О внутреннем оснащении одного семейства гиперплоских элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Кретов М. В. О главных точках дифференцируемых отображений, ассоциированных с комплексами гиперквадрик // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 51—58.

M. Kretov

Differential mapping generated by complexes of cones

In three-dimensional equiaffine space we consider differentiable mapping generated by complexes of cones with special properties of associated images. Indicatrix and the main direction of the investigated mapping, characteristic and focal manifold for the forming element of the complex are geometrically characterized.

УДК 514.75

А. В. Кулешов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

О внутреннем оснащении одного семейства гиперплоских элементов

В многомерном проективном пространстве рассматривается семейство Вр гиперплоских элементов. Ставится задача построения внутреннего оснащения данного семейства. Эта задача решается в случае семейства специального вида. Решение основано на методе подвижного репера и исчислении внешних дифференциальных форм Э. Картана.

Ключевые слова: проективное пространство, гиперплоский элемент, семейство гиперплоских элементов, проективно-дифференци-альная геометрия, оснащение, метод внешних форм, расслоение реперов, редукция расслоения реперов.

© Кулешов А. В., 2014

1. Уравнения семейства Вр q

Пусть Рм — ^мерное проективное пространство (N > 4), Рд* — двойственное к нему. Гиперплоским элементом пространства РЛ (см.: [1]) называется пара Ь*]Л_1 = (ЬЛА), где ЬЛ _1 — гиперплоскость, А — точка, лежащая в ЬЛ _1 (она

называется центром элемента _1). Пусть В — гладкое семейство гиперплоских элементов. Определим два отображения : В ^ РД* и л: В ^ РЛ следующим образом: Е: (_1, А) ^ ¿N-1, Л :(^д_1, А) ^ А .

Семейством Вр назовем семейство В, удовлетворяющее

следующим условиям:

1) л(Вр q) — гладкаяр-мерная поверхность Sp (р < N - 2);

2) проекция л: Вр ч ^ Sp является расслоением над Sp с ^-мерными слоями (1 < q < N _ р _ 1);

3) касательная плоскость ТА ) лежит в плоскости ¿Л_1

каждого элемента (ZN_1, А) е л-1 (А).

Пусть V(Вр ) — огибающая гладкого семейства Е(Вр ).

Характеристикой ¥г (_1) назовем плоскую образующую семейства огибающей V(Вр ). Семейство Вр назовем регулярным, если для любого его элемента ¿*Д _1 е Вр выполняется условие: ¥г (¿*Д_1) ^ ТА (Sp) = А , где А = л(С_1). в этом случае размерность характеристики равна г = N _ р _ q _ 1.

Следуя работе [2], дадим аналитическое описание семейства Вр . Отнесем пространство к подвижному реперу

{ А, А1 } с деривационными формулами [2, с. 71], в которых

структурные формы ю1, ю^ , проективной группы удовлетворяют уравнениям Э. Картана. Разобьем индекс I на четыре серии: I = {г, и, у, Щ , причем

т, ;,... = 1, р ; и, у,... = р +1, р + д ; у = р + д +1, N -1. Над семейством Вр как над базой возникает расслоение Вр ) проективных реперов, адаптированных семейству таким образом, что каждый репер { А, Аг, Аи, Ау, АЩ }, принадлежащий слою над элементом Ь*Щ-1 = (ЬЩ-1, А), удовлетворяет условиям: А0 = А , Аг еТА(5р), Аи е Ьщ-1, Ау е ^(Ь*щ-1). Уравнения семейства Вр в адаптированном репере имеют вид

юи = 0, юу = 0, юЩ = 0, юЩ = 0,

юи = ЛУ0;, юу = л;0;, юЩ =ЛЩ0;,

юу = Лиуг0г + ЛиЩ0Щ, юу = Лу0; + ЛЩ0Щ ,

где 0г =юг, 0Щ =юЩ — базисные формы семейства, определяющие смещение текущего элемента ЬЩ-1, а совокупность функций

л = {ли, л;, ЛЩ, Лиуг, ЛиЩ, Лу, Лиущ}

образует фундаментальный объект 1-го порядка многообразия Вр д, уравнения на компоненты которого запишем в виде

сравнений по модулю базисных форм (см.: [2, а 75]):

ллу +ЛЩюЩ -0, ЛЛУ + Люу +ЛЩюN -0, ЛЛЩ -0, (1.1) ллу.-л'щэЩ -0, ллущ -0, (1.2)

AAy + Ку]< - ©] - 5]шy - 0, AN"yN + A^< - 0, (1.3)

где, например,

ддN , ^ „ N ЛN к ЛN „к

ЛЛУ = ¿Л ЮN _Лк.Юг _Л¿кЮ. , а формы ©N имеют вид ©N ^^ю". При этом ^] =0, ЛУу ] = 0, Л^. ] = 0. Из сравнений (1.1), (1.2) в частности видно, что подобъекты {Л^} и {Л} объекта Л являются тензорами. В силу регулярности семейства Вр

Д1 = det||Л. Ф 0. (1.4)

При этом можно ввести в рассмотрение обратный тензор

У4 :

N

VNkANk] = 5], AVNk -0. (1.5)

Уравнения на компоненты тензора А]] и его пфаффовы производные А] имеют, соответственно, вид [2, с. 74]

aAN] = а] ek -AU] eN, AA] -3A]ANk)scN -3А].Шк)-3A\]ANk)s< - 0. (1.6)

2. Относительный инвариант D

N

Рассмотрим величины

А] = -AjVj , A] = -AjVj , Ak = -+-, (2.1) p p p + 2

D]k = A]]k - ЗА] Ak), Dk = D]kV_], D] = V^D] . (2.2)

Сравнения на них с учетом (1.1), (1.5) и (1.6) имеют вид (ср.: [2, с.76])

AAun +auN - 0 , ЛЛ-N + an< + < - 0. (2.3)

АЛ, - (A>N-Шк) + И1Ш , (2.4)

D - 3MUN< , ЛОк - 0, dDN - DN< - 0, (2.5)

где

1

p + 2

MU = ( pAUN AN + 2Лк ), MUS = AUj AN) s -AjMU),.

Таким образом, объект Ощ является относительным инвариантом. Из (2.5) имеем

й 1ПОщ -юЩ = Вг0г + ВЩ0Щ . (2.6)

Продолжая (2.6), получаем сравнения на величины Вг, ВЩ : ЛВг + ю. + ЛЩ(юЩ + ВЩюУ)-0, ЛВЩ-юЩ -0. (2.7)

3. Частичная канонизация репера семейства Вр Щ-р-2

Далее ограничимся рассмотрением семейств Вр Щ-р-2. Для них индекс у принимает всего одно значение у = N -1, вследствие чего функции ЛуЩ образуют квадратную матрицу порядка д = N - р - 2. Обозначим через Л 2 ее определитель. Сравнение на Л2 имеет вид йЛ2 - Л2©, где © = д(юУ + юЩЩ) - 2юУ, откуда видно, что Л 2 — относительный инвариант. Далее ограничимся случаем

Л 2 * 0. (3.1)

Частичную канонизацию репера осуществим в три этапа.

Этап 1. Придадим нулевые значения величинам:

= 0, Л^ = 0, Л^ = 0.

Тогда из (1.3), (2.4) с учетом (3.1) получим, что столько же структурных форм стали главными (т. е. сравнимыми с нулем по модулю базисных форм):

юN - 0, < - 0, ю" - 0. (3.2)

В соответствии с леммой Остиану [3] произведена частичная канонизация репера. Разложим формы (3.2) по базисным формам семейства:

юN =Л"мег +Л"ЛN eN, юN вг +ЛДN eN, (3.3)

ю" = Л". е. вN.

Дифференцируя (3.3) внешним образом с последующим разрешением по лемме Картана, получим сравнения на коэффициенты при базисных формах

ЛЛм+Л>. - 0, ЛЛ"^ - 0,

ЛЛДг_Л>N + Л> У - 0, ЛЛ^ + ЛДV юу - 0. (3.4)

Откуда следует, что ЛNN — тензор. Обозначим через Л 3 определитель квадратной матрицы Цл"^ ||. Сравнение на Л3

имеет вид ¿Л3 - 2Л3(qюN _ю"). Таким образом, Л3 — относительный инвариант. Далее ограничимся рассмотрением случая, когда он отличен от нуля:

Л3 Ф 0. (3.5)

С учетом проведенной канонизации сравнения (2.4), (2.5), (2.7) упростятся:

ЛЛ г _ЛN■ юN +Юг - 0, Л^ - 0, ЛВг +Юг ю^^ - 0. (3.6)

Этап 2. Полагая Лг = 0, Вг = 0, ЛЩЩ = 0, из (3.4), (3.6) получим ю, - 0, ЛЩюЩ - 0, лущюУ - 0, откуда в силу (1.4), (3.5) имеем

юг - 0, юЩ - 0, юу - 0. (3.7) Этап 3. С учетом (3.2) и (3.7) имеем

ЛЛ'И-5)юу - 0 , ЛЛ'щ -5)юм - 0 . (3.8)

Тогда объекты

аи =Кг , ау =лгуг , аЩ = ЛЩ

являются квазитензорами, поскольку

Лаи - рюу - 0 , - аую1 - рюу - 0 йащ - ащюЩ - р®Щ - 0 . (3.9) Положим ау = 0, ау = 0, аЩ = 0. Тогда из (3.9) получим юу - 0, юу - 0, юЩ - 0. В соответствии с леммой Остиану

произведена частичная канонизация репера.

В итоге все формы, кроме ю, ю", юу, ю^, стали главными. Это означает, что линейные оболочки следующих совокупностей точек стали инвариантными плоскостями следующей пятичленной композиции, присоединенной к текущему элементу семейства:

С© Щр-1 © Щд-1 © Ау © Ащ = Рщ, Щр-1 = [А,.], Щд-1 = [Ау]. (3.10) Таким образом, доказана

Теорема. К семейству Вр щ-р-2, подчиняющемуся условиям (1.4), (3.1) и (3.5), внутренним образом присоединяется оснащение, состоящее из полей плоскостей и точек (3.10), дополняющих центр А до пространства Рщ .

Список литературы

1. Бочилло Г. П. К дифференциальной геометрии т-распределе-ний на многообразии всех гиперплоских элементов п-мерного проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983. Вып. 14. С. 18—23.

2. Кулешов А. В. Об одном проективном инварианте семейства гиперплоских элементов с огибающей поверхностью центров // Там же. 2013. Вып. 44. С. 69—77.

3. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RPR). 1962. T. 7, № 2. C. 231—240.

A. Kuleshov

About intrinsic clothing of some family of hyperplane elements

In multidimensional projective space a family Bp of hyperplane

elements is considered. The problem of construction of intrinsic clothing of such a family is set. This problem is solved in a special case. The solution is based on the method of moving frames and calculation of exterior differential forms of E. Cartan.

УДК 574.76

В. С. Малаховский

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Поля геометрических объектов п-параметрического семейства ап оснащенных центроаффинных преобразований

Исследуются поля геометрических объектов [1] п-параметрического семейства ап аффинных преобразований п-мер-ного аффинного пространства ап, каждое из которых сохраняет пару точек {А, В} и однозначно характеризуется заданием этих точек. Установлено существование последовательности р-ковариантных симметрических тензоров [2], порожденных семейством ап и последовательности п-мерных многообразий гиперконусов порядка р (р е К).

Ключевые слова: геометрический объект, аффинное преобразование, вектор, р-ковариантный тензор, гиперконус.

© Малаховский В. С., 2014 72