Теплопередача в медленных течениях газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том IX 197 8

№ 5

УДК 533.6.011

ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЯХ ГАЗА

А. В. Ж бакова, О. Г. Фридлендер

Исследуется теплопередача в условиях температурной (термострессовой) конвекции. Показывается, что влияние конвекции мало. Решается автомодельная задача о теплопередаче между соосными конусами.

Рассмотрим газ, в который помещены покоящиеся изотермические тела с температурой поверхности, отличной от температуры газа вдали от них. Если внешние массовые силы отсутствуют, скорость газа вдали от тел равна нулю (или Ие^ 1), а относительный перепад температуры порядка единицы, то около тел возникает температурная (термострессовая) конвекция, вызванная температурными напряжениями [1—3]. Эта конвекция, вообще говоря, может

привести к изменению распределения температуры в газе и, следовательно, тепловы* потоков к телам. Здесь будет показано, что это влияние температурной конвекции мало. .

1 В работе [3] были выведены безразмерные уравнения, описывающие температурную конвекцию газа. Приведем их здесь

— *>У 1п Т, (1)

-4-сУ1п7’= у(7* У Г), (2)

Т~1 (у V) Г+уП =П<1>- ш7’2*-2(У Г)2 4'ВД-1(оУ 1п Т)\7Т*. (3)

О

п =р + -у - -у со3) Т(УГ)2 + ^ Т*-1 (7 у Т),

д ( дvi до,- \ 1

п!', = гг/‘1«7 + ВД' »--5-

Здесь предполагалось, что газ одноатомный, зависимость вязкости от температуры степенная [л. ~ Г5, р = 1/Г.

Граничными условиями для уравнений (1)—(3) служат условия нёпротекания и температурного скольжения для скорости и равенства температур газа и твердой поверхности:

дТ —

^л = 0, «т = Р7’*-^г, Г = Тш при х € Яа,. (4)

Кроме того, если скорость вдали от тел отсутствует, то

V О, Т -*■ 1 при | х | -+ оо. (5)

Далее будут рассмотрены течения только около изотермических поверхностей (около тел с постоянной температурой поверхности) и,следовательно, в граничных условиях (4) дТ/дхх = 0. В уравнении (3) второй и третий члены правой части появились вследствие учета температурных напряжений. Изменение теплопередачи вследствие существования температурной конвекции, как это видно

из (2) может произойти только, если (учТ) фО, т. е. когда линии тока и изотермические поверхности не совпадают.

Рассмотрим прежде всего случай малых относительных перепадов температуры, 0 = АТ/Т < 1. Из уравнений (1) — (3) следует, что разложение скорости

в ряд по 0 начинается с третьего члена: v = Ь3v3 + .. . и что с относительной погрешностью 03 справедливо уравнение теплопроводности:

V V Т) = 0. (6)

Таким образом, изменение поля температуры за счет температурной конвекции происходит лишь в четвертом порядке по 0. Уравнения, описывающие это возмущение, запишем, вводя тепловой потенциал О = 7'г+1/($ + 1) такой, что = — д&1дх1. Тогда

2 = 2^ +64й4 + .. Г= 1 +07\ + ...; здесь описывает теплопередачу за счет чистой теплопроводности в нелинейной постановке (в любом приближении по 0):

Да2 = 0, 22,(7ги) = (1 + 0)"+1/(« + 1), (х -» оо) (5 + 1)“>,

£4 определяет первый ненулевой член возмущения температурного поля за счет температурной конвекции, Т, — температура газа, посчитанная в первом приближении по 0:

2 -

ДЙ4 = ДГ1 =0,

3 (5 + 1)

Д?з — УП = - (о V ?! (V Тхр, с!1у из = О,

^4 (-^ш) = Т! (лГдо) = 1, 1'з (Хуу) =0,

£>4 (X -*■ со) -* 0, ?! (х -*■ оо) 0, VЯ (х-> оо) -

0.

(7>

Сделаем некоторые выводы о характере изменения теплопередачи температурными напряжениями, исходя из трактовки уравнений (7) как уравнений, описывающих течение Стокса с внешней силой Р— V ^ (\7Т{)*. Картина течения в типичных случаях показана на фиг. 1. Поскольку скорость изменяет распределение температуры, то в области с тепловой поток от тела 7^ уменьшится, а

Т^Тг

тепловой поток к телу Т] увеличится; в области (1 ситуация обратная, — тепло* вой поток от тела 7’2 увеличивается, а к телу Т\ уменьшается.

Для того чтобы оценить эти эффекты при немалых перепадах температуры, рассмотрим задачу о течении газа между соосными конусами, которая является автомодельной. В этом случае решение имеет такую структуру:

уг= и (0)/г, vi = V (0)/г, = О, Щ = Р (0)/г2, Т = Т (0).

Краевая задача для и, V, Р, Т решалась методом Ньютона с относительной погрешностью 10—3. Результаты для течения между плоскостью и конусом с углом раствора тс/2, ось которого перпендикулярна плоскости, показаны на фиг. 3, 4, 5. На фиг. 3, 4 приведены радиальный и и угловой V компоненты скорости при течении со средним (т = 2) и большим (т = 7) перепадами температур. Кривые 1 и 2 соответствуют и и V при течении с конфигурацией а (фиг. 2), кривые 3 и 4 с конфигурацией б. Отметим, что при средних перепадах температуры влияние геометрической асимметрии велико, тогда как при боль-

ших перепадах оно становится несущественным. На фиг. 5 показано изменение теплового потока к конусам (на единицу длины) вследствие температурной конвекции, отнесенное к тепловому потоку рассчитанному по уравнениям чистой теплопроводности [V = V = Р= О, Т= Т(о)]. Кривые / и 2 показывают изменение теплового потока к холодному конусу и от горячей плоскости (фиг. 2, а), а кривые 3 и 4 изменение потока к холодной плоскости и от горячего конуса. Видно, что изменение теплового потока даже при больших перепадах температуры незначительно.

Приведем три примера течений, в которых изменение суммарного теплового потока к телам равно нулю. Прежде всего это автомодельное течение газа между изотермическими пластинами с различными температурами поверхности [4].

Вторая задача — задача обтекания сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса, решается методом возмущения задачи теплопроводности от сферы. Малый параметр в этом случае Йе^,, а исследовано это

течение в [5J. Там были установлены закономерности, которым подчиняется скорость, давление и сила, действующая на сферу. Из того же решения следует, что отклонение температурного поля Tt и скорости vr таковы: Г1=

= Ч'Ю № ('"Ж (Г) COS в], vr = /(г) cos в (в [5] решается задача для линейной зависимости вязкости от температуры fа ~ Г, однако структура уравнений и вид решения не зависит от конкретного значения показателя s в формуле (i- ~ Ts). Так как изменение теплопередачи обусловлено членом

V’V7’0(r), то возмущения постоянной по углу части температуры ф такое же, как и при расчете по уравнениям Навье — Стокса, t(r), вообще говоря, меняется по сравнению с навье-стоксовским значением, но очень незначительно (отличие меньше 5%). Более того, если нас интересует лишь интегральная характеристика, то вклада от переменного по .углу члена температуры t(r) cosfl не будет. Иными словами первые два члена разложения теплового потока в ряд по числу Рейнольдса (9 = %+ Reoo 9i + • • •) «е изменяются из-за существования температурных напряжений.

В третьей задаче — о Течении около равномерно нагретой слабо деформированной сферы — было показано [6], что возмущение температуры имеет следующий вид , .

' • • ‘ СО' ' ОО

Ту tn Рп (cos 0) + ^ [ А”1'0) (r> е) cos тЧ + Tim’!) (r< в> ®in т ?]•

п.— 1 т = 1

Отсюда непосредственно следует, что вклад в полный тепловой поток от деформированной сферы, даваемый возмущением температуры (в частности, и тем, который Определяется наличием температурной конвекции) равен нулю, поскольку он вычисляется как следующий интеграл по поверхности сферы

; ;

Таким образом, температурные напряжения вызывают температурную конвекцию, однако обратное влияние скорости температурной конвекции на теплопередачу пренебрежимо мало.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н., Галкин В. С., Ф р и д л е н д е р О. Г. О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции. .Успехи физ. наук*, т. 119, вып. 1, 1976.

2. Г а л к и н В. С., К о г а н М. Н., Фридлендер О. Г.

О некоторых кинетических эффектах в течениях сплошной среды.

„Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 3.

3. Г а л к и н В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г.

О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил .Изв.

АН СССР, МЖГ‘, 1971, № 3.

4. Галкин B.C., Фридлендер О. Г., Царькова Г. Е. Примеры термострессовой конвекции. .Ученые записки ЦАГИ“ т. 3,

№ 5 , 1972.

5. Галкин В. С., Коган М Н„ Фридлендер О. Г. Обтекание сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса. ПММ, т. 36, № 5, 1972.

6. Г а л к и н В. С., Фридлендер О. Г. Силы, действующие на тела в газе л обусловленные барнеттовскими напряжениями. ПММ, т. 38, № 2, 1974.

Рукопись поступила 231VI 1977 г.