ДОСЛіДЖЕННЯ АБСОЛЮТНОї ТА ФіГУРНО АБСОЛЮТНОї ЗБіЖНОСТі ГіЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБіВ СПЕЦіАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Розглянуто звичайш та фиурш наближення гшлястих ланцюгових дробiв спещального вигляду з двома гшками розгалуження (дробiв Семашка). Використовуючи метод мажорант, встановле-но деяк достатш умови абсолютног та фиур-но абсолютног збiжностi гшлястих ланцюгових дробiв спещального вигляду до одног i тог ж самог гранищ, а також вказано область, якш належать значення щег границ та розглянутих наближень

Ключовi слова: неперервш дроби, гiллястi лан-цюговi дроби, наближення, абсолютна збiжнiсть,

фкурно абсолютна збiжнiсть, мажорантний дрiб □-□

Рассмотрены обычные и фигурные приближения ветвящихся цепных дробей специального вида с двумя ветвями разветвления (дробей Семашко). Используя метод мажорант, установлены некоторые достаточные условия абсолютной и фигурно абсолютной сходимости ветвящихся цепных дробей специального вида к одному и тому же пределу, а также указана область, которой принадлежат значения этого предела и рассмотренных приближений

Ключевые слова: непрерывные дроби, ветвящиеся цепные дроби, приближение, абсолютная сходимость, фигурно абсолютная сходимость, мажорантная дробь

УДК 517.524

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.54116|

ДОСЛ1ДЖЕННЯ АБСОЛЮТНО!

ТА Ф1ГУРНО АБСОЛЮТНО! ЗБ1ЖНОСТ1 Г1ЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБ1В СПЕЦ1АЛЬНОГО ВИГЛЯДУ

Т. М. Антонова

Кандидат фiзико-математичних наук, доцент* E-mail: [email protected] С. М . В оз н а

Кандидат фiзико-математичних наук* E-mail: [email protected] *Кафедра прикладноТ математики Нацюнальний уыверситет <^bBiBCb^ полЬехшка» вул. C. Бандери, 12, м. Львiв, УкраТна, 79000

1. Вступ

Неперервш (ланцюгов^ дроби були об'ектом ви-вчення i засобом наукових дослщжень багатьох видат-них математиюв минулого. За допомогою неперервних дробiв розв'язано важливi задачi теорп функцш i ди-ференцiальних рiвнянь, теорii чисел i обчислювально! математики.

1сторично в теорii неперервних дробiв сформува-лось два напрямки: теоретико-числовий i аналiтичний. Перший напрямок займаеться вивченням регулярних неперервних дробiв, !х застосуванням до наближення дшсних чисел i розв'язування дiофантових рiвнянь. Важливi результати у цьому напрямку були одержат у роботах Швентера, Гюйгенса, Валлка, Ейлера, Ла-гранжа, Лежандра, Галуа, Якобi та !х послiдовникiв.

Основний предмет дослвджень аналiтичноi теорii неперервних дробiв - теорiя розвинення i збiжностi неперервних дробiв, елементами яких е функцп комплексно! змшно! z . Важливiсть таких дослщжень поля-гае у тому, що скiнченнi ланцюговi дроби е ращональ-ними функцiями вiд z i можуть використовуватись як ефективний апарат наближення аналiтичних функцiй одно! змшно!. Говорячи про неперервнi дроби, а також тшно пов'язанi з ними апроксимацп Паде, !х порiв-нюють з такими засобами зображення аналггичних функцiй, як ряди або нескшченш добутки. Виявилось, що областi збiжностi ланцюгових дробiв, у якi розви-ваються деякi аналiтичнi функцп, е значно ширшими, нiж областi збiжностi вiдповiдних степеневих рядiв.

З аналиичною теорiею неперервних дробiв пов'я-заш iмена таких вiдомих математикiв як Гаус, Лаплас, Лежандр, Якоб^ Гейне, Рiман, Стiлтьес, Чебишев.

За останш 50 рокiв саме поняття ланцюгового дро-бу розширилось. З'явились таю важливi для застосу-вань поняття як операторш i багатовимiрнi ланцюговi дроби. У 60-х роках ХХ-го столитя В. Я. Скоробогать-ком на основi iнтерпретацii ланцюгового дробу у ви-глядi графу було запропоновано дискретне багато-вимiрне узагальнення неперервних дробiв - гiллястi ланцюговi дроби. Континуальний аналог гiллястого ланцюгового дробу одержав назву штегрального ланцюгового дробу. В основi цих понять лежать рiзнi iдеi узагальнення ланцюгового (неперервного) дробу.

2. Аналiз лкературних даних i постановка задачi

Застосування апарату неперервних дробiв для по-будови чисельних методiв розв'язування конкретно'! задачi вимагае вибору того чи шшого рiзновиду такого дробу: звичайного, матричного, операторного, плля-стого, штегрального тощо. Ланцюговi дроби застосо-вуються, зокрема, для зображення гшергеометричних функцiй, для розв'язування проблеми моменпв, для побудови аналiтичного продовження функцш, зада-них у виглядi рядiв. Аналiтичнiй теорп неперервних дробiв присвячено монографп [1-5]. Гiллястий ланцю-говий дрiб (ГЛД) вiдiграе стосовно до функцш багатьох змшних таку ж роль, як звичайний неперервний

©

дрiб ввдносно функцiй однiei змiнноi. Таю питання аналогично! теорii ГЛД, як збiжнiсть, оцiнки похибок наближення, стшюсть, розвинення функцiй у рiзнi типи дробiв та iншi, розглянуто у монографiях [6-8] та у численних журнальних публжащях.

Одним з ефективних алгоритмiв розвинення аналь тичних функцш у неперервнi дроби е побудова ввдпо-вiдних неперервних дробiв для степеневих рядiв, в якi розвиваються данi функцп [4, 5]. Проблема побудови вщповщних ГЛД для подвшних степеневих рядiв не мае однозначного розв'язку. В робоп [9] побудовано вщповщний ГЛД загального вигляду з двома плками розгалуження. Рiзним конструкщям вiдповiдних ГЛД спецiального вигляду ^з змiнною кiлькiстю гiлок розгалуження) присвячено роботи [10-13]. Багатовимiрнi аналоги неперервних дробiв, побудованi у роботах [10, 11], тзшше стали називати двовимiрними непе-рервними дробами (ДНД). Основи аналиично! теорii ДНД викладеш у монографп [14]. ГЛД, розглянуп в ро-ботi [13], - частковий випадок пллястих ланцюгових дробiв з N нерiвнозначними змiнними, як е засобом наближення функцiй багатьох змшних.

Запропонованi у роботi [12] ГЛД спещального вигляду теж можна вважати двовимiрними неперервни-ми дробами [8]. На даний час е досить мало публжацш, присвячених таким ГЛД. Це зумовлюе дощльшсть розгляду задач та методiв, аналопчних наведеним у монографп [14].

Для застосувань неперервних дробiв та бага-товимiрних узагальнень важливе значення мають збiжнiсть i обчислювальна стiйкiсть. Тому при вивчен-т ланцюгових дробiв рiзноi структури в першу чергу розглядалось питання збiжностi. Таю дослщження продовжуються дотепер [15-19].

У данш роботi об'ектом дослвдження е гiллястi ланцюговi дроби (ГЛД) спещального вигляду

Ь0 + ^,,0 + D

т=1ь1,0 + ^ ^ + Fo,1' де ^ - звичайнi ланцюговi (неперервш) дроби

(1)

^ = D

^1+1,1+j

р=1 ь

р+1,р+,1 ь + -

ul+lj+j ^

2+1,2+j а

3+1,3+j и3+1,3+j ^

Звичайне п-е наближення (звичайний п-й тдхщ-ний дрiб) ГЛД (1)-(2) означимо так:

^0 =Ь0 , ^ = Ч + ^ + а10(п_1) + 13"

1-1 и1,0 т 11,0 1-1 и0,1тЧ1 п = 1,2,..., (3)

де

^ = Fo(0) = 0, ^к) =

, , =1 Ьр

р=1 р+1,р

е = Зг^, 1 = 0,1,..., к = 1,2,....

, 1=1 ьр

(4)

р=1 р,р+1

Ф^урне п-е наближення (п-й пiдхiдний дрiб за Се-машком) ГЛД (1)-(2) означаеться у такий спосiб:

4 = Ь0 ,

4 = Ьс + ЕГВ + 3

-=1Ь + F([(n-lV2]) ^Ь + F([(n-lV 2]>' п = 1,2,..., (5)

де [а] - Щла частина дшсного числа а.

Залишками звичайних наближень (3), (4) ГЛД (1)-(2) називаються такi вирази:

0(°) = ь п(к+1) = ь + F(k+1)+ а1+10

>¿1,0 и1,0 >¿1,0 и1,0^г1А ^ .".(к)

0

1 =1,2,..., к = 0,1,...,

(6)

00? = 4,1,

00к+1) = Ь0,1 + ^ ^ТкГ, 1 =1,2,..., к = 0,1,..., (7)

0

а залишками наближень (4) звичайних ланцюгових дробiв (2) - вирази

0(0) = Ь 0(р) = Ь +-

«■к+1,к к+1,к >Ск+1,к к+1,к т .

— к+1,к к+1,к ' >~к+1,к к+1,к /"\(р-1) 0к+1+1,1

р = 1,2,..., к =1,2,..., 1 = 0,1,...,

(8)

1 = 0,1,..., ] = 0,1,...,

(2)

0(°) = ь 0(р) = ь «¿к,к+1 к,к+1 «¿к,к+1 ик

0 к

а Ь(1,а1^,Ь1^, - 1 = 0,1,... , ^ = 0,1,... , 1 + ]> 1 - комплексш сталi або комплекснозначш функцп двох комплексних змiнних z1,z2, визначенi в областi 3 с С2. ГЛД, ва еле-менти якого стал^ називатимемо числовим ГЛД. Якщо серед елементiв ГЛД е функцп комплексних змiнних z1,z2, то такий ГЛД називатимемо функщональним.

Вивчення ГЛД вигляду (1)-(2) започаткував поль-ський математик В. Семашко.

На вщмшу вiд звичайних ланцюгових (неперервних) дробiв, наближення яких будуються однозначно, наближення (шдхщш дроби) ГЛД загального i спещального вигляду можна будувати рiзними способами [8, 14].

р = 1,2,..., к =1,2,..., 1 = 0,1,....

(9)

Залишками фiгурних наближень (5) ГЛД (1)-(2) е вирази:

0 (Ц) = Чс (0 (к+1) = Ьц + Fl(с(k+1^ 2])+ ^

1 =1,2,..., к = 0,1,...,

0 0?=Ьс, (0 0к+1)=ь,1+F5г1)/ 2])+

1 =1,2,..., к = 0,1,....

,([(к+1)/2])+ а0,1+1 0(к) ,

(10)

1+1,0

Враховуючи позначення (6)-(11), можна записати:

(12)

f = b + F(n) + ai'0 + а°д n = 12 fn U0+r0,0 + Q(n-1) Q(n-1) , n 1,2,- ,

Q1,0 Q0,1

або

fn = b0^^^^+ n = 1,2,...,

n 0 Q(n-1) Q(n0-1) Q(0n1-1)

f = b + F([n/2])+ a10 + a01 n = 12

An u0 + r0,0 + Q(n-1) Q(n-1) ' '"' Q1,0 Q0,1

або

f = b + +

f b0 + Q(0) + Q(0) ,

V.1,0 V.0,1

f = b +-

a

([n/2]-1)

Q(1n

о(n-1) о(n-

V.1,0 V.0,1

(n-1)

, n = 2,3,....

(13)

(14)

(15)

Вважаеться, що наближення fk, fk, мають сенс, якщо у процеа згортання дробу (обчислення ïx значень за формулами (6)-(15)) не виникне невизначешсть

0 11 a1 a m 0

типу — (припускаемо, що — = « , — = 0 i —+... + —— = —, 0 0 « 0 0 0

якщо m>1).

Функщональний гiллястий ланцюговий дрiб (за-гального або спещального вигляду) називаеться вщ-повiдним до формального степеневого ряду

ГЛД (1)-(2) називаеться абсолютно збгжним (фг-гурно абсолютно збгжним), якщо збтеться ряд

II £к+1 - 4|, к=1

складений з його наближень (ряд I !к+1 - ¡к , складе-

к=1

ний з його ф^урних наближень).

Говорять, що функщональний ГЛД (1)-(2) фь гурно рiвномiрно збтеться в областi D с С2, якщо, починаючи з деякого номеру п0, всюди в D його фiгурнi наближення 4(z1,z2), к > п0, мають сенс i скiнченнi, i для дов^ьного е>0 iснуе такий номер п1 >п0, що для в«х п,т>п1 i дов^ьних (z1,z2)еО виконуеться нерiвнiсть |?п)-?т(z1,z2)|<£. Можна також говорити про рiвномiрну збiжнiсть ГЛД (1)-(2) в обласи D.

3. Мета i задача дослщжень

Мета дано! роботи - встановити деяю достатнi умо-ви е^валентносп абсолютно! та фiгурно абсолютно! збiжностi гiллястиx ланцюгових дробiв спещального вигляду (1)-(2).

Для досягнення поставлено! мети були поставлен наступш завдання:

- побудова мажорантного та фиурно мажорантного дробу для ГЛД (1)-(2);

- встановлення умов, за яких ГЛД вигляду (1)-(2) збiгаеться абсолютно та фиурно абсолютно до однiеï i rie! ж само! границi;

-встановлення вигляду области якiй належить значення ще! границi.

с„ +

Ё CijZ1Z2 ,

(16)

i+j>1

якщо розвинення його n-го наближення fn (z1,z2 ) у степеневий ряд

с0 + Ё c(j z1z2 i+j>1

збiгаeться з заданим рядом до в«х членiв степеня n включно, тобто c(j = ci,j, i + j<n. У роботi [12] показано, що ГЛД , ,

с0 + F0,0 (Z1,Z2 )+ D^T^T + D a0,iZ2

1=11+ Fi,0 (Z1,Z2) +:Î1+ F0,i (Z1,Z2)

Fi,j(z1,z2 ) = D , i,j = 0,1,...,

=1 1

(17)

4. Застосування методу мажорант для дослщження абсолютно!' та фиурно абсолютно!' збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду

Одним з методiв дослiдження збiжностi неперервних дробiв з комплексними елементами та ïx багатовимiрниx узагальнень е метод мажорант. Застосування цього методу до дослщження збiжностi гшлястих ланцюгових дробiв загального вигляду та двовимiрниx неперервних дробiв розглянуто у монографiяx [8, 14]. Застосуемо цей метод для досль дження абсолютно! збiжностi гшлястих ланцюгових дробiв вигляду (1)-(2).

Пллястий ланцюговий дрiб вигляду

де ak0,a0k,akj, j = 1,2, ... , k = 1, 2,..., обчислюються за певними формулами вщ коефвденпв ряду (16), а n-i наближення fn (z1,z2) - за формулами типу (5), (4), е вщповщним до ряду (16).

ГЛД (1)-(2) називаеться зб1жним (фиурно зб1жним за Семашком), якщо, починаючи з деякого номеру n0, ва його звичайш (ф^урш) наближення мають сенс, i шнуе скшченна границя f = limfn (f = limfn). Значення цieï гранищ можна вважати значенням збiжного ГЛД. Важливо встановити умови, за яких f = f .

b0+F0,0+D r^+r+D r^+V"

i=1b,0 + F,0 i=1b0i + F0

j D=p+ipj, i = 0,1,..., j = 0,1,...,

, £=1 bp+i,p+j

(18)

(19)

де b0,äij,biJ, i = 0,1,... , j = 0,1,... , i + j>l, - комплекснi сталi або комплекснозначнi функцiï двох комплексних змшних, визначенi в областi D с C2, називаеться ма-жорантним (або фиурно мажорантним) дробом для ГЛД (1), (2), якщо шнують додатне число m0 i додатна

а також

стала М така, що для вах натуральних т, п, таких, що т > т0, п > т0, виконуеться умова

- < м|1п - Н, (або - ?! < М

4 - т

(20)

де 4, 4, к = 1,2,... - к^ наближення (4, 4, к = 1,2,... -к^ фкурш наближення) ГЛД (1)-(2) i (18)-(19) вщпо-вiдно.

Твердження 2. 1. Достатньою умовою абсолютног збгжностг (фггурно абсолютног збгжностг) ГЛД (1)-(2) е абсолютна (фггурно абсолютна) збгжнгсть його мажорантного (фггурно мажорантного) дробу.

Твердження 2. 2. Якщо числовиймажорантний дргб (фггурно мажорантний дргб) для функцгонального ГЛД (1)-(2) збггаеться абсолютно (фггурно абсолютно), сам дргб (1)-(2) збггаеться абсолютно г ргвномгрно (фггурно абсолютно г фггурно ргвномгрно) в областг D.

При застосуванш методу мажорант для дослвджен-ня збiжностi пллястих ланцюгових дробiв загального та спещального вигляду використовуються формули рiзницi 1х наближень. У монографп [8] наведено таку формулу:

? - ? =Р([п/2)- Р(К2]) +

п т г0,0 г0,0

П (5

н

П ° 0п-—) п а —=1 —=1

т+1

(m-j)

+1

1=1

Иу(р(|>-и)-рм-о]^ иг ^__j=l

п — 0т-—)

j=l

П Г П о (т

j=l j=l

п>т .

(21)

? - £ = р([п/2])_ р(т) + у

п г0,0 г0,0 ^ ¿.I

(-1)'( Р0М/2])-р(т-1))1П^0

1=1 т(п-—)о(т-—) j=l

(-1)тП — т (-1)1 (Р0[М/2])-РГ^ГК

_—=1_, ^ _ —=1 -

По (п-—) По(т-—) 1=1

j=l И

т+1

(-1)т П^

П а 0п-—)о0т -—) —=1

и° 0пг) по0т -—) ^=1 —=1

т = 1,2,..., п > 2т + 2.

(24)

Формули (21)-(24) встановлено у припущеннi, що значення в«х залишкiв

оо м о(р) о(р) о(р) о(г) о(г)

якi фiгурують у цих формулах, не дорiвнюють 0. Щ формули надалi використовуватимемо для вивчення поведшки послiдовностей {^}, {?п }.

5. Деякi достатнi умови абсолютно! та ф^урно абсолютно! збiжностi гiллястих ланцюгових дробiв спецiального вигляду

Лема. ГЛД

Ы + р0,0 ++ и-- а"

1=11 + р,0 1=11 + V

(25)

Формулу рiзницi двох наближень неперервних дробiв (2) можна записати у виглядi

— D-Lf

р=1 1

., 1 = 0,1,..., ) = 0,1,...,

(26)

г+1

П ak+i,k+j р1(РР— = (-1)"^^-+—

k=1 k=1

— ) k+i,k+j

г = 0,1,...,р>г , 1,^ = 0,1,... .

(22)

Використовуючи методику виведення формули (21), встановлено наступш формули:

( - ( = р(п)- р(т) + п 0,0 0,0 Т

т (-1)1 (р1(п-1) -РИГК (-1)т ПЧ—

j=1

—=1

м П о^оС -—) По0Г)По0т-—)

—И j=1 j=1

т (-1)1 (Р0п-1)-РГ^ГК (-1)тП—

м По0°-—)о0т-—) погпог —=1 —=1 —=1

п > т,

(23)

е мажорантним i фiгурно мажорантним дробом для ГЛД (1)-(2), елементи якого задовольняють такi умови:

• Р1+1-1

1111 Р1Р1+1

|а0,1+1 + |а1,1+1 < Р^, 1 = 1,2,..., 1111 Р1Р1+1

к I. Р^-1

(27)

Р1+(-1Р1+(

М <, 1 = 0,1,(=2,3,...,

Р1+(-1Р1+(

(28)

де р1, р2,..., - члени деяко1 числово1 послiдовностi, р1 > 1,р(>1,( = 2,3,... .

Доведення. Нехай о$ 0^, С>С00Р(, о — о— -залишки для звичайних та ф^урних (за Семашком) наближень ГЛД (25)-(26), тобто

+

- а

оо=1, ог=1+РТ—о^

^1+1,0

1 = 1,2,..., к = 0,1,...,

о0? = 1,

;=1,2,...,

о (0=1, ;=1,2,...,

й0к+1)=1+щ -к = 0,1,...,

,(к) |а0,1+1|

о

(к)

о (к+1)=1+р([м/2]) - 1а;+110-к = 0,1,...,

о (к) >=¿¡+1,0

0 0°)=1, о 0к+1)=1+р®^ 2])- Ь^

1 = 1,2,..., к = 0,1,...,

о (к)

V. 0,1+1

0(Р+1) = ^.к+1,к _

1 +

0 (Р)

> 1 |ак+1+1,к+1 > 1 | ак+1+1 ,к+11

|0 (Р)

0 (Р)

(29)

(30)

(31)

(32)

= 0(р+1) > 1 -_ ок+1,к -1

ю

к+1+1 > 1 — Ю к+1+1 = н(Р+1) > 1 —

0(Р)

н

(Р)

Рк+1

тобто перша з нерiвностей (35) виконуеться i при р + 1. Правильнiсть друго! з нерiвностей (35) при р + 1 i до-вiльних к,; доводиться аналопчно.

Беручи до уваги формулу (22) i нерiвностi (35), одержимо

П

р(р) — Р(г) =_]М_

м-; п 1; л —

(—С П(—

]=1

ПМПМ П °(+и) П °(+—Р

_(р(р) — р(г)) = р(г)— р(р)= |р(р)— рМ| ^¡,0 ^ у 1,0 ^1,0 ¡,0 М,0 >

0(0) = 1 0(Р) = 1 I к+1+1,к+1|

^¿к+1,к V* 1,к — (р 1)

1 = 0,1,..., Г = 0,1,..., р > Г,

р =1,2,..., к = 1,2,..., 1 = 0,1,...,

0(0) = 1 о(Р) = 1 —^

0 (Р-1)

р =1,2,..., к = 1,2,..., 1 = 0,1,....

(33)

(34)

отже, для довшьних 1 = 0,1, монотонно спадають:

р(0)> РЬ р<2)>... .

послiдовностi

(38)

Переконаемось, що для залишкiв ГЛД (1)-(2) i (25)-(26) справджуються таю нерiвностi:

0(р) 1> о(р) > н(р) 0(р) 1> о(р) > н(р)

>Ск+1,к - >Ск+1,к - к+1 «~к,к+н >Ск,к+1 - пк+1

(35)

1 = 0,1,..., к = 1,2,..., Р = 0,1,...,

Розглянемо нерiвностi (36) дляр = 0, р = 1 i довшь-них 1 = 1,2,....

0 ^ = 00 (00) = 0(00) = н(0) = 1 > 1 — -,

1 , I , , р.

0,1+1

0 (^ > 00 (Р) > 0(Р) > н(р),

|о0р)| > о,^ > о0Р) > н(р), 1=1,2,..., Р=0,1,..., (36)

де

н(0) = 1, н1р) = 1+1) ]=1 1

1,Р = 1,2,..., юк = ^^, к = 2,3,.... Рк-1Рк

(37)

При р = 0 i довiльних 1 = 0,1,..., к = 1,2,..., нерiвностi (35) набувають такого вигляду:

о(0) |=о(0) = н(0) = 1 > 1__L

1 1 Рк+1

1

Рк+,

о(0) 1 = о(0) = н(0) = 1 > 1__

|о (0с1 = о 0? = о0? = н(0) = 1 > 1 — -;

I , I , , р.

о (11 =

1+

О (0)

> 1 — т

о(0) >11+1,1

о (0) ^1+1,0

> 1 — ■!

I I ■+1,ч = о (1) > ^(0) -

о(+?д оо

(0)

> 1—\

а:

а:

> 1—■

о(0) о(0)

'а1+1Д а1+1,0

[=о^ >

н1

(0)

н1

(0)

> 1—юЦ1 = н(1)> 1 —;

н

(0)

1 р

о 01) > о 01) > о0? > н«.

Припустимо, що перша з нерiвностей (35) виконуеться для деякого значення р > 0 i довшьних к, 1. З формул (8), (33) випливае, що

Припускаючи тепер, що перша з нерiвностей (36) правильна для деякого значення р = к> 0 та довшьних 1, доведемо и правильнiсть для р = к + 1:

1+1,0

1+1,0

Q(Л =

1 + F

■([М/ 2])

V.i+1,0

> 1 -

= 1 -

7([M)/2]

I i+1,0|

|(Q(k) I

I V.i+1,01 a

i+1,0

О ЦМ/ 2]-1) i+1,1

(Q (k)

V.i+1,0

> 1 -

О ([М/ 2]-1) i+1,1

- |ai+1,o| = 1 + F([(k+1 )/2]) - |ai+1p| = (Q (k) i0 (Q (k)

Vi+1,o Vi+1,o

= QQ(k) > 1 + F(k+1)-lai+10l = Q(k)>

_ Vi+1,o ri,o , _Vi,o -

ii+1,o

> 1 -

ai+1,1 ai+1,

H(k) H(k) ni+1 ni+1

> 1 --rai+1 = H(k+1)

H

(k)

f„ -fj - 4 - 4 , m = o,1,..., n > m.

(39)

З HepiBHOCTi (39) випливае, що ГЛД (25)-(26) e ф^урно мажорантним дробом для ГЛД (1)-(2). Ана-логiчно, беручи до уваги формулу (23) та нерiвностi (35)-(38), доходимо висновку, що ГЛД (25)-(26) - мажорантний дрiб для ГЛД (1)-(2).

Теорема. Нехай елементи ГЛД (1)-(2) задовольня-ють умови (27)-(28), де p1, p2,..., - члени деякоï число-eoï посл1довност1 так1, що:

pk > 1, k =1,2,...,

(4o)

або

p 1, pk > 1, k = 2,3,...

]T(p2-1)...(pk+1 -1)<~.

(41)

i+1,o

Дiючи аналогiчно i беручи до уваги формулу (11), переконаемось у правильное^ друго! з нерiвностей

(36) для деякого значення р i довiльних i. Використовуючи метод математично! iндукцii, доходимо висновку про правильность нерiвностей (35)-

(37) для вах можливих значень i, к, р. Враховуючи формулу рiзницi (21) та нерiвностi

(35)-(38), одержимо

f - L -

F([„/2])- F([m/2])

L n n J-nn

F[(„-i)/2]- F[(m-i)/2]

L ; n -L ; л

П| j

J=1_

i=1 П^И j=1

7([(„-i)/2])- F([(m-i)/2])

П| aoj

j_

i=1 nièoT^oT'1 j=1 m+1 ,

П aj,o j=1

П| ao,j| j=1

(„o-j)|in|^(mm-f+i I ^o'„-j) I пП I ^oi^-j) j=11 j=11 j=1

< F(m/2)- F(„/2).

-inn Lл л

(Fi[om-i)/2]-Fi[o„-i)/2])in(-|aj,o|) (-1)m+1f1[-|aj,o

il_' j=1 _j=1

П Q^^ j=1

Ш (m-j) j=1 j=1

ьК-1)!

^)/2]- F[M/2])^ (-1 aoj|)

П О o„-j° tj) j=1

(-1) П(-| aj

----= t - f

m+1 m __ ^

j=1 j=1

тобто

Тодi ГЛД (1)-(2) збиаеться абсолютно i фиурно абсолютно до одног i тог ж самог гранищ, значення яког належить областi

|z-bo| < K(Iau| + |a1,o| + |ao,11) ,

де

K =

p1

1 --

P1 -1 1+Z(P1 -1).(Pk-1)

k=1

якщо виконуеться умова (4o), або

K = 1 +jC(P2 - 1).(Pk+1 - 1) ,

(42)

(43)

(44)

якщо виконуеться умова (41).

Доведення. З аналогично! теорп неперервних дро-бiв вiдомо [1, 2], що неперервний дрiб

1

" га.

1 + Df

j=2 1

, гаk = , k = 2,3, ... ,

Pk-1Pk

(45)

збiгаеться, причому його залишки

Н<р)Д = 1,2,...,р = 0,1,...,

визначаються згiдно з (37), а значення К - згщно з (43) або (44).

При доведенш леми показано, що послщовшсть {^ } монотонно спадае. Крiм того, використовуючи нертв-ностi (35)-(37), доходимо висновку, що

,„ | 1а..1 1я.„1 1я„.1

: - ь„ <

QÏT

V2]-1)

Q M Q M

V1,o Vo,1

Iau| |a1,o| |aoj| I -f

- 0РЙ+qM+■щ:1>=1 bo1- f -

- a„ + a.

limH(k) 1

+

а це означав, що послщовшсть { f } обмежена, а значення Bcix пiдхiдних дробiв ГЛД (1)-(2) належать областi (42).

З монотонностi i обмеженостi послiдовностi {f} випливав Ii збiжнiсть. Осюльки

L - к

= £( 4 - 4+1 )=

£ fk+i - fJ <£ k=0 k=0 k=1

= Ы - 4+i < K (I ai,i|+|aio|+|ao,i| ^

то ряди

fk+i - f

, £ fk+i - fk

збiгаються, тобто ГЛД (25)-(26) i ГЛД (i)-(2) збГга-ються фiгурно абсолютно.

Аналопчно, з використанням формули (23) i нерГв-ностей (35)-(37) доводимо абсолютну збiжнiсть ГЛД (25)-(26) i ГЛД (i)-(2), тобто збiжнiсть рядiв

£ fk+i - 4|, £| fk+i - fj.

k=0 k=0

Використовуючи формулу (24) та нерiвностi (35), (36), (38), доходимо висновку, що

Lnn J- г

<[n/2])

И (f,^- F1[0"-1)/2])IJ (-1 j)

¡j (m-j)

п 0lrj)Q!0

j=i

f - f„ <

(-i)mП(- j) m (-i)1 (F0^-1)-Ё0Г2])П(-К _j=i , £_ j=i

П Q j0 П Q t

j=i j=i

m+i ,

(-i)m П (- a0j

(m-j) ~

П

j=i

Q j 0m-j)

j=i

— L a a J-di

П Q 0Tj)n Q 0m

(m-j)

j=i

j=i

(-i)1 (F,(m-1) -F&))I1 (-1 aj,01)

___:_JM_+

= nQ j (m-j) ^ j=i

(-i)mfl(-1 aj,01) m (-i)1 (FT-Р0П-1))11 (-1 aj

-M--M--

m+i ___

Ш jrj)n Q 0m j=i j=i

m+i ,

(-i)m П (- a0j

(m-j) ~

П Q j j

j=i

j=i

m+i ___

nQ 0n-j)n Q 0m j=i j=i

(m-j)

-= fm - f = 4 - fm

m = i,2,..., n > 2m + 2, звщки випливав, що limfn = limfm.

6. Наслiдки результапв дослщження абсолютно! i фйурно абсолютно! збiжностi ГЛД (1)-(2)

Наслiдок 1. Сукуптсть умов

I II I i I I I I i о |а1+ю| + |ai+i,i| < 4, |a0,i+i| + |ai,i+i| < 4, 1 = i,2,.",

ii

k+J <-, a. <- , i = 0,i,..., p = 2,3,.,

I 1+p,H 4 I p,p+4 4 ' ' '

достатня для абсолютног i фйурно абсолютног збiж-Hocmi ГЛД (i)-(2).

Поклавши в умовах теореми

p, = 2 , i = i, 2,...,

легко переконатись у правильност даного наслщку.

Дана ознака абсолютно! збiжностi узгоджувться з ранiше встановленими достатшми умовами збiжностi ГЛД дослiджуваного вигляду, як були сформульованi в [8, 20].

Наслщок 2. Функщональний ГЛД вигляду (17), де zi,z2 - комплексш змтт, c0,akj, j = 0,i,..., k = 0,i,..., k + j > i, - комплекст сталi, що задовольняють умови (27)-(28), а також (40) або (41), збиаеться абсолютно iрiвномiрно та фйурно абсолютно i рiвномiрно у полi-крузi D = {|zj<i,|z2|<i}, limfn(zi,z2) = limfm(zi,z2).

7. Висновки

Накладаючи певнi умови на елементи пллястого ланцюгового дробу спецiального вигляду з двома пл-ками розгалужень (дробiв Свмашка), побудовано ма-жорантний та фГгурно мажорантний дроби тако! само! структури. Застосовуючи метод мажорант, використо-вуючи результати теорГ! збiжностi неперервних дробiв та формули рГзниць рГзних наближень дослiджуваних ГЛД, встановлено достатш умови, за яких ГЛД збиаеться абсолютно та фГгурно абсолютно до однiв! i rie! ж само! границi. Показано, що значення дослщжуваного ГЛД та його наближень належать кругу, радiус якого залежить вщ значень елементiв ГЛД на першому повер-d та вщ сталих, що фГгурують у формулюванш теореми.

Вибираючи конкретш значення цих сталих можна отримати рГзш ознаки абсолютно! та фГгурно абсолютно! збГжност ГЛД Свмашка. Запропоновану методику можна використати при дослщженш збГжност двови-мГрних неперервних дробГв. Осюльки метод мажорант встановлюе лише факт збГжностГ дослщжуваних ГЛД, тому дощльно продовжити аналГтичне дослщження збГжност ГЛД даного класу i встановити аналог фун-даментальних нерГвностей для дослщження збГжност пллястих ланцюгових дробГв спещального вигляду (дробГв Свмашка).

Лиература

1. Wall, H. S. Analytic theory of continued fractions [Text] / H. S. Wall. - New York : Van Nostrand, i948. - 433 p.

2. Khovanskii, A. N. The Application of Continued Fractions and Their Generalizations to Problems in Approximation Theory [Text] / A. N. Khovanskii. - Groningen, Netherlands : P. Noordhoff, i963. - 2i2 p.

3. Perron, O. Die Lehre von den Kettenbruchen [Text] / O. Perron. - Leipzig; Berlin; Stuttgart : Teubner, i957. -606 p.

4. Jones, W. B. Continued Fractions: Analytic Theory and Applications [Text] / W. B. Jones, W. J. Thron. - Reading, Massacusetts : Addison-Wesley, Publishing Company, i980. - 428 p.

+

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15

16

17

18

19

20

I

Lorentzen, L. Continued fractions with application [Text] / L. Lorentzen, H. Waadeland. - Amsterdam : Elsevier Publisher B. V., 1992. - 606 p.

Боднарчук, П. I. Пллясл ланцюговi дроби та ix застосування [Текст] / П. I. Боднарчук, В. Я. Скоробогатько. - Кшв : Наук. думка, 1974. - 272 с.

Скоробогатько, В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике [Текст] / В. Я. Скоробогатько. - М. : Наука, 1983. - 312 с.

Боднар, Д. И. Ветвящиеся цепные дроби [Текст] / Д. И. Боднар. - Киев : Наук. думка, 1986. - 176 с. Боднар, Д. И. Соответствующие ветвящиеся цепные дроби с линейными частными числителями для двойного степенного ряда [Текст] / Д. И. Боднар // Украшський математичний журнал. - 1991. - Т. 43, № 4. - С. 474-482. Кучмшська, Х. Й. Вщповщний i приеднаний пллясл ланцюп^ дроби для подвшного степеневого ряду [Текст] / Х. Й. Кучмшська // Доповвд АН УРСР. Серiя А. - 1978. - № 7. - С. 614-618.

Murphy, J. A two-variable generalization of the Stieltjes-type continued fractions [Text] / J. Murphy, M. R. O'Dono-hoe // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1978. - Vol. 4, Issue 3. - P. 181-190. doi: 10.1016/0771-050x(78)90002-5

Siemaszko, W. Branched continued fractions for double power series [Text] / W. Siemaszko // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1980. - Vol. 6, Issue 2. - P. 121-125. doi: 10.1016/0771-050x(80)90005-4

Kuchminskaya, Kh. Rational Approximation and Interpolation of Functions by Branched Continued Fractions [Text] / Kh. Kuchminskaya, W. Siemaszko // Rational approximation and its applications in Mathematics and Physics. Lecture Notes in Mathematics. - 1987. - Vol. 1237. - P. 24-40. doi: 10.1007/bfb0072451

Кучмшська, Х. Й. Двовимiрнi неперервш дроби [Текст] / Х. Й. Кучмшська. - Львiв : 1ППММ iм. Я. С.Шдстригача НАН Украши, 2010. - 218 с.

McLaughlin, J. A convergence theorem for continued fractions of the form K",^ /1 [Text] / J. McLaughlin, N. J. Wyshinski // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2005. - Vol. 179, Issue 1-2. - P. 255-262. doi: 10.1016/ j.cam.2004.09.055

Lorentzen, L. Continued fractions with circular twin value sets [Text] / L. Lorentzen // Transactions of the American Mathematical Society. - 2008. - Vol. 360, Issue 8. - P. 4287-4304. doi: 10.1090/s0002-9947-08-04475-9 Antonova, T. M. On one criterion for the figured convergence of two-dimensional continued fractions with complex elements [Text] / T. M. Antonova, O. M. Sus' // Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - Vol. 170, Issue 5. - P. 594-603. doi: 10.1007/s10958-010-0104-x

Дмитришин, Р. Про деяю обласл збiжностi багатовимiрного J-дробу з нерiвнозначними змшними [Текст] / Р. Дмитри-шин // Математичний вкник НТШ. - 2011. - № 8. - С. 69-77.

Баран, O. 6. Деяю обласл збiжностi пллястих ланцюгових дробiв спещального вигляду [Текст] / O. 6. Баран // Кар-патсью математичш публшацп. - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 4-13.

Siemaszko, W. On some conditions for convergence of branched continued fraction [Text] / W. Siemaszko // Lecture Notes in Mathematics. - 1982. - Vol. 888. - P. 367-370. doi: 10.1007/bfb0095601