Течение газа около неравномерно нагретой сферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

То м VI 1975 № 5

УДК 533.6.011.8

ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТОЙ СФЕРЫ

О. Г. Фридлендер

Ставится и решается задача о силе, действующей на сферическую частицу, помещенную в газ, температура которой слабо неравномерна. Течение газа рассматривается при малых числах Кнудсена и Рейнольдса (последнее является следствием слабой неравномерности температуры), в отсутствие внешних массовых сил (в частности, гравитационных) и с учетом температурных напряжений в газе.

1. Задача о течении около нагретых частиц и о силах, действующих на такие частицы, одна из основных при исследовании движения запыленных газов, газов в соплах двигателей с неполным сгоранием и при определении эффективности катализаторов в химической технологии. Обычно эта задача исследуется в предположениях, что и средняя по поверхности температура частицы Тт мало отличается от температуры вдали от частицы Та, (| —

— оо I <СС 7«))_и относительный перепад температуры по поверхности мал (&ТШ/Тт<^ 1). Наиболее четкой среди многочисленных работ является работа [1], в которой изучалось течение около сферической и эллипсоидальной частиц, хотя в последние три года и появилось не менее десяти статей, в которых исследуются эти задачи теоретически и экспериментально. Здесь мы откажемся от первого предположения, которое несправедливо при больших тепловых потоках к частицам или от них (световые потоки или экзотермические реакции на поверхности), но сохраним второе, справедливое при большой теплопроводности частиц. Оказывается, что при этом необходимо коренное изменение формулировки задачи: уравнения Навье—Стокса перестают быть справедливыми и в уравнениях переноса импульса необходимо учитывать температурные напряжения.

Рассмотрим неподвижную частицу, помещенную в покоящийся на бесконечности газ, температуру которого Тх примем за характерную. Пусть параметры газа таковы, что его можно рассматривать как сплошную среду, т. е. число Кнудсено мало (Кп=Х//.<С;1, X —длина свободного пробега молекул, /. — характерный размер частицы). Пусть, кроме того, средняя по поверхности частицы температура Тш может отличаться от температуры на бесконечности Гсо на величину того же порядка ф^ — Т&—1), но сама

температура меняется по поверхности слабо (Tw — Tw/Too~b<^ 1). Предположим также, что действием сил тяжести можно пренебречь, а ниже проанализируем, для частиц какого размера справедливо это предположение.

В работах [2, 3] было показано, что если форма частицы сильно отличается от сферической, то при указанных предположениях около частицы возникает движение газа со скоростями в~мв =

= -^т , вызванное действием температурных напряжений (звездоч-р*L -ками обозначены характерные значения величин). Это движение будет искажаться слабым возмущением, температурным скольжением вдоль поверхности частицы, скорость которого пропорциональна ив и относительному перепаду температуры по поверхности s (и ~ «в е).

Иначе обстоит дело, если в газ помещена сферическая частица, температура которой удовлетворяет тем же предположениям, что и выше. Около такой частицы скорости течения, вызываемого температурными напряжениями, будут много меньше (м~иве). Действительно, если температура сферической частицы постоянна (Tw = const, Tw — Та,/Тоэ~ 1), то около нее не возникает никакого движения просто в силу симметрии (несмотря на то, что температурные напряжения pjj велики, однако они уравновешиваются давлением [2]). Но поскольку температура сферической частицы, рассматриваемой нами, слабо непостоянна (Tw — TWJT^ ~ е), то и температурные напряжения, уравновесить которые не может давление, малы [рт^ — рги(Т0)1рти(Т0)~е, здесь рти(Т0) — величина температурных напряжений при равномерно нагретой сфере, Т0 — температура газа в этом случае]. Наряду с этим будет существовать и ‘течение вследствие температурного скольжения.

Отметим, что оценки, проведенные в [3] относительно времени установления течения (т, ^Lju^Lja Кп) и времени выравнивания

температуры частицы (та ~ т,Ств Ртв |, остаются справедливыми и

V срР /

здесь. Это означает, во-первых, что такого рода течения суще^ ствуют, и, во-вторых, что эти течения можно считать стационарными (установившимися), так как ^—10~3т2<^гч2.

Оценки, связанные с влиянием гравитационной конвекции, теперь изменятся. Действительно, скорость гравитационной конвекции определяется перепадом температуры между частицей и1

— / gL? Р™ в _ \

газом Т00~7’со «*==------------, в = 7’ш—Гоо/7’оо~1 , а скорости тем-

\ ^00 ]

пературного скольжения и термострессовой конвекции пропорциональны перепаду температуры вдоль поверхности тела (ит~иск~ ~ ей8 — г0|л/р£, s<^ 1). Поэтому и критические размеры частиц LKp, для которых температурная конвекция (или течение из-за температурного скольжения) преобладает над гравитационной, меньше, чем L*, полученные в работе [3]: .

2 1/3 у а не L = » ' 2

UpcJ - g-Poo -

2. Как показано в [2, 3] и как это следует из приведенного выше обсуждения, медленные (М = ив/а<С1) течения при малых

числах Рейнольдса (Ие^1) описываются уравнениями переноса массы, импульса и энергии, вектор потока тепла в которых определяется законом Фурье, а в тензор напряжений помимо вязких, сдвиговых напряжений (закон Ньютона) входят еще и температурные (кроме того, как обычно, в уравнении энергии можно пренебречь членами, выражающими диссипацию энергии за счет вязкого трения). Эта система уравнений, записанная в безразмерной форме, такова [2, 3]:

у0 = (£-у1пГ), (1)

2/3(?.у1п Т) = ч{ТчТ), (2)

Г"1 ОЛу) vп = п(,)--|-8(v7’)2v7’ + 2s(^•vln7,) уГ-

(3)

п = п"'=щТ{т§; + щ- ~ З^г8«); №

здесь температура отнесена к Тт, координаты к радиусу частицы скорость к ив = рсо/р(Х/:?, вместо давления р введено те следую-

Рао

щим образом: о/а»=1Н---------------------™—л, а плотность исключена с по-

Рсо^Роо

мощью уравнения состояния, которое в наших обозначениях принимает вид

Р = Т~\ (5)

Кроме того, здесь принято, что газ состоит из одноатомных молекул, отталкивающихся друг от друга с силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния между ними, т. е. что вязкость пропорциональна температуре; отношение удельных теплоемкостей равно 5/3, а число Прандтля 2/3. Эти уравнения справедливы с относительной погрешностью порядка Кп2. Символ 3 равен единице и введен для выделения членов, определяемых температурными напряжениями; если положить 8 = 0, то получатся уравнения Навье—Стокса в приближении медленных течений (Ке •—• 1).

Граничными условиями для уравнений (1) — (4) в нашей задаче будут условия отсутствия возмущений на бесконечности:

I/ -5- 0, Т 1 при г оо; (6)

условия равенства температур газа и стенки и условие температурного скольжения для скорости на поверхности сферической частицы:

Т = = 1 + еа(6, <р), при г = 1; (7)

здесь 1, а(0, ^ — произвольная функция угловых координат. Относительная погрешность граничных условий (7) больше, чем уравнений; она порядка Кп.

Из изложенного в п. 1 ясно, что решение системы уравнений (1) — (4) можно искать в виде

Т = Т0 гТ х-\-• • •, 1/ = гК]Ч •••, п: — тт0-(-етс1 • • ■ . (8)

Уравнения для Т0 и и0

ATl = 0, Т0( l)-t, Т о (оо) — 1,

V". = - -f (vT’o)2 vT’o - 4 У [То (vToYl i (9)

Тогда

TV

a jt0 дается квадратурой.

Поскольку нас интересует лишь сила, действующая на частицу, а 7г0 вклада в силу не дает, также как и температурные напряжения, вычисляемые по Т0 (в силу симметрии), то конкретный вид и0 несуществен.

Уравнения первого порядка таковы:

V^=(^i-Vln7'0); (11)

2/3(1>1-у1пТ0) = Д(Г07'1); (12)

уП1 = П(11) + 2 8(1/1-у1п70)у7’о-§-8 {(vT'o)2 V^i +

V + 2(?Т0 v7’i)v7’0 + v[2 Т'оСу^оДТ’О + Л^То)2]}; (13)

^ (dVxi | dVij g . п'П

nii — + ~5*~ЬЧ~дъ) ’ (14)

ni = 1:l + ^3=-i-(i>l-V7,o) (15>

(сходные уравнения приведены в [4]).

В уравнениях (II)—(15) Т0 определяется формулой (10). Граничные условия в сферической системе координат имеют вид:

1^ = 0, Vie = px!|-, = 7\ = а(6,9) при r= 1; (16)

V -> 0, Тх -* 0 при г-+оо. (17)

Примем простейший и наиболее естественный закон изменения

температуры по поверхности

а(0, <р) = cos 6. (18)

В этом случае решения уравнений (11) —(15) можно искать в следующем виде:

Vr = f(r) cos К, Vi =-g(r) sin 6, Vv = 0, \

Пх = A(r)cos0, 7\ = To-1 (r) t (r) cos 0. j

Переменные при этом разделяются и получающаяся система уравнений записывается так [4]:

/' + (2/r)(/-g)-7V7;/=0, (20)

г + 7<,-7^-1_^/=0* (21)

V - т0 [/" + 1-f -±(f- S')] - 2TQf + 7V Го / -Ь

+ 8 2>r0 Y + -y{T~'T'Qt — t')-1- T'J] = 0, (22)

-к + То[rg"-}-2g' + 2г-1 (/- г)] +

+ Г;(г*'+/-*)-38Г0*' = 0 (23)

с граничными условиями

/=0, ^ = р т, *=т, при г — 1; (24)

/ -> 0, £-*> О, /-*-0, при гоо. (25)

Поскольку уравнения (20)— (23) линейны, то решение у (с компонентами {/, g, £■', й, /, ?}) можно искать в виде

^=,у( 1) + ру(*), (26)

где у1) удовлетворяет на теле граничным условиям

/= 0, £ = 0, * = т, (24')

а у*) ~

/= О, г = т, * = 0. (24")

Первый член (26) [и условия (24')] соответствует решению при пренебрежении температурным скольжением, второй [и условия (24")] — течению около равномерно нагретой сферы, вызванному скоростью (16) на поверхности.

Легко установить, что решение у(1) имеет вид

/=£ = 0, * = -!-, (т2~'} , (27)

Л-2 Г 5 Г0

т. е. температурные напряжения, определяемые этим решением,

не вызывают движения газа, а уравновешиваются давлением.

3. Рассмотрим теперь вопрос об определении силы, действующей на сферу. Полные напряжения, приложенные к каждому элементу сферической поверхности, складываются из давления, вязких напряжений и температурных напряжений [2]. В нулевом приближении в силу симметрии, как уже указывалось, ни температурные напряжения, ни давление не дают вклада в суммарную силу, действующую на сферическую частицу. Для того чтобы определить вклад в силу от решения в первом приближении, приведем формулировки трех лемм, доказанных в работе [5].

Лемма 1. Если в окружающем единичное тело газе: а) дР^/дх^ = 0, б) Рц = 0(г-2) при г —» оо, то Рг;- вклада в силу, действующую на тело, не дают.

Эта лемма непосредственно следует из теоремы Гаусса —Остроградского.

Лемма 2. В случае максвелловских молекул ([а~Г) и равномерно нагретого тела местные температурные напряжения вклада в силу не дают.

Доказательство этой леммы основано на непосредственном интегрировании нелинейных выражений для температурных напряжений по поверхности сферы и использовании уравнения переноса энергии.

Лемма 3. При решении задачи о покоящейся равномерно нагретой сфере скорость в первом приближении равна нулю (1/^0) только тогда, когда температурное поле первого порядка имеет вид

7,1 = Г-НА(г) + г-^1( 9,?)], (28)

где ^ — произвольная функция, а 5^(0, <р) — первая сферическая поверхностная гармоника.

При доказательстве этой леммы рассматриваются условия отсутствия завихренности вектора дРТ1/дх] (Р1—температурные напряжения) в первом приближении.

Из леммы 1 сразу следует, что решение У1) (27) вклада в силу не дает, поскольку температурные напряжения уравновешены

давлением и асимптотическое их поведение также удовлетворяет условиям леммы. Вследствие леммы 2 температурные напряжения, связанные с решением У2), также вклада в силу не дают [см. интерпретацию условий (24")]. Таким образом, сила, действующая на сферу, определяется той же зависимостью от вязких напряжений, что и в обычных уравнениях Навье — Стокса (но сами значения вязких напряжений зависят от температурных). Интегрируя силу, действующую на элемент поверхности, по всей поверхности сферы, получим в наших обозначениях

р.

Ж

-4, /2

Л-

-4'- / 7 ^3

-у

V

F = F0^-[2x^g^ + g)-h],

„ е.р

(29)

причем g', g и Л в формуле (29) относятся уже только к реше-

нию у2>.

Решение у(2) системы уравнений (20) — (25) с граничными условиями (24") строилось в виде

У(2) =Уо} + ЬУо} + с2у(22) + сау(23),

(30)

где уЬ , У\ , Уъ , .Уз удовлетворяют при г — 1 условиям (0, т, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0, 0) и (0, 0, 0, 0, 0, 1) соответственно, а си с2, съ подбирались так, чтобы выполнялись условия (25) на конце расчетного интервала гк. Расчетный интервал для г включал значения от 1 до 100—1000 в зависимости от величины т. Окончательное значение гк выбиралось так, чтобы ошибка в величине Р не превышала 0,5%. Решения _уг2) системы (20)—(23) находились методом Рунге — Кутта с погрешностью, меньшей Ю-7.

4. Результаты расчета приведены на фигуре, где кривая 1 построена с учетом температурных напряжений (8=1), кривая 2 без их учета (8 = 0), а прямая 3 соответствует решению задачи при •с — 1< 1, когда исходная система уравнений, получаемая линеаризацией по (т—1), является системой уравнений Навье — Стокса с малыми (порядка т —1) поправками к плотности и вязкости. Величина силы при этом

^[и--у (•=-!)]. (31)

Как видно, учет температурных напряжений в этой задаче приводит к незначительному изменению значения сопротивления. Поясним причины этого.

Такое положение объясняется тем, что, во-первых, рассматривается сферическая частица, для которой в случае равномерного сильного нагрева (т. е. в нашей терминологии, в нулевом приближении) температурные напряжения не вызывают движения газа (в отличие от тел любой другой сильно отличающейся от сферы формы, где вызываемые ими скорости имеют порядок ([А^/р%/.). Во-вторых, неравномерность температуры — Тш = ва (6, <р) выбрана именно в таком виде (а (9, <р) = со8 0), что температурные напряжения,

порождаемые собственным температурным полем (при У = 0), уравновешиваются давлением и вклада в силу не дают. Как следует из приведенной леммы 3, это единственный вид неравномерности температуры, при котором решение обладает таким свойством. Наконец, температурные напряжения, возникающие вследствие взаимодействия поля скоростей и температурного поля Т0, определяются только членом (1/-у1пТ0) в уравнении энергии. Специфика

же задачи такова, что величина вектора V определяется в основ' ном касательной к поверхности составляющей Уь, а Т0~Т0(г)у

т. е. уТ0 направлен по радиусу и (У-у^Т^) мало. В статье [4] была рассмотрена задача медленного обтекания равномерно нагретой сферы внешним потоком, где первые два факта также имели место, но компонента скорости Уг была основной во всем поле течения, что привело, в отличие от приводимой здесь задачи, к значительному изменению силы сопротивления. Таким образом, рассмотренная здесь задача представляет собой пример обтекания, в котором влияние температурных напряжений минимально.

ЛИТЕРАТУРА

1. Epstein P. S. Zur theorie des Radiometers. Z. fur Physik, b. 54, L. 7, 1929.

2. Галкин В. C„ Koras М. H., ФридлендерО. Г. О некоторых кинетических эффектах в течениях сплошной среды. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1970, № 3,

3. Галкин В. С., Коган М. Н., Ф р и д л е н д е р О. Г. О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил. „Изв. АН. СССР, МЖГ“, 1971, № 3.

4. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. Обтекание сильно нагретой сферы потоком газа при малых числах Рейнольдса. ПММ, т. 36, № 5_ 1972.

5. Галкин В. С., Фридлендер О. Г. Силы, действующие на тела в газе и обусловленные барнеттовскими напряжениями. ПММ, т. 38, № 2, 1974.

Рукопись поступила ljlV 1974 г.