II)

Схема расчета заключается в следующем: сначала по рекуррентному соотношению (10) насчитываются у;", а затем, используя только что найденные значения функции , по формулам (9) слева направо находятся значения м"' , а по формулам (8) также слева направо находя тся значения с|"‘.

Число параметров, определяющих устойчивое стационарное решение задачи (2). равно прем: а,б,у. Это следует из условия существования и экспоненциальной устойчивости в - норме стационарного решения начально-краевой задачи (2): $<2елг® отличие от реакции нулевого порядка в данном случае нет зависимости от параметра <\0, хотя в первом и втором уравнениях задачи (2) также присутствует множитель £. Это объясняется наличием дополнительного множителя 1—х, отвечающего за скорость

Дх.(Ш)

----- 3

Пх.0.1)

Пх.02)

Г(хД5) 2

Пх.1)

М(х) »

Рис. в. Решение уравнения (16), определяющего количество стационарных режимов в реакторе при реакции нулевого порядка

реакции от степени превращения (концентрации) вещества х и при численных расчетах достаточно быстро степень превращения дг-> /. Характерное поведение концентрации вещества С, температуры реактора я и температуры холодильника 0, приведено на рис. 4 а = 2,3; р = 0,2; 5 = 0,03; у = 1,3; 00=2,1; т = 0,005: 11=0,01.

Интересные выводы при числечшых экспериментах следуют при изменении параметра а, отвечающего за скорость протекания реакции. На рис. 5 приведено поведение концентрации вещества С в зависимости от скорости реакции при а = 0,7; 1,5; 2,3.

При значении параметра а = 2,3 достигается полная степень превращения (концентрация С=1) при дг = 0,2, если а = 1,5, то полная степень превращения достигается при х = 0,4, и, наконец, если а = 0,7, то полная стеиень превращения достигается при х = 1, т. е. в конце реактора. Последдгий режим, таким образом, является неэффективным на практике. Заметим, что влияние других параметров б, у, 0О при фиксированных значениях а = 1,5; 2,3 несущественно.

4. Подсчет числа стационарных режимов

С понятием устойчивости тесно связан вопрос о числе возможных стационарных режимов при одних и тех же значениях всех параметров, причем некоторые из этих режимов могуг быть неустойчивыми [8]. Выясним количество стационарных решений для моделей (1) и (2). Пусть вектор-функция у(х) = (У,(х),У,(х))* - стационарное решение задачи (1), удовле творяющее краевой задаче

^ = уел -<?(у, -у,). ^ = -£(у, -уД хє(О.І),

А (іх (12)

условиям при х = 1. Таким образом, каждый положительный корень 7, уравнения (16) дает новое стационарное решение задачи (1), т.е. число различных положительных корней уравнения (16) определяет число стационарных решений уравнения (1).

В случае реакции первого порядка пусть (р,У,,У2) — стационарное решение (2):

<1х

(К\

(ІХ (ІХ

/>(0) = 0,у,(0) = у2(0), у2(1) = 0о.

= г(1 - р)ел -<5(у,-у2), = -^(у,-у2),хє(0,1).

И7)

Аналогичная замена переменных г- V, -\2 приводит систему (17) к виду

<[Р

(ІХ

сЬ

Их'~

іії

= а(1 - р)ел,

Г(1-р)е\лгє(0.1).

-у{\-р)е'-6г.

(18)

РФ) - 0. -(0) = 0, у2(1) = 0о

^(0) = у,(0), vг^]) = 00.

Из первого и второго уравнений (18) получаем соотношение на р:

а

р-—2

у ■ (19)

Второе уравнение системы (18) с учетом (14), (19)

преобразуем к виду

Полагая г = у, - у3 и вычитая из первого уравнения второе, получим

(Ь , а

— = (/- аг)е* • е сіх

(20)

2(0) = 0, у2(1) = 0о.

Футгкция 7. является монотонно возрастающей, (13) сІ7/с1х>0, логарифмируя (20) и дифференцируя полу-

ченное уравнение, получим следующее у равнение для/.:

Интегрируя второе уравнение системы (13), имеем 1 I

У|(ДГ) = 2(дг) — г( 1)Ч-^= г(х) + в{) + 6\ 2(і’)Ж, (14) х X

» 1 £ х(х)+б\г{$)(Ь *(*)«*

и — = уе * = уе^е *

СІХ

(15)

Таким образом, ъ — монотонная функция, и из

ск

полагая ЦГ = ~Г, ах

имеем >у'>у = уу2 -бмч и +£(2 + 1), где

</32 ( ск V - ск

(15) получаем

С-уе* ~£(1 +2, К

2(1).

ск

Интегрируя уравнение и* = — по х от 0 др 1 (7. от

Одр7.,), получим уравнение на 2,, которое необходимо для определения стационарных решений задачи (1):

ск

|(уе*• + +1+г)

= <?

(16)

Каждое решение уравнения (16) г,=У2(1) — V, (1) = у2(1) -0„>О позволяет найти V, (1) и решить задачу Коши для исходной задачи (12) по начальным

(Г/а - 2)2’ + (г1)1 = (у/а - г)(/ - 62)2'

При имеем линейное уравнение относительно У/

/•

I

62

Находя реше!ше этого уравнения и интегрируя -' = иг [7. от 0 до г, = г(1)), получаем функциональное уравнение для нахождения г,, определяющего стационарное решение задачи (2),

)_____________—

°(у/а-:)еж(ае*/6+

:*-у/<*

(21)

Для нахождеїшя числа стационарных решений уравнений (1), (2) будем численно строить графики левых частей уравнений (16), (21) при фиксированных для уравнения (16) значениях уе* /6, а для уравнения (21) — значениях у/а, ае* /6 и разных значениях б. Число параметров, характеризующих режим в реакторе в случае реакции нулевого порядка, равно двум: уе*/6 и б. На рис. 6 приведенные расчеты при уе** / <5 = 0,05.0,1:0,2;0,5;I показывают, что данная задача может иметь один или два стационарных режима, а при некоторых значениях параметров даже ни одного.

НАУЧНЫЙ МСТНИ* № 2 (90) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

При 5 = 2 из условия уе** /<5 = 0,1, выбрав у = 0,01, а 0^=2,996 с точностью до 0,001, получаем корни уравнения (16): 0.276 и zf = 2. Решая дважды задачу

Коши (12) с начальными условиями v,(l) = 3,272, va( 1) = 2.996 и v, (1) = 4,996, v2( 1) = 2.996, получаем два различных стационарных решения задачи (1), причем первое из них, соответствующее меньшему значению , совпадает с решением, полученным но разностной схеме (3) - (5).

Число параметров, характеризующих режим в реакторе в случае реакции первого порядка, равно трем: у/а, ае°* 16 и б- На рис. 7 приведены графики правой части уравнения (21) ири фиксированном значении параметра у/а = 10 и значениях выражения ае* /6 = 0.005; 0,000; 0,01; 0,03; 0,1; 0,5. Как и в первом случае, задача (2) имеет одно или два стационарных решения.

В работе численно исследуются две модели химического реактора в случае реакции первого и второго порядков. Приведенная схема нахождения количества и построенная процедура численного определения стационарных решений имеет практическое значе-ние для выбора устойчивых режимов работы химического реактора.

Библиографический список

1. Зеленнк. Т. И. Об устойчивости решений одной смешанной залечи/Т. И. Зеленяк//Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 171, No2. — С. 266 - 268.

2. Зеленяк, Т.И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения/Т.И. Зеленяк // Дифферонц. уравнепия. — 1967. — Т.3, Nel. — С. 19 — 29.

3. Лболння, В.Э. Смешанная задоча для почти линейной гиперболической системы на плоскости / В.Э. Аболиня. А.Д. Мышкис //Мат.сб. - 1960. —Т.50, №4. - С. 423-442.

4. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К.Гсуууноа — М.: Наука, 1979. — 392 с.

5. Воробьева. Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши

для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е. В. Воробьёва. Р. К. Романовский // Сиб. матем.

журнал. - 1998. - Т.39. N«6. - С. 1290- 1292.

6. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткнн. —

М.:Наука. 1978. -512с.

7. Методы моделирования каталитических процессов на аналоговых и цифровых вычислительных машинах / М. Г. Слинько (и др.]. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд., 1972. - 152 с.

8. Число и устойчивость стационарных режимов на непористом зерне катализатора для сложной реакции / М. Г.Слинько [и др.)//Доклады АН СССР. - 1972. - Т. 204, №б. -С. 1399-1402.

МАКАРОВА Ирина Дмитриевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Омского государственного технического университета.

МАКАРОВ Сергей Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой ма тематического моделирования Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского. Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 15.03.2010 г.

© И. Д. Макарова, С. Е. Макаров

Книжная полка

УДК 51

Галушкина, Ю. И. Конспект лекций по дискретной математике [Текст]: с упражнениями и контрол, работами/ Ю. И. Галушкина, А. Н. Марьямов. - М.: Айрис Пресс, 2007. - 173, [1] с.: рис. - (Высшее образование). — Библиогр.: с. 174. - 1SBN 978-5-8112-2599-6.

В книге в доступной форме изложены разделы, традиционно изучаемые в курсе дискретной математики. Книга рассчитана на студентов нема тематических вузов, желающих ознакомиться с методами дискретной математики. Математическая подготовка, необходимая для чтения этой книги, ограничивается программой математики средней школы.

Содержание разделов книги взаимно связано друг с другом и включает: элементы математической логики, теории множеств, предикатов, графов, элементы комбинаторики, кодирования и теории конечных автоматов, а также введение в теории алгоритмов.

Все разделы снабжены большим количеством примеров и решенных задач, помогающих усвоить и закрепить изучаемый материал.

УДК 51

Кузнецов, Л. А. Сборник заданий но высшей математике. Типовые расчеты (Текст!: учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов. - 9-е изд., стер. - СПб. |и др.]: Лань, 2007. -238, (1] с.: табл. - (Учебники для вузов. Специальная литература). — ІSBN 978-5-8114-0574-9.

Пособие содержит индивидуалыше задания для студентов технических вузов по курсу высшей математики (по 31 варианту в каждой задаче) и предназначено для обеспечения самостоятельной работы но освоению курса. Каждое задание содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть. Книга содержит раздел, посвященный уравнениям матема тической физики.