CC BY
39
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011
30
5. Губарев, В. В. Алгоритмы спектрального анализа случайных процессов [Текст] / В. В. Губарев. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2005. - 660 с.
ИОНОВ Борис Петрович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики». ИОНОВ Антон Борисович, кандидат технических на-
ук, старший преподаватель кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики».
МИРНАЯ Алёна Игоревна, магистрантка группы ФРМ - 619.
Адрес для переписки: 644050, пр. Мира, 11, antionov @шаП.ги, [email protected]
Статья поступила в редакцию 02.06.2011 г.
© Б. П. Ионов, А. Б. Ионов, А. И. Мирная
УДК 517.95+541.124 ». Д. МАКАРОВА
С. Е. МАКАРОВ
Омский государственный технический университет Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В ХИМИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ С КИПЯЩИМ СЛОЕМ КАТАЛИЗАТОРА
Рассмотрена начально-краевая задача, описывающая процесс в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора. Получены условия экспоненциальной устойчивости для данной задачи в терминах параметров слоя.
Ключевые слова: гиперболическая система, стационарное решение, реактор, устойчивость.
1. Введение
При математическом моделировании реакторов с кипящим слоем катализатора возникают начальнокраевые задачи для гиперболических систем [1]. В работах [2 — 5] изучалось поведение при большом времени решений задачи Коши для линейной гиперболической системы на плоскости — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — на основе построенного в [2, 6] аппарата матриц-функций Римана первого и второго рода, представляющих собой соответственно сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболиеской системы. В [7] получено достаточное условие экспоненциальной устойчивости решений задачи Коши для систем этого класса методом функционалов Ляпунова. В [8] этот результат распространен на смешанную задачу для почти линейной авто-номной гиперболической системы, встречающуюся в задачах акустики, теории упругости, химической кинетики [9—11]. В качестве приложения получен удобно проверяемый признак устойчивости стационарного режима в химическом реакторе.
Рассмотрим в полосе П= {(хД): 0 <х< 1, t>0} краевую задачу
Эи Эи . ,, . _
+ А(х) — + В(х)и + Дх, и) = 0,
от Эх
и(х,0) = Мх)
и + (0Д) = Г0и_(0Д), и_(1Д) = Ци + (1Д).
Здесь u : П ® Rn, f : [0,1] х Rn ® RN , h:[0,1]®RN матрицы A, B и векторы f, h0 — гладкие в своих областях определения,
А = diag(ai(x)Ii,K,an (х)!^
a1 > ••• > am > 0 > am+1 > ••• > a^
u + = (ui,K,um)*,u - = (um + 1,K,un), (2)
f| < c|u|2 (c = const > 0, |u| < R0),
Ik — единичная матрица порядка Nk, S Nt = N, ut — строка размера Nk, Г0, Г1 — постоянные матрицы соответствующих размеров. Здесь и далее |-| — евклидова норма в RN, * означает транспонирование. Предполагаются выполненными условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0),(0,1):
hk+(0)=r, hk*(0), hk%(1)=Г h/(1), k=0,1,
где обозначено hI=Ah0+Bh0+f(x,h0).
При указанных условиях имеет место локальная однозначная разрешимость краевой задачи (1) в классе гладких функций (см. [12]). Будем дополнительно предполагать: существует такое R е (0,R0], что при условии |h0| < R имеет место однозначная гладкая разрешимость задачи (1) во всей полосе П. В силу оценки (2) h0=0 u=0.
2. Признак экспоненциальной устойчивости
Обозначим Н линеал гладких функций Л:[0,1] ®
, 1 _ у/2
с нормой
2
0
dx I. При каждом t > 0 реше-
ние и(х^) задачи (1) — элемент Н. Будем говорить, что решение и=0 задачи (1) экспоненциально устойчиво, если существует такое 5 е (0,Я] , что
maxlhj < б ^ [0,1]
me
(t > 0) , (З)
= const > 0. Зафиксируем гладкую матрицу порядка N
G(x)=diag(GI Gn),
где блоки Gk имеют такие же размеры, как соответствующие блоки матрицы A в (2), и удовлетворяют условиям
Gk‘=Gk, mIIk d" Gkd" m2Ik (mj = const>0). (4)
Представим матрицы A, G в виде
A=diag(A+, A,,), G = diag(G + ,G„),
где A+, G+ имеют порядок Nt+...+Nm, и построим матрицы
F(x) = (GA)' - GB - B*G,
G - A - + roiG+A+г
oG+A+1 o /x = 0, F1 =(g+A + +r*G - A-Гі )x = і.
(5)
Теорема 1. Если существует матрица С(х) со свойствами (4) такая, что выполняются неравенства
F < —ml (m=const>0), F0 <0, FI >0,
(б)
то решение и=0 задачи (1) экспоненциально устойчиво.
Замечание. В работе [13] исследовалось устойчивость решений краевой задачи (1) первым методом Ляпунова. Получено достаточное условие экспоненциальной устойчивости в С1 — норме в терминах спе-
ктра оператора
A—+ B ax
3. Устойчивость стационарного режима в реакторе
Процесс в кипящем слое катализатора в химическом реакторе (в безразмерной форме) моделируется (см. [8, 9]) краевой задачей
1 d2C1
dC
1 + w(C1) - Nu(C1 - C2) = 0,
Pe dx2 dx
^ - Nu-pq (C1 - C2) = 0, dx
dC1
dx
dC1
dx
1 - q
= Pe(C1 - Co), C2|x=0
= 0.
x є [0,1],
= C0,
(7)
x = 1
Здесь индекс «1» относится к плотной фазе, индекс «2» - к пузырьковой. Параметр Рв=ЬУ1/В устанавливает соотношение между конвективным потоком вещества и продольным смешением в плотной фазе, У1 — скорость потока в плотной фазе, Ь —
высота слоя, Б — коэффициент диффузии слоя. Критерий межфазного обмена Ми=рЬ/У1 характеризует отношение потока реагентов между фазами и конвективного потока реагентов плотной фазы (Р —коэффициент межфазного обмена), ю (С1)=кС 1/ (1+ах), к>0, а > 0. Коэффициент д (0<д<1) определяет долю газа, идущую в плотной фазе. На выходе из слоя потоки из каждой фазы смешиваются и общая концентрация С определяется выражением С=дС1 + (1—д)С2. Запишем более общий нестационарный процесс, предварительно введя следующие обоз-
<}С.
начения: s = C1, y = C2, z
as as
— +--------------------z = 0,
at ax
dx (x, t) є П,
, v=Nu, w=q/(1—q),
ay ay
- vw(s - y) = 0,
at ax
az 1 az - +z - w(s) + v(s - у) = 0,
at Pe ax
(z - Pe • s)x =0 = Pe • C0, y|x=0 = C0 zlx=1 = 0, (s,y,z)t=0 = (so,yo,zo).
(8)
Г ГГ1 0 0 ГГ 0 0
A= ГГ0 1 0 1 Pe 0 , в = Г - wv wv
Г0 V 0- p - > -v
-1! 0 1
k(1 + a) (1 + ax)2
Pe
1
f = (0,0, w(u1))*
Гі = [0 0 ].
где
v 1 + л],
(v - 1) , v є (1 + л/2, 5 + 246)
Доказательство. Нетрудно убедиться с учетом 1) —
F = 1 - Pe < 0 3), (9), (10), что Fo = 2 < 0 при Pe > 1,
Гі 04 Pe
F1 =lo і|>0
Положим
G(x)
Г і -1 -1'! -11 0 -10 1
Здесь область П та же, что в (1). Ниже на основе результата пункта 2 получено достаточное условие существования стационарных решений в терминах параметров задачи.
Пусть вектор-функция т(х)=(г1,г2 г) — решение задачи (8). Вводя вектор отклонений и(х^)=^,у^)‘—г(х), приведем задачу (8) к виду (1), где и+=(и1,и2), и-=и3,
(9)
(lO)
Экспоненциальная устойчивость решения г(х) задачи (8) равносильна экспоненциальной устойчивости решения и=0 задачи (1) с данными (9), (10).
Теорема 2. Для экспоненциальной устойчивости решения и=0 задачи (1) с данными (9), (10) достаточно выполнение неравенств
1
ре > 1 — (3 - л/5) < < 1, >5
’ 4
(ll)
вычислим матрицу
vt
0
p
Г
0
б
x=0
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011
Г- 2p - 2wv + 2v 2wv - v p - v + 2^
F=
2wv - v p-v+2
- 2wv v-1
v-1
-4
Применяя к матрице преобразования подобия и используя критерий отрицательной определенности симметрической матрицы, после несложных вык-
ладок получим значения определителей: D
Д1 = -v < 0,
Д 2 = -v2(4w2 - 6w + 1) > 0
1 (3 )< w < 4(3 + V5)
Д3 = v2 + (p2 - 6p + 1)wv + (1 - p)v + p < 0
1 1 < 1 + -v/2, w >-----------------,
2
при
при
4
4v
1 + л/2 < v < 5 + 2л/в, w >
(v - 1)2
Вv
Тем самым, в силу теоремы 1 при условии (11) решение и=0 задачи (1) с данными (9), (10) экспоненциально устойчиво. Теорема доказана.
Библиографический список
1. Зеленяк, Т. И. Об устойчивости решений одной смешанной задачи / Т. И. Зеленяк // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 171, № 2. - С. 266-268.
2. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. — С. 577—580.
3. Романовский, Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Мат. сб. — 1987. — Т. 133, № 3. — С. 341 — 355.
4. Романовский, Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. —Киев : ИМ АН УССР, 1987. — С. 47 — 52.
5. Романовский, Р. К. Усреднение гиперболических уравнений / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 306, № 2. — С. 286 — 289.
6. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Мат. сб. — 1985. — Т. 127, № 4. — С. 494 — 501.
7. Воробьёва, Е. В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. матем. журнал. — 1998. — Т. 39, № 6. — С. 1290 — 1292.
8. Романовский, Р. К. Об устойчивости решений смешанной задачи для гиперболической системы на плоскости / Р. К. Романовский, Е. В. Воробьева, И. Д. Макарова // Докл. СО АН ВШ. — 2001. — № 2. — С. 31—37.
9. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. — М. : Наука, 1979. — 392 с.
10. Шеплев, В. С. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора / В. С. Шеплев, В. Д. Мещеряков // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск : Наука, 1984. — С. 44 — 65.
11. Иванов, Е. А. Управление процессом в реакторе с псев-
доожиженным слоем / Е. А. Иванов // Математическое моделирование химических реакторов. — Новосибирск : Наука,
1984. — С. 116 — 127.
12. Аболиня, В. Э. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости / В. Э. Аболиня, А Д. Мыттт-кис // Мат. сб. — 1960. — Т. 50, № 4. — С. 423 — 442.
13. Елтышева, Н. А. К вопросу об устойчивости стационарных решений некоторых гиперболических систем / Н. А. Елтышева // Докл. АН СССР. — 1986. — Т. 289, № 1. — С. 30 — 32.
МАКАРОВА Ирина Дмитриевна, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры высшей математики Омского государственного технического университета.
МАКАРОВ Сергей Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент (Россия), заведующий кафедрой математического моделирования Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского.
Адрес для переписки: e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 22.06.2011 г.
© И. Д. Макарова, С. Е. Макаров
Книжная полка
51/А90
Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы : учеб. пособие / М. О. Асанов, В. А. Баранский, В. В. Расин. - 2-е изд., испр. и доп. - СПб. [и др.] : Лань, 2010. - 362 с. - 1БВЫ 978-5-8114-1068-2.
В учебном пособии изложен ряд основных разделов теории графов и матроидов. Рассмотрены алгоритмы дискретной оптимизации на сетях и графах, наиболее часто используемые программистами.
51/К65
Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах : учеб. пособие для вузов по направлениям 510000 «Естественные науки и математика», 550000 «Технические науки», 540000 «Педагогические науки»/ Н. В. Копченова, И. А. Марон. - 3-е изд., стер. - СПб. [и др.] : Лань, 2009. - 366 с. -1БВЫ 978-5-8114-0801-6.
Учебное пособие представляет собой руководство к решению задач по вычислительной математике. В книге содержатся сведения о правилах приближенных вычислений, вычислений значений функций, приближенном решении систем линейных и нелинейных уравнений, интерполировании, приближенном дифференцировании и интегрировании, приближенном решении дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), приближенном решении интегральных уравнений. Все параграфы содержат краткие теоретические сведения, подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Для большинства таких задач приведены ответы.
