CC BY
8двумерной плоскости по разбиению, склеивающему двухточия вида (£,£) € C U C, £ = с, при k = 0 и одно двухточие (с + b,c + b) € C U C при k = 0.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за поставленную задачу, а также Е. А. Кудрявцевой за помощь при написании работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лепский Т.А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с комплексным полиномиальным гамильтонианом малой степени // Матем. сб. 2010. 202, № 10. 109-136.
2. Кудрявцева Е.А., Лепский Т. А. Топология лагранжевых слоений интегрируемых систем с гиперэллиптическим гамильтонианом // Матем. сб. 2010. 202, № 3. 69-106.
3. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Топология слоения и теорема Лиувилля для интегрируемых систем с неполными потоками // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. 2011. 28. 106-149.
4. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона // Современные проблемы математики и механики. 2011. 6, № 3. 42-55.
5. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками И Докл. РАН. 2012. 445, № 4. 383-385.
6. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999.
7. Bolsinov A.V., Fomenko А.Т. Integrable geodesic flows on two-dimensional surfaces. N.Y.; Boston; Dordrecht; L.; Moscow: Kluwer Academic Plenum Publishers, 2000.
8. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
9. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25. 23-35.
10. Кудрявцева Е.А., Фоменко А.Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. 2012. 446, № 6. 615-617.
11. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
Поступила в редакцию 25.09.2013
УДК 512.815
МИНИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ МОРСА НА ОРБИТАХ В АЛГЕБРАХ ЛИ
В. А. Шмаров1
В статье доказана теорема о том, что на регулярных орбитах присоединенного действия компактных полупростых групп Ли морсовские функции высоты являются совершенными. В случае произвольного линейного представления компактной группы доказана боттовость всех функций высоты на орбитах представления. Подробно разобран случай группы SO4.
Ключевые слова: группа Ли, алгебра Ли, присоединенное действие, орбита, функция высоты, совершенная функция Морса.
A theorem stating that all Morse height functions are perfect on regular orbits of the adjoint action of compact semisimple Lie groups is proved. In the case of arbitrary linear representation of a compact Lie group we prove that all height functions are Bott functions on
SO4
Key words: Lie group, Lie algebra, adjoint action, orbit, height function, perfect Morse function.
1 Шмаров Владимир Альбертович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: smarovvladimirQyandex.ru.
1. Введение. Рассматривается связная компактная группа Ли © и ее линейное представление р : © ^ GL(V). Для изучения топологии произвольной орбиты O этого представления можно использовать теорию Морса. Дадим основные определения.
Пусть на гладком компактном вещественном многообразии M задана гладкая функция f. Точка x € M называется критической для функции f, если gradf(x) = 0. Критическая точка x называется
д2 f
невырожденной, если в этой точке гессиан функции / — матрица Пц = ——---не вырожден; в этом
dxidxj
случае количество отрицательных собственных значений этой матрицы называется индексом данной кри-
fM критических точек и все они не вырождены. Количество критических точек индекса i обозначается через mi(f) и называвтся i-м числом Морса, функции f. Для любой функции Морса f многообразие M можно представить в виде клеточного комплекса, в котором для всех i ^ 0 количество клеток размерности i равно mi(f ), откуда следует неравенство Морса: mi(f) ^ bi для любой функции Морса f и всех i ^ 0 (здесь bi = dimRHi(M, R) — числа, Бетти многообразия M). Функцию Морса f будем называть минимальной функцией Морса, на M, если mi(f) = bi для всех i ^ 0. Из неравенства Морса следует, что минимальная функция Морса обладает наименьшим возможным количеством критических точек среди всех функций M
f
единение невырожденных подмногообразий K С M, причем в каждой точке x € K ядро формы H(u, v) = Hijuivj, определенной на TxM, содержится в TxK. Например, на торе T2 = {(р,^)| € R/2nZ} функция f(р,ф) = cosр не является морсовской (ее критические точки образуют две окружности), но, как нетрудно проверить, является боттовской.
Подробнее с теорией Морса можно ознакомиться в книге [1].
На орбите O линейного представления р компактной группы Ли © будем искать функции Морса среди функций самого простого вида — функций высоты, т.е. функций вида h*|o, где h* € V*. Интерес представляет описание множества критических точек и поиск критерия морсовости функции h*|o (в зависимости от группы ©, представления р, орбиты O и функционала h*), а в случае морсовости — поиск критерия минимальности морсовской фунции h*|o- Множество критических точек и критерий морсовости линейного функционала на орбитах общего положения хорошо известны для случая, когда группа ©полупрост а и р = Ad — присоединенное представление (соответствующие теоремы приведены в п. 3). Критерии морсовости линейных функционалов для некоторых конкретных частных случаев доказаны в работе [2].
В настоящей работе доказывается следующая теорема.
Теорема 1 (Фоменко, Шмаров). Пусть © — компактная полупростая группа Ли, O — некоторая регулярная орбита ее присоединенного действия, h € g — некоторый регулярный элемент, fh(x) = K(h, x) — соответствующая ему функция высоты. Тогда, функция fh\o является минимальной функцией Морса, на O.
Данный факт, вообще говоря, известен давно и в существенно большей общности (на эту тему см. работу [3]). Однако предыдущие доказательства этого факта используют нетривиальную геометрическую технику. Наше доказательство для полупростого случая более наглядно: оно в явном виде описывает структуру множества критических точек, и оно существенно проще, чем в работе [3].
В неморсовском случае интерес представляет получение критерия боттовости линейного функционала и изучение подмногообразий, образованных критическими точками. В настоящей работе доказана следующая теорема.
Теорема 2 (Шмаров). Пусть © — компактная группа, Ли, р : © ^ GL(V)— ее произвольное ли-o р h* € V*
Uh* = { b € V| d^^) (b) С Ann(h*)}. Тогда, множество критических т,оч,ек функции h*|o есть Uh* П O; а в любой критической точке b € O ядро гессиана есть Uh* П T,O.
В работе также разобран пример неморсовского функционала в случае присоединенного представления группы SO4.
Свойства групп симметрий, естественно связанных с функциями Морса, в том числе на алгебрах Ли, рассматривались также в работах [4-8].
©
обладает структурой гладкого многообразия, причем естественные групповые операции умножения и взятия обратного элемента являются гладкими функциями. В качестве примера можно рассмотреть группу GL(V) невырожденных эндоморфизмов вещественного конечномерного пространства V или групnv SO(n) ортогональных операторов в n-мерном евклидовом пространстве.
На касательном пространстве к группе Ли © в точке е естественным образом вводится структура вещественной алгебры Ли: пусть п,у € Те©, 7(Ъ) и ((Ъ) — гладкие кривые на ©, векторы скорости которых в точке е равны п и V соответственно. Тогда положим
гР
м = ^(гч(г чадсад •
аъ 4=0
Эта алгебра Ли обозначается д. Например, gl(V) — это алгебра Ли всех эндоморфизмов пространства V, а 8о(п) — алгебра Ли кососимметричных операторов в п-мерном евклидовом пространстве (с обычным коммутатором).
Для каждого а € © рассмотрим С (а) : х — а-1ха — это диффеоморфизм ©. Его дифференциал в точке е является линейным эндоморфизмом д и обозначается Ас1а. Гомоморфизм Ас1: © —Еп¿(д), а — Аё а, называется присоединенным, действием группы ©.
Для каждого Ь € д рассмотрим оператор ас1ь : с — [Ь, с]. Гомоморфизм алгебр Ли ас1: д — Епс1(д)
д
е
Структура алгебры Ли д дает представление о том, как устроена сама группа Ли ©. Известны следующие теоремы.
Первая теорема Ли. Пусть © и Н — группы Ли, причем группа © связна и односвязна. Тогда, для, любого гомоморфизма алгебр Ли ф : д — § существует единственный гомоморфизм групп Ли f : © — Н, такой, что df = ф.
д
д( ) © ©
дискретной центральной подгруппе N С Z(©). При эт,ом, канонический, гомоморфизм f : © — ©/N является накрытием.
С доказательством этих двух теорем можно ознакомиться в книге [9].
Особое место в теории алгебр Ли занимают полупростые алгебры, — алгебры, не имеющие нетривиальных разрешимых идеалов. Полупростота алгебры Ли эквивалентна невырожденности ее формы, Кил,-линга к(х,у) =г(ас1жас1у), при этом любая полупростая алгебра раскладывается в прямую сумму своих простых идеалов (алгебра называется простой, если она не имеет собственных идеалов), ортогональных относительно формы Киллинга. Доказательства всех этих фактов можно найти в книге [10].
Дифференцированием, алгебры Ли д называется такой линейный оператор 5 на д, что 5 ([х,у]) =
[5(х), у] + [х, 5(у)] для любых х, у € д. Пространство дифференцирований Бег(д) является подалгеброй Ли (д) д д (д)
Группа автоморфизмов Аи^д) обладает структурой группы Ли, ее алгебра Ли — это Бег(д). Нетрудно проверить, что для любого х € д эндоморфизм ехр(аёж) является автоморфизмом алгебры д. Группа, порожденная автоморфизмами такого вида, обозначается через 1п^д), а ее элементы называются внутренними автоморфизмами. В случае, когда д полупроста, имеем д = Бег(д), поэтому 1п^д) будет связной компонентой единицы в Аи^д). Справедливо равенство Аё(ехр(х)) = ехр(аёж) (в левой части равенства ехр : д — © — экспоненциальное отображение в смысле геодезических), поэтому в случае, когда © связна
и полупроста, имеем 1п^д) = Аё(©), т.е. внутренние автоморфизмы — это в точности автоморфизмы,
©
©
линга компактной полупростой алгебры Ли отрицательно определена, и потому ее ограничение на любое дд
элементами самой алгебры: Д(х) = к(Н,х).
Структуру полупростых алгебр Ли удобно изучать с помощью теории систем, корней. Сформулируем необходимые определения и теоремы этой теории, следуя книге [10]. Пусть Е — конечномерное евклидово пространство. Множество Ф С Е называется систем,ой, корней, если выполнены следующие условия:
1) Ф конечно, порождает Е и не содержит 0;
2) если а € Ф, то из кратных корня а в Ф содержатся только ±а;
3) если а € Ф, то отражение аа : х > х — 2 а оставляет Ф инвариантным;
4) если а, в € Ф, то 2-^Н- € Ъ.
Через ^ ^^^^^^^^^ шдгруппу в СЬ(Е), порожденную отражениями аа (а € Ф). Она называется группой Вейля системы корней Ф. Так как W С Аи^Ф), то W конечна.
Пусть Ра = {х € Е| (х, а) = 0}. Элементы множества Е \ I и Ра называются регулярными векто-
\ \«еФ /
рам,и для данной системы корней, а связные компоненты этого множества — камерами Вейля. Элементы объединения У Ра называются сингулярным,и векторам,и для данной системы корней, а сами гипер-аеФ
плоскости Ра — стенкам,и камер Вейля.
Подмножество А С Ф называется базисом системы корней Ф, если А является базис ом в Е и любой корень в € Ф можно записать в виде в = каа, где все ка одновременно неположительные
аеД
или одновременно неотрицательные. Зафиксируем некоторую камеру Вейля С и произвольный регулярный вектор х € С. Рассмотрим Ф+ = {а € Ф|(а, х) > 0} — множество положительных корней и Ф— = {а € Ф|(а, х) < 0} — множество отрицательных корней, (нетрудно понять, что эти множества не зависят от выбора вектора х € С). Вектор 7 € Ф+ назовем неразложимым, если он не представляется в виде суммы двух векторов из Ф+. Следующее утверждение устанавливает взаимно однозначное
Ф
Предложение 1. Множество неразложимых корней, из Ф+ является базисом Ф. Любой базис может быть получен таким образом,.
В дальнейшем изложении важную роль будет играть следующая теорема.
Теорема 3. Группа Вейля, W действует просто, транзитивно на множестее камер Вейля, (а, значит, и на множестве базисов). Для любого базиса А сист ем, ы Ф групп а, W порождается отражениями аа (а € А).
Это означает, что, во-первых, любую камеру Вейля можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента а € во-вторых, если для некоторого а € W и некоторого регулярного вектора х € Е векторы х и а(х) лежат в одной камере Вейля, то а = Ы.
Вернемся к алгебрам Ли. Картановской подалгеброй Ц называют любую нильпотентную подалгебру в а, совпадающую со своим нормализатор ом. Элемент а алгебр ы д называется ас1- полу простым, если минимальный многочлен оператора ас1а € Епс1д не имеет кратных корней (для алгебраически замкнутого поля это эквивалентно диагонализуемости оператора аёа). Будем называть аё-полупростой элемент а регулярным,, если размерность его централизатора минимальна среди всех аё-полупростых элементов, и сингулярным, в противном случае.
Теорема 4. Если алгебра д полупроста, то все ее картановские подалгебры — это в точности централизаторы регулярных элементов, любые две картановские подалгебры сопряжены относительно внутренних автоморфизмов д, любая картановская подалгебра коммутативна.
Зафиксируем некоторую картановскую подалгебру Ц. Множество операторов ас1ц есть семейство коммутирующих диагонализуемых эндоморфизмов д, значит, их можно одновременно диагонализовать,
т.е. в двойственном пространстве Ц* есть конечное подмножество Ф* С Ц*, такое, что д = I ф да I фдо,
\«еФ /
где да = { х € д| [Н, х] = а(Н)х УН € Ц}. Очевидно, до = Ц. Каждому р € Ф* поставим в соответствие такой элемент € Ц, та о р(Н) = Н) для любо го Н € Ц. Пуст ь Ф = {¿а| а € Ф*}. Введем также обозначение Ьп =
2ta
K(ta ,ta)
Теорема 5. Ф* и Ф — системы корней в h* и h соответственно (относительно скалярного произведения, равного (—к)). Для любого а € Ф* прост,ра,не meo ga одномерно, для л юбого xa € ga существует единственный элемент ya € g-a такой, что [xa,ya] = ha, при этом [ha,xa] = 2xa и [ha,ya] = — 2ya. Для любого а € Ф* алгебра, [ga, g-a] одномерна с образующим ta. Если а, в, а+в € Ф*; то [ga, g^] С да+^-
Система корней Ф С h полностью описывает строение полупростой алгебры Ли g. При этом простым алгебрам отвечают неприводимые системы корней, т.е. такие, которые нельзя разбить на два подмножества, ортогональные друг другу. Все неприводимые системы корней классифицированы с помощью техники схем, Дынкинаг, неприводимые системы образуют четыре бесконечные серии A.n, Bn, Cn, Dn и пять исключительных случаев Ej, E$, F4 и G2. Каждой из этих систем корней действительно соответствует некоторая простая алгебра Ли, а ей — компактная простая группа Ли. Подробнее с классификацией неприводимых систем корней и описанием соответствующих алгебр Ли можно ознакомиться в книге [10].
3. Пересечение картановской подалгебры с регулярной орбитой. Рассмотрим связную полупростую компактную группу Ли G На ее алгебре Ли g возьмем произвольную орбиту присоединенного действия (или, что эквивалентно, орбиту действия группы внутренних автоморфизмов Int(g)) O и рассмотрим ограничение на эту орбиту линейного функционала fh(x) = x(h, x). Орбиту O будем называть регулярной, если она порождена регулярным элементом b € g. В работе [11] доказаны следующие результаты.
Предложение 2. Точка Ь € О является критической для Д на, О тогда, и только тогда,, когда Ь € 2 (Н).
Теорема 6. Если Н ^ регулярный, элемент,, то функция Д является функцией Морса, на любой орбите. Если орбита О регулярна, то верно обратное: Д — функция Морса, на О тогда и только тогда, Н
Будем считать орбиту О и элемент Н регулярными. Через Ц обозначим картановскую подалгебру 2(Н). Согласно теореме 6, Д|о — морсовская функция, а множество ее критических точек, по предложению 2, — это ОПЦ. С другой стороны, пересечение ОПЦ есть орбита группы Вейля некоторого регулярного элемента Н € Ц. Это следует из того факта, что группа ^ ^^^^^ ^^^^^ ^^^^^^^талена с факторгруппой N (Т)/Т, где Т = ехр(Ц) — максимальный тор группы 0, а N(Т) — его нормализатор в группе 0.
4. Минимальность морсовского линейного функционала. Для доказательства теоремы 1 нам необходимо знать гомологии орбит. Поскольку произвольная регулярная орбита присоединенного действия компактной связной группы 0 диффеоморфна факторпространству 0/Т, то гомологии можно вычислять с помощью следующей теоремы (ее доказательство см. в работе [12]).
Теорема 7. Пусть 0 — компактная связная группа Ли, Т ^ ее максимальный тор, I = ётТ — ранг группы 0. Если — 1, «2 — 1,..., «г — 1 — степени элементов базиса пространства примитивных элементов Н(0, М); то полином Пуанкаре пространства 0/Т равен
п(1—^)
р(0/т,г) = ^
(1 — г2)1 2
Все значения вг четные. В табл. 1 приведены значения ^ для простых компактных групп Ли всех
типов А^-Ог, Еб, Е7, Е8, ^2 (данные взяты из работы [13]).
Таблица! Таблица 2
Группа Набор , 1 • • • 1
Л 2, 3,4,...,/ + 1
в1 2,4,6,..., 21
С\ 2,4,6,..., 21
А 2,4,6, ...,21-2,1
ее 2,5,6,8,9,12
е7 2,6,8,10,12,14,18
2,8,12,14,18,20,24,30
2,6,8,12
С2 2,6
Группа Порядок группы Вейля "УУ
Л (/ + 1)!
в1 2 Ч\
С1 2 Ч\
А 21-Ч\
Ее 27 • З4 • 5
ет 21и • З4 • 5 • 7
214 • З5 • 5^ - 7
21 ■ 3^
С2 2 '2 ■ 3
Как уже отмечалось, множество критических точек регулярной функции высоты Д на регулярной орбите О есть некоторая орбита действия группы Вейля ^ ^^^^^^^^^^^ подалгебры Ц = 2(Н), значит, количество критических точек равно порядку группы W (так как неединичные элементы группы Вейля не имеют неподвижных точек среди регулярных элементов). Порядки групп Вейля для простых компактных алгебр Ли приведены в табл. 2 (данные взяты из книги [10]).
Доказательство теоремы 1. По теореме 6 регулярный линейный функционал является морсовской О
Ввиду неравенств Морса для доказательства минимальности функции Д|о достаточно показать, что выполняется равенство ^ тг(Д) = ^ Ьг, где Ьг = Ьг
Поскольку алгебра д полупроста, то д = д1 ф д2 ф ... ф где дг — простые алгебры. Тогда наш регулярный элемент Н раскладывается в сумму Н = Н1 + Н2 + ... + Н&, где Нк — регулярные элементы соответствующих простых алгебр. Далее, нетрудно понять, что каждая из алгебр дг инвариантна относительно действия группы Тп^д), поэтому Тп^д) = Тп^д^ х Int(g2) х ... х Тп^д^ ) и О = О1 х О2 х ... х О к (так
как
ПОЭТОМУ
есть орбита группы 1п^д)). Но тогда ^тг(А) = П ) и ^Ьг(О) = П
г г г г
равенство = ^ Ьг достаточно проверить для простых групп. Однако = (это общее
количество критических точек) и ^ Ьг = ( ^ Ьгг
= Р (О, г)
4=1
Последнее выражение по теореме 7
4=1
равно
П(1 -
г=1
2\ I
(1 - ¿2)
п(1+¿2 + •••+*
«¿-2л
чг=1
4=1 ^=1
4=1
Таким образом, нам остается проверить, что для всех простых групп типа Еб, Е7, Е8,
Сг2 выполнено равенство Д = В этом нетрудно убедиться, взглянув на табл. 1 и 2, в которых
'в
приведены наборы чисел и для всех этих типов групп. Теорема 1 доказана.
5. Случай произвольного представления. В этом пункте мы не будем ограничиваться случаем присоединенного представления.
Доказательство теоремы 2. Пусть Ь € О — произвольная критическая точка для Н* та О. Тогда
й
для любой гладкой кривой /3(£) в О с условием /3(0) = Ь выполнено равенство (/3(£))
=0
4=0
в(*) = Р (д(*)) (Ь), где — некоторая гладкая кривая в © с условиями д(0) = е, д'(0) = и € д. Имеем
°=МкЧрШПЬ))
4=0
= ъ*[-Рт)(ъ)
= Н* (ёеР(и)(Ь)) •
4=0
и € д Ь
Н* равносильна том у, что Ь € Ц^*-
Итак, множество критических точек функции Н*|о есть К.
Введем на © в окрестности точки е координаты {хг}, в которых е совпадает с точкой (0,..., 0). Зафиксируем также произвольный базис в V. Компоненту с номерами г и ] оператора р(х) в этом базисе обозначим через р^{х) = + + р^ОЮ + •••) ГДе ж — вектор из координат точки ж € ©,
Р(т). — однородные многочлены степени ш, многоточием обозначена сумма членов порядка три и более. Обозначим р^^.(ж) = и = Р\2)кЦхк^■> пРичем тензор будем считать симметричным
по индексам к и I. В таких обозначениях
(ёеР(и)(Ь)У =
дР.
дхк
ик Ь7 =
Р(1)к.7
V Ь7.
ж=0
Касательное подпространство к О в точке Ь имеет вид ТЬО = ёеР(д)(Ь). Пусть иг = Р^)^-икЬ7
Ь
д2Н* • •
<и2
Н* (в(*))
4=0
где в(*) — гладкая кривая в О с условиями в(0) = Ь, в'(0) = и. Но в таком случае в(*) = Р (д(*)) (Ь), где д(*) — гладкая крив ая в © с уровнями д(0) = е, д'(0) = и. Следовательно,
= Н*
д2Р?
дх7дхк
ж=0
+ д* м
г дх.
4=0
= ^ШШЬ))
4=0
х=0
й*2
Ь = 2Н* Р(2)^и7 ик Ь + Н* Р(1).1
4=0
й*2
Ь1.
4=0
Второе слагаемое в этой сумме нулевое, так как для любого набора ад1,ад2,...,-шга € М (или С) имеем Н*Р(1)7гад7Ь1 = Н* (ёеР(ад)(Ь)) = 0 в силу критичности точки Ь (здесь ад € д — вектор, компоненты которого в координатах {д} равны адг).
Таким образом, Н(и,и) = 2Н*Р(2)7.ыи7'икЬ1, откуда для любых векторов и = ёеР(и)(Ь) и £ = ёеР^)(Ь), касательных к О (и, V € д), имеем Н(и, £) = З^Р^^и7vkЬ1. Осталось найти ядро этой формы.
Нам понадобится вспомогательное утверждение.
Лемма. При любом фиксированном к выполнено равенство Н*р(1)ктР™)^"'Ь7 = 2Н*р(2)Ы7-и'Ь7. Доказательство. Возьмем произвольные х,у € © из окрестности е. Пусть ху = //(0) + )(х,у) + )(х,у) + ..., где — векторнозначная функция, каждая компонента которой есть однородный многочлен степени т. Подставляя в это соотношение х = у = е, имеем ^(о) = 0- Подставляя теперь сначала х = 0, затем у = 0, получим ц^(х,у) = х+ у и //(2)(0, у) = М(2)(ж, 0) = 0. Обозначив для краткости (//(2)(х,у)У = ад(х,у) = адк1хку1, будем иметь жу9 = хд + у9 + а9(ж,у) + ... .
Напомним, что р*(ж) = + + Р%{2)щхк ^ + • • • • Подставляя сюда ж = 0, получим = Ьгу
Р(х)Р(у) = Р(ху)
(р(х)р(Щ = р1(х)рк(у) = 5) + р\т(хк + ук) + р\2)ки(хкх1 + уку1) + р|1)Ьт1жкр^)гУ + ... . Правая часть: = + (ж9 + 2/« + а"(ж, у)) + р\2)к1з(хк + ук)(жг + + ... . Приравнивая коэффициенты при хку1, получаем следующее равенство: Р^^тР™)-—2р(2)к- = Р(1)д-аы-Оно выполнено для любых г, к, I. Умножим это равенство на Н*игЬ7 и просуммируем по индексам Н^Р(1)ктР(Г)г7-"'Ь7 — 2Н*р(2)кг--и'Ь7 = Н*р(1)д-а|гигЬ7 = Н*р(1)д-ад9Ь7 = 0 (здесь ад9 = Из полученного
соотношения следует, что Н^р^^р™)-и'Ь7 = 2Н*р(2)кг-и'Ь7 . Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы 2. Вектор и лежит в ядре формы Н(и, й) = 2Н*Р(2)кг-Ь7 тогда и только тогда, когда 2Н*р(2)к— "'Ь7 = 0 при всех к. В силу леммы это эквивалентно тому, что при любом к выполнено равенство Н^р^^р™)—и'Ь7 = 0, т.е. для любого вектора V € д имеет место соотношение 0 = Н*^)^)—ЛкЬ7 = Н*р(1)кт«к (ёер(")(Ь))т = Н* ^ер^)(й)). Выполнение этого соотношения для всех V € д равносильно том у, что и € СД*, что и требовалось. Теорема 2 доказана.
6. Случай 0 = Я04. Используя предложение 2, опишем поведение линейных функционалов (в том числе неморсовских) на орбитах присоединенного действия группы Я04. Для удобства записи введем следующие обозначения: е1 = Е12 — Е21, е2 = Е13 — Е31, е3 = Е14 — Е41, е4 = Е23 — Е32, е5 = Е24 — Е42, еб = Е14—Е41. Из линейной алгебры известно, что любой кососимметрический оператор вК4в подходящем ортонормированием базисе имеет матрицу вида Хе1 + Кеб-
Это означает, что на каждой орбите присоединенного действия в 804 есть хотя бы один элемент указанного вида. Регулярность орбиты равносильна тому, что X2 = У2.
Итак, пусть на орбите регулярного элемента Ь = Хе1 + Уеб задана функция высоты относительно Н = Ае1 + Веб (элементы Н другого вида могут быть получены из этих присоединенным действием). Выясним, как выглядят орбита и множество критических точек в зависимости от А и В. Пусть а = а12е1 + а13е2 + а14е3 + а23е4 + а24е5 + а34еб € О(Ь). Поскольку присоединенное действие не меняет характеристический многочлен, то имеем
Еа2, = X2 + У2,
г<7
(а12а34 + а23а14 — а13а24)2 = X 2У2.
Первое равенство записано для коэффициента характеристического многочлена при г2, второе — для свободного члена.
Поскольку орбита связна, второе уравнение влечет равенство а12а34 + а23а14 — а13а24 = ХУ, что вместе с первым равенством дает нам систему
г (а12 + а34)2 + (а23 + ам)2 + (а13 — а24)2 = (X + У)2, \ (а12 — а34)2 + (а23 — а14)2 + (а13 + а24)2 = (X — У)2.
Введем обозначения р1 = а12 + а34, р2 = а23 + а14, р3 = а13 — а24, 91 = а12 — а34, 92 = а23 — а 14, 53 = а13 + а24-
Нетрудно заметить, что рг и 9 суть коэффициенты в разложении матрицы а по базису {vl, V2, Vз, "1,
1/0 ио\ гпр и, - е1 +еб - е3 + е4" _ е2 - е5 _ в! - е6 _ -е3 + е4 _ е2 + ¿5 «2)из;, гДе г>1 — ^ > ^2 — 2 ' 3 ~~ 2 ' 1 ~~ 2 ' 2 ~~ 2' 3 ~~ 2
Заметим также, что указанные шесть матриц образуют ортонормированный (относительно формы
804
выглядит следующим образом:
гр1 + р2 + р2 = ^ + у)2, ь2 + 92 + 92 = (x — у )2.
В регулярном случае (когда X = ±Y) орбита представляет собой прямое произведение двумерной сферы радиуса |X + Y| в пространстве V = (vi, v2, v3) и двумерной сферы радиуса |X — Y| в пространстве U = («1, «2, «з)- В случае сингулярной орбиты одна из этих сфер вырождается в точку, стало быть, любая нетривиальная сингулярная орбита есть просто двумерная сфера.
Найдем условия на p и д^, при шторых а будет критической точкой для Д. Множество критических точек есть пересечение O(b) П Z(h). Имеем h = Ae1 + Be6 = (A + B)v1 + (A — B)ui. Если A = ±B, то h регулярен и Z (h) совпадает с картановской под алгеброй h = {ае1 + be6| а, b € R}. Она пересекается с орбитой по четырем точкам:
Xe1 + Ye6, —Xe1 — Ye6, Ye1 + Xe6, — Ye1 — Xe6.
Набор индексов такой: (4, 2, 2, 0) Расстановка индексов, конечно, зависит от соотношения знаков A, B, X, Y.
Рассмотрим теперь неморсовский случай: пусть элемент h сингулярен и, например, A = B (случай A = —B аналогичен). Тогда
Z(h) = {ae1 + b(e2 + e5) + c(e3 — e4) + dee| a, b, c, d € R} = (vb«1,«2,из). Значит, множество критических точек задается системой
Ы + р2 + р2 = (X + y )2, \ д2 + д2 + д2 = (x — y)2,
[ Р2 = Р3 = 0.
Отсюда p1 = ±(X + Y), следовательно, множество критических точек есть две непересекающиеся сферы радиуса |X — Y
Отметим, что в указанном случае имеем h = A(e1 + e6) = 2Av1, откудa fh(a) = tr(ha) = 2Ap1, т.е. наша функция высоты на O(b) = S2 х S2 — это просто функция высоты на первой сфере S2 в пространстве V. Множество критических точек есть P1 х S2 и P2 х S2, где P^ P2 — точки соответственно минимума и максимума функции высоты на первой сфере.
Аналогично в случае A = —B функция высоты будет "забывать" о первой сфере и действовать как функция высоты по второй сфере. В морсовском случае функция высоты будет некоторой линейной комбинацией функции высоты на первой сфере и функции высоты на второй сфере.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. Ижевск: Ижев. республ. тип., 1999.
2. Subhash В. Linear Morse functions. Bombay: Indian institute of technology, 2009.
3. Bott R., Samelson H. Application of the theory of Morse to symmetric spaces // Amer. J. Math. 1958. 80. 964-1029.
4. Матвеев С.В., Фоменко А. Т., Шарко В.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 1988. 135. 325-345.
5. Fomenko А. Т. Symplectic geometry. Methods and applications. N.Y.: Gordon and Breach, 1995.
6. Кудрявцева E.A., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199. 3-96.
7. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
8. Кудрявцева E.A., Фоменко А.Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. 2012. 446. 615-617.
9. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.
10. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1978.
11. Шмаров В.А. Морсовские линейные функционалы на орбитах присоединенного действия простых групп Ли // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 3-8.
12. Borel A. Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts // Ann. Math. 1953. 57. 115-207.
13. Coxeter H.S.M. The product of the generators of a finite group generated by reflexions // Duke Math. J. 1951. 18. 765-782.
Поступила в редакцию 27.09.2013
