CC BY
14
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003. №2. С. 16-18.
© Омский государственный университет УДК 517.95+541.124
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В ХИМИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ С КИПЯЩИМ СЛОЕМ КАТАЛИЗАТОРА
И.Д. Макарова
Омский государственный технический университет, кафедра высшей математики
644050, Омск, пр. Мира, 11
Получена 12 февраля 2003 г.
The article considers the boundary value problem, simulating the process in chemical reactor with the boiling layer of catalyst. The conditions of existence of stationary solutions are established. Analysis of stability of boundary value problem solution is carried out by method of Lyapunov functionals. Sufficient stability condition in terms of parameters of the layer is gained.
Моделирование процессов в химических реакторах в ряде случаев приводит к краевым задачам для гиперболических уравнений [1—5]. В частности, процесс в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) моделируется [1] смешанной задачей для почти линейной гиперболической системы на плоскости:
9С 9С м ™ в
Ж + ^ = " '
4М
ддг Ht ~
С L=o
ддг дх
= 0, (в — 9Г)Х=0
= 6(6 - вг
(x,t)e п,
о,
(1)
0г\х=1 = 00, (С, 6г)(=о заданы.
Здесь П - полуполоса (0,1) х (0,оо), 9, 9Г - температура в реакторе и холодильнике, С - концентрация реагирующего вещества, а, /?, 7, 6, во - постоянные, из них первые четыре -положительны, начальные функции - гладкие и удовлетворяют условиям согласования нулевого и первого порядков.
В данной работе доказано существование хотя бы одного стационарного решения задачи (1) и установлено прямым методом Ляпунова достаточное условие экспоненциальной устойчивости в Ь-2 - норме стационарного решения (вариант этого метода применительно к указанному классу краевых задач см. в [5]). Попутно предложена численная процедура построения стационарных решений.
Теорема 1. Для существования хотя бы одного стационарного решения краевой задачи (1) достаточно выполнение неравенства
г °
S < -.
7
(2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (~,г>ьг>2)- стационарное решение задачи(1):
^ = 7(1 - ф1'1 - <5(г>1 - г>2), ^г- = - г'з),
ах ах
,~(0)=0, гч(0) =г.2(0), г>2(1) = в0.
Ввиду очевидного равенства V\ — г'2 = эта задача приводится к виду
( ^ = o¡{l-z)elz/aev\
/ 7 S
V-2 =--
а
z( 0) = 0, г>2(1) = в0.
(3)
Очевидно, з(1) 6 [0,1]. Далее будем требовать: з(1) < 1. Выполняя в (3) замену V = е1'2 и обозначая £ = з(1), приходим к краевой задаче
( % = а(1 - z)elг/av, V = V > 0,
л а
I ~(0) = 0, 5(1) 6 [0,1), г>(1) = ев°,
эквивалентной, в свою очередь, краевой задаче на [0,е] с неизвестными £ :
dv dz
7<5 ze
"7 г/с
dx dz
-7 г/с
Q'2 l — z ' d,z Q'(l — z)v'
v{z) > 0, v(t) = e t € [0,1) ж(0) = 0, x(s) = 1.
Об устойчивости стационарных режимов
17
Задача (4) представляет собой подкласс краевых задач со свободной границей. Покажем, что она разрешима. Нетрудно убедиться, что функция
v(z) = + ^ сг
-7 s/o
1-S
-ds, z G [0,¡г)
(5)
удовлетворяет первому уравнению (4); очевидно, > 0. Подставляя (5) во второе уравнение (4) и интегрируя с учетом второго краевого условия (4), найдем
x(z) = -
1 Г e-"<sla
a J (1 — s)v(s о
-ds, z G [0,t).
(6)
Из выполненного построения следует: при каждом £ 6 [0,1) пара функций (5),(6) удовлетворяет всем соотношениям (4), кроме, быть может, третьего краевого условия. Для завершения доказательства разрешимости задачи (4) достаточно показать: при условии (2) существует £ 6 [0,1), при котором выполняется и это условие:
Ще)
1
а
а--1~/о
(1 — z)v(z,£
-dz = 1.
(7)
Нетрудно убедиться:
lim Ще) > — > 1 ?Т1 7<5
с учетом (2). Так как Э(0) = 0 и <s(s) непрерывна на [0,1), отсюда следует требуемое. Теорема доказана.
Отметим, что изложенное доказательство содержит процедуру решения задачи (4): параметр е может быть найден численно из уравнения (7), после чего функции г>(z),x(z) находятся по формулам (5), (6).
Замена и = («о, ('ь u-i)* = {С — z, 9 — i'i, 9r — г'г)* приводит краевую задачу (1) к виду
9и ,, ч ди „, ч — + А(х) — + В(х)и + f(x, и) = 0,
«(.т,0) = ho(x), «_|_(0,i) = Го«— (0,i), u_(M) = Tru+(l,t), (x,t) £ П,
где А = diag(l, ß 1, —1), f = (aw,jw,0)*
w = («о - 1)ег11 - evi ((z - l) «i + u0),
°V1 —Q'(l — z)evi 0 \
(8)
B=
/ ae ß-^/e1'1
V о
ß-^-'it) -iß"1
«o «i
, u- = U-2, Г0 =
,Ti = (0 0).
Будем говорить, что стационарное решение задачи (1) экспоненциально устойчиво в Lo-норме, если существует такое S > 0, что для решений u(x,t) задачи (8) таких, что |«(.т,0)| < <5 при х G [0,1], выполняется оценка
||u(.T,i)|| < fj£~vt\\ll(x, 0)1 (t > 0, ¡1, v = const > 0), 1
где ||'«(.T,i) || = (f lu(x,t)j2dx)1/'2 . о
Из результатов работы [5] следует: для экспоненциальной устойчивости в Lo-норме достаточно, чтобы существовала гладкая матрица
G(x) = diag(g0(x),g1(x),g2(x)),
удовлетворяющая неравенствам
mil < G < т21,
F0 = + Г*С+Л+Г0)ж=0 < 0,
Fi = (G+A+ + Г^_Л_Г1)Я=1 > 0, (9) F{x) = (GA)' -GB- B*G < — ml, (m, mi, m-2 = const >0),
A
где I - единичная матрица третьего порядка, 1 0 \ { до 0
0 Г1 J' + V 0 Л
A- =-l,G_ =52.
Теорема 2. Для экспоненциальной устойчивости в L2-норме стационарного решения краевой задачи (1) достаточно выполнение неравенства
6< (10)
Отметим, что из (10) следует условие (2) существования стационарного решения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим
G(x) = diag(g0(x),pg(x),l).
Выберем элементы д, дд матрицы G(x) из условий:
/ 27 /
5 Н--^ 5 = ~sgS, д(0) = 1,
а
Q'(l - z)g0 - 75 = 0,
где s = const > 0, подлежащая уточнению. Получим
а - „ - 75
д — е ° , до —
Q'(l — z)
(И)
Тогда для матриц F, Fq, Fi в (9) имеют место формулы
7 0 0 \
-F=S 0 (s + 2)g -(5 + 1)
0 "(5+1) 2
18
И.Д. Макарова.
Л)= 0, *\ = <йа5(5о( 1),5(1)).
Ввиду того что > 0, для выполнения всех условий (9) достаточно, чтобы выполнялось со-
отношение
Д :
(5 + 2)5 "(5+1) "(5+1) 2
> сопвг > 0. (12)
Нетрудно убедиться в справедливости равенства
А=(Х1-д)(д-Х2), Х1:2 = з + 1 ± у/£ + 2в.
Имеем \\ — д > \\ — д{0) = Лг — 1 > 0. С учетом 9 > 5(1) = е-'2-'6/«-53 > получим
д-\,_> е-ёя(е-'2"'1а - ф(з)), ф(з) = е*'\2(з).
Функция ф(з) имеет на полуоси в > 0 единственный минимум в точке «о = \/1 + <5~2 — 1. Полагая в (11) « = «о и требуя выполнения неравенства
е-'2"',а > (13)
мы обеспечим выполнение требуемого неравенства (12) оптимальным образом: при минимальных ограничениях на параметры задачи (1). Условие (10) в формулировке теоремы 2 получено из (13) заменой ф(зо) близким числом еб/2 > ф(зо) и является достаточным условием экспоненциальной устойчивости, близким к оптимальному. Теорема доказана.
[1] Зеленяк Т. И. К вопросу об устойчивости решений смешанных задач для одного квазилинейного уравнения//Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №1. С.19-29.
[2] Шеплев В. С., Мещеряков В. Д. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора// Математическое моделирование химических реакторов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1984. С.44-65.
[3] Иванов Е.А. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем//Там же. С. 116-127.
[4] Акрамов Т.А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов //Математическое моделирование каталитических реакторов. Новосибирск: Наука, 1989. С. 195-214.
[5] Романовский Р.К., Воробьева Е.В., Макарова И.Д. Об устойчивости решений смешанных
задач для гиперболической системы на плоскости//Доклады СО АН ВШ. 2001. №2. С.31-37.
