CC BY
19СТРУКТУРИЗАЦ1Я ТЕОРЕМ ПРО ФУНКЦЮНАЛЬШ РЯДИ
Ю.В. Кузьмич, астрант,
Херсонський державний умверситет,
м. Херсон, УКРА1НА
Розглядаються окремг теореми та поняття з математичного аналгзу, що вгдно-сяться до роздшу «Ряди». 1х вивчення пропонуеться проводити за допомогою складан-ня структурних блок-схем. Наведено блок-схеми конкретних теорем I понять, та описано принципи Их побудови.
Ключов1 слова: математичний анал1з, ряди, функцюнальний ряд, теорема, блок-схема, структуризащя, алгоритм.
Постановка проблеми. Одшею з найскладшших проблем при вивченш тео-ри рядiв е засвоення доведення теорем. Для вивчення окремо'1 теореми слщ споча-тку проанал1зувати й зм^, видшивши при цьому головш факти, що використовують-ся при доведеннi, та встановивши логiчнi зв'язки мiж ними. Фактично, для усвщом-леного засвоення теореми по^бно склас-ти 11 структурну блок-схему. Цю схему можна будувати з рiзним ступенем детат-заци. Вона повинна вiдображати послвдо-внiсть шркувань, логiчнiсть та повноту висновюв. Схема не повинна бути переоб-тяженою текстовим матерiалом. З шшого боку, й окремi блоки у достатнш мiрi по-винш вiдображати логiку доведення та основш аналiтичнi перетворення.
Анал1з актуальних дослщжень 1 пу-бл1кац1й. Останнiм часом з'являеться усе бшьше публiкацiй присвячених алгоритмь заци навчального матерiалу з математики. Це викликано, очевидно, значним збшь-шенням можливостей шформацшно-комушкацшних технологий, яю дозволя-ють унаочнити процес проведення аналь тичних перетворень та лопчних шрку-вань. Зокрема, у роботах [6,8,10,11,12,14, 15,16] розглядаються теоретичш основи застосування таких технологий до вивчення математики як у школ^ так i у вищому навчальному закладi, а у роботах [1,2,3,4,5,9,13] описат конкретнi програм-
но-педагогiчнi засоби, що застосовуються при вивченш рiзних математичних дисци-пшн, або 1х роздiлiв. У бшьшосп робiт присвячених алгоршмзаци дослiдження рядiв мова йде про обчислювальнi проце-си, за допомогою яких отримують набли-жеш значення суми ряду або його члешв. У роботi [10] наведет блок-схеми досш-дження числових рядiв на збiжнiсть за допомогою класичних достатнiх умов збiж-ностi. Особливостi методики вивчення теорем у середнш школi розглянуп у роботi [7]. У роботах [11,12] наведена технология комп'ютерно орiентованого управлiння евристичною дiяльнiстю учнiв на уроках математики.
Мета статп -- розгляд особливог структури блок-схеми, за допомогою яког, можна найбгльш адекватно в1добразити суть I змгст окремого математичного поняття, факту або твердження. Стаття мае на мет тдготовку теоретичного та фактичного матерiалу для створення ^е-рактивних засобiв вивчення теорем з математичного аналiзу.
Виклад основного матер1алу. Тема «Функщональш ряди» у математичному аналiзi розглядаеться пiсля вивчення числових рядiв. Зокрема, збiжнiсть функщо-нального ряду на множит означаеться через його збiжнiсть як числового ряду у кожнш точцi цiеi множини. На вiдмiну вiд збiжного числового ряду, сумою якого е
®
число, сумою функцюнального ряду
Е /к (х) на множинi х е X е функцiя
к=0
(р(х) така, що для будь-яко! точки х0 iз множини X виконуеться рiвнiсть
Е ^(хо) = Ф( хо) . Фактично, це е
к = 0
означення суми функцюнального ряду,
множину X при цьому називають облас-тю збiжностi функцiонального ряду. За допомогою блок-схеми це означення мо-жна подати у наступному виглядо (рис. 1).
Рис. 1. Означення точково! збiжностi функцюнального ряду
Ця схема складаеться з трьох структу-рних блоюв, яю пов'язанi шж собою лЫ-ями логичного зв'язку. Напрямок стрiлки шни зв'язку вказуе напрям тркування (вщ умови до висновку). Якщо блоки пов'язаш лiнiями без стрiлок, то це означае !х об'еднання або в одну умову, або в один висновок. Послiдовнiсть шркувань визна-чаеться вiддаленiстю вщповщно! вертикально! л1ни зв'язку вщ стовпчика блоюв. Першим виконуеться тркування, вертикальна лiнiя зв'язку якого найближча до стовпчика блоюв, тсля цього виконуеться наступне мiркування. Як видно з рисунку 1, шни зв'язку розмщен з обох сгорш стовпчика блоюв. Це означае, що шрку-вання можна провести i у зворотному порядку, що характерно для означень, або теорем з необхщними та достатнiми умо-вами. На швш сторонi схеми двi лЫ! зв'язку блоюв умови з'еднуються за допомогою вузла, що вказуе на одночастсть виконання цих умов. На правiй часгинi схеми поеднання двох блоюв висновку та-
кого вузла не потребуе. Крiм того, оскiльки на лiвiй сторон висновок мстить лише один блок, то нема потреби розбивати це мiркування на два послщовних. Порядок проведення мiркування тут визначаеться стршкою, що вказуе на його висновок.
Збiжнiсть функцiонального ряду можна означити i без поняття його суми, вико-риставши поняття залишку ряду. При
цьому, п-м залишком ряду Е /к (х) нази-
к=0
вають ряд Гп ( х ) = Е fn + к ( х ). У
к = 1
цьому випадку збiжнiсть функцюнального ряду ототожнюють зi збiжнiстю до нуля послщовносп {гп ( х ) } його залишюв,
для кожно! точки х iз множини X. Вь диовщну блок-схему зображеио на рис. 2.
Рис. 2. Означення збiжностi функцюнального ряду через його залишок
На цщ блок-схемi видно, що юльюсть блокiв умови i висновку може бути довь льною, усе залежить вiд ступеня детатза-цд! теореми. Однак бажано вщокремлюва-ти умову i висновок, вважаючи !х послщо-вними кроками (вертикальна лiнiя зв'язку висновку повинна слщувати вiдразу тсля вщповщно! лши умови). Цю ж блок-схему можна використати i для демонстраци означення рiвномiрноi збiжностi функцю-
нального ряду ^ /к (х) на множинi X.
к =0
Рiвномiрна збiжнiсть вiдрiзняеться вiд то-чково1 тим, що у цьому випадку номер
(або число) N, який бере участь у означены точково! збiжностi, не залежить вщ точки X, вiн при заданому значеннi дода-тного числа £ однаковий для у ах точок
множини X. Тому блок-схема цього означення матиме таку ж форму, як i на рисунку 2, змшиться лише змiст декшькох
блоюв. У блоках замiсть числа N (е; х)
слiд записати число N(е). Крiм того, у першому блоцi знак «=» слiд змiнити на знак « ^ » , який часто використовуеться для позначення рiвномiрноi збiжностi. За логiкою цього означення по^бно також змiнити порядок слiдування окремих бло-юв. Блок-схема означення рiвномiрноi збiжностi функцiонального ряду представлена на рис. 3.
Рис. 3. Означення piBHOMipHOi збiжносri функцiонального ряду
При складанш блок-схеми означення або теореми, звичайно, втрачаються пояс-нення, яю встановлюють логiчнi зв'язки шж окремими блоками. Для ix компенса-Hii слiд дотримуватись порядку викорис-тання блокiв (якщо ix декшька) в умовi чи висновку, наприклад використовувати ix по чеpзi зверху вниз.
Наведемо приклад блок-схеми форму-
лювання ознаки Вейерштрасса рiвномiр-но! збiжностi функцiонального ряду. Ця ознака формулюеться наступним чином [17, с. 31].
Теорема (Вейештрасса). Якщо на
множит X члени функцюнального ряду
^ /к (х) за модулем не перевищують в\д-
к =0
пов1дн1 члени зб1жного числового додатного
ряду ^ ак , то функцюнальний ряд на
к=0
множинг X збггаеться ргвномгрно.
Блок-схема формулювання теореми Вейерштрасса наведена на рис. 4.
Рис. 4. Формулювання ознаки Вейерштрасса
Ця теорема дае достатш умови рiвно-мiрноi збiжностi, тому лши зв'язку розмь щеш лише з однiеi сторони стовпчика блокiв.
1нколи формулювання теореми склада-еться з декiлькох окремих частин, кожна з яких е окремою теоремою. Прикладом такоi теореми може бути перша теорема Абеля про збiжнiсть степеневого ряду [17, с. 36]. Теорема (Абеля). Якщо степеневий
ряд ^ акхк (1) збггаеться у точц х0 ^ 0,
к=0
то в1н абсолютно збггаеться в ус1х точках х числовог ос1, як задовольняють
'„оо = Z Г.,-Л*) ¿ = 1
умову х < х0 .
Якщо степеневий ряд (1) розбггаеться в точц х0, то в1н розб1гаеться в ус1х точках х числовой ос1, як1 задовольняють умову |х| > |х0|.
Блок-схему формулювання цiеi теоре-ми наведено на рис. 5.
Рис. 5. Формулювання теореми Абеля
1з блок-схеми видно, що формулювання складаеться з двох послвдовних час-тин. Вони з'еднат м1ж собою вертикальною лшею зв'язку, у самому стовпчику блоюв. Ця лiнiя вказуе на послвдовшсть формулювання теореми, спочатку форму-люеться, блоки яко! знаходяться вище, а попм друга частина. Хоча у формулюван-т частини можна помути мiсцями, од-нак при доведены друго! частини теореми використовуються результати першо! частини, тому краще проводити мiркування у вказаному на схемi порядку. Лхни зв'язку обох частин розмiщенi на схемi по рiзнi сторони стовпчика блоюв для зручносп зображення.
Змiст окремих блоюв може бути як текстовим, так i м1стити достатньо складнi вирази, стандарта формули, аналiтичнi перетворення. Усе залежить вiд того, насю-льки детально по^бно зобразити те чи
шше поняття, мiркування, теорему, чи ана-лiтичне перетворення. Наприклад, у однш блок-схемi формулювання критерiю збiж-носгi ряду Тейлора можна розм^ити ви-раз самого ряду та його залишку (рис. 6).
Рис. 6. Формулювання критерш збiжносгi ряду Тейлора
Однак, при використант великих ана-лiтичних виразiв зменшуються можливосп схеми, оскшьки блоки при цьому збшьшу-ються у розмiрах i з'являються труднощi iз зображенням лЫй зв'язку, особливо коли блок-схема м1стить не лише формулювання теореми але i 11 доведення. Це можна про-демонструвати на блок-схем теореми про необхщш умови розкладу функци у степеневий ряд (рис. 6) [17, с. 41-42].
Теорема. Якщо функця розкладаеть-ся у степеневий ряд, то цей ряд е и рядом Тейлора.
Ця блок-схема мстить як формулювання теореми (перша вертикальна лшя зв'язку), так i 11 доведення. Послвдовними аналiтичними перетвореннями обчислю-
ються невизначенi коефiцiенти а степе-невого ряду функци f (х) .
На звершення наведемо достатньо повну блок-схему першо! теореми Абеля (рис. 8), формулювання яко! представлено на рис. 5.
Ця схема отримуеться iз схеми представлено! на рис. 5 додаванням блоюв доведення та вщповщних лiнiй i вузлiв зв'язку. Вертикалью лши зв'язку, що знаходяться злiва вiд стовпчика блоюв i з'еднують блоки друго! i першо! частини теореми, показують як у другш частинi теореми використовуються результати
першо! частини. На третьому крощ друго! частини теореми використовуеться метод доведення вiд протилежного - i3 двох тве-
рджень: « Е аХ — зб1гаетъся » i
п=0
« Е апхП — розб1гаетъся », якi одночасно
п=0
не можуть виконуватись, слiдуе твер-дження « Е апхп — розб1гаетъся », проти-
п=0
лежне зробленому припущенню
¥
« Е акхк — зб1гаетъся ».
k=0
f(x) = ± акхк,хе (~R:R) к = 0
VneN
VXE(-R:R)
3f("\x)
<30 f"\x)=Y^k ■ (к-1) ■ (к-2) (k-n+l^
/<я3(0) = n-(n-l)-(n- 2)-... - 2-1- fl„ = п1ая *—
/<">(' о) n\
/00 = ± f e (-R:R)
Рис. 7. Необхiдна умова розкладу функци у степеневий ряд
Висновки. Структура наведених вище блок-схем дозволяе будувати !х для уна-очнення велико! юлькосп рiзноманiтниx математичних понять, фактiв та твер-джень. Ц схеми дають можливiсть видь лити !х головнi структури, та встановити мiж ними логiчнi зв'язки.
У подальшому цю роботу можна про-довжити у напрямi побудови програмно-педагогiчниx засобiв, за допомогою яких можна буде складати подiбнi схеми, та використовувати !х при вивчент конкретного математичного матерiалу.
© Kuzmich Y.
Рис. 8. Пеpшa теоpемa Абеля
1. Жалдак М.1. Комп 'ютер на уроках математики: поабник для вчител1в /М.1.Жалдак. - К.: Техтка, 1997. - 303 с.
2. Жалдак М.1. Математика з комп 'ютером / М.1.Жалдак, Ю.В.Горошко та тш1. - К.: НПУ 1м. М.П.Драгоманова, 2009. - 282 с.
3. Кузьмич Ю.В. Використання програмно-педагоггчного засобу «WEB-кросворд» при еивченш математичного аналгзу / Ю.В.Кузьмич, О.В.Стваковський // Вкник Черкаського утверси-тету: Педагогчш науки. - Вип. 191, частина 1 -Черкаси, 2010. - С. 75-81.
4. Кузьмич Ю.В. Програмно-педагог1чний зас1б «HTML-кроссворд» /Ю.В.Кузьмич, О.В.Стваковський // Матер1али Всеукратськог студентськоi нау-кова-практичноi конф. «Проектування навчального середовища як методична система». - Херсон: Видавництво ХДУ, 2007. - С. 65-67.
5. Лосева Н.М. Застосування тформацшно-комушкацшних технологш у навчанн дисциплти «Аналтична геометр1я» / НМ.Лосева // Вюник Черкаського утверситету: Педагогчш науки. -Вип. 201 - Черкаси, 2011. - С. 46-52.
6. Львов М.С. Методи проектування систем комп'ютерно1' тдтримки математично'1' освти. «Математты модел1 i сучасн 1нформацшн1 технологи» /М.С.Львов, А.В.Стваковський //Матерiа-ли мiжнар. конф. по математичному моделювант.
- Херсон: Вид-во ХДУ, 1998. - С. 100-110.
7. Семенець С. П. Методика вивчення теорем у розвивальнш математичнш освiтi / С.П.Семенець // Дидактика математики: проблемы i до^джен-ня: мiжнар. зб. наук. робт. - Вип. 38. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2012. - С. 92-97.
8. Снько Ю.1. Системи комп 'ютерно1' математики та ix роль у математичнш освiтi / ЮЛ.Стько //Ыформацтн технологи в освiтi: збi-рник наукових праць / голов. ред. Стваковський О.В.
- Херсон: Видавництво ХДУ, 2009. - Вип. 3. -С. 274-278.
9. Стько Ю.1. Методична система навчання студентiв математично'1' логки у вищих навчаль-
них заклаЫв з використанням тформацшних технологш: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 /Ю. I. С1-нько. - Херсон, 2009. - 270 с.
10. Сергиенко Л.С. О внедрении компьютерных технологий в систему науки и образования /Л.С.Сергиенко, И.В.Грицких //Современные наукоемкие технологии / Сборник научных трудов. - № 12. -М., 2008. - С. 7-13.
11. Скафа О.1. Комп 'ютерно-ор1ентован1 уроки в евристичному навчанш математики: навчаль-но-методичний поабник/О.1.Скафа, О.В.Тутова; ДонНУ. - Донецьк: «Вебер», 2009. - 320 с.
12. Скафа О.1. Використання тформацшно-комунжацшних технологш як засобу управлтня евристичною дгяльтстю учтв гумантарного про-фтю / О.1.Скафа, В.С.Прач // Дидактика математики: проблеми I дослгдження: м1жнар. зб. наук. робт. - Вип. 38. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2012. -С. 118-128.
13. Стваковський О.В. Програмно-педагог1ч-ний зас1б «Свт л1ншно'1 алгебри» / О.В.Стваковський // В1сник Херсонського державного тех-ычного ун1верситету / Зб1рник наукових праць. -Вип. 3(19). - Херсон: Видавництво ХДТУ, 2003. -С. 402-405.
14. Стваковський О.В. Теоретико-методичн1 основи навчання вищог математики майбутых вчител1в математики з використанням тформацшних технологй: дис. ... доктора пед. наук: 13.00.02 / О. В. Сп1ваковський. - Кигв, 2004. - 534с.
15. Спгваковський О.В. Теор1я г практика використання тформацшних технологш у процес1 тдготовки студент1в математичних спецгально-стей / О.В.Стваковський. - Херсон: Айлант, 2003.
- 229 с.
16. Триус Ю.В. Комп'ютерно-ор1ентован1 ме-тодичнг системи навчання математики /Ю.В.Триус.
- Черкаси: Брама-Украгна, 2005. - 401 с.
17. Шкгль М.1. Математичний анал1з: У 2 ч. -Ч. 2 /МЛ.Шкгль. - Кигв: «Вища школа», 2005. - 510 с.
Резюме. Кузьмич Ю.В. СТРУКТУРИЗАЦИЯ ТЕОРЕМ О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДАХ.
Рассматриваются отдельные теоремы и понятия из математического анализа, относящиеся к разделу «Ряды». Их изучение предлагается проводить с помощью составления структурных блок-схем. Приведены блок-схемы конкретных теорем и понятий, а также описаны принципы их построения.
Ключевые слова: математический анализ, ряды, функциональный ряд, теорема, блок-схема, структуризация, алгоритм.
Abstract. Kuzmich Y. STRUCTURING THEOREMS OF FUNCTION SERIES. In this paper, some theorems and concepts of mathematical analysis related to the «series». Their study is proposed by making structural block-diagrams. Here are circuit block specific theories and concepts, and describes the principles of their construction.
Key words: mathematical analysis, a series, a series of functions, theorem, block-diagrams, structuring, algorithms.
Стаття представлена професором О.В.Стваковським.
Надшшла доредакци 28.03.2013р.
