Введение в теорию регулярного гиперполосногораспределения аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Ю. И. Попов

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РЕГУЛЯРНОГО ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

Дано задание регулярного гиперполосного распределения аффинного пространства (H-распределения) и доказана теорема существования. Выяснены условия голономности H—распределения и введены биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода для Н-, Л- и L-подрасслоений, ассоциированных с H-распределением.

Regular hyperband distribution of an affine space (H-distribution) is given and its existence theorem is proved. Conditions of holonomic H-distribution is determined and Bompiani — Pantazi bijection between the first kind normal and the second one for associated with H-distribution H-, Л- and L-subbundle is introduced.

Ключевые слова: распределение, гиперполосное распределение, гиперполоса, нормаль, тензор, квазитензор, биекция.

Key words: distribution, hyperband distribution, hyperband, normal, tensor, quasitensor, bijection.

Во всей работе использована следующая схема индексов:

I,],К=1,п; г,],к,э=1,ш а,(,у=ш+1,п-1; а,(ЗД=ш+\п; а,Ь,с,й=1,п-1; г,;,к,э ={1,шП.

1. Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения аффинного пространства

1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, отнесенное к подвижному реперу (А,е1,е2,..., еп), дифференциальные уравнения ин-финитезимального перемещения которого имеют вид

йА = ю,е}, йе} = юК?К . (1)

Инвариантные формы ю1, юК аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства

йю1 = ю1 лю[, й®К = ®1 люК. (2)

Пусть ш-мерная плоскость Л(А) задана линейно независимыми векторами

Ш = + Л ?а. (3)

Следуя [1; 2], в силу соотношений (1) —(3) структурные формы [3] многообразия Л(А) аффинного пространства представим в виде

ёе£ -

ДЛ“ = УЛ“ - л(ла+ ю“ . (4)

Аналогично, формы

ёе£

днп = УНп -НпНпюЬ +ю" — (5)

а а а Ь п а \ /

49

© Попов Ю.И., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 49 — 56.

50

структурные формы многообразия гиперплоскостей Н(А), каждую из которых зададим (п - 1) линейно независимыми векторами

К = Ь +ЧЯ. (6)

Известно (см., например, [1; 4]), что п-мерные погруженные многообразия в пространствах представления (УЛ“, ю}}, (УНП, ю}}, определяемые дифференциальными уравнениями

УЛ “ =Л^ ю*, УН п = Н пк юк, (7)

называются распределениями соответственно т-мерных плоскостей и гиперплоскостей (т < п -1).

2. Потребуем, чтобы в некоторой области & пространства Ап в любой точке А еП имело место соотношение А е Л(А) с Н(А).

Определение 1. Пара распределений (7) с таким отношением инцидентности А е Л(А) с Н(А) их соответствующих элементов называется гиперполосным распределением Н1, или Н1 -распределением [2; 5].

При этом распределение плоскостей Л(А) называется базисным распределением (или Л-подрасслоением), распределение плоскостей Н(А) — оснащающим распределением (или Н-подрасслоением), а точка А — центром Н -распределения [2; 5].

Требование Л( А) с Н( А) приводит к равенству

Лп =Нп +л“н„ , (8)

дифференцируя которое и учитывая (4 — 6), находим

ЛПк =НПк + Л„Н "„к +Н "Л“к. (9)

Канонизируем репер (А, в}}: поместим (е„} в плоскость Н(А), а (е{} — в Л(А). В выбранном репере 0-го порядка Я0 из (3) и (6) следует

Л“ = 0, Нп = 0, (10)

а структурные формы (4), (5) принимают вид

УЛ „ = ю“, УНп =®п. (11)

В силу (10) из соотношений (8) и (9) имеем

лп =нп, Н Пк =лПк. (12)

ёе£

Кроме того, для простоты изложения обозначим Н„к = Л„к. С учетом этого и соотношений (10) — (12) уравнения (7) представим в вице

< = Л п юк (а), ю„ = Л„к юк (б), Юп = л к юк. (13)

Замыкая уравнения (13), получим

улпк = л к ю1, УЛ к + лпк ю„к = Л к ю1, УЛ„к - лпк ю„ = Л"^ ю1, (14)

где л п к1 ] =Л„[ к л[||1] ; Л „ 1 = 0; л; к1 ] = 0.

Таким образом, Н1 -распределение в репере Я0 задается дифференциальными уравнениями (13), (14).

Рассмотрим регулярные гиперполосные распределения [2; 5], для которых главный фундаментальный тензор (Лп } 1-го порядка невырожден:

л0 = аеі л" * о. (15)

ч

Условие (15) позволяет ввести в рассмотрение обращенный фундаментальный тензор {ЛЩ} 1-го порядка с компонентами

Л * Л П = 5-, Лк л; =8-, УЛ Щ = -Лк ЛЩ Л . ю1. (16)

Теорема 1. Регулярное Ж -распределение Ап существует и определяется с произволом (п -т -1)(т + 1) +т функций п аргументов.

Доказательство. Чистое замыкание системы уравнений (13):

ДЛ'к люк = 0, ДЛ“К люк = 0, ДЛпаК люк = 0. (17)

ёе£

Найдем характеры (17) [6; 7]: = (п-т- 1)(т +1) + т = А, Б2 = А, ...,

п(п+1)

Бп = А. Тогда число Картана (17) равно Q = + 252 +...+пБп =—— А.

Разрешим систему (17) по Лемме Картана [7]:

длп =л;1К юк, ДЛ " =Л1К юк, ДЛ па1 =Л"а1К юк. (18)

п(п+1)

Число линейно независимых функций в правых частях (1) N = —— А.

Итак, Q = N то есть система уравнений (13, 14) находится в инволюции [7]. Решение этой системы уравнений существует и определяется с произволом Бп = (п - т - 1)(т +1) + т функций п аргументов.

3. Для регулярного Н -распределения, согласно лемме Н. М. Остиа-ну[8] возможна частичная канонизация репера Я0, как это следует из

Ул;-лпч< =л;ь ю\ (19)

Действительно, полагая Л^. = 0 и учитывая (16), разрешим уравне-

гїе£

ния (19) относительно форм ю" : юка = -ЛпЛ.ю1 = Лка1 ю1.

Геометрический смысл канонизации: {Єа} помещаются в характеристику 1п-т-1 гиперплоскости Н(А) [5], полученную при смещениях центра А вдоль кривых, принадлежащих Л-подрасслоению. Выбранный так репер Я1 является репером 1-го порядка Н -распределения. Запишем уравнения Н -распределения относительно репера Я1:

юп = ЛI ю1, ю" = Л" ю1, юп = Л". юр, ю" = Л ^ю1. (20)

Геометрические объеК1Ы Г ={Л, Л1, Лр}, Г2 = {Г1,Л"1,лж,л"к,Лрк} — фундаментальные объекты соответственно 1-го и 2-го порядка регулярного Н -распределения. Функции в (20) удовлетворяют уравнениям

УЛ. =Л"юК, УЛ =Л" кюк, УЛ -Л11 ю -Л" юа = Л" кюк,

г. г]к ' га гак ' т ч. п га п тк ’

УЛ" +Л ю„“ = Л"кюк, ул" +л>: = Л"кюк, (21)

УЛ" -Л"юп -л;ю^ +лппюп = Л>к, УЛ^ = Лркюк, УЛ -лпрю^ =ЛпапКюк,

УЛ" р +лmPю;I =л"Ркюк, УЛ" =л"к юк, Ула„ -л; юя -л>п +л"аяю;1

51

52

и соотношениям

Л" Л" + Л" Лр + Л" Л1 = 0 (22)

■'1сшу Ч;к] ^ Ч;к] ^ \[/ |а|к] \^>

Заметим, что коэффициентах в правых частях уравнений (21), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярное Н -распределение аффинного пространства Ап задается относительно репера Я1 уравнениями (20), (21) и соотношениями (22).

В общем случае (при локальной постановке вопроса) определители

йе£ п н йе£ и п Ь0 = деЬ Л"„ , Н0 = деЬ Л", отличны от нуля. Компоненты определите-

Н0 имеют строение Н0 = деЫ Лпл\\ =

л; Лр о л;р

и удовлетворяют диф-

ференциальным уравнениям УЛ^ = Лплк юк.

Для невырожденных тензоров (ЛПр}, [Лпл} введем, вообще говоря, несимметрические обращенные тензоры 1-го порядка (Л" р}, {ЛП}, компоненты которых удовлетворяют соотношениям Л;РЛру = ЛЩ“Лпр=8“, ЛПЛПс =Льп“ЛП =д“с и соответственно дифференциальным уравнениям

УЛ“р = -ЛауЛлРЛ" кюк =Л“Рюк, УЛл = -Л“сЛйьЛ"юк =Л*юк.

п п п у^к — пк ’ п п п сйк — пк

(Л" р}, (лп} — фундаментальные тензоры порядка 1 І-, Н-подрасслоения Н1 -распределения, (Л" р}, (Л^} — обращенные фундаментальные тензоры порядка 1 соответственно Ь-, Н-подрасслоений.

ёе£

В заключение введем в рассмотрение функции {Лпт} = (Л^, Лпап}, которые удовлетворяют в силу (21) уравнениям

УЛ! -лпь< - 0. (23)

ля

2. Тензор неголономности Н— распределения

1. Определение 2. Н1 -распределение голономно [4], если базисное Л-распределение голономно. Тогда распределение плоскостей Л определяет (п - т)-параметрическое семейство т-мерных поверхностей (Л огибаются т-мерными поверхностями Ут (п - т)-параметрического семейства). Система уравнений

ю" = 0, юа = 0, (24)

ассоциированная с базисным Л-распределением, вполне интегрируема, если

л;;-]=л а,]=о«г; = $ = о. (25)

(г“} — тензор неголономности Н2 -распределения. Обращение (г“} (25) в

0 есть аналитическое условие голономности Н -распределения.

При смещении центра А вдоль фиксированной поверхности Ут,

(20), (21), (24) в выбранном репере 1-го порядка суть дифференциаль-

ные уравнения регулярной т-мерной гиперполосы Н т с Ап [9].

Следовательно, при выполнении условий (25) пространство А" расслаивается на (п - т)-параметрическое семейство регулярных гиперполос Нт так, что Л(А) в каждом центре А — касательная плоскость базисной поверхности Ут (23) гиперполосы Нт, Нп-1(А) — ее главная касательная гиперплоскость, а плоскость Ьп-т-1(А) — характеристика Н т.

2. Аналогично при г^р = 0 »Л;аР] = 0 пространство Ап расслаивается

на (т + 1)-параметрическое семейство регулярных (п - т - 1)-мерных гиперполос так, что характеристическая плоскость Ьп_т-1(А) в каждом центре А — касательная плоскость базисной поверхности Уп-т-1 гиперполосы Нп-т-г, а Н(А) — ее главная касательная гиперплоскость.

3. Ассоциированное с оснащающим Нраспределением уравнение

ю" = 0 (26)

вполне интегрируемо, если

Л,] = 0, Л"ар] = 0, Л"а = 0, (27)

что равносильно условиям

г" = 0, Гапр= 0, Л"с = 0. (28)

В этом случае ((27) или (28)) Н -распределение определяет однопараметрическое семейство гиперповерхностей Уп-1 (плоскости Нп-1 огибаются поверхностями Уп-1 однопараметрического семейства). При

смещении центра А вдоль фиксированной гиперповерхности Уп-1

уравнения (20), (26) (без соответствующих замыканий) задают гиперповерхность, в каждой точке А е Уп-1 которой задана пара (Л, V) сопряженных касательных плоскостей относительно главного фундаментального тензора Л"ъ гиперповерхности Уп-1.

Таким образом, теорию регулярных гиперполосных распределений аффинного пространства Ап можно применить как для исследования регулярных гиперполос Нт с А", так и изучения дифференциальной геометрии специальных классов гиперповерхностей Уп-1 с Ап.

3. Соответствие Бомпьяни — Пантази

1. Для распределения двумерных плоскостей в трехмерном проективном пространстве известно соответствие (проективитет) Бомпьяни — Пантази [10 — 12] между нормалями 1-го и 2-го рода, когда нормаль 2-го рода является характеристикой элемента распределения при смещении центра А вдоль кривой, касающейся нормали 1-го рода. Обобщение этого соответствия на случай распределения т-мерных линейных элементов в Рп было дано в работе [4], а на случай гиперплоско-стных элементов Н(А) с Ап+1 было проведено Э. Д. Алшибая [13; 14].

Следуя работе [13], введем биекции Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода, для Н-, Л- и Ь-подрасслоений, ассоциированных с Н -распределением.

53

54

2. Определение 3. Нормалью 1-го рода элемента Н-подрасслоения (плоскости Н(А)) называется инвариантная прямая ух(А), удовлетворяющая условию (А) п Н(А) = А, а нормалью 2-го рода — инвариантная плоскость уи_2(А) такая, что уи_2(А) с Н(А), А г Vп-2(А).

Поле нормалей 1-го рода v1(А) задается полем ^van +а“п = v“nKгак квазитензора {vn}, 2-го рода vn-2( А) — полем тензора {V а}: Vv а =v пК гак.

Определение 4. Будем говорить, что Н-подрасслоение (соответственно Ь-подрасслоение, Л-подрасслоение) нормализовано, если оно одновременно оснащено полями 1-го и 2-го рода Нордена, а саму нормализацию будем обозначать символами ^“п ; vа) или ^; vn-2) (соответственно символами (vn; ^), (vn; V) или (vm+1; vn-т-2), (vn-m; vnm-l)).

3. Зададим точку Р є Н(А) следующим образом:

Р = А + х“Єа, хп = 0. (29)

Потребуем, чтобы она не выходила из гиперплоскости Н(А) при смещении центра А распределения Н вдоль кривой

га“ = vanга11, (30)

ёе£

касающейся нормали v1 = [А,Vn ] = [А,vanea + еп ] 1-го рода гиперплоскости Н(А), то есть чтобы

й¥ = 9“еа, ( хп = 0). (31)

Замечание. В дальнейшем поле нормалей v1 = [А, V] 1-го рода

Н-подрасслоения будем называть полем нормалей V.

Точка Р, удовлетворяющая условию (31), называется фокальной точкой гиперплоскости Н(А) [4; 13], а направление смещения точки А, соответствующей фокальной точке Р,— фокальным направлением.

Из (31) в силу (1), (29) следует 9“ = й%“ + %ъ га“ъ +ю“ и

Xа га +юп =0. (32)

Уравнение (32) определяет многообразие фокальных точек Н(А), которое относительно Я1 согласно (20), (23), (30) приведем к виду

V“X“ -1 = 0, хп = 0, (33)

где

ёе£ ёе£

^ =- ЛЦъvn - (а), VV“ =V“Kгак, = ЛЩ, (34)

^ = Лплгаьп + АКгак, Vv“к - ЛПк VъЮ^.

Таким образом, уравнения (33) задают в локальном репере Я1 нормаль 2-го рода плоскости Н(А), а поле нормалей 2-го рода Н-подрассло-ения задается дифференциальными уравнениями (34).

Разрешим уравнения (34а) относительно V!. Умножив обе части уравнения (34а) на Л“ и свернув по а, получаем

vn = -Л: V “ + АТ (а), Vvn +< = vnк гак, (35)

где

ёе£

апс =-ЛП“а, VAс +юП = апкгак, Vvnк +ЛПкVК +ЛПкvnюn - 0. (36)

Итак, при помощи формул (34а) и (35а) устанавливается взаимно однозначное соответствие между нормалями 1-го и 2-го рода Н-подрас-слоения. Это соответствие (биекция) является для оснащающего Н-подрасслоения аналогом соответствия Бомпьяни — Пантази [13; 14].

Аналогично устанавливаем соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями рода 1 V т+^ “) и рода 2 vn-т-1^а) Ь-подрасслоения:

Va = -Л!>П - АО , VVa = ^к®к , VVaK - Кк ,

V!=-Лач-Аа , vv: +Ю“ =v:к гак,

где

<=ЛПп, VAa = л>п + Аак гак, а: а=-л:р а ,

УА!а +га: = Ак гак, Vv:к - (Л а -ЛПк )гаП +ЛПк VII гаП +Лрк V: га| - 0.

4. Из (36) следует, что компоненты {а! і} квазитензора {АПс}

ёе£

А і =-ЛП.ЛПП-ЛПЛа и образуют квазитензор 1-го порядка:

VA ‘ +гаП = АПк гак. (39)

Будем искать соответствие Бомпьяни — Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения в виде (35) (или (37)):

V! = -^. + АТ. (40)

Разрешая уравнение (40) относительно величин {V ^}, получим

V. = -Л" V. - А, А. = -Л" А'’, VA? - Л" га’.

і і. п і' і і. п ' і і. п

Функции {V!} и ^} удовлетворяют соответственно уравнениям

^П + гаП = <кгак , Vvі = VгKгак . (41)

Замыкания уравнений (41) с учетом (2) и (20) приводят к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяют (у!к } и {Vік}:

Vvгnк - (ЛОк - Л"ак V! )га! - ЛПк V! гаЦ - Л^ V. га!, VVгк - Л Пк vs га!.

5. Отметим, что поле квазитензора {АПс} (36) для гиперплоскостно-го распределения аффинного пространства было введено Э. Д. Алшибая [13; 14] и дана его геометрическая интерпретация. В силу этого поле

ёе£ _

нормалей 1-го рода Ы1 = А (поле нормалей А {А “}) оснащающего Н-подрасслоения данного Н -распределения будем называть в дальнейшем полем нормалей Э. Д. Алшибая. В соответствии с этой терминоло-

ёе£ ёе£

гией поле нормалей 1-го рода Ыт+1 = А+1 (Nп-т = А-т), определяемое полем квазитензора А а (38) ( Апі (39)), назовем полем нормалей Алшибая 1-го рода Ь-подрасслоения (Л-подрасслоения).

55

56

Следуя работам [13; 14], аналогично можно показать, что свойства нормалей Алшибая А сохраняют силу и в случае гиперполосного распределения (H -распределения).

Имеет место

Теорема 3. При смещении центра A -распределения вдоль кривой, ка-

сающейся нормали Алшибая A (A = An “ea + en ), гиперплоскостной элемент Н(А) смещается параллельно. В биекции Бомпьяни - Пантази (35) нормали Алшибая A(A), определенной объектом [Апс} (36), соответствует бесконечно удаленная (п -2)-плоскость гиперплоскости Н(А) (в этом случае в уравнении (33) va = 0 ).

Список литературы

1. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71-120.

2. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117-151.

3. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 29—48.

4. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения m-мерных элементов в пространстве проективной связности // Там же. С. 49 — 94.

5. Попов Ю. И. Поля геометрических объектов гиперполосного распределения аффинного пространства / Калинингр. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ, №6807-В87 Деп., 1986.

6. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм : учебное пособие. Калининград, 1978. Ч. 1.

7. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., 1948.

8. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pares et appl. RPR. 1962. Т. 7, № 2. С. 239 — 263.

9. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Труды семинара по векторному и тензорному анализу /ВИНИТИ. М., 1950. Вып. 8. С. 97— 272.

10. Bompiani E. Sulle varieta analonome. Rend. dei Lincei, 1938. Vol. 27. P. 37—52.

11. Pantazi A. Opera matematica. Bucuresti. Ed. Acad. RPR, 1956.

12. Mihailescu T. Geometrie diferentiala proiectiva. Bucuresti: Ed. Acad. RPR, 1958.

13. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 5. С. 169—193.

14. Алшибая Э. Д. Геометрия распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве : монография. Тбилиси, 1990.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected].

About the author

Dr Juriy Popov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected].