Движение остывающей или нагревающейся в газе сферической частицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XV 19 8 4

Мб

УДК 533.6.011

ДВИЖЕНИЕ ОСТЫВАЮЩЕЙ ИЛИ НАГРЕВАЮЩЕЙСЯ В ГАЗЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ

А. Ю. Борис

Рассчитывается неустановившееся термофоретическое движение первоначально нагретой (охлажденной) относительно газа и остывающей (нагревающейся) сферической частицы. Расчеты проводятся как с учетом, так и без учета сил, обусловленных действием барнеттовских температурных напряжений. Анализируется влияние, оказываемое температурными напряжениями на движение частицы.

Будем рассматривать твердую сферическую частицу, равномерно в начальный момент прогретую, не содержащую источников тепла, внезапно помещенную в газ, температура которого не равна температуре частицы в начальный момент и слабо неравномерна (имеется малый однородный градиент температуры вдоль некоторого направления). Газ считается сплошной средой.

В результате теплообмена с газом частица будет остывать (нагреваться), а из-за неоднородности температуры газа температура поверхности частицы также станет слабо неоднородной (частица имеет конечную теплопроводность). Скольжение газа вдоль неоднородно нагретой поверхности частицы приведет к появлению действующей на частицу термофоретической силы, вычисленной в [1]. Неоднородное распределение температуры в газе, окружающем нагретую частицу, вызовет термофоретическую силу, обусловленную действием температурных напряжений [2, 3]. При этом второй эффект будет определяющим в начальный момент, когда температура частицы еще сильно отличается от температуры газа на бесконечности и неоднородность температуры ее поверхности мала, а скольжение будет определять скорость установившегося термофореза, когда частица остынет. Под действием тер-мофоретических сил частица начнет смещаться, и на нее будет действовать сила сопротивления со стороны газа [4]. Все эти силы зависят от температуры частицы, и на их величину влияют температурные напряжения. По мере того как частица будет остывать, скорость ее будет стремиться к скорости обычного термофореза. Рассмотрим начальный период движения частицы, когда ее температура еще существенно отличается от температуры газа, и §ыясним влияние температурных напряжений на ее движение. Для сравнения расчеты проводятся как с учетом действия температурных напряжений, так и без их учета.

Введем безразмерные координаты х, у z, время t, температуру Т, плотность р, коэффициенты вязкости |д, и теплопроводности X, скорость V, давление р и силу F следующим образом:

Lx, Ly, Lz, L2 K~4, Too T, p^p, ^ ji,

I*»PS1 Poo{\

Здесь L-характерный размер — радиус сферы, ^=X(pc)_1 — температуропроводность частицы (р, с, к — плотность, теплоемкость и теплопроводность частицы — считаются не зависящими от температуры), Р — давление, R — универсальная газовая постоянная. Индексом «оо» обозначены соответствующие параметры газа вдали от сферы в отсутствие градиента температуры.

Уравнения, описывающие нестационарные теплопередачу и течение в газе [5] в системе координат, связанной с частицей, могут быть

записаны в следующем виде:

st Т~гdTjdt = Ргу (Г-1 v), (1)

e<3/2d77<?f + Pr(®v7’)~ у (7* vT), (2)

е, Рг Г-1 dv/dt + Г”1 (®у) v + vn = П0) +ai №2+«2 In Т) уР, (3)

где

II = р + 2/3 Eoh Т'5-1 {vsjT) + оа T2s~l (у Г)2,

и!-1’ — —

dxj

dxj 1 dxi

cn

Pr, * = -/-,

2 x ’ cv

«1 = — 1/2 (stOj + <B3), a2 = E(ml + CO Js), a3 = 1/2(5(0, — l/3o>3),

В эти уравнения входят параметры &t = К/Коо(Кж = '•<»(р^р)-1--температуропроводность газа на бесконечности), Рг = v-x!cP 'к<х — число Прандтлч. Плотность исключена при помощи уравнения состояния р = Т-1. Принята степенная зависимость коэффициентов переноса в газе от температуры (р = Ts). Числа а,.— коэффи-

циенты при барнеттовских членах.

Распределение температуры внутри сферы Т описывается уравнением теплопроводности (коэффициент теплопроводности сферы не зависит от температуры):

df/dt = (4)

Граничные условия на бесконечности и на поверхности сферы в сферической системе координат, связанной с центром частицы, в безразмерной форме имеют вид:

г -> оо, Т -* 1 + гг cos 6, ю-+гиех, (5)

Г= 1, Т=Т, vr = 0, vt = ?r*-¥-t (6)

or or до

где е= (VTJooCl—градиент температуры вдали от сферы, г, 0 — полярные координаты, ех — единичный вектор, направленный вдоль градиента температуры, и — безразмерная скорость набегающего потока,

Л = ЛДоо — отношение теплопроводностей сферы и газа на бесконечнос-

ти, р — 0,84 — коэффициент температурного скольжения газа.

На бесконечности имеется малый градиент температуры, направленный вдоль оси х. Поскольку термофоретические силы, очевидно, направлены параллельно градиенту температуры на бесконечности и пропорциональны е, то и скорость движения частицы (скорость потока на бесконечности в связанной с частицей системе координат) должна быть параллельна оси х и пропорциональна е. Граничные условия на поверхности сферы соответствуют отсутствию температурного скачка, равенству тепловых потоков и условию скольжения газа вдоль поверхности сферы.

Для определения скорости набегающего потока и в (5) (скорости частицы) выпишем безразмерные уравнения движения частицы:

йи 3 Рг с . < г, йХ г, е

—л-——»-----------А-1/7, ~-гг = Рг----- и, (7)

(И А и Ср (И ' '

где /г = /7*/е, Р* — равнодействующая термофоретических сил и силы сопротивления, X — безразмерное смещение частицы. Необходимые начальные условия задачи будут выписаны ниже.

Рассмотрим теперь величину параметра ег = роо/рср/с},/као, входящего в уравнения (1) — (3) и характеризующего относительные скорости установления тепловых процессов в газе и в частице. Для большинства твердых частиц и газов роо/р^Ю 3-^10-4, сР/с^ 1. Отношение теплопроводностей теплоизоляционных материалов и газов (а также жидкостей и их паров) АДзо—Ю1—102. При таких соотношениях параметров получаем, что ~ 10 1—10-2. Таким образом, тепловые процессы устанавливаются в газе значительно быстрее, чем в частице.

Будем считать, что е<<С1 есть второй малый параметр задачи, кроме е, и будем искать решение задачи (1) — (6) в виде разложения по этим малым параметрам:

Т= Т0(г, О-4-г,Т01(г, О + еГ^г, 0, 0 + о(е, е,), |

v = v0(r, t) + гtv0l(r, ^ + Ь, , Г > 1, (8)

П = п0 (г, 0 + в, П01 (г, *) + аП, (г, 0, 0 + о (е, еД I

Т = У0(г, г) + е,Г01(г, ^-±вТ^г, 6, *) + о(е, г,), г < 1.

В разложениях (8) Т0, у0, П0, Т0 — сферически симметричное решение задачи нестационарной теплопередачи вне и внутри сферы. Внутри сферы для определения Т0 имеем

дТ0

7г4'Х'-О.

дt Тп = Т0> дТ0!дг — То Л-1 дТ0/дг, г= 1, дТ0',дг = 0, г = О, Т0 = Т00, £ = 0, 0<г<1.

О)

Для величин Г0,и0,По, описывающих течение и теплопередачу вне сферы, из уравнений (1)—(3) получим стационарные уравнения, в которые не входят производные по времени (так как при производных по времени стоит малый параметр е*). Используя граничные условия (5), (6), получим решение

*\, = 0, 7'0 = [1 +(Т£+1(1, г)-1)'--1ртг, г> 1, (10)

зависящее от времени как от параметра, вследствие нестационарное™ температуры поверхности частицы 7о(1, t).

Для Тю, ую, П«, Т10 получим нестационарные уравнения. Но так как это сферически симметричное решение (несимметрию в задачу вносят граничные условия с є), дающее малую добавку к основному сферически симметричному решению (9), (10), то в основном приближении оно не дает вклада в силу, действующую на сферу, и оно нас в дальнейшем интересовать не будет.

Несимметричная часть распределения температуры внутри сферы Ті описывается следующим уравнением, граничными и начальным условиями:

Для несимметричной части возмущенных величин в газе получим линейные стационарные уравнения. Зависимость от времени как от параметра войдет в решение этих уравнений через зависящие от времени граничные условия и коэффициенты уравнений (которые зависят от Г0). Граничные условия для этих уравнений имеют следующий вид (условия на бесконечности получены методом сращиваемых асимптотических разложений аналогично [6]):

где (ух)г и (г»))в — компоненты возмущенной скорости в сферической системе координат.

Линейность уравнений для Т1, г>ь Пь Т1 и вид граничных условий (12), (13) позволяют, подобно тому как это было сделано в [6], произвести разделение переменных:

При этом уравнения для возмущенных величин в газе сводятся к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно функций /, g, к, х (аналогичная система выписана в [4]) со следующими граничными условиями:

dTJdt — у2 7', =0, 0<г<1,

(П)

7\ == Ти dT1jdr=^Ts0A-i dTJdr, г= 1, Г,=0, г = 0,

(12)

г ->■ со, 7", ^ г cos 0 + Du cos 0, иех,

(D-(fS+I(l, 0-D/2(s+ 1)),

г = 1, ТХ=ТЪ (za = 0, (Wj), =p7o<?7y<?0,

(13)

(Vi)r~f(r) C°S0, (vx)9 = — g-^sift 0, n, = /z(r)cos6, r1=--7’oix(r)cos0,

7'i = x(r) cos 6.

Уравнение (11) сводится к одномерному уравнению нестационарной теплопроводности

Решение уравнений для возмущенных величин в газе может быть представлено в следующем виде:

К=К1 + К2^+К3м, К=(/, ^ Л, т),

где 2, 3)—решения следующих стационарных задач: К,—

решение задачи о течении, обусловленном действием температурных напряжений, около равномерно нагретой сферы, находящейся в газе со слабым градиентом температуры на бесконечности [3]; У г — решение задачи о течении, вызванном скольжением газа вдоль поверхности слабо неравномерно нагретой сферы, помещенной в покоящийся на бесконечности газ [4]; У3 — решение задачи об обтекании равномерно нагретой сферы [4].

Такое представление решения возможно, поскольку граничные условия (13) являются линейной комбинацией граничных условий соответствующих задач, а течения во всех задачах описываются одними и теми же линейными уравнениями. Поэтому для определения тепловых потоков и силы, действующей на частицу, можно воспользоваться результатами [3, 4].

Представим величину т, входящую в граничные условия уравнения

(14), и безразмерную силу в уравнении движения частицы (7) в виде:

Т = х1 4- Т2Т + Т3и, Т7 = л + Р2 * + ^3 и, (15)

где п, Fi получены из решений соответствующих задач и являются функциями температуры поверхности частицы 70(1, О-

Зависимости безразмерных сил Рг от Т0, полученные в [3, 4], показаны на рис. 1 для 5=1 (^=Х=Т). Сплошными кривыми даны результаты расчетов с учетом температурных напряжений, штриховыми — без их учета по уравнениям Навье—Стокса. Кривой 1 показана — тер-мофоретическая сила, действующая на равномерно нагретую сферу [3]

(она имеет противоположные направления на нагретой и охлажденной сфере, а в случае расчета по уравнениям Навье—Стокса равна нулю). Кривая 2 показана Рг — сила, действующая на слабо неравномерно нагретую сферу [4].

Кривыми 3 показана Рз— сила сопротивления равномерно нагретой сферы [4].

Таким образом, для определения движения частицы получена замкнутая задача: уравнение (9) и решение (10), описывающие сфери-чески-сим'метричное остывание (нагрев) частицы, уравнение (14), описывающее несимметричный прогрев частицы [величина т, входящая в граничные условия этого уравнения, представляется в виде

(15)], уравнение движения частицы (7), в котором для определения ве-

личины силы также используется (15) и результаты работ [3, 4] (см рис. 1). В качестве начальных условий для уравнения движения частицы примем, что при ^ = 0 и = 0 и ^Г = 0.

Отметим, что уравнения (7) и (14) решаются совместно и для их решения необходимо определить зависимость Го(1, 0 из уравнения (9). При численном интегрировании уравнений (9) и (14) применялась неявная . разностная схема второго порядка, а уравнения движения частицы (7) интегрировались методом Рунге—Кутта.

При 1^оо из (7), (9), (14) следуют формулы для термофоретиче-ской силы /^ = Л +/^т и скорости обычного стационарного термофореза ненагретой частицы:

При Т0=#=1 функции %г и Г, умеют различные значения в случае расчета их по уравнениям Навье—Стокса и с учетом температурных напряжений. Поэтому и рассчитанные величины скорости и смещения частицы будут различными.

Результаты расчетов представлены на рис. 2—5 в виде зависимостей температуры поверхности Т0, возмущенной температуры т, термофо-ретической силы Гт, скорости и и смещения частицы X от времени Безразмерное время ^ отнесено к Л, чтобы на всех графиках был близ-кий масштаб по времени. Безразмерные температуры Т0,х, термофорети-

(16)

Рт -> Т7оо =: 12тф/(2 -}- Л), и —* Иоо = 2^/(2 -(- А).

ческая сила Рт и скорость и отнесены к их стационарным значениям при /—>-оо (16). Безразмерное смещение отнесено к X * = РгЛееГ1-

Сплошными линиями показаны результаты расчетов с учетом действия температурных напряжений, штриховыми — без их учета. Кривые 1 соответствуют первоначально нагретой частице (Гоо==5), кривые 2— охлажденной (Гоо = 0,2). Представленные на рис. 2—5 расчеты проводились при следующих значениях параметров: 5=1 (коэффициенты вязкости \\ теплопроводности газа пропорциональны температуре: ц. = А = Г), с/ср= 1 (одинаковые теплоемкости частицы и газа), отношение теплопроводностей частицы и газа Л=10 и 100 (на рис. 2—4 Л= 10, на рис. 5 кривые а — Л=10, кривые б — Л=100).

Учет температурных напряжений слабо влияет на температуру поверхности частицы (рис. 2), но существенно изменяет величину термо-форетической силы, действующей на частицу в начале движения (рис. 3). Причем для первоначально охлажденной частицы (кривая 2) эта сила направлена противоположно направлению той же силы при установившемся термофорезе. Значительные различия в силах приводят к существенно различным зависимостям рассчитанной скорости частицы от времени (рис. 4). Скорость частицы, рассчитанная с учетом действия температурных напряжений, в начале движения существенно превышает скорость стационарного термофореза.

Наибольший интерес в зависимости смещения частицы от времени (рис. 5) представляет то, что первоначально охлажденная частица в начале движения смещается в направлении, противоположном смещению при установившемся термофорезе (сплошные кривые 2 на рис. 5), в то время как расчеты без учета температурных напряжений дают всегда одинаковое направление смещения (штриховые кривые). Для возду-

4 «Ученые записки» № 6

49

ха при р= 1 ат, / = 20°С и 7’ = 0,2, Л=Ю-1—10“®, et^lO"1—10 2, е = = 10~1—10“2 максимальная величина обратного смещения частицы имеет порядок 102L. Для частиц размером 10~2 см характерное смещение составит около 1 см, а характерное время, за которое это смещение произойдет, t* = L2Kt^ 1с. Этот эффект дает возможность экспериментально обнаружить действие температурных напряжений.

Автор благодарит О. Г. Фридлендера за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Epstein P. S. Zur theorie des radiometers. — Z. Phys., 1929, bd. 54,

N 7/8.

2. К о г а н М. H., Г а л к и н В. С., Ф р и д л е н д е р О. Г. О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы, свободной конвекции..— Усп. физ. наук, 1976, т. 119, вып. 1.

3. Галкин В. С., Фридлендер О. Г. О силах на тела в газе, обусловленных бранеттовскими напряжениями. — ПММ, 1974, т. 38, вып. 2.

4. Борис А. Ю., Фридлендер О. Г. Медленные течения газа около сильно нагретой или охлажденной сферы. — Изв. АН СССР, МЖХ,

1981, № 6.

5. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. Термо-и диффузионно-стрессовые явления. — В кн.: Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике.— М.: Издательский отдел ЦАГИ, 1977.

6. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. Обтекание сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса. — ПММ, 1972, т. 36, вып. 5.

Рукопись поступила 31 ЦП 1983 г.