CC BY
8Математика
УДК 515.164.174, 515.122.55
СВЯЗНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА С ФИКСИРОВАННЫМИ КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ
Е. А. Кудрявцева1
Пусть M — гладкая замкнутая ориентируемая поверхность и F = Fpqr — пространство функций Морса на M, имеющих ровно p критических точек локальных минимумов, q ^ 1 седловых критических точек и r точек локальных максимумов, причем эти точки фиксированы. Пусть Ff — компонента связности функции f G F в F. С помощью числа вращения, введенного Рейнхартом (1960), в работе построена сюръекция no(F) ^ Zp+r-1, в частности |no(F)| = ж и при скручивании Дэна вокруг границы любого диска, содержащего ровно две критические точки, из которых ровно одна седловая, не сохраняется компонента Ff. Пусть D — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M, оставляющих неподвижными критические точки, D0 — компонента связности idM в D, Df С D — множество диффеоморфизмов, сохраняющих Ff. Пусть Hf — подгруппа Df, порожденная D0 и всеми диффеоморфизмами h G D, сохраняющими какие-либо функции fi G Ff, и пусть Hfabs — ее подгруппа, порожденная D0 и скручиваниями Дэна вокруг компонент линий уровня функций fi G Ff. С помощью числа вращения доказано, что Hfabs С Df при q ^ 2, и построен эпиморфизм Df/ H'fbs ^ Z—1. Определен конечный полиэдральный комплекс K = Kpqr, ассоциированный с пространством F. Построены эпиморфизм ц: ni (K) ^ Df /Hf и конечные множества порождающих элементов групп Df / D0 и Df /Hf в терминах 2-остова комплекса K.
Ключевые слова: функции Морса на поверхности, эквивалентные и изотопные функции, число вращения, скручивание Дэна, допустимый диффеоморфизм, полиэдральный комплекс.
Let M bea smooth closed orientable surface and F = Fp,q,r be the space of Morse functions on M having exactly p critical points of local minima, q ^ 1 saddle critical points, and r critical points of local maxima, moreover all the points are fixed. Let Ff be the connected component of a function f G F in F. By means of the winding number introduced by Reinhart (1960), we construct a surjection n0(F) ^ Zp+r-i, in particular |flo(F)| = ж and the component Ff is not preserved under the Dehn twist about the boundary of any disk containing exactly two critical points, exactly one of which is a saddle point. Let D be the group of orientation preserving diffeomorphisms of M leaving fixed the critical points, D0 be the connected component of idM in D, and Df С D the set of diffeomorphisms preserving Ff. Let Hf be the subgroup of Df generated by D0 and all diffeomorphisms h G D preserving some functions f1 G Ff, and let H^ be its subgroup generated by D0 and the Dehn twists about the components of level curves of functions f1 G Ff. We prove that Hfabs С Df if q ^ 2, and construct an epimorphism Df /H ^ Щ,-1, by means of the winding number. A finite polyhedral complex K = Kp,q,r associated to the space F is defined. An epimorphism ц: n1(K) ^ Df /Hf and finite generating sets for the groups Df / D0 and Df /Hf in terms of the 2-skeleton of the complex K are constructed.
Key words: Morse functions on a surface, equivalent and isotopic functions, winding number, Dehn twist, admissible diffeomorphism, polyhedral complex.
1. Введение. Пусть M = Mg — гладкая замкнутая ориентируемая поверхность и F = Fp,q,r — пространство функций Морса на M, имеющих ровно q ^ 1 седловых критических точек x\,...,xq, p критических точек xq+i,... ,xp+q локальных минимумов и r точек xp+q+\,... ,xp+q+r локальных максимумов, причем эти точки фиксированы. Возникает задача: описать гомотопический тип пространства F (в C^-топологии) и, в частности, множество no(F) его связных компонент. С помощью числа вращения,
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
введенного Б. Рейнхартом [1], мы строим сюръекцию no(F) — W+r-1 (теорема 1), аналогичную полному инварианту Ю.М. Бурмана [2, 3], и доказываем равенство |по(F)| = то.
Близкая задача была решена С. В. Матвеевым в 1997 г. (см. [4]), Х. Цишангом в 1998 г. (см. [5]), В. В. Шарко в 1998 г. [6] и С. И. Максименко в 2005 г. [7]. Матвеев и Цишанг доказали разными методами линейную связность пространства F = Fpqr D F функций Морса на M, имеющих фиксированные множества критических точек локальных минимумов и максимумов. Другой близкий результат был получен Бурманом [2, 3]. Он изучал пространство F' гладких функций без критических точек на некомпактной поверхности M', локально постоянных на крае и имеющих заданное поведение вблизи края. Он построил отображение Bf: F' — H i(M',dM') (полный топологический инвариант на пространстве F'), где f £ F' — отмеченная функция, и доказал, что индуцированное отображение (Bf )#: no(F') — H 1(M',dM') биективно. Гомотопический тип пространств функций с умеренными особенностями на окружности изучался В. И. Арнольдом [8]. Функции Морса на поверхностях исследовались А. Т. Фоменко и Цишангом [9], А. В. Болсиновым и Фоменко [10, 11], а также автором [12] в связи с задачей классификации невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем. Различные вопросы классификации и топологии пространств функций Морса на поверхностях исследовались также в работах [13-16].
Опишем основные результаты настоящей работы.
Обозначение 1. Пусть D = D (M, {xi ,...,xp+q+r}) — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M, оставляющих неподвижными все критические точки; пусть D0 — компонента связности idM в D и Df С D — множество диффеоморфизмов, сохраняющих компоненту связности Ff функции f £ F в F (в C^-топологиях на D и F, см. [16, §4]). В определении 1 вводятся группа Hf"bs абсолютно допустимых и группа Hf допустимых диффеоморфизмов для функции f (отличных от понятия f-допустимого диффеоморфизма h £ Df из [7, §6]). По теореме 2 они являются нормальными подгруппами группы Df. Так как группа D/D0 дискретна, то подгруппы Hfabs/D0 С Hf/D0 С Df/D0 и факторгруппы D /((D0)), Df /Hf и Hf /H/bs С Df/H/bs дискретны.
Возникают следующие задачи.
1) Для заданного диффеоморфизма h £ D определить, принадлежат ли функции f и fh одной компоненте связности Ff пространства F (т.е. принадлежит ли h подгруппе Df). В частности, описать пространство смежных классов D/Df ~ П0(F) и определить, является ли оно конечным.
2) Для заданного диффеоморфизма h £ D или Df определить, является ли он допустимым (абсолютно допустимым) для функции f (т.е. принадлежит ли подгруппам Hf и Hfabs). В частности, подтвердить или опровергнуть гипотезу М. Басмановой о совпадении подгрупп Ж^, Hf, Df, где Ж^ С Hf С Df.
3) Описать конечные множества порождающих элементов факторгрупп Df /D0 и Df /Hf.
В данной работе с помощью числа вращения получены частичные решения первых двух задач, а с помощью комплексов функций Морса — решение третьей задачи, а именно:
1) построена сюръекция ni(F) ~ D/Df — Zp+r-1 (теорема 1). В частности, |n0(F)| = то;
2) построена сюръекция D/ Ж— Z2— , которая индуцирует эпиморфизм Df /Жfabs — Z2- , а при M = S2 — эпиморфизм Hf/Hf°s —> Zq (теорема 2). В частности, при q ^ 2 мы получаем опровержение Hfabs ^ Df гипотезы Басмановой;
3) определен конечный связный полиэдральный комплекс K = Kp,q,r, ассоциированный с пространством F (теорема 3). Построены эпиморфизм ц: ni(K) — Df /Hf и конечные множества порождающих элементов групп Df/D0 и Df/ Hf в терминах 2-остова комплекса K (теоремы 4, 5).
В статье также исследовано, какие из групп цепочки D0 С С Hf С Df С D совпада-
ют (см. следствие), кроме случая Hf С Df при M = S2, q ^ 4. При M = S2 доказаны оценки q — 1 < rank (Df /Ж) < rank(ni(K)), rank(D/((Df))) ^ p + r — 1, а при M = S2 — оценки rank(Df /H) < rank(ni(K)), rank(Hf/Hfabs) ^ q — 1 (следствие и теорема 4), где ранг группы есть минимальное количество порождающих элементов. Отсюда получаем Hf = Df, если ni(K) = 1. Поэтому Hf = Df в случае M = S2, q ^ 3 (так как комплексы K = Ki,2,i ~ [0,1] и K = K\^y2 ~ VS2 односвязны).
7
2. Топологический инвариант на пространстве F, Df-инвариант на пространстве D. Обозначим через K подгруппу в D, порожденную D0 и скручиваниями Дэна [17] вокруг разбивающих кривых ("ядро Джонсона" [18]). Она является нормальной.
Теорема 1 (Df-инвариант Bf на пространстве D). Пусть q ^ 1 и f £ F. Имеется сюръекция Bf: D — Zp+r-1, ограничение которой на любой смежный класс Df h, h £ D, постоянно. Ограничение
Bf : К — ЪР+Г-1 не .зависит от функции / и является эпиморфизмом. Скручивание Дэна вокруг границы любого диска, содержащего ровно к ^ 0 седловых критических точек и £ £ {0,к + 1,р + г} критических точек локальных минимумов и максимумов, не принадлежит подгруппе ^^ ПК С кег(В^\к) (т.е. не сохраняет компоненту Ff функции / в F). В частности, )\ = то, ^^ С & и имеется сюръекция
) и &/Df — Ър+Г-1. Если М = 52, то К = & и Bf определяет эпиморфизм &/((^)) — ЪР+Г-1, не зависящий от /.
3. Допустимые диффеоморфизмы и -инвариант на пространстве &.
Определение 1. Диффеоморфизм Н £ & назовем допустимым для функции / £ F, если имеются такие функции /1, ...,/м £ Ff и диффеоморфизмы Н1,...,НN £ &, что /г = /гНг и Н £ Н1 ...НN&0. Если каждый диффеоморфизм Нг — скручивание Дэна вокруг связной компоненты кривой /—1(аг), где аг — некритическое значение функции /г, то диффеоморфизм Н назовем абсолютно допустимым для /. Абсолютно допустимые и допустимые диффеоморфизмы для функции / £ F образуют соответственно подгруппы ЩаЪ8 и Щ группы & (см. обозначение 1). Ясно, что &0 С ЩаЬ8 С С Df С &.
Примеры. (А) Простая замкнутая кривая на М называется допустимой [7, § 6] для функции Морса / £ F, если она является компонентой связности линии уровня д-1(а) некоторой функции д £ Ff. Скручивание Дэна вокруг такой кривой — это абсолютно допустимый диффеоморфизм для /.
(Б) Другой пример допустимого диффеоморфизма показан на рис. 1. Как и в примере (А), этот диффеоморфизм Н = Н^ сохраняет функцию д £ Ff, однако он совпадает с тождественным в окрестностях всех критических точек х1,..., хр+д+г, кроме двух седловых точек хг и х^, в которых ¿Н(хг) = —и йН(х^) = —1ё. Такой диффеоморфизм существует для любой поверхности М = Б2, а при М = 5 2 — нет. Он не является абсолютно допустимым для / согласно приводимой ниже теореме 2, (Б).
Группа допустимых диффеоморфизмов порождена диффеоморфизмами из примеров (А), (Б). Теорема 2 (Ж^аЬ8-инвариант В^Ъ8 на пространстве &). Пусть д ^ 1 и / £ F. Имеется сюръекция & — Ъ2, ограничение которой на любой смежный класс Ж^Н, Н £ &, постоянно. Подгруппы
Рис. 1. Допустимый, но не абсолютно допустимый для / диффеоморфизм , где д £ Ff, а = д(х^) — е, Ь = д(х^) + е, 0 < е ^ 1
В&ЪБ :
Ж ^ и являются нормальными в Df, и выполнены следующие условия:
(Л) ограничение Ва!ье'\н: Н — Ъ^1 на любую из трех подгрупп Н £ {Df, К, Df П К} является эпиморфизмом, при Н = К не зависит от / и Ж^ С ker(Bfbs\Df). При д ^ 2 для любой пары седловых критических точек скручивание Дэна вокруг границы некоторого диска (зависящего от /), содержащего эти две точки и не содержащего других критических точек, принадлежит Df \ (т.е. сохраня-
ет компоненту Ff функции / в F, но не является абсолютно допустимым диффеоморфизмом для /). В частности, ограничение В^Ъ8 \ Df индуцирует эпиморфизм Df /— Ъ2—1 и поэтому Ж^ С Df при
ъ2-1
является эпиморфизмом, индуцирующим
д ^ 2. Если М = Б2 и д ^ 2, то Ж/Ь8 = Ж С ;
(Б) если М = Б2, то ограничение ВаЬБ\ж^г : Жf эпиморфизм Жf /Ж^ — Ъч2-1, причем Ж^ С Жf С Df и допустимый для функции / диффеоморфизм, показанный на рис. 1, не является абсолютно допустимым для /.
Если у функции /1 £ Ff ровно д ^ 1 седловых критических значений, то на М имеется д+д—1 окружностей, являющихся компонентами линий уровня функции /1 и таких, что подгруппа группы /&0, порожденная скручиваниями Дэна вокруг этих окружностей, изоморфна Ъя+д-1.
Следствие. (Л) Пусть М = Б2. Если количество седел д ^ 2, то имеется цепочка четырех групп С Ж^ = Жf С Df С &, в которой все множества смежных классов нетривиальны и допускают мономорфизм Ъд-1 ^ и эпиморфизмы ^/Жf — Ъ2 , &/{{)) — ТР+Г-1. Ес-
ли д = 1, то имеются две группы &0 = Ж^ = Жf = Df С & с бесконечной факторгруппой &/ &0 =
П1(Б2\{х2,хз,х4},х1) = F2, где F2 — свободная группа ранга 2, причем композиция &/D0—-F2 — FЧ¡b = Ъ2 совпадает с топологическим инвариантом Bf для любой функции / £ F.
(Б) Если M = S2, то имеется цепочка из пяти групп D0 С Hfabs С Hf С Df С D, в которой все множества смежных классов (за исключением, быть может, Df /Hf) нетривиальны и допускают, мономорфизм Zq+g-i ^ Hfabs/ D0, эпиморфизм Hf /H/bs ^ Z— и сюръекцию D jDf ^ Zp+r-i.
Доказательство теорем 1 и 2. Шаг 1. В данном доказательстве под кривой понимается гладкое компактное (необязательно связное) ориентированное 1-мерное подмногообразие а С M, край которого есть пересечение множества а с множеством критических точек x\,... ,xp+q+r. Пусть
Yi: [0,1] ^ M, 1 < i < p + q + г - 1, (1)
— кривая, выходящая из точки Yi(0) = xp+q+r и входящая в точку Yi(1) = Xi. Фиксируем на M риманову метрику.
Определение 2. Для любой такой кривой 7: [0,1] ^ M и любой функции f Е F обозначим через Wf(7) вещественное число, равное количеству полных оборотов касательного вектора вокруг нуля по отношению к ортогональному реперу в T^t) M, содержащему вектор grad f (7(t)), 0 < t < 1. Для несвязной кривой 7 С M определим число Wf (7) равным сумме чисел, отвечающих ее компонентам. Назовем Wf (7) числом вращения кривой 7 по отношению к функции f. Оно совпадает с числом вращения кривой 7 по отношению к векторному полю grad f (см. [1, §2; 19, определения (1.1)] или [3, §3.2]). Для замкнутой кривой 7 число Wf (7) целое и не меняется при деформациях функции f Е F (см. [1, §2; 19, леммы (5.1) и (5.2); 3, §3.1, утверждение 5]).
Аналогично [1, §2] определим различающее число кривой 7 по отношению к функциям f, fh:
dhWf (7) := Wf (h7) - Wf (7) = Wfh(7) - Wf (7) = (wfh - Wf)(y), h Е D.
Отметим некоторые свойства чисел Wf (7) и dhWf (7). Для любой пары hi ,h2 Е D выполнено равенство
dhi h2 Wf (7) = dhi Wf (7) + dh2 Wfhi (Y ), (2)
поскольку dhih2 Wf (7) = (Wfhih2 - Wf )(y) = (Wfhh - Wfhi + Wfhi - Wf )(y ) = (dh2 Wfhi + dhi Wf )(y). Если Si — маленькая окружность вокруг точки Xi, ориентированная против часовой стрелки, то
Wf (si) = 1 - ind Xi (grad f), 1 ^ i ^ p + q + r. (3)
Таким образом, число Wf (si) всегда четно, так как Wf (si) = 0 для точек Xi локальных минимумов и максимумов (q < i ^ p + q + r) и Wf (si) = 2 для седловых точек Xi (1 ^ i ^ q). Более общо, для любой (необязательно связной) разбивающей кривой а = dN, где N С M — область, выполнено равенство
Wf (dN) = X(N) - £ ind xi (grad f), (4)
xieN
где кривая dN ориентирована так, что N "находится слева" (это выводится из (3) приклеиванием дисков к компонентам dN и продолжением векторного поля grad f внутрь каждого диска с одной особой точкой [19, лемма (5.7)]). Для любой кривой 7 и любой связной замкнутой кривой а
dta Wf (7) = k(fii,7)Wf(а), к Е Z, (5)
где (а, 7) — индекс пересечения кривых а и 7, ta — скручивание Дэна вокруг а. Согласно (3), (5) и построению (1) кривых 7i, для любого j Е [1,p + q + r - 1]
dtSj Wf (7i)=2Sij, 1 ^ i ^ q; Wf Y) = 0, q<i ^ p + q + r - 1. (6)
Для любого h Е D выберем диффеоморфизм h Е hD0, ограничение которого на малую окрестность U множества точек xi,...,xp+q+r совпадает с idM. Ясно, что число dhWf Y) целое и сохраняется при деформациях функции f в F. При этом в силу (2) и (6) значения dhWf Y) mod 2 Е Z2, 1 ^ i ^ q, и dh Wf (7i) Е Z, q < i ^ p + q + r - 1, не зависят от выбора диффеоморфизма h. Для любых функции f Е F и набора кривых (1) определим отображения Bfs и Bf формулами
f: D ^ Z2-i, Bfs(h) := (dh Wf (71) mod 2,.. .,dhWf (7q-i) mod 2);
Bf : D ^ Zp+r-i, Bf (h) := (dhWf (Yq+i),..., dWf (7p+q+r-i)).
В силу (2) для любых Н1,Н £ & выполнены равенства
(Н1Н2) = (Н\) + В(Н2), В^Н Н2) = В^(Н) + Б%1 (Н2). (7)
Поэтому для любых Н1 £ и Н2 £ & (в силу = В^ и В^^Ц = В^8) имеем
В} (Н П2) = В} (Н) + В} (Н2), В^Н^) = Вр^) + В^Н). (8)
Шаг 2. Докажем равенство Bf (DfН2) = Bf (Н2) для любого диффеоморфизма Н2 £ &. Сначала докажем равенство Bf (Df) = 0. Для любого Н £ Df рассмотрим число дhWf (чг) = ) — wf (7г),
ц < г < р + ц + г. Пусть и' С V — малая окрестность множества {хд+1,... ,хр+д+г} точек локальных минимумов и максимумов. Тогда любой путь / в Е со свойством /о\и = ¡\\и гомотопен в классе путей с фиксированными концами в пространстве Е такому пути что /^и' = /о\и' при любом Ь £ [0,1]. Ввиду того, что Н £ Df, имеем /Н £ Ff, поэтому существует путь / в Е, такой, что /о = /, /1 = / Н и /^и' = /\и' при любом Ь £ [0,1]. Разность Wft (чг) — Wf (чг) целая при любом Ь (так как концы кривой Чг содержатся в V'), а значит, постоянна и равна Wf^(Чг) — Wf (чг) = Wf0(чг) — Wf (чг) = 0. Поэтому Bf (Н) = 0 и Bf (Df) = 0. С учетом (8) это дает Bf (Df Н2) = Bf (Df) + Bf (Н2) = Bf (Н2).
Докажем равенство В^^Ж^^) = В^8^) для любого диффеоморфизма Н2 £ &. Заметим, что Wf (а) =0 в случае любой допустимой для / кривой а (см. определение 1). В силу (5) это дает равенство д1к Wf (чг) = 0 при 1 ^ г < р + ц + г, к £ Z, откуда В^8^) =0. С учетом (8) для любого Н2 £ & имеем В^Л*) = ВаЬ8(Н2), откуда индукцией получаем В^Н/^) = В^Ь8(Н2).
Шаг 3. Докажем, что отображения В^8^, В<аЬБ\к и Bf\к являются гомоморфизмами, причем второе и третье не зависят от функции / £ Е. Первое отображение является гомоморфизмом в силу (8). Согласно (4), для любой связной разбивающей кривой а = дК число Wf (а) не зависит от /. С учетом (5) для любого к £ Z число дгк Wf (7) = к(а,ч)wf (а) тоже не зависит от /. Поэтому Bf (¿¿) не зависит от /. Отсюда и из (7) получаем, что Bf (Н1Ька) = Bf (Н1) + Bfhl (^) = Bf (Н1) + Bf для любого Н1 £ &. Поэтому Bf \к — гомоморфизм и не зависит от /; аналогичное верно для В^Ь8\к.
Шаг 4. Покажем, что гомоморфизмы BfЬs\Df с\,Х и Bfявляются эпиморфизмами. Это вытекает из следующего факта. Для любых функции / £ Е и числа г = ц, 1 ^ г < р+ц + г (точнее, г < ц для BlfЬs\Df с\,х и г > ц для Bf \к), можно построить замкнутую кривую вгд = вг#вд С М, являющуюся "связной суммой" маленьких окружностей вг и вд вокруг критических точек хг и хд и такую, что скручивание Дэна Ь3гч вокруг кривой вгд обладает следующими свойствами:
1) Ь3г £ К, а в случае 1 ^ г < ц выполнено Ь.г £ Df (т.е. функция /Ь.г принадлежит компоненте связности Ff функции / в пространстве Е);
2) в случае 1 ^ г < ц элемент В^8^.^) совпадает с г-м элементом канонического базиса группы , а в случае ц < г < р + ц + г элемент Bf (Ь.^) совпадает с (г — ц)-м элементом канонического базиса группы Zp+r-1 (поэтому В^8^ П К) = Z2-1 и Bf (К) = Zp+r-1).
Первая часть п. 1 следует из определения группы К (так как вгд — связная разбивающая кривая). Пункт 2 следует из (5) и (4), так как (для любого ] = ц, 1 ^ ] < р + ц + г) с^.,. Wf(ч^) = (вгд,Чз)wf(вгд)
равно (вгд, Ч]) • 3 = при 1 ^ г < ц и равно (вгд, Ч]) • 1 = при ц < г < р + ц + г. Заменяя окружность вщ на границу диска О С М, содержащего к седловых и £ £ {0,к + 1,р + г} минимаксных критических точек, а кривую 4] на любую кривую 4, ведущую из точки минимакса снаружи О в точку минимакса в О, из (5) и (4) аналогично получаем д1вв Wf (7) = (дО, ч)wf (дО) = 1 • (1 + к — £) = 0, откуда Ьдо £ Df (так как дhWf (4) = 0 для любого Н £ Df, см. шаг 2).
Осталось доказать вторую часть п. 1. Мы построим требуемую кривую вгд, 1 ^ г < д. Без ограничения общности считаем, что седловые значения /(хг),/(хд) превосходят остальные седловые значения /(х]), 1 ^ 3 ^ ц — 1, 3 = г, и существует точка хк локального максимума, в которую входят сепаратрисы а и в поля grad /, выходящие из точек хг и хд соответственно. Пусть О — маленький диск вокруг хк. Рассмотрим кривую а • в-1 и заменим ее часть (а • в-1) П О дугой окружности дО, не пересекающей две другие сепаратрисы, выходящие из точек хг и хд (существование такой дуги не ограничивает общности). Рассмотрим связную сумму вгд = вг#вд окружностей вг и вд по отношению к части полученной кривой между точками пересечения с окружностями в г и вд. Покажем, что существует путь из функции / в функцию /Ьвгч в пространстве Е функций Морса. Этот путь схематически изображен на рис. 2. Теорема 1 доказана.
Рис. 2. Реализация гомотопией в Г действия на / скручивания Дэна Шаг 5. Покажем, что подгруппы Жу и Жу'ЬБ нормальны в . Если Н\ € &у (т.е. /Н1 €
диффеоморфизм d € & сохраняет функцию /Н1 (т.е. /Н1(1 = /Н1), то для любого Н €
Гу) и 'у выполнено
(/Нф-1)(МН-1) = /Н1Н-1, т.е. диффеоморфизм ЫН-1 сохраняет функцию /Нф-1 € Гу. Так как группа Ж у порождена &0 и всеми такими d (или всеми такими ШН-1), то НЖу Н-1 = Ж у. Аналогично доказывается равенство НЖу'ЬБН-1 = Жу'ЬБ (для этого в качестве d рассматриваются лишь скручивания Дэна). Так как диффеоморфизм Н € & у любой, то подгруппы Жу и ЖуЪБ нормальны в &у.
Шаг 6. Пусть М = Б2. Покажем, что Б^(Жу) = Z2 . Рассмотрим допустимый для / диффеоморфизм Нщ € Жу С &у, показанный на рис. 1, при 1 ^ г < ]
г-м элементом стандартного базиса группы 1, откуда НгЯ € Ж^ согласно шагу 2. Поскольку г любое
д. Легко проверяется, что Б^(Нщ) является са1
и В^— гомоморфизм, то В^(Жу) = Теорема 2 доказана. □
4. Эквивалентность и послойная эквивалентность функций Морса. В следствии описано, какие из соседних групп цепочки С ЖуЪБ С Жу С &у С & совпадают, кроме случая Жу С &у при М = Б2. Наша дальнейшая цель — описать конечные множества порождающих элементов факторгрупп
IЖу и ¡О)0 в геометрических терминах.
Определение 3. Функции Морса /,д € Г назовем подобными, если они определяют одно и то же разбиение поверхности М на связные компоненты линий уровня /-1(а) и д-1(Ь), а также один и тот же частичный порядок на множестве седловых критических точек Х1,...,ХЯ согласно значениям функции в этих точках; обозначим это следующим образом: / ~ д. Если / ~ дН для некоторого диффеоморфизма Н € & (соответственно Н € &0), то функции /,д назовем эквивалентными (соответственно изотопными); обозначим это через / ~ д (соответственно / д). Классы эквивалентности и изотопности функции / обозначим через [/] и [/^^ соответственно.
Если в определении 3 не налагать условия о частичном порядке на множестве седловых точек, получатся определения послойной подобности, послойной эквивалентности и послойной изотопности. Фоменко и Болсинов ввели комбинаторные понятия атома и молекулы и доказали, что классы послойной эквивалентности функций Морса на замкнутой поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с молекулами таких функций [11, гл. 2, §3-8, теорема 8]. Аналогично вводятся понятия нумерованного атома, нумерованной молекулы (с помощью нумерации вершин атомов согласно нумерации критических точек Х1,... ,хр+я+г) и оснащенной молекулы (с помощью частичного порядка из определения 3) и доказывается следующий аналог результата из [11].
Утверждение. Классы эквивалентности функций Морса / € Г = Гр,д,г с фиксированными критическими точками на замкнутой ориентируемой поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с оснащенными нумерованными молекулами таких функций. В частности, имеется лишь конечное число классов эквивалентности функций Морса / € Г = Гр>д>г.
5. Полиэдральные комплексы функций Морса и их разветвленные накрытия.
Определение 4. (А) Клеточный комплекс X назовем (строго) полиэдральным комплексом (ср. [20]),
если каждая его замкнутая клетка а снабжена метрикой, согласованной с индуцированной топологией на Т, и изометрична некоторому выпуклому многограннику Ра, причем изометрия а — Ра индуцирует изометрии между замкнутыми клетками Т С да и гранями многогранника Ра.
(Б) Отображение г: К — К полиэдральных комплексов назовем правильным, если его ограничение на любую клетку а комплекса К является изометрией на некоторую клетку а комплекса К. Клетку
а назовем поднятием клетки а при г. В частности, г является клеточным отображением. Правильные биекции К — К назовем автоморфизмами полиэдрального комплекса К.
(В) Пусть а,т С X — два непересекающихся подмножества топологического пространства X (например, две открытые клетки клеточного комплекса). Будем говорить, что а примыкает к т, и писать т — а (и Т — а), если т С да := а \ а. Пишем т ^ а, если т — а или т = а.
Определение 5. Отображение г: К — К полиэдральных комплексов назовем разветвленным накрытием, если оно правильное (см. определение 4, (Б)) и для любой клетки Г С К любая клетка а С К, примыкающая к клетке т := г(Г) (см. определение 4, (В)), имеет поднятие а С К (см. определение 4, (Б)), примыкающее к клетке т.
Теорема 3. Пусть количество седловых критических точек ц ^ 1. Существуют (ц — 1)-.мерный выпуклый многогранник Vд-1, (ц — 1)-мерные полиэдральные комплексы К = Кр,д,г и К = Кр,д,г (зависящие от чисел р,г,ц критических точек локальных минимумов, максимумов и седловых точек), ассоциированные с пространством Е = Ер,д,г функций Морса, а также разветвленные накрытия К —-— К —-— Vд-1, такие, что комплекс К конечен и связен и выполнены следующие условия:
(A) пространство Е гомотопически эквивалентно полиэдральному комплексу К
(Б) клетки комплекса К (соответственно К) находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изотопности [/(соответственно с классами эквивалентности [/]) функций Морса / £ Е. Размерность любой клетки равна ц — в(/), где в(/) равно количеству седловых критических значений функции / £ Е, отвечающей данной клетке. Две клетки т,а комплекса К (соответственно К) примыкают друг к другу: т - а тогда и только тогда, когда соответствующие им классы функций Морса [/ЬвсЛ ^ а, [д^ы, ^ т примыкают друг к другу как подмножества Е в С-топологии: [/— [дЬвЫ, (соответственно [/] — [д], где [/] ^ а и [д] ^ т);
(B) имеется правое действие группы &/&0 на комплексе К автоморфизмами полиэдрального комплекса, согласованное с естественным правым действием группы & на пространстве Е. Разветвленное накрытие г: К — К является &/-инвариантным и переводит друг в друга клетки а — а, отвечающие классам [/^^ С [/] одной и той же функции Морса / £ Е.
Пункт (А) теоремы 3 и утверждение о том, что го — разветвленное накрытие, не будут использованы в настоящей работе; их доказательство будет дано в следующих публикациях на основе [16].
Доказательство пунктов (Б), (В) теоремы 3. Шаг 1. Опишем построение многогранника Vд-1.
Пусть Т>д~1 с!' — выпуклая оболочка множества точек Рж := ^1=1 — Г") ) тт € £д, 7Г = ''' ^ ,
где е1,... ,ед — стандартный базис Мд. Известно [21], что Рд-1 — это (ц — 1)-мерный выпуклый многогранник в евклидовом пространстве Ед-1 := (е1 + ... + едимеющий ровно ц! вершин РП, п £ £д, причем его (ц — в)-мерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными разбиениями , = ,,..., ,1.) множества {1,...,ц} на в непустых подмножеств ,11 ,...,3 (т.е. {1,...,ц} = ,11 и ... и ,.), 1 ^ в ^ ц. А именно грань т]_я С Рд-1, отвечающая разбиению ,, — это выпуклая оболочка множества точек (£Г1 х £Г2_Г1 х ... х £Тд_г,_ 1 )(РП), где числа 0 = го < г1 < ... < г._1 < г. = ц и перестановка п £ £д однозначно определяются условиями
, = (,1 ,...,Js), = {п1,...,пп } ,2 = {пГ1+1,...,пГ2 } ... = {пг,-1+1,...,пг, } (9)
П1 < ... < Пг1, Пг1+1 < ... < Пг2,..., Пга-1+1 < ... < Пг,. Здесь £п х £ Г2_п х ... х £Ге-Ге_1 подгруппа группы £д, отвечающая разбиению {1,...,ц} = {1,...,г1} и {г1 + 1,..., г2} и ... и {г._1 + 1,..., г.}, и действие перестановки р £ £д на точке Рп дает точку РрП, где (рп)г := Прг, 1 ^ г ^ ц.
Если разбиение , получается из разбиения , = ,,...,путем измельчения (т.е. разбиения некоторых множеств ,,к на несколько подмножеств), будем писать , — ,,. Из описания граней многогранника Рд-1 следует, что условие , — , равносильно т ^ — т.] (см. определение 4, (В)).
Шаг 2. Для каждой функции Морса / £ Е рассмотрим набор Т = Т(/) = (с1 ,...,сд) £ Мд ее седловых критических значений сг := /(хг), 1 ^ г ^ ц. Сопоставим набору Т = (с1,...,сд) число в(т) := \{с1,..., сд}\ различных седловых значений и упорядоченное разбиение ,(т) = (,1,...,множества {1,..., ц}, определяемое свойствами (9) и условиями сЖ1 = ... = сЖг1 < сЖг1+1 = ... = сЖг2 < ... < сЖг,_ 1+1 = ... = сЖг,.
Сопоставим разбиению ,(т) и классу эквивалентности [/] грань т.(с) С Рд-1.
Шаг 3. Покажем, что для любой функции / £ Е имеется биекция 5[/] между множеством всех граней т' — т := т)) и множеством всех классов эквивалентности [д] ^ [/] (см. определение 4, (В)), такая, что 5[/]: т' — [д] =: 5Т'[/] при т' = т.(с(д)). Это вытекает из следующих двух свойств:
1) для любого с Е Rq существует ео > 0, такое, что (i) для любого с' Е Rq со свойством \c! — с\ < ео выполнено J (с1) ^ J (с) и (ii) для любых е Е (0, ео ] и разбиения J < J (с) существует с' Е Rq со свойствами \с' — с\ < е0 и J(с') = J;
2) согласно [12, утверждение 1.1 и §3], любая функция f Е F имеет окрестность U в F, такую, что для любых g,gi Е U равенства [g] = [g\] и J(с(д)) = J(o(gi)) равносильны.
Из этих свойств получаем, что из соотношений [h] У [g] У [f] следует [h] У [f]. Поэтому
[f ] = [f ] для любых граней т" — т' — Tj(¿(f)). (10)
Шаг 4. Опишем построение полиэдрального комплекса K, удовлетворяющего условиям п. (Б), и правильного отображения Го: K — pq-1. Рассмотрим метрическое пространство X := У v[f], где Uf ] есть
[f ]eF/~
выпуклый многогранник, изометричный грани tj(¿(f)) С Pq-1. Фиксируем отображение п: X — Pq-1, ограничение которого на каждый многогранник Uf] является изометрией Uf] — Tj(¿(f)). Очевидно, п есть правильное отображение полиэдральных комплексов (см. определение 4, (Б)). Обозначим pf] : =
(п\Uff])-1: TJ(¿(f)) — U[f].
Опишем (индукцией по k ^ 0) построение отношения эквивалентности на множестве
X(к) := у vm С X
dim V[f ] ^к
и отображения пк: K(к) —> (р q-1 )(к), таких, что
Пк ◦ Рк = п \ X (к), Рк ◦ P[f] \ т' = Рк ◦ Р&т, [f] для любых f Е F, dim Uf ^ k, и т' — Tj (¿(f)), (11)
где K(к — множество классов эквивалентности в X(к\ Рк: X(к — K(к — каноническая проекция, 5[f ] есть биекция из шага 3. При k = 0 различные точки считаем неэквивалентными, определим по формулой no(v[f]) := Tj(cff)) при dimU[f] = 0, тогда имеет место (11) для k = 0. Пусть k ^ 1, и пусть отношение эквивалентности на X (к-1) и отображение пк-1 уже построены, причем K (к-1) является (k — 1)-мерным полиэдральным комплексом, пк-1 — правильным отображением и выполнены условия (11) для k — 1. Из (10) и (11) для k — 1 следует, что для каждого [f], dimU[f] = k, имеется правильное вложение
pf: dTj (¿(f)) — K (к-1\ такое, что pf ] \ т' = Рк-1 о f для любого т' — Tj (¿(f)). Определим отношение эквивалентности на K(к-1 и I |_| v[f]\ , отождествляя каждую точку из dU[f] с ее образом при
\dim и[/]=к )
правильном вложении pf о п. Тогда выполнены условия (11), откуда получаем, что K(к — k-мерный полиэдральный комплекс и пк : K(к) — (Pq-1 )(к) — правильное отображение.
Таким образом, мы построили отношение эквивалентности <~giue на всем X = x (q-1), полиэдральный комплекс K = K(q-1 = X / <~giue и правильное отображение Го = пq-l: K — Pq-1.
Шаг 5. Согласно утверждению и теореме 3, (Б), полиэдральный комплекс K конечен. Из результата о приведении функций Морса к нормальной форме [4] следует, что K связен. Аналогично построению полиэдрального комплекса K строится полиэдральный комплекс К, удовлетворяющий условиям п. (Б), вместе с правильным отображением K — pq-1 (для этого следует всюду в шагах 2-4 заменить [Л,иу]ХХ(к) K^ ,п,пк ,Рк ,P[f],P[f] на [f]ieat,V[f]iBot ,X,X(к ,1С(к'),п ,пк ,Рк ,<P[f]iBOt, P[f]isot). Рассмотрим
правое действие группы D/Dо на X := У Uf], t, где элемент hD° Е D/Dо действует по правилу
[f]
isot
eF/
hD° \ Ulf]isot := p[fh] isot ◦ п \ U[f]isot : Uff ]isot — U[fh]isot; тогда X ~ Xх/(D/D°). Это действие индуцирует действие группы D/ D на K автоморфизмами полиэдрального комплекса (так как отображения п: X — Pq-1 и 5т', а потому и отношение эквивалентности <~giue на X являются D/Dо-инвариантными). Поэтому композиция правильного D/D0-инвариантного отображения X — X и правильного отображения X — K индуцирует правильное D/Dо-инвариантное отображение г : K — K, такое, что г(а) = а ^ [f ] при <7 [/]isot- Отсюда получаем, что г — разветвленное накрытие (см. определение 5). □
Обозначение 2. Для любой клетки т комплекса K обозначим через Dт множество элементов h Е D/D°, таких, что Th = т (см. теорему 3, (В)). Пусть K(r') — r-мерный остов комплекса K.
Теорема 4. Пусть q ^ 1 и f Е F. Существует эпиморфизм ц: n\(K) ^ Df /Hf. В частности, группа Df /Hf имеет набор образующих ^([71]),... ,ß([7(\), где [71],..., [7^] — образующие П\(К).
Доказательство. Пусть т С К и т С К — клетки комплексов К и К, отвечающие классам [f] и [f]isot (см. теорему 3, (Б)). Без ограничения общности считаем, что эти клетки нульмерны. Пусть Кf — связная компонента комплекса К, содержащая клетку Т. Рассмотрим правое действие группы Df /D0 и ее подгруппы Hf /D0 на Кf (см. теорему 3, (В)). Так как разветвленное накрытие Кf ^ К является Df /D0-инвариантным (см. там же), то Кf := Кf /(Hf /D0) — полиэдральный комплекс, а проекция rf : Кf ^ К ~ Кf/(Df /Hf) — разветвленное накрытие. В действительности rf является накрытием, так как K'f связен и
действие на нем группы Df / Hf свободно (в силу включения Dт С Hf /D0). Поэтому имеется естественный эпиморфизм ц: П1(К,т) ^ Df / Hf, переводящий гомотопический класс любой петли 7: [0,1] ^ К, 7(0) = 7(1) = т, в элемент h7 Е Df / Hf, такой, что 7(1) = 7(0)h-1. Здесь 7: [0,1] ^ Кf — такое поднятие пути 7, что 7(0) = т(,Щ/&°). □
Опишем теперь образующие группы Df/D в терминах конечного связного графа К «. Пусть T С К « — остовное дерево графа К(1) и 01 ,...,an — все ребра из К(1) \ T. Пусть т1,...,ту и 01,...,0e — все вершины и все ребра графа К(1) (каждое ребро снабдим произвольной ориентацией). Имеем п = E — V +1. Пусть S: T ^ К — любое непрерывное поднятие дерева T, такое, что S(т) = 7 (здесь т, 7 такие же, как в доказательстве теоремы 4), и пусть 0e — такое поднятие ребра oe, что 0e (0) = S(oe(0)), 1 ^ e ^ n. Имеем 0e(1) = S(oe(1))he для некоторого he Е Df/D0, 1 ^ e ^ п. Элементы h1, ...,hn Е Df/D0 назовем T-дополнительными элементами.
Теорема 5. Пусть q ^ 1 и f Е F. Группа Df /D0 имеет конечную систему образующих A1 U ... U Ay U {h1,.. .,hn}, где Av — конечная система образующих группы D ST ) 1 ^ v ^ V (см. обозначение 2), h1,...,hn Е Df/D0 — T-дополнительные элементы. Для минимального числа образующих верна оценка rank (Df/D0) ^ (q + g — 1)V + n = (q + g — 2)V + E + 1, где V и E — количество вершин и ребер графа К(1), п = E — V +1, g — род поверхности M.
Доказательство. Пусть h Е Df /D0. Тогда в обозначениях доказательства теоремы 4 существуют петля 7 : [0,1] ^ К(1) и ее поднятие 7 в К, такие, что 7(0) = 7 и 7(1) = Тh. Пусть 7 = оЦ ■ ... ■ — разложение петли 7 в произведение ориентированных ребер комплекса К, где Ei Е {1, —1} и ei Е {1,..., E}, 1 ^ i ^ N, и пусть 7 = 011 ■... ■ 7pN — соответствующее разложение. Обозначим 7i := 71(1) при 1 ^ i ^ N, ое := S(oe) и he := 1 Е Df/D0 при п < e ^ E. Имеем о%\(1) = т<и1 для некоторого vi Е {1,...,V} и 71 = 0Ц hi для некоторого hi Е D/D0 (1 ^ i ^ N).
Из равенств f = 7(0) = ¿^(О) = 7^(0)h\ получаем f = fhei2 h\, откуда h\ Е he2 S>T (см. обозна-
е- ~ 4+1 ~
чение 2). При 1 ^ г < N из равенств 7£i(l) = 7£г.(1)hi и 7£^(0) = 7ll^{(0)hi+i имеем fj = S(TVi)he2 Ы и
!-£г+1 .. _ _ 1-1 £¿ + 1
Ti = S{TVi)hei+l Л-г+i, откуда Е hei+l &s^he2 . Соотношения 7£^(1) = 7£%(l)hN и 7(1) = fh
fjv+i _ £JV+1 __ _ £JV + 1
дают tn = S(TVN)heN2 h,n = fheN2 Iin и тдг = fh, откуда hh^ E 3$TheN2 . Поэтому
h = (hhN) (hN~h-N-l) ... (h2h-1) h 1 Е Df h£4 DS(TvN-1) heNN-1 ... h£el DS(Tvi) h£e\ Df,
т.е. h есть произведение степеней элементов из A1 U ... U Ay U {h1, ...,hn}. Оценка rank (Av) ^ q + g — 1 легко доказывается (см. замечание перед следствием). □
Автор приносит благодарность Д. M. Афанасьеву, М. Басмановой, Ю. М. Бурману, М.Л. Концевичу, С. В. Матвееву, Д. А. Пермякову, Л. Фадеевой, А. Т. Фоменко и Х. Цишангу за полезные замечания и обсуждения.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00748-а, грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-3224.2010.1, грантом программы "Развитие научного потенциала высшей школы" 2.1.1.3704 "Современная дифференциальная геометрия, топология и приложения" и грантами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (гранты № 02.740.11.5213, 14.740.11.0794).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Reinhart B.L. The winding number on two-manifolds // Ann. Inst. Fourier. 1960. 10. 271-283.
2. Burman Yu.M. Morse theory for functions of two variables without critical points // Functional Differential Equations. 1996. 3, N 1-2. 31-44.
3. Burman Yu.M. Triangulation of surfaces with boundary and the homotopy principle for functions without critical points // Ann. Global Anal. and Geometry. 1999. 17, N 3. 221-238.
4. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.
5. Kudryavtseva E.A. Canonical form of Reeb graph for Morse functions on surfaces. Inversion of 2-sphere in 3-space // Int. J. Shape Modeling. 1999. 5, N 1. 69-80.
6. Шарко В.В. Функции на поверхностях. I // Некоторые проблемы современной математики, Тр. Матем. ин-та Укр. НАН / Под ред. В.В. Шарко. Т. 25. Киев: Наукова думка, 1998. 408-434.
7. Maksymenko S.I. Path-components of Morse mappings spaces on surfaces // Comment. math. helv. 2005. 80. 655-690.
8. Арнольд В.И. Пространства функций с умеренными особенностями // Функц. анализ и его прил. 1989. 23, № 3. 1-10.
9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации, I // Матем. сб. 1994. 185, № 4. 27-89; II // Там же. 1994. 185, № 5. 27-28.
11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997.
12. Кудрявцева Е.А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.Т. Фоменко и А.В. Бол-синова. М.: Факториал, 1998. 147-202.
13. Kulinich E. V. On topologically equivalent Morse functions on surfaces // Methods Funct. Anal. and Topology. 1998. 4, N 1. 59-64.
14. Maksymenko S.I. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. and Geometry. 2006. 29, N 3. 241-285.
15. Кудрявцева Е.А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 13-22.
16. Кудрявцева Е.А., Пермяков Д.А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 33-98.
17. Dehn M. Die Gruppe der Abbildungsklassen (Das arithmetische Feld auf Flachen) // Acta math. 1938. 69. 135-206.
18. Johnson D. The structure of the Torelli group. II: A characterization of the group generated by twists on bounding curves // Topology. 1985. 24, N 2. 113-126.
19. Chillingworth D.R.J. Winding numbers on surfaces, I // Math. Ann. 1972. 196. 218-249.
20. Bridson M.R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. Berlin; Heidelberg; N.Y.; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Paris; Singapore; Tokyo: Springer, 1999.
21. Ziegler G.M. Lectures on Polytopes. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 152. Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1995.
Поступила в редакцию 18.06.2010
УДК 519.27
ПУАССОНОВСКАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ВЫСОКИХ ЭКСТРЕМУМОВ ВРЕМЕННОГО РЯДА С СЕЗОННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ И МОНОТОННЫМ ТРЕНДОМ
И. В. Родионов1
В статье рассматривается пуассоновская предельная теорема для высоких экстремумов строго стационарного временного ряда с монотонным трендом и почти периодической составляющей. Функция распределения временного ряда предполагается максимально устойчивой, на временной ряд накладывается условие слабой зависимости. Задача предельного поведения случайного точечного процесса высоких экстремумов для приведенной модели рассматривается впервые.
1 Родионов Игорь Владимирович — асп. каф. теории вероятности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
