Дифференциально-геометрические структуры, ассоциированные с регулярной касательно r-оснащенной гиперполосой проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

About the authors

Prof Leonid Zinin, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Alexandr Sharamet, ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

Alevtina Vasileva, ass., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

52

УДК 514.75 (08)

Ю. И. Попов

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С РЕГУЛЯРНОЙ КАСАТЕЛЬНО г-ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Введены ж-структуры и почти контактные структуры в касательных T-, К-, L-подрасслоениях регулярной касательно r-оснащенной гиперполосы Hm,r n-мерного проективного пространства.

Даны аналитические признаки и геометрические интерпретации рассматриваемым структурам.

ж-structures and almost contact structures in the tangent T-, K-, L-sub-bundles of the regular tangently r-framed hyperstrip Hm of the n-dimensional projective space are introduced.

Analytical signs and geometrical interpretations characterize the examined structures.

Ключевые слова: гиперполоса, ж-структура, T-структура, почти контактная структура, касательное оснащение, подрасслоение, проективное пространство.

Key words: hyperstrip, ж-structure, T-structure, almost contact structure, tangent framing, subbundle, projective space.

Во всей работе использована следующая схема индексов: J, K, L = 1, n; J, K, L = 0, n; i, j, k, l = 1, m; i, j, k = 1, m -1; u, v, w = m +1, n; a, b, c = r +1, m; à, b, c = r +1, m -1; p, q, s, t = 1, r; p, q,t = 1, r -1;

A, B = r +1, n; s = m - r ; i = {a, p}; a, P, y = m +1, n -1.

© Попов Ю. И., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 52 - 63.

1. я-структуры поля касательных плоскостей Г, базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,,

т

т,г

1. Известно [1], что относительно репера {Ау} 1-го порядка касательно г-оснащенная регулярная гиперполоса Нт,г с Рп задается следующими уравнениями:

юП = 0, 0, 0,

®п = Лпю', ю!а = Л', ю™ = Лаю', Юр = ЛРю', (1)

Т7Л" | л «0 ЛП гк 171! .1 „0 5-1 0 .1 ГЛ

УЛ. + Л.ю0 = Л/ю0, УЛ^/ + Ла/ 0 -8/юа = Ла/кю ,

У7л а . л 0 . а и а л а Д гуд я . л я ^0 . а « й 0 л я

УЛ/ +Л/ю0 +Л/юп = Л/кю , УЛР/. + Лр/ 0 +Лр/Юп -8/юр = Лркю

(2)

где

(4)

УЛП/.] = 0, УЛ^] = 0, УЛа[!ЛП]к = 0.

Чистое замыкание (2) системы (1) представим в виде

ДЛИ лю' = 0, ДЛа. лю' = 0, ДЛалю' = 0, ДЛР. лю' = 0. (3)

V ■ V И

Введем обозначение А = (п - т - 1)т + эг. Найдем характеры системах (3) согласно работе [1]:

51 = (п - т)т+А, Б2 = (п - т)(т -1) + А, 53 = (п-т)(т-2) + А,..., Бт = (п-т)(т-(т-1)) + А.

Учитывая (4), вычислим число Картана системы уравнений (3): О = 51 + 2Б2 + 353 +... + тБт = = т(п - т) + 2(т - 1)(п - т) + 3(т - 2)(п - т) + +... + т(т - (т - 1))(п - т) + А(1 + 2 + 3 +... + т) =

т(т +1)

= (п - т)(1 • т + 2(т -1) + 3( т - 2) +... + т( т - (т -1)))+——- А = = (п - т)т( т+1)( т+2) + т(т +1) А

6 2 . Разрешим систему (3) по лемме Картана

ДЛ п = Л / юк, ДЛ а. = Л / юк, ДЛ а = Л а юк, ДЛ Р = Л / юк (5)

и найдем число N линейно независимых функций, стоящих в правых частях системы (5):

дГ , ,т(т + 1)(т + 2) ,т(т +1)

N = (п - т)—----+((п - т - 1)т+гэ)—--,

6 2

т. е. N = О. Данная система (1) находится в инволюции [1].

53

54

Следовательно, справедлива

Теорема 1. Гиперполоса Ит,у с Рп существует с произволом

Бт = (п - т) + (п - т - 1)т + тэ = (т + 1)(п - т - 1)т + тэ + 1

функций т аргументов.

2. Пусть на базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,Т задано внутренним инвариантным образом поле ТЛ-виртуальных нормалей 1-го рода уэ [2]. Таких нормалей уэ построено целое однопараметрическое семейство [2]. Поле оснащающих Л-плоскостей (Т-структура [3]) и поле ТЛ-виртуальных нормалей уэ (вторая Т-структура) порождают я-структуру в расслоении касательных плоскостей Тт базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,т. Действительно, в каждой точке Ао е Ут имеем

К(Ао), Л(Ао)] = Тт(Ао), (Ао)пЛ(Ао)] = Ао. (6)

Известно [4], что всякая я-структура вполне определяется полем аффинора (А'} ф (8^}, удовлетворяющего соотношениям

А' Ак = 8'. (7)

Найдем компоненты аффинора А1^, удовлетворяющего условиям

(7) и (6). В силу выбора репера £а(Ы) можем написать следующие разложения:

Т =Л кАк,

(8)

где

л к =

8Р ч

Так как точки Т линейно независимы, то матрица Л; || невырождена, и следовательно, для нее существует обратная матрица

(9)

8; о

-VI 8Ъ

л к

такая, что выполняются равенства

лк л к =81, лк Л к = 8'.

Введем в рассмотрение тензор типа (1.1) (аффинор)

А) =8) -2Лр Л р, УА) = А 'к Юо,

где

А )к =-2( Л р Л -Л Р Л 'рк),

компоненты которого в силу (8), (9) имеют следующую структуру:

(Ю) (11)

а; =-8Р, а; = о, АР = 2уР, Аьа =8ьа.

(12)

о

ъ

;

V

Таким образом, аффинор А/ (10) охватывается объектами Т-струк-

тур, инициирующих данную я-структуру, и удовлетворяет условиям (7). В силу теоремы 2 [1] и построений этого пункта имеет место

Теорема 2. Поле касательных плоскостей Тт базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,г несет однопараметрическое семейство я-структур, внутренне связанных с данной гиперполосой и определенных пучком аффиноров А/ (ст), где

А / (ст) =

Лр 0 2уР (ст) 8Й

3. Установим критерий интегрируемости я-структуры (Л, уэ), определенной аффинором А. (10). Известно [3], что интегрируемость я-струк-

туры характеризуется обращением в нуль тензора кручения данной я-структуры. В свою очередь, так как тензор кручения я-структуры только постоянным множителем отличается от тензора Нейенхейса {%}, где

т\/= Ар (Арк - Акр) - АР (АР - А/р) + А (АЯк - А[а) - Ак (А. - А.), (13)

то интегрируемость я-структуры (Л, уэ) сводится к обращению в нуль компонент тензора Нейенхейса (13).

Для простоты изложения найдем компоненты тензора Нейенхейса в репере В}(Ы, уэ), адаптированном полю V .¡-плоскостей (уэ-расслоению). В этом репере юР = и ура (ст) = 0 (ст — фиксированное значение параметра ст). Предварительно продифференцировав равенства (7), получим следующие связи на компоненты аффинора А1. (10):

А^А + Ак А = 0. (14)

Теперь, учитывая соотношения (7), (11), (12), (14), вычисляем компоненты тензора Нейенхейса я-структуры (Л, уэ):

Кя = 0, n Р, = 0, nI = 0,

N =-4(л;-л; ) = -8гр;, n рь = -« (ст)(ст)) = -8гГ (ст).

Из выражения (15) следует, что обращение в нуль всех компонент тензора Нейенхейса равносильно равенству нулю тензоров неголоном-

ности г. и г.ь (ст) соответственно Л-распределения и уй-распределения на базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,г. Получаем, что я-струк-тура (Л, Уэ(ст)), определенная аффинором А/ (ст), интегрируема тогда и

только тогда, когда обращаются в нуль тензоры неголономности г.^ и

гРь (ст) соответственно базовых распределений (Л-распределения и уэ-рас-пределения) данной я-структуры.

55

Интегрируемость я-структуры означает расслоение базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,т на два семейства подмногообразий:

а) э-параметрическое семейство т-мерных поверхностей, огибающих элементы (плоскости Л) Л-подрасслоения;

б) т-параметрическое семейство э-мерн^1х поверхностей, огибающих элементы (плоскости V,, (ст)) vs(ст)-подрасслоения.

Другими словами, через каждую точку Ао е Ут проходит по одной поверхности каждого из семейств. Многообразие элементов я-структу-ры, касательных к этим поверхностям (Ут, У,), образует голономную композицию, а интегральные многообразия этой голономной компози-56 ции — композицию А. П. Нордена [5]. Учитывая эту связь, Р. Ф. Домб-ровский [6] вводит для неинтегрируемых (соответственно интегрируемых) я-структур названия неголономной (соответственно голономной) композиции А. П. Нордена.

Определение [6]. Неголономной композицией А. П. Нордена на дифференцируемом многообразии Хт называется дифференциально-геометрическая структура, индуцированная парой полей геометрических объектов, порождающих два распределения плоскостных элементов Лт и V, (в общем случае неинволютивных) таких, что в каждой точке х е Хт: [Лт, V,] = Т, Лт п V, = х. Распределения Лт и V, называются базовыми распределениями неголономной композиции (Л, V).

Из результатов исследований этого пункта и теоремы 2 следует

Теорема 3. Регулярная гиперполоса Нт,т внутренним инвариантным образом порождает в поле касательных плоскостей Тт базисной поверхности Ут однопараметрический пучок неголономных композиций А. П. Нордена (Л, v(ст))/ базовыми распределениями каждой из которых являются распределения Л-плоскостей и vs(ст)-плоскостей. Обращение тензоров неголономнос-ти тап и тЪ (ст) соответствующих базовых распределений данной я-структуры (Л, v(ст)) в нуль есть необходимое и достаточное условие, чтобы базисная поверхность Ут гиперполосы Нт,т представляла собой голономную композицию А. П. Нордена (Ут, vs(ст)), а соответствующая я-структура (Л, V,,(ст)) была голономной.

2. Почти контактные структуры, ассоциированные с регулярной гиперполосой Ит,г

Осью пучка (ф, т) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,т(Л), определяемого нормалью Фубини 2-го рода ф(Ао) [7, п. 11] и нормалью Виль-чинского 2-го рода т(Ао) [7, п. 11], является (т - 2)-плоскость Ст-2(Ао):

хи = о, хо - х' = о, Сх' = о, С = - М?.

Вместе с Ао е Ут плоскость Ст-2(А0) натягивает (т - 1)-плоскость

ае£

Ст-1(А0) = [А0' Ст-2(А0)] = С(А0)'

которую назовем С-плоскостью. Учитывая, что плоскости ф(А0), и>(А0) и плоскость Нордена — Тимофеева р(А0) [1] попарно различных (функционально независимы), аналогично находим:

ае£ ае£

Л(А0) = Лт-1(А0) = [А0, Лт-2(А0)], В(А0) = Вт-1(А)) = [А0, Вт-2(А0)],

где

ае£ ае£

Лт-2(А0) = Р(А0)Пф(А0), Д„-2(А0) = р(А0)П ш(А0).

Плоскости Л(А0), В(А0), С(Ав), относительно репера £а(Ы) определим соответственно системами уравнений

Л(А0): Л,0** = 0, хи = 0, (17)

В(А0): В,0х* = 0, хи = 0, (18)

С( А0): С 0 х* = 0, хи = 0, (19)

а плоскости Лт-2(А0), Вт-2(А0) — соответственно системами уравнений Лт-2(А0): хи = 0, х0 -р0х* = 0, Л0X = 0,

Вт-2(А0): хи = 0, х0-р0х* = 0, В,0х* = 0, где каждая из совокупностей функций

{Л0}а={р0 - р*0}, (в*0}а=£(р0 - W*0}, {С*0}£*0 - W10}

образует одновалентный ковариантный тензор.

Теорема 4. Регулярная гиперполоса Нт,г в дифференциальной окрестности не ниже 3-го порядка порождает внутренним инвариантным образом в каждой касательной плоскости Тт(А0) три однопараметрических пучка (Л, В), (Л, С), (В, С) (т - 1)-мерных плоскостей, проходящих через точку А0 е Ут.

57

3. Почти контактные структуры поля касательных плоскостей Тт базисной поверхности гиперполосы Нт,г

1. В силу невырожденности тензора {С*0} имеем, например, Ст ^0 (индекс т зафиксирован). Тогда уравнение С-плоскости (19) можно записать следующим образом:

- С-0

хи = 0, хт + у тх* = 0, ут = -0,

' * ' * р\0 С

58

где функции у™ удовлетворяют дифференциальным уравнениям

з т . ъ т т лт / . л т т к т т к йу-. + Х? ют ю/ +Х/ Хк ют -ю? =У&ю0.

Зададим в поле касательных плоскостей Тт подрасслоение прямых (/-подрасслоения). Слой /-подрасслоения, т. е. прямую 1(Ао), удовлетворяющую условиям

А0 е /(А0), /(А0) с Тт (А 0), /(А0) п С(Ай) = А, зададим точками {А0, Ст}, т. е. /(А0) = [А0, Сга], где

Ст = Ат + СтА1.

/-подрасслоение определено системой дифференциальных уравнений

йст+ст юк- ст «т- ст ст ю™ +ют=ю0.

2. Рассмотрим фокальное многообразие (характеристику) С-плоско-сти при смещении вдоль кривых

ю- = 0, ю0 = с,т ю^ , ю^ = цте, йе = 0л01,

принадлежащих /-подрасслоению. Это фокальное многообразие относительно репера Яг(Ы) задается уравнениями

х-=0, х0 - !(у т+ут ст х=0, с=1+У™ Ст. (20)

В рассматриваемом случае СЦ ^ 0, поэтому уравнения (16) плоскости Ст-2( А0) можно представить в следующем вице:

х- = 0, хт + у™х? = 0, х0 - $хк = 0, = - ^ут. (21)

Сравнивая уравнения (20) и (21), убеждаемся, что плоскость Ст-2(А0) (16) — ось пучка (ф, ш) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,г(А0) — будет характеристикой С-плоскости (19) тогда и только то-

т

т

гда, когда

<т=ут (сЦ-утт),

где {ут} — обратный фундаментальный объект, определенный равенствами

,/к„ ,т я!

у™ ут=5у.

3. Введем в рассмотрение геометрический объект

ы }={8> - с ст у™},

где Стт = 1, ут = 1, компонентах которого удовлетворяют следующим соотношениям:

х'к хк=8/ - с ст у ™, хк ст=0, (22)

х? ут=0, утст=с ,rang| к ц=™ -1.

Из соотношений (22) вытекает, что объект {тк} задает в поле касательных плоскостей Тт почти контактную структуру гиперболического типа [8; 9]. Таким образом, приходим к следующей геометрической характеристике почти контактной структуры (С, I).

Теорема 5. Поле касательных плоскостей Тт базисной поверхности Ут гиперполосы Нт,г(А0) несет почти контактную структуру (С, I), определенную С-подрасслоением и 1-подрасслоением, такую, что каждой прямой /(А0) I-подрасслоения в проективитете Бомпьяни - Пантази соответствует плоскость Ст-2(А0) - ось пучка (ф, т) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,г.

Замечание. Построения этого параграфа ассоциированы с плоскостью С(А0) (С-плоскостью) (19). Аналогичные построения можно провести, исходя из плоскости Л(А0) (17) или В(А0) (18), т. е. провести построения этого параграфа, ассоциированные с любой из (т - 1)-мерных плоскостей пучков (Л, В), (Л, С), (В, С).

В силу этого замечания и теоремы 5 вытекает

Теорема 6. Поле касательных плоскостей гиперполосы Нт,г(Л) несет три однопараметрических семейства почти контактных структур, каждая из которых ассоциирована с соответствующей плоскостью, взятых из пучков (Л, В), (Л, С), (В, С).

59

4. Почти контактные структуры Л-подрасслоения

1. Если Л(А0) с С(А0),то Ср = 0. Предположим, что тензор {Ср1} — ненулевой. Тогда

Л(А0) п С(А0) = ХГ-1(А0). Плоскость ХГ-1(А0) зададим уравнениями

С0хр = 0, хА = 0. (23)

Так как тензор {Ср} ненулевой, то, например, Сг0 Ф 0, где г — фиксированный индекс. В силу чего уравнения (23) примут виц

хА = 0, хг = -кгрхр,

, Ср

где функции Хр = —^ удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Сг

лгц.лглгц г л г к

акр +Хр®0 -Хцюр +Хрюг -Юр = кркю0.

Введем в рассмотрение в поле касательно оснащающих Л-плоскос-тей (в касательном Л-подрасслоении) подрасслоение прямых 9 таких, что в каждой точке А0 е Ут имеем

ГА0) с Л(А), Л)пкг-г(Л) = ¿0,

Ь(Д) = [А0, Вг ] = [А0, Аг + ВрАр ].

60

д-подрасслоение задается в репере Я^Ы) системой дифференциальных уравнений

йВр + В'юр - Врюг - ЩЩ +юр = Вркюк.

2. Плоскость Хг-х( А0) сЛ( А0) назовем Х-плоскостью. Пересечение Х-плоскости и плоскости Ст-2(А0) (16) в каждой точке А0 е Ут есть (г - 2)-плоскость

Лг-2( А0) = Ст-2( А0) пХг-1( А0), которая в локальном репере может быть задана уравнениями

хА = 0, хг =-ХРхР, х0 =ррхР, (24)

где

Р0 = р0 - р0х г р = рр рг Х Р.

С другой стороны, характеристика (фокальное многообразие) Х-плоскости при смещении точки А0 вдоль кривых

юА = 0, юр = ВгРю0, ю0 = |/0, йе = 0л01, (25)

принадлежащих д-подрасслоению, определяется уравнениями 1

В'

х0 -±хР(Хрг +хрВ) = 0, хА = 0, хг = -ХРхР,

где

В = 1+ Х гРвр.

Плоскость Лг-2(А0) (24) будет характеристикой Х-плоскости при смещении по кривым (25), принадлежащим д-подрасслоению, тогда и только тогда, когда

в1 = (врР-ХI, )ХР,

где {Х Р1} — обратный фундаментальный объект для объекта {Х^}, определяемый равенствами

Х? Хц =8|.

3. Введем в рассмотрение объект {фр}, компоненты которого зададим соотношениями

ф' = 8' --ВЧХГ, ч'р р в г р

где

в: = 1, хг = 1.

Можно показать, что компоненты объекта (фр}, кроме того, удовлетворяют соотношениям

фРф8 =5Р - - ВРХг, фрБ5 = 0,

^т9 ц в г ч'^3 г ' (26)

фРХр = 0, Xцвц = В, rang||фр|| = г -1.

Из (26) вытекает, что объект (фр} определяет на касательном Л-под-

расслоении почти контактную структуру гиперболического типа (или (/, л, р)-структуру гиперболического типа специального вида, когда р = 0) [8; 9]. В результате имеем следующую геометрическую интерпретацию почти контактной структуры (X, 9).

Теорема 7. Касательное Л-подрасслоение несет почти контактную структуру вида (X, 9), определенную Х-подрасслоением и 9-подрасслоением, каждому слою (прямой 9(Ао)) которого соответствует в проективитете Бомпьяни - Пантази плоскость Лг-2(А0) (24) - пересечение оси Ст-2(А0) пучка (р, т) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,г(Л) с оснащающей Х-плос-костью (Л9-виртуальной нормалью 1-го рода).

Согласно замечанию п. 3 и в силу теоремы 7 следует

Теорема 8. Касательное Л-подрасслоение гиперполосы Нт,г(Л) несет три однопараметрических семейства почти контактных структур вида (X, 9), ассоциированных соответственно с плоскостями пучков (Л, В), (Л, С), (В, С).

61

5. Почти контактные структуры, ассоциированные с Ь-подрасслоением

1. Пусть С-плоскость (19) пересекает ¿-плоскость (ТЛ-виртуальную нормаль 1-го рода). Тогда Ср = 0, Ся0 Ф 0 и, следовательно, хотя бы одна

из компонент тензора (С0} отлична от нуля. Пусть, например, для определенности Ст Ф 0 (т-фиксированный индекс). Тогда учитывая, что Ст Ф 0, уравнения (б - 1)-плоскости

4-1 = Ст-1( Д,) П Ь( А0)

представим в виде

х" = 0, хр-у'х", хт + 2^ = 0, 2? = С0,

Ст

где функции 2™ удовлетворяют дифференциальным уравнениям

й2~а + 2г ют -2с ай + 2а 2с ют -юг = 2аю0.

Зададим в касательном Ь-подрасслоении (в поле ¿-плоскостей) подрасслоение прямых р. Слой р-подрасслоения, т. е. прямую р(А0), удовлетворяющую условиям

62

р( Ас) с Ь( Ас), р( А0) п 2еН1( А0) = А,,, определим точками {А0, 2т}, где

2т = Ат + ВтАй.

Касательное р-подрасслоение вполне определено системой дифференциальных уравнений

йвт+вт юь- вт «т- вттвттю™+ют=Кк ю0.

2. Пересечением Е-плоскости с осью Ст-2 пучка (ф, ш) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,г является плоскость 25-2(А0), которая относительно репера -1(Ы) может быть представлена уравнениями

[ха = 0, хР -урхя = 0,

\ а (27)

[хт + 2тха = 0, х0 -р0хя = 0,

где

И0 = р0 - р02™ р0 = р0 + р0р0 = Р0 + Р0V?

гй *-т а > а а р а' т т р т'

Найдем фокальное многообразие (характеристику) Е-плоскости (плоскости 25-1( А0)) при смещении вдоль кривых

ю«=0, ю0=вт ют, юр=ют, (28)

принадлежащих распределению прямых р.

Относительно репера -1(М) искомое фокальное многообразие определяется уравнениями

ха = 0, хт + 2тха = 0, хР - vpxа = 0, х0 -1(2™ + )ха=0,

где

2=1+гтвт.

Плоскость 2Б-1(А0) (27) будет характеристикой Е-плоскости при

смещении по кривым (28) тогда и только тогда, когда

2Ь = 2аЬ ( 2о0 - 2т ) 2т ~ 2т (2Ра 2ат ),

где {2^} — обратный фундаментальный объект для объекта {2™}, удовлетворяющий равенствам

?ас ?т = 8й 2т 2сЬ =8Ь.

3. Введем в рассмотрение объект {у.}, компоненты которого определим соотношениями

УйУь=8й - 2 вт 2т, уявь=0,

уЬ2т = 0, 2т1вт = 2,rang|Ы| = 5-1.

Из соотношений (29) следует, что объект {у.} задает на распределении Ь-плоскостей почти контактную структуру (2, р) гиперболического типа. Построения этого параграфа дают следующую характеристику почти контактной структуры (2, р).

Теорема 9. Касательное Ь-подрасслоение несет почти контактную структуру (2, р), определенную 2-подрасслоением и р-подрасслоением, каждой прямой р(А0) которого соответствует в проективитете Бомпьяни -Пантази плоскость 25-2(А0) (27) - пересечение оси Ст-2(А0) пучка (ф, ш) нормалей 2-го рода гиперполосы Нт,г с оснащающей Е-плоскостью.

Из этой теоремы и замечания п. 3 вытекает

Теорема 10. Регулярная гиперполоса Нт,г индуцирует (порождает) на касательном Ь-подрасслоении три однопараметрических семейства почти контактных структур, ассоциированных соответственно с плоскостями пучков (Л, В), (Л, С), (В, С).

63

Список литературы

1. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. ; Л., 1948.

2. Волкова С. Ю. Плоскости Нордена — Тимофеева регулярной касательно r-оснащенной гиперполосы проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2009. Вып. 40. С. 28 — 38.

3. Legrand G. T-structures homogenes // C. r. Acad. Sci. 1964. Vol. 258, № 19. P. 4648—4650.

4. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях //

Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. 1974. Т. 11. С. 153 — 207.

5. Норден А. П. Теория композиций // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. 1978. Т. 10. С. 117—145.

6. Домбровский Р. Ф. О неголономных композициях на поверхности Mmr в Pn // 150 лет геометрии Лобачевского : тез. докл. Всесоюзной научной конф. по неевклидовой геометрии. Казань, 1976. С. 69.

7. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос : учеб. пособ. Калининград, 1983.

8. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. f q, р)-структуры на дифференцируемых многообразиях / / Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. 1975. Т. 7. С. 5—22.

9. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях // Там же. 1977. Т. 8. С. 89 — 111.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Dr Juriy Popov, prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected]