W12 устойчивость решения смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы с двумя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. IGG7. № I. С. I5-3G.

УДК 5i7.95 И.Д. Макарова

Омский государственный технический университет

W -УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЧТИ ЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

The article considers the boundary value problem, simulating the process in chemical reactor with the boiling layer of catalyst. Analysis of stability of boundary value problem solution for the hyperbolic equation system is carried out by method of Lyapunov functionals. Sufficient stability condition in terms of parameters of the layer is gained in W\ - norm.

§ 1. Смешанная задача для почти линейной автономной гиперболической системы на плоскости

1. Все рассматриваемые в работе величины вещественны. Если /(и)- гладкая вектор-функция от их,...,ит :

f (u) =

fi (ui, • • • Um ) fn (.Ui,„Um )

то по определению f '(u) - матрица

Г df. Л f Xu) = дт , f "(u) = (f \ (U)), f "(u) = Vduk J

rd2fi (u) Л

V duk dui J

i = i, ...n.

k,l = i,...,m. Если при этом u = u(t) - гладкая функция ют место формулы

то име-

df , d 2f , ,

----= f • U , —— = u ■ fu ■ u =

dt u dt2 u

u* ■ (fi)'u ■u'

u* ■ (f ) ■U'

m'u

U ' = [Ui,„,Um\*

Здесь и далее * означает транспонирование. Далее I /1 - евклидова норма вектора / : 1 /|= V/*/ , так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

© И.Д. Макарова, 2007

2. Рассмотрим в полуполосе П = [0,1] х [0, да) краевую задачу

— + A( x)— + B( x)u + f (x, и) = 0

dt cx

(1)

(2)

(3)

с начальным условием

и( х, 0) = К0( х) и граничными условиями

и+ (0, t) = [0и_ + е(и_

и_ (1, t) = [и+ + 8 (и+

Здесь А, В - матрицы порядка N, А, В е С1 [0,1], А = diag(а (х)/1,..., ап (х) 1п),

а1 > ••• > ат > 0 > ат+1 > ••• > ап ,

1к - единичная матрица порядка Nk, ^ Nk = N, Р0, Р1 - постоянные матрицы размеров N+ х N_, N_x N+, N+ = N +-------------+ Nm,

^= Nт+1 + - + К,

и =

и1 и+ и1 ит+1

ип ] и- , и+ = и m , и- = ип ]

столбец размера Nk

f1 h01 '1 s

f = fn , h0 = h0m , 5 = 5m , S = s n-m

(здесь аналогично /к - столбец размера

Nk и т. д.)>

/ е С1([0,1] х МN), Щ е С1([0,1]),

£е С'(Мп-т), 8 е С'(Мт),

при этом

/(х,и) = о(\ и |), | и \^ 0,

£(и_) = о(\ и_ \), \ и_ \^ 0,

8(и+) = о(\ и+ \), \ и+ \^ 0. Предполагаются выполненными условия согласования граничных и начальных данных в точках (0,0), (1,0): условия нулевого порядка

где Щ = -[ АЩ + ВЩ + / (х, К0)].

Равенства (5) получаются дифференцированием равенств (3) по t, заменой в

левых частях [и(]| = [-Аих + Ви + / ]| и

предельным переходом при t ^ 0.

Из результатов работ [1-4] следует, что указанные выше условия гарантируют локальную однозначную разрешимость краевой задачи (1)-(5) в классе С1: при некотором t0 > 0 существует точно одно решение краевой задачи (1)-(5) в прямоугольнике П0 = [0,1] х [0, t0] в классе С'(П0).

3. Если данные удовлетворяют дополнительным условиям гладкости В е С1[0,1], / е С2 ([0,1] х МN), Щ е С2 ([0,1]), £е С2[Мп-т], 8 е С2[

и выполняются условия второго порядка

К (0) = [(Р0 + 8и_ К ))К- + (К- ))К1

К- (1) = [(+ 8+ К ))К+ + К88 (К ))А+ ]|х=1, (7)

Щ =-[ АЩ +(В + А ')К +В' К + />, К) + /„( х, И0)И1] (получаемые аналогично (5) двукратным дифференцированием равенств (3) по t с использованием формул п.1 этого парами

графа, формулы для — из уравнения (1),

m ] (6) согласования

dt

вытекающей из нее формулы для и

д 2и ~д?

К (1, t) = [ Ph + 5( h+) ]

условия первого порядка

h+ (0, t) = [(Po +£'(h-0 ))h-]

h- (1, t) = [(P + 5'(h0 )) h+] =i, (5)

предельного перехода при t ^ 0), то имеет место локальная однозначная разрешимость краевой задачи (1) -(5) в классе

C2, это также следует из [1].

Далее дополнительно предполагается: решения, начинающиеся достаточно близко от нуля: max | h0|< s0 при некотором

s00 > 0 - продолжаются в полуполосу П .

§ 2. Лемма о симметрической блок-матрице

Пусть вещественная симметрическая матрица F представлена в блочном виде

a = a, b = b.

Лемма

(I) Для того, чтобы матрица F была положительно определена: F > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенств

-1 x=0 a b

? x=1 (4) F = b" c

и

k

с > 0, а - Ъс1Ъ* > 0. (8)

(II) Для того, чтобы матрица Р была неотрицательно определена: Р > 0, достаточно выполнение неравенств

с > 0, а - Ъс~1Ъ* > 0. (9)

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму

д(х у) = /*р/, / = х I у _

где размеры столбцов х, у равны порядкам матриц соответственно а, Ъ . При условии с > 0 справедлива формула

д(х,у) =\ д \2 +х*(а - Ъс^Ъ*)х, g = с 2Ъ*х + с2у, (10) 1

где с2 - положительно определенный

квадратный корень из с . В самом деле, имеем

-1 1 -1 1 \ g \2 = g*g = (х*Ъс 2 + у"с2)(с 2Ъ*х + с2у) =

= х Ъс~1Ъ х + х Ъу + у Ъ х + у су, откуда следует

^\2 + х* (а - Ъс-1Ъ*) х = .

Пусть выполнены условия (8). В этой ситуации из (10) следует:

х Ф 0 ^ д(х, у) > х* (а - Ъс-1Ъ*)х > 0;

х = 01 *

^ д( х, у) = усу > 0.

у Ф 0]

Тем самым из (8) следует Р > 0 . Обратно, пусть Р > 0 . Тогда при любом у Ф 0 д(0, у) = у су > 0, откуда следует

с > 0 . Из формулы (10) для квадратичной формы вытекает: при любом х Ф 0

д(х, -счЪ*х) = х* (а - ЪсЧЪ*)х > 0,

откуда следует а - Ъс~1Ъ > 0. Тем самым из неравенства Р > 0 вытекают соотношения (8).

Первое утверждение леммы доказано. Второе утверждение леммы сразу следует из (9), (10). Лемма доказана.

§ 3. Признак экспоненциальной устойчивости в I,-, -норме

Будем рассматривать краевую задачу (1)-(5) при условиях, указанных в п. 2 § 1, тогда имеет место однозначная разрешимость задачи в классе С1. Из условий на векторы /,е,8 следует, в частности, что

начальной функции К0 = 0 отвечает решение и = 0.

Обозначим кратко Н - гильбертово пространство 12([0,1] ^ М14), ||-||- норму в Н:

г|| = I 11 h |2 dx

1

Л 2

M - многообразие в H, состоящее из функций h е C1 [0,1], удовлетворяющих условиям (4), (5) с заменой И± на h± . Ограничения решения и (x, t) краевой задачи (1) -

(5) на горизонтали t=const - элементы M .

Будем говорить, что решение и = 0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в L2 -норме, если существуют такие числа r > 0, ju > 0, v > 0, что для решений и(x,t), удовлетворяющих условию max | h01< r, верна оценка

||и(x, t)|| < Ue V |h()||, t > 0. (11)

Зафиксируем матрицу

G = diag(G1,...,Gn) е C'[0,1] (12)

с диагональными блоками порядков N1,..., Nn со свойствами

Gk = Gk, Gk > 0 k = I-.n. (13)

Представим матрицы A,G в виде

A = diag (A+, A ), G = diag (G+, G-), где A+, G+ имеют порядок N+, A , G — порядок N-, и построим матрицы F (x) = (GA)'— GB — B * G,

F0 = (G— A— + P0 G+ A+ P0) x=0, (14)

F1 = (G+ A+ + P; G— A— P) x=1.

Теорема 1. [5] Если существует

матрица G(x) со свойствами (11), (12) такая, что выполняются неравенства

F < 0, F0 < 0, F > 0, (15)

то решение и = 0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в L2 -норме.

§ 4. Признак экспоненциальной устойчивости в W"2 -норме

Пусть данные в (1) удовлетворяют дополнительным условиям гладкости (6) и выполняются условия согласования второго порядка (7), тогда имеет место однозначная разрешимость краевой задачи (1)-(5) в

классе С2. Обозначим ИА пространство Со-

болева Ж,1 ([0,1] ^ МN), |||А - норму в И1:

\Щ^ = (}(!ьI2 + \ь'|2)^х

1

Л 2

М1 - многообразие в И1, состоящее из функций Ь є С2 [0,1], удовлетворяющих условиям (4), (5) с заменой И± (Ь0)± на Ьг (Ь )± . Ограничения решения и(х,ґ) краевой задачи (1)-(5) на горизонтали 1=СОП8І - элементы Ш1.

Будем говорить, что решение и = 0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциально устойчиво в Ж1 -норме, если существуют такие числа г > 0, и > 0, V > 0, что для решений и (х, ґ), удовлетворяющих условию тах \ Ь0 \< г, верна оценка

І|и(X,0| ^ Ь|, ґ > 0.

Зафиксируем гладкие матрицы Г0, Г1, Г2 порядка N , имеющие такую же блочно-диагональную структуру, как матрица А:

Г = diag(Ги,...,Г^) є С1[0,1], к = 0,1,2 (16) с диагональными блоками порядков N1,., Nn, и такие, что выполняется неравенство

Г( х) =

Г Г 1 1 1 0

Г* Г 1 0 1 2

> 0, х є [0,1].

(17)

Очевидно, АГк =ГкА, АГ^ = Г А. Представим аналогично § 3 матрицы А, Гк, В в виде

А = diag (А+, А-), Г к = diag (Г+, Г-), В =

с диагональными блоками порядков N+, N_ . Построим матрицы

Ф( х) =

Фіі

Фа*2

Фі2

Ф22

Ф 0 =

Ф11 Ф12

0* 0

Фі2 Ф„

Ф1 =

Ф Ф

ф2

Ф

(18)

где

Ф2 = (Г0А)•-Г0(В + А') -ВГ0 -ВТ2, ф22 = (Г2А)'-Г2(В + А') - (В + А')*Г2,

Фф = [(Г1 А)- - р(Г1 А)+ Р0 + р(Г0А)+ +

+Д* (Г0 А)+ Р0 + Р* (Г2А)+ Р) ]х=0,

Ф02 = [(Г0А)_ + Р* (Г 0 А)+ 0О + Д*(Г2А)+ Шх=0, ф0 = [(Г 2 А)-+ 0*(Г 2 А)+ б0]х=0, (19)

ф11 = [(Г А)+ + Р1*(Г 1 А)-р + Р.*(Г0А)_ Д +

+Ді*(Г0 А)- р + Ді*(Г2 А)- Ді]х=і,

ФІ2 = [(Г0 А)+ + РХА)- 01 + Ді*(Г 2 А)-ай, ф!2 = [(Г 2 А)+ + 01* (Г 2 А)-01 ]х=1,

00 = А+-1[(Р0В21 - ВАі)Р0 + р0В22 - В12 ], = А-А-,

01 = А--1[(рВі2 - В22)р + рВп - В2і], Д = А-А+,

(ГкА)+ =Г+А+, (ГкА)- =Г-А-. Нетрудно убедиться, что матрицы (18) симметриче-

ские.

Теорема 2. Если при дополнительных условиях гладкости (6) и условиях согласования (7) существуют матрицыы Г0,Г,Г2 со свойствами (16), (17) такие, что выполняются неравенства Ф22 < 0, Ф\ — ф12ф22ф12 < 0, фф < 0, ф0 -Ф02*(Ф202)-1 Ф102 ^ 0, (20)

ф22 >0, ф11 -ф,2(ф2)-1ф ^0

Тогда решение и=0 краевой задачи (1)-(5) экспоненциал,ьно устойчиво в W21 -норме.

Доказательство. Введем в (1) новый фазовый вектор

ВАА В12

1 ии 1

_В2А В22 _

, ди ' ди+ ' ди_

и =—, и+ =—-, и =---------------------

дґ дґ - дґ

Фа = (Га А)'- ГіВ - В Гі - Г0В'- В *Г*0

Присоединяя к первым двум равенствам (1) равенства, получаемые из них дифференцированием по х, получим:

(21)

(22)

( д "А 0" д 0 Л и

— +

1* 0 А дх В' В + А' и'

+/(х, и, и') = 0,

и - ,

= Ь(х) є С\

/ є С1, / = о(| и | +1 и' |) при | и | +1 и' 0.

Дифференцируя последние два ра-

венства по ґ, подставляя значения

ди+

~дГ

ди

, вычисленные из уравнения (1), выражая отсюда и+(0, ^) через и_(0, ^) и и_(1, ^) через и+(1, ^) и присоединяя полученные равенства к граничным условиям

(1), найдем

(

Р0 0

Я О0

\

+ є (и_, и_)

У х=0

и _ ( Г Р 0 " и + Л

и' х=1 V 1 _ Я Ql _ и' + 8(и+, и+)

(23)

Ух=1

где ,Як _ матрицы (19), £ = о(| и | +1 и '|) при | и | +1 и '|^ 0, 5 = о(| и | +1 и '|) при | и | +1 и' |^ 0, £, 5 е С1. Экспоненциальная устойчивость в Ж,1 -норме решения и=0 краевой задачи (1) с условиями согласования (4), (5) равносильно экспоненциальной устойчивости в Ь2 -норме решения

(и,и ')* = (0,0)* краевой задачи (21), (22) при условиях согласования (4), (5), (7).

Приведем краевую задачу (21)-(22) к виду (1). Построим матрицу

I 8 2 І_11І+1, І _ нечетное, т = %і ґі = \8 2 . (24)

' ' 8,2(і_п)І^ І_ ЧЄТН0Є.

8^ _ символ Кронекера, Ік _ единичная

матрица порядка Ык. Нетрудно убедиться, что каждая строка и каждый столбец матриц т содержит точно одну единицу, остальные элементы равны нулю, поэтому, в частности, матрица Т ортогональна:

Т * = Т Л Вычисления дают:

(25)

Т

Т

и

и' V_

А 0 "

Т *

0 А

, V =

и1+ и , т+1

и1+ , V, = ит+1

и+т и_

ит _ л _

Т = А = diag ЦІЇ,..., апІп), (26)

где Ік _ единичная матрица порядка Ык,

ТГТ* = С = diag (Ої,..., Оп) (27)

с диагональными блоками порядков 2Ы1,...2Ып со свойствами (13). Выполняя замену фазового вектора по формуле

V = Т

приведем краевую задачу (21)-(22) к виду

дv дv

+ А — + Bv + ТГ (х, V) = 0,

дґ дх

Ч=о=Тк( х),

|х=0 = (P0V_+ Т0^?(V_ ))х=0 ,

V_ їх=1 = (P1V+ + Т18(V+ ))х= ^

(28)

где

В = т

В 0 Г р0 0 '

Т*, Р0 = Т0 0

В' В + А' 5 0 0 _ Я Оо _

Т

-1 п

Р = Т 11 21

Р о

Т

(29)

_ К1 а.

Т0,Т1 _матрицы порядков 2N ,2N с элементами, вычисляемыми по формуле (24), функции Т/, Т0£, Т15 удовлетворяют таким же условиям малости, как функции / ,8,5

в (1).

Построим матрицы ¥ (х), ¥0, ¥1 по формулам (14) с заменой матриц А, G, В, Р0, Р1 матрицами (26), (27), (29). Вычисления дают: матрицы ¥, ¥0, ¥1 связаны с матрицами (18) соотношениями Ф (х) = Т * ¥ (х)Т, Ф 0 = Т*¥0Т0, Ф1 = Т1 ¥1Т1.

Применяя теорему 1 § 3, получим: для того чтобы решение и=0 краевой задачи (28) было экспоненциально устойчиво в Ь2 -норме, или, что равносильно, чтобы решение и=0 краевой задачи (1) было экс-

поненциально устойчиво в Ж21 -норме, достаточно выполнение неравенств Ф(х) < 0 на [0,1], Ф0 < 0, Ф1 > 0.

В силу леммы § 2 для этого достаточно выполнение неравенств (20) для элементов матриц Ф(х), Ф0, Ф1. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сб. 1960. Т. 50. № 4. С. 423442.

[2] Зеленяк Т.И. К вопросу об устойчивости реше-

ний смешанных задач для одного квазилинейного уравнения // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. № 1. С. 19-29.

[3] Елтышева Н.А. О качественных свойствах ре-

шений некоторых гиперболических систем на

плоскости // Мат. сб. 1988. Т. 135. № 2 С. 186209.

[4] Лаврентьев М.М.(мл.), Люлько Н.А. Повышение

гладкости решений некоторых гиперболических задач // Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38. № 1. С. 109-124.

[5] Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сиб. матем. журнал. 1998. Т. 39. № 6. С. 1290-1292.

[6] Романовский Р. К., Воробьева Е.В., Макарова И.Д.

Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Сиб. журн. индустр.математики. 2003. Т. 6. № 1. С. 118-124.

[7] Макарова И.Д. Об Ж,1 _ устойчивости стацио-

нарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка // Доклады АН ВШ РФ. 2004. № 1. С. 20-27.