CC BY
12ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
13
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863) и программы поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-4470.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pippenger N. On evaluation of powers and monomials ^ SIAM J. Comput. 198G. 9, N 2. 23G-25G.
2. Лупанов О.Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем — принципе локального кодирования ^ Проблемы кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965. 31-11G.
3. Севидж Д.Е. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.
4. Сидоренко А.Ф. Сложность аддитивных вычислений семейств целочисленных линейных форм У У Зап. научных семинаров ЛОМИ. Т. 1G5. Л.: Наука, 1981. 53-61.
5. Кочергин В.В. О сложности вычисления систем одночленов и систем целочисленных линейных форм У У Дискретная математика и ее приложения: Сб. лекций молодежных научных школ по дискретной математике и ее приложениям. Вып. III. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2GG7. 3-63.
6. Кнут Д.Е. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. М.: Мир, 1977.
7. Knuth D.E., Papadimitriou C.H. Duality in addition chains ^ Bull. Eur. Assoc. Theor. Comput. Sci. 1981. 13. 2-4.
8. Olivos J. On vectorial addition chains ^ J. Algorithms. 1981. 2, N 1. 13-21.
9. Гашков С.Б., Кочергин В.В. Об аддитивных цепочках векторов, вентильных схемах и сложности вычисления степеней ^ Методы дискретного анализа в теории графов и сложности. Вып. 52. Новосибирск, 1992. 22-4G.
1G. Morgenstern J. Note on a lower bound of the linear complexity of the fast Fourier transform ^ J. Assoc. Comput. Mach. 1973. 20. 3G5-3G6.
11. Кочергин В.В. О сложности вычисления пары одночленов от двух переменных ^ Дискретная математика. 2GG5. 17, вып. 4. 116-142.
12. Кочергин В.В. О сложности вычисления систем одночленов от двух переменных У У Тр. VII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Покровское, 4-6 марта 2GG6 г.). М.: МАКС Пресс, 2GG6. 185-19G.
13. Кочергин В.В. О сложности совместного вычисления трех одночленов от трех переменных У У Математические вопросы кибернетики. Вып. 15. М.: Физматлит, 2GG6. 79-155.
14. Кочергин В.В. Об асимптотике сложности аддитивных вычислений систем целочисленных линейных форм У У Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2GG6. 13, № 2. 38-58.
15. Кочергин В.В. О максимальной сложности вычисления систем элементов свободной абелевой группы ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2GG7. № 3. 15-2G.
16. Кочергин В.В. О сложности совместного вычисления трех элементов свободной абелевой группы с двумя образующими УУ Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2GG8. 15, № 2. 23-64.
17. Brauer A. On addition chains ^ Bull. Amer. Math. Soc. 1939. 45. 736-739.
Поступила в редакцию 19.11.2008
УДК 515.164.174, 515.122.55
РАВНОМЕРНАЯ ЛЕММА МОРСА И КРИТЕРИЙ ИЗОТОПНОСТИ ФУНКЦИЙ МОРСА НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Е. А. Кудрявцева1
Пусть M — гладкая, компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с пустым или непустым краем. Пусть Do С Diff(M) — группа диффеоморфизмов, гомотопных idM. Две гладкие функции f, g : M ^ R называются изотопными, если f = h о g о h\ для некоторых диффеоморфизмов h\ G Do и h2 G Diff +(R). Пусть F — пространство функций Морса на M, постоянных на каждой компоненте края и не имеющих критических точек на крае. Доказан критерий изотопности функций Морса из F. Для каждой функции Морса f G F построен набор морсовских локальных координат в попарно не
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
14
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
пересекающихся круговых окрестностях ее критических точек, непрерывным и Diff(M)-эквивариантным образом зависящий от f в Cто-топологии на F ("равномерная лемма Морса") . Описаны приложения этих результатов к задаче о нахождении гомотопического типа пространства F.
Ключевые слова: функции Морса, эквивалентность функций Морса, замкнутая поверхность, лемма Морса.
Let M be a smooth compact (orientable or not) surface with or without a boundary. Let D0 С Diff(M) be the group of diffeomorphisms homotopic to idM. Two smooth functions f,g : M ^ R are called isotopic if f = h2 о g о h\ for some diffeomorphisms h\ G D0 and h2 G Diff +(R). Let F be the space of Morse functions on M which are constant on each boundary component and have no critical points on the boundary. A criterion for two Morse functions from F to be isotopic is proved. For each Morse function f G F, a collection of Morse local coordinates in disjoint circular neighbourhoods of its critical points is constructed, which continuously and Diff(M)-equivariantly depends on f in C-topology on F ("uniform Morse lemma"). Applications of these results to the problem of describing the homotopy type of the space F are formulated.
Key words: Morse function, equivalence of Morse functions, closed surface, Morse lemma.
1. Введение. Гомотопический тип (группы гомологий и гомотопий) пространств функций с умеренными особенностями на окружности изучался В. И. Арнольдом [1]. Связные компоненты пространств гладких функций без критических точек на открытых поверхностях описаны Ю. М. Бурманом [2]. В 1997 г. С. В. Матвеев [3], в 1998 г. Х. Цишанг [4], в 1998 г. В. В. Шарко [5] и в 2005 г. С. И. Максименко [6] доказали разными методами линейную связность пространства функций Морса с фиксированным числом точек локальных минимумов, максимумов и седловых точек на замкнутой поверхности (см. теорему 1). Е.В. Кулинич [7] вычислил количество классов эквивалентности простых функций Морса на замкнутой ориентируемой поверхности рода g ^ 6, имеющих ровно одну точку локального минимума и ровно одну точку локального максимума. При наличии седловых критических точек С. И. Максименко [8] доказал стягиваемость компонент связности стабилизатора любой функции Морса на замкнутой поверхности при действии группы диффеоморфизмов поверхности, а также доказал асферичность любой орбиты этого действия и вычислил ее фундаментальную группу.
Функции Морса на поверхностях изучались А. Т. Фоменко и Х. Цишангом [9], А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко [10, 11] в связи с задачей классификации (лиувиллевой, орбитальной) невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. А. Т. Фоменко и Х. Цишанг [9] построили полный инвариант лиувиллевой эквивалентности таких систем, а А. Т. Фоменко и А. В. Болсинов [10, 11] — полный инвариант орбитальной эквивалентности таких систем. Автором [12] изучался вопрос об описании "устойчивых" инвариантов орбитальной эквивалентности, т.е. инвариантов, определенных и непрерывных в пространстве всех невырожденных гамильтоновых систем, а не только в отдельном классе лиувиллевой эквивалентности таких систем.
Перейдем к точным формулировкам.
Определение 1. Пусть M — гладкая (т.е. класса C) компактная связная поверхность, край которой пуст или не пуст, dM = д+M U д- M, где д+M — объединение некоторых граничных окружностей M.
(А) Обозначим через C^(M) пространство гладких (т.е. класса C) вещественнозначных функций f на M. Обозначим через C^(M,d+ M,d-M) С C^(M) подпространство, состоящее из таких функций f G Crx(M), что все ее критические точки (т.е. такие точки x G M, что df \x = 0) принадлежат int M, а любая граничная точка x G dM имеет такую окрестность U в M, что f (U П dM) = f (x), причем inf(f\и) = f (x) при x G d-M, а sup(f\u) = f (x) при x G д+M.
(Б) Функцию f на M назовем функцией Морса на (M, д+ M, д-M), если f G C™(M, д+M, д-M) и все ее критические точки невырождены (т.е. квадратичная форма в TxM, заданная матрицей вторых частных производных f в критической точке x, невырождена).
Теорема 1 (С.В. Матвеев [3] и Х. Цишанг [4]). Пусть M — связная компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с разбиением края c)M = д+M U д-M на положительные и отрицательные граничные окружности и пусть (p, q, r) — тройка неотрицательных целых чисел. Рассмотрим пространство Fp q r (M, д+M, д-M) функций Морса на поверхности (M, д+M, д-M)7 имеющих ровно p + q + r критических точек, из которых p точек — точки локальных минимумов, q точек — седловые точки и r точек — точки локальных максимумов. Пространство функций Морса Fp,q, r(M,cj+ M,cj-M), снабженное C^ -топологией, линейно связно.
Отметим, что в обоих доказательствах С. В. Матвеева и Х. Цишанга теоремы 1 содержится пробел, который будет восполнен в дальнейших исследованиях автора на основе результатов настоящей статьи. В работе [3] из теоремы 1 выводится линейная связность пространства (M,d+M,d-M) функций
Морса с пронумерованными критическими точками.
Определение 2. (А) Пусть pi,p2,qi,q2,ri— неотрицательные целые числа. Положим p = p\ + p2, q = qi + q2, r = ri + Г2. Пусть
F = Fpim,q2;ri,r2 (M,d+M, d-M)
— подпространство в пространстве Fp,q, r(M,d+ M,d-M), состоящее из функций Морса, у которых pi + qi + ri критических точек xi,...,xpi, yi,...,yqi, zi, ...,zri закреплено на поверхности M (т.е. одни и те же для всех функций f G F), причем xi,...,xpi и zi,...,zri — закрепленные критические точки локальных минимумов и максимумов соответственно, yi,...,yqi — закрепленные седловые критические точки. Пространство F мы наделим C^-топологией (см. [13, 14]). Пусть d+,d- ^ 0 — число граничных окружностей в d+M и д-M соответственно. Будем предполагать, что
X(M) = p - q + r, p + d+ > 0, r + d- > 0,
так как в противном случае F = 0.
(Б) Обозначим через FNum пространство, полученное из пространства F введением нумерации у незакрепленных критических точек функций Морса f G F. Рассмотрим каноническое включение FNum ^ F х Mp2+q2+r2, где любой элемент пространства FNum отождествляется с парой, состоящей из функции Морса f G F и упорядоченного набора ее критических точек. Снабдим пространство F х Mp+q+r топологией прямого произведения, а его подпространство FNum — индуцированной топологией. Имеем P2!q2!r2!-листное накрытие FNum ^ F.
Пространство из теоремы 1 имеет вид Fp,q, r(M,d+M,d-M) = Fo ,p;o,q;o ,r(M,d+M,d-M).
Обозначение 1. Обозначим через Npi+qi+ri := {xi,..., xpi ,yi,..., yqi, zi, ...,zri }C int M множество закрепленных критических точек. Пусть D = Diff(M, Npi+qi+ri U dM) — группа всех (необязательно сохраняющих ориентацию) диффеоморфизмов поверхности M. Пусть Do CD — подгруппа, состоящая из всех диффеоморфизмов h GD, гомотопных idM в классе непрерывных отображений пары (M, Npi +qi+ri U dM) в себя (т.е. для которых существует такое непрерывное отображение H : M х [0; 1] ^ M, что H\мx{o} = h, H\мx{i} = idM и H((Npi+qi+ri U dM) х [0; 1]) = Np^+n U dM).
Определение 3. (А) Две функции Морса f и g из F (соответственно FNum) назовем эквивалентными, если найдутся такие диффеоморфизмы hi GD и h-2 G Diff +(R), что f = h-2 о g о hi (и диффеоморфизм hi сохраняет нумерацию критических точек).
(Б) Две функции Морса f и g будем называть изотопными, если они эквивалентны и hi G Do (т.е. диффеоморфизм hi гомотопен тождественному), и обозначать это следующим образом: f ~isot g. Множество всех функций из F (соответственно FNum), изотопных функции f, обозначим через [f]isot.
Классификация функций Морса из F (соответственно FNum) с точностью до эквивалентности легко получается из классификации функций Морса с точностью до послойной эквивалентности, которая имеется в работе А.В. Болсинова и А.Т. Фоменко [11, гл. 2, определения 4, 6, 9,10, теоремы 4 и 8]. В работе автора [12, утверждение 1.1 и §3] доказаны критерии (послойной) эквивалентности (изотопности) пары "возмущенных" функций Морса f,g G Crx(M,d+ M,d-M), полученных малыми возмущениями из пары (послойно) эквивалентных (изотопных) функций Морса f,g G F.
В настоящей работе доказан критерий изотопности функций Морса из F и FNum (теорема 2), а также доказана теорема 3 о "равномерных" локальных координатах в классической лемме Морса ("равномерная лемма Морса"). Эти результаты будут использоваться в дальнейших исследованиях автора при описании гомотопического типа пространства F и его подпространств [f]isot, f G F, а именно "равномерная лемма Морса" будет использоваться при доказательстве гомотопической эквивалентности пространства F и пространства "оснащенных функций Морса", а критерий изотопности — при рассмотрении ограничения этой гомотопической эквивалентности на подпространство [f ]isot, f G F.
2. Критерий изотопности функций Морса. Обозначение 2. (А) Обозначим через
{xi} := {xi (f ),...,xp(f {yj } := {yi (f ),...,yq (f ^ {zk } := {zi (f ),...,zr (f)}
множества критических точек локальных минимумов, седловых критических точек и точек локальных максимумов функции f G F соответственно. Обозначим через
{W£} = {W£(f )} := {xi (f ),...,xp(f ),yi(f ),...,yq (f ),zi(f ),...,zr (f )} множество всех критических точек функции f G F.
(Б) Для любой функции Морса / £ Е рассмотрим граф Gf на поверхности (М), полученный из графа /-1{/(уг(/)), ■ ■■, /(Уд(/))} выкидыванием всех компонент связности, не содержащих седловых критических точек. Этот граф имеет ц вершин (являющихся седловыми точками у\(/), ■■■, уя(/)), степени всех вершин равны 4, а значит, в графе 2д ребер.
Лемма 1. Пусть М — (необязательно ориентируемая) компактная поверхность и функции Морса /, /\ £ Е имеют один и тот же набор критических точек, один и тот же граф Gf = Gf1 (см. обозначение 2(Б)) и одни и те же значения в критических точках и точках края поверхности М. Тогда
/1 = / ◦ Ъ (1)
для некоторого диффеоморфизма Ъ £ £>о, переводящего каждую вершину и каждое 'ребро графа Gf в себя, причем ограничение Ъ на любое ребро (как диффеоморфизм одномерного связного многообразия в себя) сохраняет локальную ориентацию ребра.
Доказательство. Искомый диффеоморфизм Ъ ££>о построим в три этапа.
(а) Сначала в малой окрестности каждой критической точки wg = 'Ше(/), 1 ^ £ ^ р + ц + г, вводятся такие локальные координаты и1,У1 и такие локальные координаты щ ,У2 (осуществляющие диффеоморфизмы некоторых окрестностей критической точки в открытый круг одного и того же радиуса), что /1 = ±и\ ± у"2 + /^е) и / = ±и2 ± у"2 + /^е) (это возможно, так как обе функции /1,/ являются квадратичными формами, согласно лемме Морса, и значения этих функций в каждой критической точке совпадают), причем в случае седловой точки wg в обоих выражениях выбирается пара знаков (+, —). Потребуем также, чтобы координаты и1,У1 и и2,У2 индуцировали одинаковую локальную ориентацию поверхности М в точке ио^ и чтобы в случае седловой точки ио^ касательные векторы + и +
в точке Wl были сонаправлены. Рассмотрим диффеоморфизм Ъ' между координатными окрестностями одной и той же критической точки, переводящий любую точку (и, у) относительно системы координат и1,У1 в точку (и, у) относительно системы координат и2, У2.
Отметим, что в случае седловой критической точки линейная часть диффеоморфизма Ъ' в этой точке имеет положительные собственные значения.
(б) Фиксируем (произвольным образом) ориентацию каждого открытого ребра е графа Gf и каждой граничной окружности поверхности М.
Ниже в окрестности каждого открытого ребра е графа Gf вводятся такие локальные координаты /,де, / £ (/(е) — е; /(е) + е), де £ (0;1), что функция де\е : е ^ (0; 1) является параметром на ребре е ив пересечении этой окрестности с (и2 ,У2 )-координатной окрестностью начала ребра е функция де имеет вид де = \2и2У2\, а в пересечении этой окрестности с (и2,У2)-координатной окрестностью конца ребра — вид де = 1 — \2и2У2\. Для этого введем на М \ ^е} риманову метрику йв2, которая в проколотой координатной окрестности каждой седловой точки имеет вид йв2 = (й(2и2У2))2 + (/)2, а в проколотой координатной окрестности каждой критической точки локального минимума или максимума выполняется
(1в2 = (¿/2+ ( ) • Пусть и — симплектическая структура (т.е. ориентированная форма площадей)
V и2+ь2 /
в окрестности открытого ребра е, значение которой на любом ортонормированном базисе относительно ри-мановой метрики йв2 равно ±1 и для которой ограничение на ребро е векторного поля sgrad / относительно симплектической структуры и задает положительную ориентацию ребра е. Пусть д'е : е ^ М — параметр интегральной траектории векторного поля (sgrad /)\е, совпадающей с открытым ребром е. Продолжим функцию де' в некоторую окрестность ребра е так, чтобы линии уровня продолженной функции являлись интегральными линиями векторного поля grad / относительно римановой метрики йв2. Продолженную функцию опять обозначим через д'е. Положим а := sup(ge\е) и де : = Ъад о д'е, где Ъад : [0; а] ^ [0; 1] — диффеоморфизм, совпадающий с id в некоторой окрестности точки 0 ис id + 1 — а в некоторой окрестности точки а. Легко проверить, что функция д'е в пересечении этой окрестности с координатной окрестностью и2, У2 начала ребра е имеет вид д'е = \2и2 У2 \, а в пересечении этой окрестности с координатной окрестностью и2, У2 конца ребра е — вид д'е = а — \2и2У2\. Поэтому функция де имеет требуемые свойства.
Аналогичные координаты /1,д1,е, /1 £ (/(е) — е; /(е) + е), д1,е £ (0;1), возможно, после уменьшения числа е строятся в окрестности открытого ребра е для функции /1 и локальных координат и1,У1 в окрестностях седловых точек (см. (а)). Тогда построенный в (а) диффеоморфизм Ъ' в окрестностях начальной и конечной вершин ребра е переводит любую точку (/',д') относительно системы координат /1,д1,е в точку (/',д') относительно системы координат /,де. Аналогичные системы координат /1, д1 mod 2^ и /,д mod 2^ строятся в окрестностях каждой граничной окружности поверхности М, где каждая из координат д1 и д определена по модулю 2^ и индуцирует положительную ориентацию этой окружности.
Определим диффеоморфизм Ъ'' между координатными окрестностями одного и того же ребра е (соответственно граничной окружности), переводящий любую точку (/',д') относительно системы координат
fi,gi,e (соответственно fi,gi mod 2п) в точку (f',g') относительно системы координат f,ge (соответственно f,g mod 2п).
В окрестности каждой точки we локального минимума (максимума) аналогичные координаты f,g mod 2п и fi,gi mod 2п определяются формулами
U2 = \f - f (wi)\l/2 cosg + f (we), V2 = \ f - f (we)\1/2 sing + f (we),
ui = \fi - f (we)\1/2 cosgi + fi(we), vi = \fi - f (we)\1/2 singi + fi(we).
Тогда построенный в (а) диффеоморфизм h' в окрестности точки we переводит любую точку (f',g' mod 2п) относительно системы координат fi,gi mod 2п в точку (f',g' mod 2п) относительно системы координат f,g mod 2п.
После ограничения диффеоморфизмов h' и h" на (быть может, меньшие) координатные окрестности (если это необходимо) получаем корректно определенный диффеоморфизм h''' некоторой окрестности графа Gf U({xi(f )}U{zk(f)})UdM в некоторую (быть может, другую) окрестность этого графа, обладающий свойством (1).
(в) Рассмотрим компоненты связности дополнения графа Gf U ({xi (f )}U{zk (f)}) U dM в поверхности M — это открытые цилиндры Z ~ ^ х (0;1). Осталось продолжить диффеоморфизм h''' (или хотя бы его ограничение на некоторую меньшую окрестность графа Gf U ({xi(f)} U {zk(f)}) U dM в M) в каждый цилиндр Z так, чтобы выполнилось свойство (1). На каждой компоненте границы цилиндра Z функции fi и f совпадают и постоянны по условию. Положим az := inf(f\z), bz : = sup(f\z).
В цилиндре Z введем такие координаты f, g+ mod 2n, f E (az; bz), g+ mod 2п E R/2nZ, что на пересечении цилиндра с некоторой окрестностью его "верхнего основания" выполняются следующие условия:
1) линии уровня функции g+ mod 2п являются интегральными линиями векторного поля grad f \z;
2) если верхняя граничная компонента цилиндра является точкой локального максимума или компонентой края M, то g+ mod 2п = g mod 2п (см. (б));
3) если верхняя граничная компонента цилиндра содержит седловую точку, то в пересечении цилиндра с координатной окрестностью любого ребра e этой граничной компоненты (см. (б)) 1-форма dg+ пропорциональна 1-форме dge с некоторым постоянным ненулевым коэффициентом пропорциональности.
Эти условия определяют функцию g+ mod 2п в цилиндре Z однозначно, по меньшей мере с точностью до прибавления константы. Введем в цилиндре Z такие координаты f,g- mod 2п, f E (az; bz), g-mod 2n E R/2nZ, что на пересечении цилиндра с некоторой окрестностью его "нижнего основания" выполняются аналогичные свойства. Тогда ограничения функций g+ mod 2п и g- mod 2п на каждую линию уровня функции f \z являются функциями друг от друга с ненулевой производной. Если эта производная отрицательна, заменим функцию g- mod 2п на -g- mod 2п и будем обозначать через g- mod 2п измененную функцию.
Зафиксируем в цилиндре Z регулярную кривую j : (az; bz) ^ Z, такую, что f о j = id(„z;bZ), некоторые начальный и конечный участки кривой j являются интегральными линиями векторного поля grad f \z и обе предельные точки j(t) E dZ и lim^^b^ j(t) E dZ кривой j являются критическими
точками функции f. Определим гладкую функцию g mod 2п в цилиндре Z условиями (g mod 2п)\7 = 0 mod 2п и
d(g\f=c) = (1 - Iaz,bz(c))d(g-\f=c) + Iaz,bz(c) d(g+ \f=c), c E (az; bz),
где Ia,ь : [a; b] ^ [0; 1] — монотонная C^-функция, тождественно равная 0 в окрестности точки a = az и равная 1 в окрестности точки b = bz.
Рассмотрим в Z аналогичные координаты fi,g± mod 2п, fi E (az; bz), g± mod 2n E R/2nZ. Рассмотрим в цилиндре Z регулярную кривую ji : (az; bz) ^ Z, такую, что fi о ji = id(az ;bz) и в окрестности оснований цилиндра диффеоморфизм h''' из (б) переводит начальный и конечный участки пути ji в начальный и конечный участки пути j, причем пути j и h''' о ji гомотопны в цилиндре Z и существует гомотопия, в процессе которой начальный и конечный участки пути остаются неподвижными (последнего всегда можно добиться, заменив кривую ji на ее образ при скручивании Дэна [15] вокруг окружности Zí]f~l(aZ2bz) в подходящей степени). Определим гладкую функцию g\ mod 2-/Г в цилиндре Z условиями (gi mod 2n)\Yl = 0 mod 2п и
d(gi\fi=c) = (1 - Iaz ,bz (c))d(g-\fi =c)+Iaz ,bz (c) d(g+ \fl=c), c E (az; bz).
Построенный в (б) диффеоморфизм h''' в окрестностях обеих компонент границы цилиндра Z переводит любую точку (f',g' mod 2п) относительно системы координат fi,gi mod 2п в точку (f',g' mod 2п)
относительно системы координат /,д шоё 2п. Определим диффеоморфизм Н'''' каждого открытого цилиндра 2 в себя, переводящий любую точку (/', д' шоё 2п) относительно системы координат /\,д\ шоё 2п в точку (/',д' шоё 2п) относительно системы координат /, д шоё 2п. В частности, Н'''' о 71 = 7.
Так как диффеоморфизмы Н''' и Н'''' согласованы на пересечении своих областей определения, получаем корректно определенный диффеоморфизм Н £ V всей поверхности М в себя, обладающий свойством (1). Покажем, что Н £р. Имеется гомотопия между отображением Н и некоторым отображением Н1 еР,в процессе которой каждая вершина и каждое ребро графа С^ и {хг} и {хи} переходят в себя, каждая граничная окружность и каждый открытый цилиндр 2 переходят в себя и Н1 \gz = . Тогда Н^ гомотопно относительно д2, так как в 2 имеются гомотопии замкнутых путей Н1 о 71 ~ Н о 71 = 7 ~ 71 относительно концов. Поэтому /г ~ /г-1 ~ \(1м, т.е. Л, £ 2?о- П
Теорема 2 (критерий изотопности функций Морса). Сопоставим каждой функции Морса / £ Е (соответственно / £ ЕМит) ее "оснащенный" граф С^ : = С^ и {хг(/)} и {хи(/)} и дМ в поверхности М (см. обозначение 2(Б))7 на множестве компонент связности которого введено отношение частичного порядка согласно значениям функции / на этих компонентах (и все вершины которого пронумерованы согласно нумерации критических точек функции / £ ЕМит). Тогда две функции Морса /,д £ Е (соответственно /,д £ ЕМит) изотопны (см. определение 3(Б)) тогда и только тогда, когда отвечающие им оснащенные графы С^,С*д изотопны, т.е. Н(С^) = С*д для некоторого диффеоморфизма Н £ Ро-
Доказательство. Если / д, то / = Н2 о д о Н для некоторых Н £ р и Н2 £ В1й" + (М) (см.
определение 3(Б)). Из равенства функций Морса / = (Н2 о д) о Н получаем равенство критических графов нщ) = с*0Н -1 = од вместе со значениями в критических точках и точках края. Так как у функций д и Н2 о д одни и те же критические точки и одно и то же отношение частичного порядка на множестве критических точек и точек края, определяемое по значениям функции в этих точках, то С^20д = С*д. Поэтому НЩ) = С12од = сд.
Докажем обратное утверждение. Пусть Н(Сf) = С*д для некоторого Н £ Ро. Тогда Щ = Н-1(С*д) = С*доН. Отсюда и из определения оснащенного графа следует, что существует диффеоморфизм Н2 £ ВЩ + (М), переводящий значение доН(х) в значение /(х) для каждой точки х £ ^г(/)}идМ. Тогда функции Морса / и Н2 о д о Н имеют не только одинаковые критические графы Сf = Сь2одон, но и одинаковые значения в каждой критической точке и точке края. Согласно лемме 1, Н2 о д о Н = / о Н1 для некоторого Н1 £р, откуда функции / и д изотопны (см. определение 3(Б)). □
3. Равномерная РР-эквивариантная лемма Морса. Всюду далее мы предполагаем, что число р + Я + г критических точек функций Морса положительно, а поверхность М ориентирована. Мы используем обозначение 2(А).
Пусть ЕМит = Е^т(М,д+ М,д-М) — пространство функций Морса с пронумерованными критическими точками, снабженное С ^-топологией (см. определение 2(Б)). Пусть РТМ — проективизованное касательное расслоение поверхности М. Обозначим через Е^ит С ЕМит х (РТМ)Р+Г подпространство, состоящее из пар (/, £), где / £ Е — функция Морса, £ — любой набор одномерных подпространств £г С Т^М касательных пространств М в критических точках wг £ {хг(/)} и {хи(/)} локальных минимумов и максимумов функции /. Снабдим пространство ЕМит х (РТМ)Р+Г топологией прямого произведения, а подпространство Е^ит — индуцированной топологией. Обозначим через / пространство римановых метрик на поверхности М, снабженное С ^-топологией.
Пусть Т — стандартный единичный круг в плоскости М2. На круге Т рассмотрим естественное (левое) действие группы } := ^ёд, —((д} С 573(2). Пусть ЕшЪ+(Т,М) С С,М) — пространство сохраняющих ориентацию гладких вложений Т ^ М, снабженное С ^-топологией. На пространстве С,М) рассмотрим естественное (правое) действие группы }, (ф,Н) ^ (ф о Н), ф £ С,М), Н £ }. Рассмотрим индуцированное (правое) действие группы } на пространстве ЕшЪ+(Е>, М). Пусть ЕшЪ+(Е>,М)/{±Ид} — пространство орбит этого действия, снабженное фактортопологией.
Теорема 3 (о "равномерных" Р-эквивариантных локальных координатах в лемме Морса). Пусть р + Я + г > 0 и поверхность М ориентирована. Существуют две непрерывные положительные функции £о,г'о : Е х / ^ М и набор р + ц + г непрерывных отображений
Фг : еШт х / ^ ЕшЪ+р,М)/{±\(п}, (/,йз2) ^ фг}, wг £ {у3(/)},
Фг : ЕМит х / ^ ЕшЪ+( Ъ, М)/{±\(б}, (/, £, йз2) » фг{±1йв}, wг £ {хг(/)} и {хк(/)}, 1 ^ £ ^ р + Я + г, такие, что для любой тройки (/, £, йЗ2) £ Е^ит х / и любого набора представителей
фе € С ЕшЪ+(О,М) (соответственно фе € £,(в2) С ЕшЪ+(О,М)) смежных классов,
1 ^ £ ^ р + Я + г, имеют место следующие утверждения:
(A) образы фе(О) вложений фе : О — М, 1 ^ £ ^ р + я + г, попарно не пересекаются и отстоят друг от друга и от дМ на расстояние ^ г0(!,(в2) (в смысле метрики (в2), а потому содержатся в Щ М и попарно не пересекаются;
(Б) <М0,0) = ыг(Л и / о <Мдау, дау) = ± + /МЛ), (дау, дау) € Д 1 < £ < р + Я + г, при этом каждой седловой критической точке wе(f) отвечает пара знаков (+, —), а каждой критической точке wе(f) локального минимума (максимума) — пара знаков (+, +) (соответственно (-, -)), причем йф£|(о,е
(B) (Р-инвариантность функций во, го и Р-эквивариантность отображений Ф1,..., Фр+д+г) для любого диффеоморфизма Н € V поверхности М выполнено во(/ о Н,Н*((в2)) = во/,йв2), г'0(/ о Н,Н*((в2)) = гО (/, (в2), а смежный класс Фе(/ о Н,Н* ((в2)) (соответственно Фе(/ о Н,(Н-1 (£),Н* ((в2))) равен либо Н-1 о фе{±к\^}, если Н сохраняет ориентацию, либо Н-1 о фе о 7о{±1ёд}, если Н .меняет ориентацию, 1 ^ £ ^ р + Я + г, где ,1о : О — О — отражение в круге относительно первой координатной оси;
(Г) для любой функции Морса д € полученной из / перенумерацией критических точек, набор
смежных классов Фе(д, (в2) (соответственно Фе(д,£,(в2)), 1 ^ £ ^ р + я + г, получается перенумерацией из набора смежных классов Фе(/, (в2) (соответственно Фе(/, £, (в2)), 1 ^ £ ^ р + я + г.
Таким образом, в каждой замкнутой координатной окрестности Не : = фе(О) с координатами п,у (см. выше) выполнено утверждение классической леммы Морса [16]:
/= ±п2 ± V2 + /(wе(f)), 1 < £ < р + Я + г. (2)
Доказательство. Пусть / € ^Мит — функция Морса и (в2 € / — риманова метрика на поверхности М. Определим я вещественных чисел: пусть Ьз = Ьз (/, (в2) > 0 — нижняя грань длин замкнутых нестягиваемых кривых в метрике (в2 на проколотой поверхности М \ {хг,х)^} с началом и концом в седловой критической точке уз = уз (/), 1 ^ ^ ^ я. Положим Н = Н((в2) := шах{0, шах К} ^ 0, где К : М — М — гауссова кривизна в метрике (в2. Положим
г'о = г'0(/^82) := шт{ —\ тт р(и}(л,и}(,2), \ ттр(и)е, дМ) 1 > 0, (3)
12у Н 3 з 3 ех=е2 2 е )
где р(Х, У) — длина кратчайшего пути между подмножествами Х,У С М в метрике (в2.
В касательной плоскости М каждой критической точки wе = wе(f) (1 ^ £ ^ р + Я + г) рассмотрим открытый круг V' С М радиуса г'о. На замыкании этого круга определено экспоненциальное отображение в'е : V — М, т.е. отображение, переводящее каждый вектор круга в конец геодезической, выпущенной из wе с начальным вектором скорости, равным исходному вектору. Это отображение является регулярным погружением, так как — радиус инъективности М (см. [17, § 11.8, теорема 11]).
Образы в'е(ПО этих погружений отстоят друг от друга и от дМ на расстояние ^ г'0, а потому содержатся в М и попарно не пересекаются.
Рассмотрим любой набор £ одномерных подпространств (е С М касательных пространств М в критических точках wе = wе(f) € {Хг} и {х^} локальных минимумов и максимумов функции f. Для каждой критической точки wе = wе(f) функции f, 1 ^ £ ^ р + я + г, выполним следующие построения.
(а) Пусть (е1 ,в2) = (ее,1,ее;2) — положительно ориентированный базис в М, обладающий следующими свойствами. Если wе — седловая точка, то базис ортогонален в метрике йв2\Ше на Т-ШеМ, а матрица квадратичной формы в этом базисе является диагональной матрицей <Иа§(1, —1). Если и]£ — точка локального минимума (максимума), то е1 € £е и базис является ортонормированным в метрике, задаваемой положительно определенной квадратичной формой (соответственно — Ше) на Тад£М. При фиксированном наборе прямых £ эти условия определяют базис с точностью до замены (е1 ,е2) на (—е1, —е2), а при смене ориентации поверхности М эта пара базисов заменяется на (е1, — е2) и (—е1,е2).
(б) Обозначим через Х,у координаты в М по отношению к базису (е1,е2). В этих координатах круг VI является эллипсом {(е!, е1 )х2 + 2(е1 ,е2)ху + (е2 ,е2 )у2 ^ г'о2}, где [,) обозначает скалярное произведение в метрике с1з2\гие на Тад£М. Полуоси этого эллипса равны ,г° и ,г° , где : =
5 (аи + а22 ± л/(аи + а22)2 ~ 4(аца22 - а^)), «и = (еъ е{), аи = (еь е2), а22 = (е2, е2). (в) Рассмотрим в эллипсе V' С М с координатами х,у гладкую функцию
I := f о ве.
Положим
C := max
d3f(x,y)
dxk dy
3-k
í 1 r0
^ 0, rn := mm < , mm —.
\y/2C'
> 0,
(4)
где в определении числа С (соответственно го) максимум (соответственно минимум) берется по всем четверкам (£, £г, (х, у), к) (соответственно парам (£, £г)), где 0 ^ к ^ 3, 1 ^ £ ^ р + я + г, wг = wг(/) — критическая точка функции /, £г С М — любое одномерное подпространство касательного пространства в этой точке, которое в случае седловой критической точки wг однозначно определим условием е1 £ £г, и (х,у) — координаты любой точки круга V' С М в базисе е1,е2 £ М (отвечающем прямой £г в случае критической точки локального минимума или максимума).
(г) Следуя доказательству леммы Морса (см. [16]), определим в круге
Уг := {х2 + у2 < г2} С ) С Т.Ш1 М
с координатами х, у новые "локальные координаты" и, V следующим образом. Определим в круге У функции
а(х,у) := / / t/xx(tux,tuy)dt du, Ь(х,у) := / / Ь/ху(Ьих,Ьиу)йЬйи, о о о о
с(х,у) := / tfyy(tux,tuy)dtdu, (х,у) £ Уг С М. оо
Тогда /(х, у) = а(х, у)х2 + 2Ь(х, у)ху + с(х, у)у2 + /Поэтому при выполнении неравенства а(х, у) = 0 (которое будет доказано в лемме 2 ниже) выполнено
f\v„(х,У) = a(x,y)\ x +
b(x,y) a(x,y)
y + c(x,y) -
b(x,y)
a(x, y)
y2 + f Ы-
(5)
Определим в круге Ve функции
u = u(x,y) := \a(x,y)\l/2 (ж + ^y*J , v = v(x,y) :=
c(x,y) —
b(x, y)2
a(x, y)
1/2
(6)
Согласно (5) и (6), f \yt(x,y) = ±u(x,y)2 ± v(x,y)2 + f (w¿), (x,y) E Ve, — квадратичная форма (2) от функций u, v.
Лемма 2 (о локальных координатах в лемме Морса). Пусть M — ориентированная компактная поверхность, (f,£,ds2) E ^Num х ц, w¿ = w¿(f) — критическая точка функции Морса f, 1 ^ £ ^ p + q + r. Пусть Ve С V¡, — круги в касательной плоскости Tw¿M радиусов Го и r0 (см. (3) и (4)) с центром в нуле в смысле координат x,y и римановой .метрики, ds2\wt соответственно. Тогда в любой точке (x,y) E Ve справедливы неравенства a(x,y) = 0, a(x,y)c(x,y) — b(x,y)2 = 0 и якобиан отображения (x,y) ^ (u(x,y),v(x,y)) положителен: ux(x,y)vy(x,y) — vx(x,y)uy(x,y) > 0, причем xu(x,y) +yv(x,y) ^ |(ж2 + y2).
Доказательство. Из определения функций a,b,c получаем а(0, 0) = \fxx{0,0), 6(0,0) = \fxy{0,0),
с(0,0) = Ууу(0,0). Отсюда с учетом построения базиса (ei,e2) в TwtM получаем a(0, 0) = ±1, b(0, 0) = 0, c(0,0) = ±1. Более точно, в случае седловой критической точки we имеем a(0,0) = 1 и c(0,0) = —1, в случае точки we локального минимума a(0, 0) = c(0, 0) = 1, а в случае точки локального максимума a(0, 0) = c(0, 0) = —1. Предположим для определенности, что we — седловая точка.
Рассмотрим любую точку (х,у) G V¡ со свойством \х\ + |у| ^ (например, любую точку (х,у) G V¿). Ниже через 9j = 9j(x, y) обозначается функция со свойством \ 9j(x,y) \ ^ 1, j = 1, 2,..., 17. Из определения функций a, b, c получаем оценки
C C C 5 7
ах{х,у) = вi —, ау{х,у) = в2 —, а(х, у) = 1 + 6»3 — (|ж| + \у\) G [-; -],
C C C 11
Ьх(х,у)=в4 — , Ьу(х,у)=д5 — , Ь(х,у)=дб —(\х\ + \у\) е [--•,-],
2
C C C 7 5
Сх(х,у)=в7 — , Су(х,у)=в8 — , с(х,у) = -1 + дд — (\х\ + \у\) е [--•,--],
7C 25 11
А(х,у) := а(х,у)с(х,у) - 6(ж,у)2 = -1 + 6»ю —(|ж| + \у\) е Ь^'"!^'
11 ^-г- л 7С,. . . 43 1 18
В частности, a(x,y) > 0 и a(x,y)c(x,y) — b(x,y)2 < 0. Поэтому
У) = V^V) (* + ^у) , v(x, у) = у у fe^ - ф, у). Далее для краткости опускаем аргументы (x,y) в обозначении функций. Имеем
г,.Ъха-ахЪ\ахЪ г (Ъуу + Ъ)а - ауЪу ау b
их = л/а[1 +-2-У + + ~У)' иУ = va -2- + +
1 a2 I 2Ja a a2 2va a
2bbTa — aTb2 — a2cT /—A ^ 2bh,a — a,,b2 — a2c„
Vx = Va--vy = ]J— + Va--y.
С учетом оценок для a, b, c, ax, ay, bx, by, cx, cy получаем следующие оценки:
1 1 л (C, , 11C Л 1 21
—=UX = 1 + 012 — \Х + —- у , —=иу = —в 13,
a 10 50 a 50
г Л 23С, г л Л /7С. . /7С 23С\ Д
^ = "гто" ^=1+015 +(зб + по;;'
4 1 1 1
ПхУу = 1 + -016 ^ 7, Ухиу = —0 17, ихУу - УхПу ^ — > о,
5 5 10 10
хи + уу = у/а(х2 + ^ух) + > У!^2 - ^ + ^ + У2)- п
Следствие. В условиях леммы 2 положим ео := |го- Тогда для любой точки (ио,Уо) круга ¿>ео : = {п2 + V2 ^ в^} С М2 существует ровно одна точка (хо,уо) в круге Уе С ТШгМ со свойством п(хо,уо) = по, ь(хо,уо) = Vо. Сопоставлением (по, Vо) — (хо, уо) задается гладкое вложение кругов ве : -Сед — Уе, причем погружение
фе := ве о ве : О£о — М
является вложением и обладает свойством f о ф'е = п2 — V2 + f ^е) в случае седловой точки wе и свойством f о ф'е = ±(п2 + V2) + f (wе) в случае точки wе локального минимума или максимума.
Следствие будет выведено из леммы 2 в следующих публикациях.
Завершение доказательства теоремы 3. Определим отображение фе € С^(О,М) формулой := Ф'еЫ,^), [и, у) е Д,0, 1 ^ £ ^ р + <? + г. В силу следствия и условия е^д е & при -гед е {х^и{гк} (см. построение базиса еед, ее,2 € М) отображение фе является вложением и удовлетворяет утверждениям (А)-(Г) теоремы 3. При построении вложения ф'е имелся произвол в выборе базиса (еед,ее,2), а именно этот базис был определен с точностью до замены (еед, ее,2) на (01ее,1 ,02ее,2) для любых 01,02 € {1, — 1}, причем при фиксированной ориентации поверхности М было выполнено 01 = 02. Отсюда и из формул для функций п и V в круге Уе следует, что при указанной замене эти функции заменятся на 01п и 02п соответственно. Поэтому вложение фе заменится на фе о ,д2, где диффеоморфизм ,1д1 ,д2 : О — О определяется формулой ,1в1,в2 (п, V) := (0lп,02V), (п, V) € О .В частности, при фиксированной ориентации поверхности М класс смежности Фе^^в2) := фе{±1^м} € ЕшЪ(О,М)/{±1ём} (соответственно Фе(Л £,(в2) := фе{±1&ы}) корректно определен, т.е. зависит лишь от пары ^^в2) (соответственно тройки в2)). Это дает ис-
комый набор отображений Фе, 1 ^ £ ^ р + Я + г. Непрерывность функций г'о,во и отображений Фе, 1 ^ £ ^ р + Я + г, будет доказана в следующих публикациях. □
Автор приносит благодарность Д. А. Пермякову и А. Т. Фоменко за полезные замечания.
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 08-01-91300-ИНД-а, 07-01-00648, 05-01-22002 НЦНИ,
грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-660.2008.1 и грантом программы "Национальные
научные проекты" 2.1.1.7988.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арнольд В.И. Пространства функций с умеренными особенностями // Функц. анал. и его прил. 1989. 23, № 3. 1-10.
2. Бурман Ю.М. Теория Морса для функций двух переменных без критических точек // Функц. дифференц. уравнения. 1995. 3, № 1,2. 31-31.
3. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.
4. Kudryavtseva E.A. Canonical form of Reeb graph for Morse functions on surfaces. Inversion of 2-sphere in 3-space // Int. J. Shape Modeling. 1999. 5, N 1. 69-80.
5. Шарко В.В. Функции на поверхностях. I // Некоторые проблемы современной математики; Тр. Матем. ин-та Укр. НАН / Под ред. В.В. Шарко. Т. 25. Киев: Наукова Думка, 1998. 408-434.
6. Maksymenko S.I. Path-components of Morse mappings spaces of surfaces // Comment. math. helv. 2005. 80. 655-690.
7. Kulinich E. V. On topologically equivalent Morse functions on surfaces // Methods Funct. Anal. Topology. 1998. 4, N 1. 59-64.
8. Maksymenko S.I. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. and Geom. 2006. 29. 241-285.
9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации, I // Матем. сб. 1994. 185, № 4. 27-89; II // Там же. 1994. 185, № 5. 27-28.
11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997.
12. Кудрявцева Е.А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.Т. Фоменко и А.В. Бол-синова. М.: Факториал, 1998. 147-202.
13. Hirsch M. W. Differential topology // Graduate texts in Math. Vol. 33. Berlin: Springer, 1976.
14. Mather J. Stability of -mappings. II: Infinitesimal stability implies stability // Ann. Math. 1969. 89. 254-291.
15. Dehn M. Die Gruppe der Abbildungsklassen (Das arithmetische Feld auf Flächen) // Acta math. 1938. 69. 135-206.
16. Milnor J. Morse Theory. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1963.
17. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds. N.Y., London: Acad. Press, 1964.
Поступила в редакцию 14.11.2008
УДК 517.518
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМЕ СДВИГОВ ПИРАМИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Т.П. Лукашенко1, С.М. Лыткин2
Предлагается метод приближения функций двух переменных линейной комбинацией неотрицательных кусочно-линейных функций с компактным носителем. Особенностью этого метода является "интегральный" способ вычисления коэффициентов. Доказывается, что точность приближения в пространствах непрерывных и интегрируемых функций по порядку совпадает с наилучшим приближением кусочно-плоскостными функциями.
Ключевые слова: кусочно-линейная функция двух переменных, компактный носитель, "интегральные" коэффициенты.
A method for approximation of functions of two variables by a linear combination of
1 Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2Лыткин Сергей Михайлович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
