CC BY
8
УДК 517.5
М.А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ, 1С. КОСТЕНКО, 1.М. ЗАШК1ЛЬНЯК, Г.В. 1ВАСИК
Нацiональний унiверситет «Льв1вська пол1техшка»
ОБЧИСЛЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ СУМ РОЗБ1ЖНИХ РЯД1В
До^джено тдсумовування розбiжних степеневих рядiв методом Вейерштрасса-Гаусса, в ocHoei якого лежить оператор усереднення з ядерною функцЮ Гаусса. Показано, що степеневий ряд мероморфноi функцп може бути тдсумований цим методом за межею круга збiжностi.
Ключовi слова: узагальнет суми, розбiжнiряди,область збiжностi.
M.A.SUKHOROLSKY, I.S.KOSTENKO, I.M.ZASHKILNYAK, G.V.IVASYK
National university "Lvivs'ka politekhnika"
EVALUATION GENERALIZED SUM OF DIVERGENT SERIES
Annotation
Generalized method of functional series summation are effective only on the boundary or in the circle of its convergence. The order of approximation ot the series sum by the generalized partial sum in the domain of convergence is considerably smaller than the order of approximation by means of the corresponding classical partial sum.
Summation of divergent power series by Weierstrass-Gauss method formulated by applying an averaging operator with Gaussian kernel function is investigated in this paper. It is shown that the power series of meromorphic functions can be summarized by this method. The problem of digital summation of power series on the boundary or beyond the circle of convergence by Weierstrass-Gauss method is considered.
Keywords: generalized sum, divergent series, domain of convergence.
Аналiз публшацш за темою дослвдження та мета роботи. Методи тдсумовування розб1жних числовых та функцюнальних ряд1в достатньо грунтовно викладено у роботах [l — 5]. У данш робот дослвджено числове тдсумовування розб1жних тригонометричних та степеневих ряд1в методом, який
грунтуеться на використанш послщовносп j п(р) = р" j=0 при р ^ 1 — 0 i V > 1. У математичному
анал1з1 широко використовують метод Пуассона-Абеля (v = l) i метод Вейерштрасса-Гаусса (v = 2). Нехай
ад
f (z )= ^ V (1)
"=0
-степеневий ряд аналггично! функцп f (z), збiжний в крузi |z| < R, 0 < R< ад. Тодi iim "\cn | = 1/ R
i коефiцiенти ряду мають для великих значень номера n асимптотичну оцiнку |си | = o(nm / R"), де |m| < ад. Перетворимо ряд (1) з урахуванням подання z = rew = r(cos^ + isin^), — п < у < п, 0 < r < R, i позначення си = cnn~mR"
ад г г
f(z) = Zcnrne'w = c + Z cn"mI r I cosn^ + ¿Zcnnm I r 1 sinnW. (2)
(Z) = z cnrnem* = C0 + z cnnm f r 1 cosnW + Г^спит Г ^
n=0 n=1 VR J n=1 VR У
Тут iim n|c | = 1 i вважаемо, що у деякш точцi z0 = R • eV° границ круга збiжностi, яка не е
n^-ад
особливою точкою функцп f (z), зб1жним (у класичному розумiннi суми) е ряд
f (^0 ) = c0 + Z cn (c0sn^0 + isinn^0 ) (3)
n=1
Ряд (1) тдсумовуеться методом jon j у деякш точщ z, |z| > R, якщо cравджуеться гранична рiвнiсть [з]
f(z)= р-0ZPnVz" . (4)
Основна частина. Справедливе твердження. Нехай /(г) - мероморфна функщя, аналiтична в
крузi \г\ < Я, 0 < Я< да, i аналiтична на множит Е0 = | г = ге'у : Я < г < г }, що лежить на промеш
argz = у, де = Я • е1у - точка, що лежить на границ круга, ^ = г^е4 - перша особлива точка
функцп на цьому променi, або = да, якщо особливих точок на промеш немае. Тодi в точцi г е Е0
справедлива рiвнiсть (4) для V > 1.
Дослвдимо властивосл частинно! суми ряду (4) для конкретного випадку V = 2 . Перетворимо за Абелем ряд у формулi (4) з урахуванням позначень в (2):
со + 5пт[гР^ I Сп*"г =
=I1 - Я С+5
п=1 \ п
Со+5 пт [г рп\[оя (у)- Оп ,(у )]=
п I — Р
I Ян
-(п + 1)т [ Г р^-1
^п (у),
(5)
де
п
Оо = Со = Со , Оп (У) = 5 Ске'ку - частинна
сума ряду
(3) i послiдовнiсть {Оп (у)} обмежена,
к=о
\Оп (у) < А < да. Дослщимо
залишок цього ряду
Л
N
5
п I — Р I Я
-(п + 1)т[ гр^Г1
, п+1
Я
Оп (у).
Послвдовшсть | п(р) = пт (гр п / Я)
да
п=о
не е монотонною. Номер найбшьшого члена
послвдовносп знайдемо з необхщно! умови екстремуму функци, що задае загальний член ще! послiдовностi:
, г V , , т 1п — + V п^11пр ^ —= о. Я п
Тут Я, г,т, р - величини, значення яких заданi. Для випадку V = 2 одержимо
N
1 г 1п — +
Я \
1п2 — + 4т1п Я
1
1п
-1 1
(6)
- номер найб№шого члена послвдовносп < N). Залежшсть параметра р i найб№шого члена послiдовностi вiд номера N наступна
1
т
р = [ Я12Ко е
Xр)=(г
) 2
Nme
т 2
(7)
— ^ Я у
Зауважимо, що для обчислення номера найбiльшого члена послщовносп у випадку V ^ 2
Л TV—1 1 г 1 —1 1
можна використати наближену формулу м0 = 1п — 1п —.
Я р
Розглянута послiдовнiсть за умови п > N монотонно спадае. Оск1льки параметри N i N = N (р) вибираються незалежно, ввiвши змшний коефiцiент а за формулою N = а N , знайдемо оцшку для залишку ряду
\ЛN\ =
да
< А 5
5
n=N
пт [ г рп Т-(п+1)т (г рп+1 У+1
Оп (у)
<
пт(4рп| -(п+1)т 14рп
\ п+1
Я
Я
п
п
да
да
п=Ы
2
2
п=м
N N^-N — fez2)^
= AN"> [r pN j" = j2No Nme 2N0 = Ae 2 ^ 2 Nm . Якщо а > 2, тобто параметр p i номер N вибраш такими, що N > 2 N , то um \AN \ = 0.
N
Значення узагальнено! суми степеневого ряду у точках, що лежать поза областю його збiжностi, обчислюеться наступним чином. За вибраним значениям параметра p , вщповщно, за значениям номера N0 , що задаеться формулою (6), i вибраним значенням N > 2 N0 , значення узагальнено! суми ряду у
точщ z = reVo шукаемо за наближеною формулою
f [reVo)«L(pnrJe/"*0 . (8)
n=0
Однак iз наближенням p до одиницi у виразi частково! суми (8) максимальний член шдсумовуючо! послiдовностi, що задаеться другою формулою (7), зростае (як i у випадку шдсумовування розбiжних рядiв будь-яким узагальненим методом). Тому використання формули (8) для обчислення наближених значень функцп можливо лише у точках, близьких до границ областi збiжиостi.
Для прикладу, знайдемо узагальнену суму методом \pn j у точцi z = —2 (r = 2, = п) ряду
функцп
1 ад
f (z) =7^2 = ]T(n + l)rnein*0,
(1 — Z) n=0
збiжиого (у класичному розумiннi суми) в одиничному крузi \z\ < 1. Значення функцп у цiй точцi f (— 2) = 1 / 3. Наближене значення функцй' (узагальнену суму вiдповiдного ряду) за межею круга збiжностi шукаемо за формулою
f (z) ~ L (p"rУ(n + l)(cosn*0 + ).
n=0
Якщо вибрати p = 0,99 i N = 90, то знайдемо f (— 2)« 0.11. При цьому за формулами (6) i (7) знайдемо N0 = 35, N0 = 1,07 • 106. Збшьшенпя значення параметра p приведе до суттевого зростання значення максимального члена послiдовностi i, вiдповiдно, до зменшення точностi обчислення.
Лггература
1. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях/ Н.И. Ахиезер. - Харьков: Вища школа, 1984. - 120 с.
2. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций/ А.И. Степанец. - Киев: Наук. думка, 1987. - 268 с.
3. Сухорольський М.А. Функцюнальш послвдовносп та ряди / М.А. Сухорольський. - Львiв: Растр-7, 2010. - 346 с.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II / Г.М. Фихтенгольц. - Москва: Наука, 1969. - 800 с.
5. Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди- М.: ИЛ, 1951. - 504 с.
