Численное исследование медленных неизотермических течений около осесимметричных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII 1 982 №6

УДК 533.6.011

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

В. Ю■ Александров

Проведено численное исследование термосгрессовой конвекции около несимметричных равномерно нагретых тел при малых различиях температуры стенки и невозмущенного газа 0 = (Г®— - Т^/Тт « 1.

В работе [1] было показано, что медленные [число Рейнольдса Не == 0(1)] течения газа около существенно нагретых или охлажденных тел не описываются уравнениями Навье — Стокса, так как в уравнении импульса необходимо учитывать температурные напряжения. Следствием действия этих напряжений является ряд новых эффектов. Важнейшим из них является термострессовая конвекция —движение газа около изотермических тел под действием температурных напряжений [1, 2]. С целью выявления особенностей этой конвекции были рассмотрены простейшие автомодельные и приближенные решения исходной системы уравнений [2, 3]. Наибольшая информация о структуре течений была получена для случая малых перепадов температуры 0 [2, 4]. При этом задачи определения полей скорости и температуры разделяются; первая из них описывается уравнениями Стокса с дополнительным слагаемым в уравнении импульса типа „внешней объемной силы“ — соответствующего „остатка“ производных от температурных напряжений, который известен после решения температурной задачи.

Другим важным эффектом является силовое взаимодействие изотермических тел в газе (электростатическая аналогия) при малых 0. В приближении с точностью до членов О2 показано [5], что нагретые тела (7’а,>Гс0) отталкиваются; если же одно из них охлаждено {Тт<^Тоо), то они притягиваются. Однако на единичное тело сила не действует. Вопрос о том, действует ли сила на единичное тело в более общем случае, оставался открытым. Отрицательный ответ на него был дан для тел, близких к сферическим [4, 5].

Изучение термострессовой конвекции около трехмерных тел сопряжено с трудностями, обусловленными, во-первых, сложностью исходных уравнений при 0 — 1 и, во-вторых, тем, что для этого нужно рассматривать тела, далекие по форме от сферы. Около нагретой сферы газ покоится, так как давление уравновешивает температурные напряжения.

В связи с изложенным, в данной работе в приближении с точностью до членов 63 проведено численное исследование термострессовой конвекции около некоторого класса несимметричных тел и вопроса о термострессовой силе в том же приближении.

1. Характерные значения скорости термострессовой конвекции порядка

=== Н'Ф ^ /(рф

где р.*, р*—характерные вязкость и плотность, /.*—характерный масштаб длины в рассматриваемом течении.

При малых (5 < 1) перепадах температуры конвективными слагаемыми в уравнениях энергии и импульса можно пренебречь. Тогда в главном приближении с точностью до членов 03 термострессовая конвекция описывается следующей системой уравнений [4]:

V® = 0,

уП — у2© = <2, <2 = уг=1 (ут)2у', ^г=1 =--------------------§-,

у2 т = 0, X = (Т — Г0о)/( — Тх).

(1.1)

Здесь скорость течения V отнесена к ит. Слагаемое С) представляет собой внешнюю объемную силу, обусловленную температурными напряжениями.

Величину П можно рассматривать как обобщенное давление, в которое включена скалярная часть температурных напряжений, причем структуру величины П необходимо знать только при вычислении сил.

Граничные условия, замыкающие задачу (1.1), имеют следующий вид: на теле ® = 0, ^=1, вдали от тела V -*0, т ->■ 0.

При вычислении силы, действующей на нагретое тело, необходимо рассматривать полные местные (на поверхности тела) напряжения, включая температурные [5]:

| |Л„-2МЧ^,+ж,

(пе}) с15,

Г,

дх1 длгу “Ь а2ТИ Г дТ \_dxi ( 1 ^ ''О | (пв]) ¿Б,

дТ дТ 1 г дТ дТ

дх^ дх) 3 Ч дхк дхк

Г дТ дТ 1 I дх[ дХ] I

Здесь Г—безразмерная температура, удовлетворяющая уравнению энергии

Л2 = -§-V 1п Т, Q= jт]с1Т.

Коэффициенты а1ип а2т определяются зависимостью коэффициентов вязкости р и теплопроводности г) от температуры (а2ш = 0 при > ~ Т).

Для вклада р[ температурных напряжений в силу было получено [5] следующее выражение:

?т _ ‘ _2_

3

Ft =---------«2«, j (vЛ2 (л^г) dS-

Имея в виду кубическое по 0 приближение, вкладом в величину Г/можно пренебречь. Для доказательства этого утверждения следует заметить, что функция ■ 2+= 1-j-0 + й2 02 4- 23 03, определяемая как сумма первых трех членов в разложении 2 по перепаду температур 6 (у In Г — 0), удовлетворяет уравнению Д2+ = 0 (вне тела). С той же погрешностью О(04) вклад Ff

(Ч J» J (V2+)2 {пе,) dS + О (О*).

13 5

Используя известный в электростатике результат [6], согласно которому для любой величины 2+, удовлетворяющей уравнению Лапласа, интеграл по односвязной поверхности равен нулю

| (у2+)2 (ne¡) dS = 0, 2+ |s = const,

s

приходим к выводу, что FJ = О(04).

Аналогичным образом доказывается, что при вычислении полной силы F¡ необходимо знать только обобщенное давление П:

j 5tJ Р (tie¡) dS - J b.j П (net) dS + O (0*),

5 5

так как с той же точностью

Il = P+Xr(vT)*+ О (04)

и при интегрировании по изотермической поверхности тела

j' Xr(yT)2 (nei)dS = 0(V).

s

Таким образом, в приближении 03 по перепаду температуры сила, действующая на тело, определяется

А ГГ ( dvi dv f у

К“(-гг- + -Щ-) <L2>

s

где v, П — скорость и обобщенное давление, определяемое из задачи (1.1).

2. Рассмотрим термострессовую конвекцию около параметрического семейства осесимметричных тел, включающего сфероид. Форма поверхности тел и область, занятая газом, задаются аналитическим отображением внешности меридионального сечения сфероида, имеющим вид

Zi + ípi = 2e/(z0 + /р0), р1 = АЦх22 - 1)(1 — xj), ] (2 ^

z0=Áxix2, л:2>1, — 1<^1<1. I

Здесь s — параметр, характеризующий степень несимметрии тела.

При таком задании поверхности тела сфероидальная система координатных линий z0 (^ — const, х2), р0 (лг15 х2 = const), р0 = const

переходит в систему криволинейных ортогональных координатных линий, связанных с телом.

В качестве исходной при построении итерационного алгоритма используем систему (1.1), записанную в переменных вихря и функции тока д

(2.2)

(■* -¿г'^') ■+ -¿г (■■ ж с) -го'-|<№

^(г£)+-ггЬ£)--1^ г-,-а

Здесь g1, g2, gя, метрические коэффициенты системы координат, связанной с телом.

Аппроксимируем дифференциальные операторы уравнений (2.2) со вторым порядком точности по шагу расчетной сетки к соответствующими конечно-разностными операторами

дх1

д

дх-2

дф дХ]

дії дх2

д

дхі °2 дх1

+І+Х./-+І. /

\ 2/*—1/2* / Д2 — 1 Т*. />

Л2

Ф». /+1 ~~ Ф*. У

Л2

*, \ ф*./-Ф/, /-1 ,

У—1/2 - р = ¿2 ф/, />

(У^з С) * Ы,-

( + 1/2, / '

Л2

. . (СУйЮ —(СУ>з)/-1 І_„Г

Л?і)і—1/г,/ р = Аі <»/,/;

а

ЙЛГо

(/^д^(0і)л/+і/2

(с І /+1 — (С К£з)‘. /

А*

, . (їУ^з)і. / - (С У"£з)г, /-1 _ „ .

/—1/2 л» —''гЧ /)

г = 0, 1, . . . , Д, /' = 0, 1,

Т.

где ф/, /, С/, / — значения С и * в узлах расчетной сетки. Запись

а.

1+1/2, / означает а.+1/2 іУ£=а[(/ + 0,5) А, у/г].

В итоге получаем конечно-разностную со вторым порядком точности аппроксимацию уравнений (2.2), записанную в матричном виде

Кл С,-, / + /С2 С,. / = /, (х,-. /); Ц фг. у + ¿2 фг, / =/2 (С/, /). (2.3)

Здесь ^ (х(. .), /2 (С;_;.) — аппроксимация с тем же порядком точности правых частей уравнений (2.2). Каждое из уравнений (2.3) является конечно-разностным уравнением Пуассона, которые, однако, необходимо решать совместно. Расщепляя каждое из уравнений (2.3) по пространственным переменным [7], для системы

(2.3) получаем следующий итерационный процесс:

д-ЦЕ- дК2) ПТ - С".,-) = Кх С?,, + К2 С?., -/, (у, /);

(Е - ЧКХ) (С/1 - С?, /) = СП1'2 - С" у;

«у-1 (Е — ^¿2) (ф?+1/2 - ф» ,) = /■! Ф?, + ¿2 Ф* у - /2 (£»+!);

(Я - ^,) ОД1 - ф£ ,.) = ф"+.^- ф? ,•

Здесь £ — единичная матрица, ? — итерационный параметр.

(2.4)

Уравнения системы (2.4) решаются методом скалярной прогонки. Система разностных уравнений (2.4) должна быть замкнута соответствующими граничными условиями для ф»+1/2,фя+1, Сп+1/2, С”+1. Граничное условие для Сл+1/2 на поверхности тела, которое должно обеспечивать выполнение условия прилипания, строится приближенно со вторым порядком точности [8]. Это двухточечное соотношение, связывающее значение Сп+т на поверхности тела со зна-

y /1+1/2

чением С в соседнем узле сетки, имеет вид

&112 =«, КV/2 + sV7tgi (•#. 1 - ь. o)l(gh2)) ■

Коэффициент аг зависит от выбора системы координат

“-{[2т^|по'+г!-1п(Ут)]А^21 '•

Граничные условия для фп+1/2, фп+1, С"+1: на теле ф”'о1/2 = 0, на оси симметрии <1>о,+/ = t"*/ = Со,4/1 = С”,+/-

Ввиду ограниченности расчетной области и с целью повышения точности расчета в качестве граничных условий на внешней границе расчетной области для f и С использовалось асимптотическое решение. С погрешностью О (г-2) в отсутствие набегающего потока асимптотическое значение скоростей течения совпадает со скоростями течения, вызванного точечной силой, приложенной в начале координат, где помещено исследуемое тело, и направленной вдоль оси симметрии.

Значения ф и С, соответствующие этому течению в цилиндрической системе координат (z, р), будут

'Ьоэ = — Fz р2/(8тгг), Соо = —^p/(4n:r3), г2 = z2 + р2. (2.5)

Здесь F2 — сила,, действующая на тело в направлении оси симметрии.

При проведении расчета Fz подсчитывалось в конце каждой итерации. Таким образом,

ф#1/8 = фоо, СГт1/2 = Соо.

Увеличение размера расчетной области при сохранении заданного числа узлов достигалось введением дополнительного растяжения по координате лг2 в отображении (2.1).

Сйстема разностных уравнений (2.4) вместе с граничными условиями при установлении, когда С” ¡ -*■ С"4}1, ф", / -»• фГ/\ эквивалентна системе (2.3). Хотя каждый целый итерационный шаг 1п (tn+1> фп ф"+\ взятый отдельно, абсолютно устойчив, при совместном решении уравнений для С и ф величину итерационного параметра, обеспечивающего сходимость итераций, необходимо подбирать экспериментальным путем.

По изложенному алгоритму проведен методический расчет обтекания сфероида в приближении Стокса. Расчет дает хорошее согласование как силы сопротивления, так и полученных полей с известным точным решением [9]. Для силы сопротивления погрешность расчета составляет меньше 0,1%.

При расчете задачи о конвекции асимптотические поправки к граничным условиям (2.5) ввиду малости значения Fz оказывают слабое влияние на качественное и количественное поведение величин if и С вблизи тела.

Согласно (1.1) температурные поля определяются отдельно до проведения расчета термострессовой конвекции. Конечно-разностная задача Дирихле для уравнения энергии системы (1.1) решается итерационным методом переменных направлений ]7], где расщепление по пространственным переменным проводится аналогично

(2.4). С целью повышения точности определения температуры и ее производных, определяющих температурную силу <3 в правой части уравнения импульсов, в качестве граничных условий для температуры на внешней границе расчетной области используется асимптотика задачи Дирихле:

Т = В0г~' + 51Рг-2 + 0(г-3). (2.6)

Коэффициенты В0, Вх находятся по значениям Ти / на предыдущей итерации. Сравнение результатов расчета температурного поля около нагретого сфероида с точным решением [10] свидетельствует об эффективности асимптотической поправки (2.6) при определении температуры и ее производных. Для повышения точности определения температуры расчет ее производится на более мелкой сетке, кратной той, на которой производится расчет задачи о конвекции.

Полученные в результате расчетов картины течений около нагретого (9>0) сфероида и одного из тел параметрического семейства представлены на рис. 1 и 2. Течение около осесиммет-

Рис. 1

ричных тел, обусловленное температурными напряжениями, представляет собой систему двух тороидальных вихрей противоположной направленности, разграниченных разделительной линией тока <]> = 0. Конвективное течение обусловлено отсутствием сферической симметрии поля температуры вследствие непостоянства радиуса кривизны в различных точках поверхности. Внешняя объемная сила <3, обусловленная температурными напряжениями, максимальна вблизи участков тела с малым радиусом кривизны, там же скорость конвекции достигает наибольших значений.

Вдали от нагретого тела (рис. 3) происходит замыкание линий тока. Течение в этой области существенным образом определяется асимптотической поправкой к граничным условиям на внешней границе расчетной области. Поскольку сила, определяющая эти поправки, мала (подробнее об этом будет сказано ниже) и с увеличением точности расчета приближается к нулю, размер области, в которой имеет место замкнутость линий тока, по мере увеличения точности возрастает.

3. Для выяснения вопроса о величине термострессовой силы расчет проводится для случая существенно несимметричных тел. Результаты расчета силы, определяющейся прямым интегрированием по поверхности тела по формуле (1.2) для различных тел параметрического семейства, представлены на рис. 4. Все результаты приведены в данной работе для случая Кг=1 = — 3/2, что соответствует зависимости коэффициента вязкости от температуры [д.— Т. Вследствие линейности исходных уравнений результаты для других значений У т~1 получаются из приведенных перенормировкой.

С ростом несимметрии тела, характеризуемой параметром е, полная сила Р слабо и нерегулярно зависит от е, оставаясь близкой к нулю. На рис. 4 представлены значения вклада в Р вязких напряжений /%,. В отличие от Р, Рь существенно возрастает с ростом в, и величина Рп существенно больше Г. Такое поведение Р подтверждает правильность выбора тел для проведения вычислительного эксперимента. Достаточность несимметрии тела по отношению к ожидаемой величине Р подтверждается также тем, что по мере роста г существенно возрастает отношение локальных максимумов вязких напряжений вблизи соответственно левой и правой кромки тела. Для тела, меридиональное сечение которого представлено в верхней части рис. 5, это отношение составило Х = 2,1 (для сфероида >.= 1).

Рассчитанное значение полной силы Р оказалось много меньше ожидаемой величины, полученной из оценки ее по значению местных напряжений на поверхности тела, которая равна по порядку величины 10

Рассмотрим следующие интегралы от местных напряжений по поверхности тела Ф = Фр + Ф„:

где интегрирование ведется от левой кромки тела к правой. Значения Ф, Фр представлены на рис. 6, а Ф„- на рис. 5.

Из приведенных значений Фр, Ф^ и Ф видно, что локальной компенсации действия вязких напряжений и давления не происходит. Тем не менее в итоге Рр и Ру компенсируют друг друга,

приводя к чрезвычайно малым значениям Р, которые следует отнести к вычислительной погрешности.

Так как форма исследованных тел обладает достаточной общностью, то, учитывая установленный факт компенсации вклада в силу, даваемого вязкими напряжениями и давлением, на вопрос о существовании силы, обусловленной термострессовой конвекцией в случае малых перепадов температуры, следует дать отрицательный ответ.

Автор благодарит М. Н. Когана за постановку задачи, О. Г. Фридлендера и А. И. Толстых —за полезное обсуждение и помощь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Галкин В. С., Коган М. Н., Ф р и д л е н д е р О. Г.

О некоторых кинетических эффектах в течениях сплдшной среды.

„Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 3.

2. Галкин В. С., К о г а н М. Н., Фридлендер О. Г.

О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил. „Изв.

АН СССР, МЖГ-, 1971, № 3.

3. Галкин В. С., Ф р и д л е н д е р О. Г., Ц а р ь к о в а Г. Е. Примеры термострессовой конвекции в газе в отсутствие внешних сил. „Ученые записки ЦАГИ", т. III, № 5, 1972.

4. Коган М. Н., Галкин В. С., Фридлендер О. Г.

О напряжениях, возникающих в газе вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции. „Успехи физических наук", 1976, 119, № 1.

5. Галкин В. С., Фридлендер О. Г. О силах на теле в газе, обусловленных барнеттовскими напряжениями. ПММ, 1974, т. 38, № 2.

6. Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. М., Гоетехиз-дат, 1948.

7. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., „Наука“,

1977.

8. Woods L. С. A note on the numerical solution of a fourth order differential equation. Aeron. Quarterly, vol. 5, N 3, 1954.

9. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М., „Мир“, 1976.

10. Морс Ф. М. Ф е ш б а х Г. Методы теоретической физики. М., Изд. иностр. лит., 1958.

Рукопись поступила 26/VI 1981