Примеры термострессовой конвекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том /// 1972

№ 5

УДК 533.6.011

ПРИМЕРЫ ТЕРМОСТРЕССОВОЙ КОНВЕКЦИИ

В. С. Галкин, О. Г. Фридлендер, Г. Е. Царькова

Проведен анализ задач о термострессовой конвекции — движении газа около равномерно нагретых тел при отсутствии внешних сил, вызванном так называемыми температурными (барнеттовскими) напряжениями. Приведены результаты численного решения этих задач.

Постановка задач о термострессовой конвекции дана в работе В. С. Галкина, М. Н. Когана, О. Г. Фридлендера .О свободной конвекции в газе в отсутствии внешних сил* („Изв. АН СССР — МЖГ“, 1971, № 3).

Термострессовая конвекция в случае одноатомного газа из максвелловских молекул (когда коэффициент вязкости р. линейно зависит от температуры) описывается следующей безразмерной системой уравнений:

Здесь скорость V отнесена к .вязкой* скорости р^/р* 1, температура Г—к Г*, координаты XI — к характерному размеру £, характерные ‘значения Г#, и р* берутся на одной из стенок. Плотность р исключена при помощи уравнения состояния, в величину П входит безразмерная «возмущенная* часть давления и часть навье — стоксовских и барнеттовских напряжений; в дальнейшем структурой П мы не будем интересоваться.

Чтобы выделить барнеттовские члены уравнения импульса (2), перед ними введен множитель 8; в рассматриваемом приближении 8=1, в приближении Навье — Стокса 8=0.

В (1) —(3) отброшены члены, имеющие порядокКп2 (число Кнудсена Кп < 1).

В случае термострессовой конвекции граничные условия на стенке такие же, что и для уравнений Навье — Стокса, т. е. условия прилипания.

Перейдем к рассмотрению примеров термострессовой конвекции.

В упомянутой выше работе рассмотрено плоское течение в угле АОВ (угол раствора а); температуры стенок ОА и ОВ постоянны и отличны одна от другой, так что

у^=і>уіп7'; у- (о-У) «+У П =П(1>-6-|-(У7’)2У7' + 52(іГуіпГ)У7’; ' -|-ІЛ7іп Т= У{Т\7 ТУ,

(1)

(2)

(3)

(4)

а

Т = 1 при <р = — ~2~;

а

Г — т > 1 при у = ~2~ ■

Показано, что отлична от нуля только радиальная скорость V,, причем

та — I т* 4- 1

Для и (<р) получено нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого найдено при (х— 1) « 1.

Введем вместо <р новую переменную:

которая при любых а является конечной величиной. Тогда выражение для безразмерного расхода у примет вид

Используя переменные (6) — (7) в уравнении для и, полученном в упомянутой работе, приводим его к виду

где С—постоянная интегрирования, Т = 1 + С. Краевые условия для этого уравнения следующие: ^ = 0 и ^/<К = 0 при С, равном нулю и С*. Условие Я(£*) — 0-следует из требования (? = 0. Это наиболее интересный случай: при отсутствии суммарного расхода газа движение вызывается только барнеттовскими температурными напряжениями (термострессовая конвекция), в рамках уравнений Навье—Стокса (8 = 0) при (? = 0 движения нет. При а < 1 приближенное решение задачи дается уравнением

т. е. при т-* 1 величина <р*0. С ростом т картина течения становится все-

а

более несимметричной, при т -» оо величина <р* -»—

Приведенное в упомянутой работе решение для (т— 1) С 1* не существует при а = л и 2я и не единственно при а = ао, где о0 —корень уравнения tga = a при а <2 п. В случае (т—1) = 0(1) решение существует не для всех а, т; осо-

* Как показывают сравнения с численными решениями, даже при т = 2 оно-в основном правильно описывает зависимость решения от а.

(6>

а

2

а

а

0

2

В соответствии с этим введем новую зависимую переменную

с

(7>

о

так что

(8>

-3* = -3 + С(1+С),

откуда с учетом краевых условий имеем

и= 2(^+1) [(*-1)2 - 3(7--1)(т-0 + 2(7- -!)»].

(9>

Из выражения (9) следует, что и = 0 и при

а т — 1

<р - <Р* = - -4- ■

юенности в указанных точках сохраняются и здесь, однако а0 = я0(т). Решения равнения (8) имеют качественно разный характер для интервалов 0 < а < я,

я<а<а0> ао<а<2л.

На фиг. 1—3 приведены некоторые результаты численного решения уравнения (8) с относительной погрешностью не более 10~4. На фиг. 1 иллюстрируется рост и с увеличением т при фиксированном а. На фиг. 2 и 3 показано изменение характера течения с ростом а при фиксированном т = 2 (кривые 3 и 4 на фиг. 2 и кривые / и 4 на фиг. 3 построены в уменьшенном масштабе). Отметим увеличение и при приближении а к его особым значениям.

Штрих-пунктирными кривыми на фиг. 1 и 2 даны результаты расчетов по формуле (9). Даже при а = 1,07 они хорошо согласуются с результтаами числен-

г=г

ных расчетов.

Далее в указанной выше работе рассматривались плоские задачи, получаемые возмущением краевых условий простой исходной задачи — о теплопередаче между двумя параллельными стенками с заданными температурами:

Т = 1 при у = 0,

Т = т> 1 при у — 1.

В этом случае газ покоится, температурные напряжения уравновешиваются давлением (в случае максвелловских молекул давление постоянно, так как

Г =2

Фиг. 3

Фиг. 2

в уравнении импульса барнеттовские члены обращаются в нуль в силу уравнения энергии), температура выражается формулой

Т — Та = [(тг — 1)у -(- l]1^2 . (10)

Пусть нижняя и верхняя стенки описываются уравнениями:

У — s*n х, у = 1 -f- e^j sin x,

где e « I, ко и 7i — заданные коэффициенты порядка единицы.

Возникающие вследствие малого искривления стенок скорости

vx = eUx(y)cosx, vy = eUy(y)sinx

есть следствие термострессовой конвекции. Уравнения ДЛЯ Ux, Uy в упомянутой работе были решены для случая (т—1)<1. На фиг. 4 приведены результаты их

/ - WUj, 2 - W2U9 3-101ГХ

4 - U.

Фиг. 4

численного решения. В верхней ее части показаны линии тока для интервала

0 С *<>/2 (этого достаточно в силу периодичности картины течения), на нижней— профили их(у) и иу(у).

С увеличением х линии тока .сгущаются* у холодной стенки, их и иу растут. При некотором 71 > 1 и к0=1 скорость течения меняет знак на обратный.

Рассмотрим еще одну задачу, аналогичную предыдущей. Она не является .чистым* примером термострессовой конвекции, но представляет собой пример определяющего влияния барнеттовских температурных напряжений на течение. Пусть задан расход газа сквозь стенки:

~т~ = г*. £ С 1.

В нулевом по г приближении V — 0, температура дается формулой (10). Решение для возмущенных величин будем искать в следующем виде:

*>х = е«0'). Ъу = ехТй(у), Т=Т0 + ехЦу).

Тогда уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно*; из уравнения энергии с учетом £(0) = ?(1) = 0 имеем

* Уравнения для возмущенных величин приведены в упомянутой работе.

63

Проекции уравнения импульса примут вид

Ш, d ( du\ 3 fdT0\*

дх - dy V'® dy) + °>~ь 2 Vdf) *’ (11>

дП, 9 fdT0\2

<Эу 8 2 •* (dy ) dy ■+■ Ъ2х { dy J ’

где ГГ, — отнесенная к е возмущенная часть П.

Приведенные соотношения позволяют убедиться в том, что

Hi = $х + 7 — Bjc 2 у0 |^2 + х + 1 + ] , (12>

где р и -у — постоянные интегрирования. Подставляя (12) в (11) и учитывая дале&

условия и = 0 при у = 0 и 1, найдем

“ <•*> = i (4 - 1 +-г) [7о - <t2 + т + ') то + * (* +1)]

4 х3 — 1 ,

“8Т- ^Г-[Го-(^Н-1)7'о + х].

Решение в рамках приближения Навье—Стокса следует отсюда при 5 = 0~ важно отметить, что при этом всюду ы = 0, если (3 = «>. С учетом же температурных напряжений (8= 1) имеем иФ О при любом значении р, определяемом из дополнительного условия на градиент давления или на расход газа вдоль, канала.

Рассмотрим течение газа в области, ограниченной двумя коническими круговыми соосными поверхностями с общей вершиной в начале координат; температуры поверхностей равны

Т = 1 при 6 = 0,;

Т — х > 1 при 0 = 02;

е2>01

(используется сферическая система координат И)?, полярная ось направлена по> оси симметрии конусов).

Покажем, что в атом случае задача имеет следующее автомодельное решение, являющееся обобщением решения для плоского угла:

ит К(0) „ „ Я (в) , _,пч /1П4

V, = . «в = —— , <^ = 0, П = -^-, Г = Г (0). (13>

Действительно, подставляя (13) в уравнения (1) — (4), получим

(V вш 0)' и в1п 0 = Увш 0 (1п Т) -, (14>

Т~Ци*+ V* —V К) + 2Р + Т'(У' — 2У) + Т(11" + и’ ctg 0 - АУТ~^ Г) = 0 (15). Г-' УУ + Р’ — 2Т’(2У + 74/' — 2УТ (\пТ)" + 3)2 Т'3 — 2УТ[ (1п Т)‘ = 0; (16>

(7’*)*+■(7'*)' ^ 0 = 4/3 У(\п Т)'.

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по 0, в уравнениях (15)"

и (16) использовано уравнение (14). Граничные условия для скорости

1!=У = 0 (0 = 0, и 0 = 02). (17)

Заметим, что решение данной задачи в рамках приближения Навье—Стокса

тривиально: £/ = 0, К = 0.

Для выяснения качественной картины ограничимся рассмотрением предельных случаев, когда можно получить приближенные аналитические решения задачи. Пусть (х — 1) — 1, 02 — 01 = е < 1, 0,—1 (течение в узком .канале" между .толстыми' коническими поверхностями). Тогда *//й0~ 1/е, а из уравнения (14) имеем и—’1, V—е. Оставляя в уравнениях главные по £ члены, найдем, что

1Л-)-{/= К(1п 7У; (18)

, (Ти.'У + 2Р = 0, Р' +-|-(Г)з = 0, (19)

а уравнение энергии примет вид (Тг)" = 0, откуда

Т = [а (0 - 0J) + 1 ]1/2, а = Е-1 (х2 - 1). (20)

Из уравнений (19) находим общее решение для U, после чего из (18)—решение для V [при интегрировании удобно пользоваться новой переменной С, вводимой так: dt, = (а/2 7") <20]. Удовлетворяя условиям прилипания (17), получим

U = [2 (х + l)]-i (Г - 1) (х - Т) (х + 1 - 27); (21)

К = — S [2(х — 1)(х + I)2]-1 Т {Т — I)2 (7" — г)2. (22)

Линии тока определяются выражением

г(0) =С(Т— 1)-2(7'— т)-2, (23)

где С—произвольная постоянная, в формулах (21)—(23) Т дается выражением (20).

Рассмотрим теперь течение при произвольных углах 0!, 02, но при малой разности температур (х — 1) < 1. Тогда U ~ V — (х — I)3, и уравнения примут вид:

(Vsin 0)' = — Usin 0, U" + t/'ctg0 + 2Я=0,

Р' + 3/2 (T'Y = U', (Т sin 0)' = 0.

Из последнего уравнения (24) имеем

}

(24)

Г л tglT

7'=1+Tf J iliTe- 7 = (х- 1) ln-1-^

i tg~T

После этого из второго и третьего уравнений (24) находим I/, а из первого — V:

U

V- Жшъ Д к1 -•**>/2 + 2С»К*2- 1)/- 2*] + 4Сз*}; (25)

1 -4- х

х = cos 0; jcj = cos 0j; / = In y_ x Д A = A(x)—A (x{).

В выражении (25) учтено условие У(0!) = О. Выполняя остальные граничные условия (17), получим систему уравнений для определения произвольных постоянных Ci, С2, С3. Определитель системы можно записать так:

^ (Р — Я)2 1 +г

и~ 4 1-2

1 —* , 1 р + Inzj; z = ■

1 + г -г ) , * - я ,

р = ( 1 — д?]) (1 + л:2), <7 = (1 + ^!) (1 — х2), х% = соэ 02.

Отсюда следует, что при гс>02>01>О решение задачи существует и единственно (БфО). Если одна из конических поверхностей вырождается в линию (01 = 0 или 02 = я), то £>= оои, как показывает анализ, и = 0, V = 0. Окончательные выражения для С,, С2, С3 не приводим из-за их громоздкости. По этой же причине не даем решения задачи при 01 ~(02—0,) С 1, которое выписывается в квадратурах.

Рукопись поступила 23/XII1971 г.

5— Ученые записки № 5