Внутреннее оснащение специального семейства гиперплоских элементовс огибающей поверхностью центров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

А. В. Кулешов

ВНУТРЕННЕЕ ОСНАЩЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОГО СЕМЕЙСТВА ГИПЕРПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С ОГИБАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЦЕНТРОВ

В многомерном проективном пространстве рассматривается семейство гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров. Ставится задача построения инвариантного оснащения данного семейства внутренним образом. Эта задача решается в особом случае, характеризующемся обращением в нуль некоторого тензора. Решение основано на методе подвижного репера и исчислении внешних дифференциальных форм Э. Картона.

In multidimensional projective space a family of hyperplane elements with envelope surface of centers is considered. The problem of construction of invariant clothing intrinsically attached to such a family intrinsically is set. This problem is solved in a special case characterized by vanishing of a certain tensor.

The solution is based on the method of moving frames and calculation of exterior differential forms of E. Cartan.

Ключевые слова: проективное пространство, гиперплоский элемент, оснащение, подвижной репер, метод внешних форм.

Key words: projective space, hyperplane element, clothing, moving frame, exterior forms method.

Введение

Одна из основных задач дифференциальной геометрии многообразий, погруженных в проективное пространство, — построение внутренних оснащений. Эта задача решена лишь в ряде конкретных случаев. Так, Г. Ф. Лаптев в работе [3] внутренним образом построил оснащение (называемое нормализацией) невырожденной гиперповерхности в проективном пространстве. Аналогичный результат для гиперполос получил А. В. Столяров [5], показав, что внутренняя нормализация регулярной гиперполосы порождается ее 3-й дифференциальной окрестностью. Оба многообразия являются примерами семейств гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров. Поэтому приобретает актуальность задача распространения указанных выше результатов на случай произвольного семейства данного вида. Ее удалось решить в особом случае, характеризующемся обращением в нуль некоторого тензора. Это решение и представлено в настоящей работе. Оно основано на методе подвижного репера Э. Кар-тана, опирающемся на исчисление внешних дифференциальных форм (см., напр., [6]). В рамках этого метода производится аналитическая канонизация репера, основанная на систематическом применении леммы Н. М. Остиану [4].

© Кулешов А. В., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 64—68.

1. Уравнения семейства Бр+ц

Пусть Рм — Л/-мерI те проективное пространство (N^4). Гиперпло-ский элемент пространства Р1Ч [1] — пара _1 = _1, С), где 1К_1 — ги-

перплоскость; С — точка, лежащая в _1 (это центр элемента _1).

Семейством гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров Бр+ц [2] будем называть гладкое семейство гиперплоских элементов,

удовлетворяющее следующим двум условиям.

1. Центр С элемента _1 описывает р-мерную поверхность Бр (р < N _ 2), и касательная плоскость Тр (С) к поверхности в С лежит в

плоскости Lп_1 каждого элемента Lп_1, имеющего С своим центром.

2. Каждая точка С поверхности Бр является центром гладкой (/-параметрической связки В9(С) элементов семейства, ще 1 ^ ^ < N - р -1.

Замечание. Поверхность Бр — р-мерная огибающая плоскостей Бр+ц. С каждым элементом LN_г е Бр+ инвариантно связана его характеристическая г-плоскость ¥т (г = N — р — ц — 1), лежащая в нем вместе со своей первой дифференциальной окрестностью. Семейство регулярно, если ¥г пересекается с касательной плоскостью Тр (С) по центру этого элемента. Далее будем рассматривать лишь регулярные семейства. Следуя [2], дадим аналитическое описание семейства Бр+ц. Отнесем

PN к подвижному реперу {А, А1,..., AN} с деривационными формулами

йА = 9А + а1А1, йА1 = 9А1 +(й,1А, + агА, I,],-■■ =

где 9 — множитель пропорциональности, а формы а1, , а1 проек-

тивной группы ОРN) удовлетворяют уравнениям Э. Картана [7, с. 121] Оа1 = ак ла], Оа1 = лак, Оа1] = а] ла] + ак л(-5^ак _5!к®J).

Разобьем индекс I на четыре серии: I = {', и, у, N}, причем

г, ],... = 1, р; и,V,... = р +1,р + ц; у,%,... = р + ц +1,N_ 1.

Над Бр+ц как над базой возникает расслоение проективных реперов, адаптированных семейству так, что каждый репер {А, А1, Аи, Ау, AN}, принадлежащий слою над LN-1 = (1^_1,С), удовлетворяет А = С, А еТр(С), Аи е LN_г, Ау е ¥г (1^ы_х). Уравнения Бр+ц в адаптированном репере

аи = 0, ау = 0, аN = 0, а'^ = 0, аи = Лиц9 ’, ау = Луц9 ’, а* = ANj 9 ’, аи = 9> +Аи^9^ , ау = ЛУ9> + А^9ки ,

где 9' =а', 9^1 =а1^ являются базисными формами семейства, определяющими смещение текущего элемента LN _1, а совокупность функций Л1 = {Л“, АУ, Л1N, Аиу', А^1Я, А^, А^} образует фундаментальный объект 1-го порядка многообразия Бр+ц, причем Ли = Лиг, Лу = Луг, Л1^! = Л^.

66

Уравнения на компоненты этого объекта запишем в виде сравнений по модулю базисных форм:

АЛ, +ЛNraUN - 0, АЛУу +Лraf +ЛNraУN - 0, AAN - 0, АЛ;-Л)©) - 0, АЛ) - 0, (1.1) АЛУ + Л.ra'u-Л)®Nj -Ъ)ray - 0, АЛ) +Лffra[ - 0, (1.2)

где, например, АЛ) = d^^ + ЛІ.raN -Л)rak -Л1raj, а формы ©N имеют вид ©N =-ANira,U. Из этих сравнений, в частности, видно, что подобъекты {Л)} и {Л”)} объекта Л1 являются тензорами в смысле [3]. В силу регулярности семейства Bp+q тензор Л1. является невырожденным, то есть

Л = det||ЛІ|| ф 0. (1.3)

При этом можно ввести в рассмотрение обращенный тензор VN,

компонентні которого образуют матрицу, обратную к ||л^||: VfЛ) = Ъj. Уравнения на тензоры Л) и Vf имеют соответственно вид

ал) = лN 0k-лN 0N, V= -VNkVNm Лm 0l + VNkVNm лukm0N. (1.4)

Продолжая уравнения (1.4) на Л), получим сравнения на :

AANk - 3ЛN!Л-БraN - 3Лff.ra k)-ЗЛ^Л)^ - 0. (1.5)

2. Специальное семейство Bp+q

1 1 1

Рассмотрим объекгы лі = -, ЛN = -лу,у1, лk = —-^VN,

p p 1 p + 2

Dn =Лn - 3ЛNЛ D = DNVij D = VijDD

^ijk 1Vijk 01 V(NVk)' ^k ijk N; N N i j *

Сравнения на них в^гтекают из (1.4), (1.5) и имеют вид

АЛN +raN - 0, АЛІ +ЛІ ra„ +raN - 0, (2.1)

1

АЛ k - (Лfraf -rak) +------(pЛUN ЛІ + 2ЛІ )rasu, (2.2)

p + 2

D - 3Л'UгIЛN)sraU -JLЛІ. + 2ЛU)S К, Щ - 0, dDf -Df^f - 0. (2.3)

Итак, DN — относительный инвариант. Из (2.3): й 1п Оы _аЦ = Бг9г + БN9N. Сравнения на величины Бг, БЦ, стоящие в правой части, имеют вид

АБ, _ЛNа + БNаи) - 0, (2.4)

AБN _аUN - 0. (2.5)

Из (2.1) и (2.5) следует, что WN =Л"1Ч + БN — тензор. Далее ограничимся рассмотрением таких регулярных Бр+ц, у которых WN = 0. Обозначим их Бр+ц и назовем специальными семействами. Для них (2.4):

АБ' _ЛNjа _Л1 аи) - 0. (2.6)

3. Частичная канонизация репера семейства Бр+ц

Этап 1. Пусть Лиы =ЛУЫ = 0. Тогда по (2.1) столько же структурных форм стали главными (то есть сравнимыми с нулем по модулю базисных форм):

аиг, - 0, аУ1Я - 0. (3.1)

В соответствии с леммой Остиану имеем частичную канонизацию репера. Из (3.1) следует, что аN, а^ можно разложить по базисным формам:

аUN = Ли№9' + Л^9N , аN = Лум9' + Л^91: . (3.2)

Дифференцируя внешне (3.2) с последующим разрешением по лемме Картана, получим сравнения на коэффициенты при базисных формах:

АЛи +Ли а - 0 АЛШ - 0 АЛУ _ЛУ а +Ли ау - 0 АЛуи +ЛШ аУ - 0 (3 3)

Следовательно, ЛЦ — тензор. Обозначим Л определитель ЦЛи^^ ||. Сравнение на Л : йЛ- 2А(цaN _аи). Итак, Л — относительный инвариант. Далее ограничимся рассмотрением случая, когда он отличен от нуля:

Л = аеьЦ л^Ц ф 0. (3.4)

Этап 2. Полагая Л ЫVЫ = 0, из (3.3) Л NN ауг> - 0, откуда в силу (3.4) ауи - 0. Этап 3. После 1-го этапа канонизации сравнения (2.6) упрощаются:

АБ' _АК -0. (3.5)

Пусть теперь Бг = 0 . Тогда (3.5) с учетом (1.3) приводится к виду

а'1Я - 0, (3.6)

что позволяет разложить формы alN по базисным: alN = А^9’ +ЛlNN9^^ . Осуществляя продолжение, получим

АЛЩ+ Лища1и _ЛишЛ;аки _5)aN - 0, (3.7)

АЛNN +Л^к - 0. (3.8)

Этап 4. Положим Л^ = 0. Тогда из (3.8) в силу (3.4) получим

а'и - 0. (3.9)

Запишем разложения форм а'и по базисным:

= Л'и9р +Л^9N . (3.10)

Ю

u uj uN v

Продолжая (3.10), получим:

ANUj-8jЮи - 0, AA'Un - 0. (3.11)

Этап 5. С учетом (3.9) сравнения (1.2) и (3.7) сильно упрощаются:

AA'yj-дjюу - 0, AA^-5j- 0. (3.12)

Тогда au =AU, ay =AУ, aN = A'Nt — квазитензоры [3], так как сравнения на них, получаемые из (3.11) и (3.12) свертыванием по индексам i и j:

Aau - рюи - 0, Aa - рюу - 0, AaN - prnN - 0. (3.13)

67

С учетом (3.6) и (3.9) сравнения (2.2) принимают вид

AAi + юг - 0. (3.14)

Пусть au = ay = aN =A{ = 0, тогда из (3.13 — 3.14) получим au -ю -aN -ai - 0.

В соответствии с леммой Остиану произведена частичная канонизация репера. В итоге все структурные формы, кроме aj, a'u, , aN,

стали главными. Это означает, что линейные оболочки следующих совокупностей вершин репера Np-1 = [Ai ], Nq-г = [Au ], Nr-г = [Ay ] стали инвариантными плоскостями и, кроме того, зафиксирована вершина AN .

При этом C © Np-1 © Nq-х © Nr_j © An = PN. Таким образом, доказана

Теорема. К семейству Bp+q внутренним образом присоединяется оснащение, состоящее из полей плоскостей Np-г, Nq-г, Nr-г и вершин AN, дополняющих центр C до всего пространства PN .

Замечание. Этапы 1 и 2 канонизации репера можно осуществить и в общем случае регулярного семейства Bp+q.

Итак, построение внутреннего оснащения для Bp+q позволяет строить на нем внутренние связности. В этом отчасти заключается роль оснащений, присоединенных внутренним образом. Остаются вопросы: 1) геометрическая характеристика произведенной канонизации; 2) полная канонизация репера Bp+q; 3) исследование произвола существования специального семейства; 4) внутренние оснащения Bp+q общего вида.

Список литературы

1. Бочилло Г. П. К дифференциальной геометрии m-распределений на многообразии всех гиперплоских элементов n-мерного проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1983. Вып. 14. С. 18 — 23.

2. Кулешов А. В. Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров // Там же. Вып. 44. Калининград, 2013 (в печати).

3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

4. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. T. 7, № 2. C. 231—240.

5. Столяров А. В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. № 10. С. 97—99.

6. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л., 1948.

7. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.

Об авторе

Артур Владимирович Кулешов — ассист., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Artur Kuleshov — Ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]