CC BY
88. Takacs L. Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. N.Y.: John Wiley and Sons, 1967.
9. Grandell J. Doubly Stochastic Poisson Processes. Berlin: Springer-Verlag, 1976.
Поступила в редакцию 17.07.2011
УДК 515.164.174, 515.122.55 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОСНАЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОРСА НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Е. А. Кудрявцева1
Пусть M — гладкая замкнутая ориентируемая поверхность. Пусть F — пространство функций Морса на M и F1 — пространство оснащенных функций Морса, снабженные C^-топологией. Определено пространство F0 специальных оснащенных функций Морса и доказано, что отображение включения F0 ^ F1 является гомотопической эквивалентностью. В случае, когда у любой функции из F отмечено не менее чем х(М) + 1 критических точек, доказаны гомотопические эквивалентности K ~ M и F ~ F0 ~ D0 х K, где K — комплекс оснащенных функций Морса, M ~ F1 / D0 — универсальное пространство модулей оснащенных функций Морса, D0 — группа диффеоморфизмов М, гомотопных тождественному.
Ключевые слова: функция Морса, оснащенная функция Морса, комплекс оснащенных функций Морса, Cто-топология, универсальное пространство модулей.
Let М be a smooth closed orientable surface. Let F be the space of Morse functions on M, and F1 be the space of framed Morse functions, both endowed with the CTO-topology. The space F0 of special framed Morse functions is defined. We prove that the inclusion mapping F0 ^ F1 is a homotopy equivalence. In the case when at least x(M) +1 critical points of each function of F are labeled, the homotopy equivalences M and F ~ F0 ~ D0 х IK are proved, where IK is the complex of framed Morse functions, M ~ F1/D0 is the universal moduli space of framed Morse functions, D0 is the group of self-diffeomorphisms of M homotopic to the identity.
Key words: Morse function, framed Morse function, complex of framed Morse functions, CTO-topology, universal moduli space.
1. Введение. Настоящая работа является продолжением работ [1-3] по изучению топологии снабженного C^-топологией пространства F = F(M) функций Морса на гладкой замкнутой ориентируемой поверхности M. В работе [1] введено понятие оснащенной функции Морса, а в [1, 2] доказана гомотопическая эквивалентность F ~ F1 пространства F функций Морса и пространства F1 = F1(M) оснащенных функций Морса. Согласно [3, 4], в большинстве случаев (см. (9)) имеется гомотопическая эквивалентность F1 ~ R х M, где R = R(M) — одно из следующих многообразий: RP3, S1 х S1 и точка (см. (8)), а M = M(M) — многообразие, гомеоморфное универсальному пространству модулей оснащенных функций Морса. В настоящей работе определено пространство F0 = F0(M) специальных оснащенных функций Морса и доказано, что отображение включения F0 ^ F1 является гомотопической эквивалентностью. Отсюда мы выводим, что комплекс K = K(M) оснащенных функций Морса (см. [3, 5]) является сильным деформационным ретрактом многообразия M. Тем самым мы доказываем гомотопическую эквивалентность F ~ R х K.
Обзор результатов, касающихся связных компонент пространства функций Морса на поверхности, количества и топологии его орбит при действии диффеоморфизмов, топологии пространств функций с умеренными особенностями, связей с интегрируемыми системами, имеется в [1] (см. также [6-9]).
2. Ключевые понятия и формулировка основного результата.
Определение 1. Пусть M — гладкая (т.е. класса C) связная замкнутая поверхность.
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
(A) Пусть F : = Fp,q,r(M) — пространство функций Морса на M, имеющих ровно p критических точек локальных минимумов, q седловых точек и r точек локальных максимумов. Для каждой функции f Е F обозначим через Cf,\ множество ее критических точек индекса Л Е {0,1, 2}; Cf := Cfo UCf,1 UCf,2. Обозначим через F1 подпространство в F, состоящее из функций Морса f Е F, у которых все локальные минимумы равны —1, а все локальные максимумы равны 1.
(B) Оснащенной функцией Морса на ориентированной поверхности M (см. [1, § 9]) называется пара (f, а), где f Е F — функция Морса на M, а а — замкнутая 1-форма на M \ (Cf,o U Cf,2), такие, что (i) 2-форма df Л а не имеет нулей в M \Cf и задает положительную ориентацию, (ii) в окрестности любой критической точки x Е Cf существуют локальные координаты u,v, в которых либо f = u2 — v2 + f (x), a = d(2uv), либо / = Xf,x(u2 + v2) + f(x), a = XfyX, где XfyX = const ф 0. Обозначим через F1 := F1 r(M) пространство оснащенных функций Морса (f, а), таких, что f Е F1. Снабдим C^-топологией пространства F, F1 (см. [1, § 4]).
Из теоремы С. В. Матвеева (см. [10]) следует, что no(F) = 0.
Обозначение (пермутоэдр и его грани). Пермутоэдр порядка q Е N — это вложенный в q-мерное пространство выпуклый (q — 1)-мерный многогранник, вершины которого получены перестановками координат вектора (1,...,q). Опишем его подробнее: пусть ei,...,eq — стандартный базис Rq, и пусть
Pq~l С R' — выпуклая оболочка множества точек Рр = Y11=1 ~ ePk> Р ^ Пермутоэдр Pq~l
имеет ровно q! вершин Pp, р Е Xq, а его (q — s)-мерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными разбиениями J = (Ji,..., Js) множества {1,...,q} на s непустых подмножеств Ji,...,Js. А именно грань tj, отвечающая разбиению J, — это выпуклая оболочка множества точек (Xr1 х Xr2-r1 х ... х Xrs-rs-1)(Pp), где числа 0 = r0 < r1 < ... < rs-1 < rs = q и перестановка р Е Xq однозначно определяются условиями
J1 = {P1,...,Pri }, J2 = {Pri+1,...,Pr2 },..., Js = {pr—i+1,...,Prs } (1)
P1 < ... < pr1, Pr1+1 < ... < pr2,..., Prs-1+1 < ... < prs. Здесь Xr1 х Xr2_r1 X ... х Xrs_rs-1 есть подгруппа группы Xq, отвечающая разбиению {1,...,q} = {1,...,r1} U {r1 + 1,..., r2} U ... U {rs_1 + 1,..., rs}, и действие перестановки а Е Xq на точку Pp дает точку PGp, где (ap)i := pGi, 1 ^ i ^ q. Из описания граней многогранника Pq-1 следует, что условие tj С dTj равносильно тому, что разбиение J получается из разбиения J путем измельчения.
Для каждой функции f Е F рассмотрим множество Cf, 1 =: {yj}q=1 ~ {1,... ,q} ее седловых критических точек (см. определение 1, (A)) и евклидово векторное пространство 0-коцепей
Н0 := C0(Cf,1; R) = RCf1 ^ Rq.
Возьмем в пространстве Hj многогранник Pj-1 С Hj, являющийся образом пермутоэдра Pq-1 С Rq при какой-либо биекции Cf,1 ^ {1,...,q}. Рассмотрим "вычисляющую" 0-коцепь
с = c(f) := f f = (C1,..., Cq) Е (—1; 1)Cf1 С Hj,
сопоставляющую седловой точке yj Е Cf1 значение Cj := f (yj), 1 ^ j ^ q. Сопоставим 0-коцепи с = (c1,...,cq) упорядоченное разбиение J = J (с) = (J1,..., Js) множества седел Cf,1 ~{1,... , q}, определяемое условием (1) и соотношениями Cp1 = ... = Cpr1 < Cpr1+1 = ... = Cpr2 < ... < Cpr 1+1 = ... = Cprs. (То есть J — это отношение частичного порядка на множестве седел Cf 1, построенное по значениям функции f \Cf,1.)
Определение 2 (специальные оснащенные функции Морса). (A) Сепаратрисой оснащенной функции Морса (f, а) Е F назовем образ такой интегральной траектории 7: (0,1) ^ M\Cf поля ядер 1-формы а, для которой оба предела limt_>0+ Y(t) и limt_> 1- j(t) существуют, принадлежат множеству Cf и хотя бы один из них является седловой точкой.
(B) Оснащенную функцию Морса (f, а) Е F1 назовем специальной, если либо q = 0 (т.е. у функций из F отсутствуют седловые критические точки), либо выполнены следующие условия:
(i) набор с(/) G Н° седловых критических значений принадлежит многограннику Pj-1]
(ii) пусть т — открытая грань многогранника Pj 1, содержащая точку и пусть J = (J1,..., Js) — соответствующее упорядоченное разбиение множества седел Cf,1 на непустые подмножества,
т.е. т = т. s; тогда для любых двух седел yi,yj G Cf,1 из одного и того же подмножества Jk разбиения (1 ^ k ^ s) не существует сепаратрисы, соединяющей yi и yj.
Пусть F0 := ¥^ g r(M) — пространство специальных оснащенных функций Морса. Группа диффеоморфизмов D± := Diff(M) действует справа на пространстве F1 очевидным образом (см. [1, обозначение 2.3]). Очевидно также, что F0 является D±-инвариантным.
Теорема 1. Пусть M — замкнутая ориентированная поверхность, F = Fp,q,r(M) — пространство функций Морса на M, F0 С F1 — соответствующие пространства оснащенных функций Морса (см. определения 1, 2). Отображение включения F0 ^ F1 является гомотопической эквивалентностью, причем соответствующие отображения и гомотопии могут быть выбраны D±-эквивариантными и сохраняющими отображение F1 ^ Mp+q+r/Xp+q+r, (f,a) ^ Cf.
3. Доказательство теоремы 1. Предположим, что число седел q ^ 1. Фиксируем вещественное число к > 0. Так как Vq~l С [— , то nVq~l С ( — Щ-'^Щ-)'1. Рассмотрим отображение 7ГК: Rq —
кРq-1, переводящее любую точку c G Rq в такую точку c' G кРq-1, что \c — c'\ ^ \c — c''\ для любой точки c" G кРq-1. В силу выпуклости пермутоэдра Рq-1 такое отображение единственно.
Фиксируем оснащенную функцию Морса (f,a) G F1. Выберем какую-нибудь нумерацию Cf,1 ~ {1,...,q} множества седловых точек и с ее помощью отождествим И® = Rq и Pq 1 = Pq-1. Пусть nK,f : Hf! ^ kPJ- — композиция Hf = Rq кРq-1 = kPJ- . Рассмотрим на M\ (Cf,0UCf,2) гладкое поле
неотрицательно определенных в каждой точке квадратичных форм (df )2 + а2. Как и в случае римановых метрик, этому полю квадратичных форм отвечает функция длины L(y) регулярных кусочно-гладких путей y на M \ (Cf,0 UCf,2). Определим расстояние p(x, y) = pf,a(x, y) := inf(L(Y)), x,y G M \ (Cf,0 UC f,2), где нижняя грань берется по регулярным кусочно-гладким путям y на поверхности M \ (Cf,0 uCf,2) из x в y. Определим вещественное число dj1 ,j2 = dj2,j1 равным расстоянию pf,a(yj1 ,yj2) между седловыми точками Ул и yj2 при 1 ^ j1 < j2 ^ q. Пусть c(f) = (c1,...,cq) G ( — 1; 1)q — набор седловых значений. Положим
е = e(f,а) := min <М min dji,j2, 1 - max \cj\ I G (0;1] , (2)
t 1<J1<J2<q ^q J
c' = (4, • • •,4) := G ^p^V c ("f; |)С/Д c (-1; Х)С/Д = (-1; ^ (3)
Пусть r — открытая грань многогранника Vj-1, содержащая точку G ^j"1- Согласно обозначению,
эта грань имеет вид т = т- s для некоторого s G [1; q] и некоторого разбиения J = (J1,..., Js) множества
Cf, 1 ~ {1,...,q} на s подмножеств Jk ~ {pfk- 1+1,...,Pfk}, 1 ^ k ^ s (см. (1)). Напомним, что грань т состоит из всех точек c = (c1,...,cq) G Hf = Rq, для которых
(CPrk_1+l>--->CPrk) econv (srfc-rfc_! + , l^k^s (4)
(cm. (1)). Положим to := — 1 + tk '■= Cprk(f) ~ c'Prk ПРИ 1 ^ k ^ s, ts+i := 1 — Определим функцию h = hc(f),e [-§; f] [-1; 1] формулой
s
h(t)=hc{f)4t):=t + t0 + Y,(tk+i-tk)I(^_i)£(Lk±i_i)£(t), (5)
^ 4+1 z' Л q+i z' 2 2
где Ia,b G C^(R) — гладкое двухпараметрическое семейство функций с параметрами a < b, такое, что IL,b ^ 0, Ia,b\(-^;(2a+b)/3] =0 и Ia,b\[(a+2b)/3;+^) = 1 (определенное, например, как в [1, формула (6)]).
Лемма 1. Функция h = Л.с(/),е: §!§] ~~* 1; 1] является диффеоморфизмом отрезков, причем ¿0 <t1 ^ ... ^ ts < ts+1. Кроме того, выполнены следующие условия:
1) hc(f),£(cj) = c'j + tk = Cj(f) для любого j G Jk c{1,...,q}, 1 ^ k ^ s;
2) h! = 1 в некоторой окрестности множества {c^,..., c'q} U { — |, |} в [—|;
3) если 1 ^ u ^ s, 0 = k0 <k1 < ... <ku = s и
c(f) e i 1 ^(JiU...uJt.-, ......л ,_i_iu...uJt.,) ) > (6)
q + 11 (JiU...u.Jkl, Jk1+i u...Uj/fc2,..., jku_1+iu...u.jku) то 11 = ... = tk1 ^ tk1+1 = ... = tk2 ^ ... ^ tku-1+1 = ... = ¿k
Доказательство. Покажем, что ¿о < ¿1 и < ¿8+1. Так как с^(/) € [—1 + е;1 — е] в силу (2), с'3 е (-§; §) в силу (3), то Ь - *0 = сРг1 (/) - с^ + 1 - § > 0, - = 1 - § - сРгз (/) + с^ > 0.
Покажем, что ¿1 ^ ... ^ . Из вида граней пермутоэдра V9-1 (см. обозначение) следует, что
-^■рч-1
= { с = (с1 ,...,с) € НО = М9 |ф(с)=0, ФJ1 (с) < 0, 0 = .11 С {1,...,9}}
9 + 1 /
где линейные функции Ф, ФJ1: НО ^ М определены формулами
е (
Ф(с) := С1 + ... + с„ ФЛ(с) := - ^ с,- + — ^ (г -
9 + 1 2
^ , 1111 —9 | т |
jeJl i=l ^ 7 jeJl
3 ' 2(д+ 1)^
В точке с' достигается минимум функции Ф(с) := с(/) — с|2 по всем точкам с £ Равенство
Ф^(с) = 0 равносильно тому, что с £ г.9"2-^-.. Поэтому равенство Ф^(с') = 0 равносильно тому, что 11 = .1 и ... и 1к для некоторого к € [1; 8 — 1]. По теореме Куна-Таккера [11] имеем
8-1
grad Ф(с') + Л grad Ф(с') + ^ Лк grad Ф (с') = 0
к=1
для некоторых множителей Лагранжа Л, Л1,..., Л8-1 € М, Лк ^ 0. Следовательно,
8 —1 8 8—1
с(/) — с' = Л(е1 + ... + ед) — Лк(ер1 + ... + врГк) = ^(Л — Л^(в
Ргк-
+ ... + еРгк ).
к=1
к=1
i=k 1
Поэтому для любого номера ] € ,1к верно равенство Cj(/) —С^ = Л^^8= к1 Лi. Отсюда получаем ¿1 ^ ... ^ .
Из равенств к( — |) = —| + ¿о = —1) Л,(§) = § +^+1 = неравенств ¿о < ¿1 ^ • • • ^ < ¿«+1 и неубывания функций следует, что к € В1й"([—[—1; 1]).
Осталось доказать свойства 1-3. Для каждой функции 1а,ь (см. определение функции К) имеем Ь — а = Отсюда и из определения функции 1а,ь следует, что в 3(^1) -окрестности точки —| в [—§;§] имеем
= ^ + ¿0) в -окрестности отрезка (^^р- ~~ (д+1 ~~ имеем М^) = ^ + 1 ^ А; ^ 5, а
в 3(^1) -окрестности точки | в [—§;§] имеем = £ + С другой стороны, из условия
~ (^к ~ для любого номера ] е откуда = с^ +
Для любого с е тг^1и...ил1>л1+1и...ил2>...,лщ_1+1и...или)) имеем
^с' € г.
следует, что cj• € 1 < к < 8.
С — 7Г_Ё_
9+1'
/(с) = — — ... — Ри-1)(ерГк,_ + 1 + ... + ерГк. )
i=1
для некоторых ¡, ¡1,...,ли € М, ^ ^ 0. Значит, в случае (6) выполнено ¿к._ 1+1 = ... = ¿к. = V — № — ... — ци-1, 1 ^ г ^ и, где ко := 0. Лемма 1 доказана. □
Теперь перейдем собственно к доказательству теоремы 1.
Шаг 1. Если 9 = 0, то F0 = F1 и доказывать нечего. Пусть далее число седел 9 > 0. Сопоставим оснащенной функции Морса (/, а) € F1 функцию Морса / := К-1 о/, где К = Кс//),£(/,а) —диффеоморфизм из леммы 1. Из леммы 1 и определения 1 следует, что (/, а) € F. Так как Н[—1; 1] = [—|; то |(/, а) е Р1. Покажем, что |(/,а) € F0. Поскольку с(/) = с' £ д+Т^/"1' то с(|/) = Iе' ^ д+Т^/"1' ®то Доказывает выполнение условия (1) из определения 2 пространства F0. Осталось проверить условие (п). Пусть 7 — сепаратриса оснащенной функции (/, а), соединяющая седловые точки yi,yj € С^ = С/д, 1 ^ г < ] ^ 9. Тогда
с cj 1 — 1с cj 1 + / а =| [ Л/ + || / а
■>7 ■>7
а
а2
1
а
7
7
в силу (2). Предположим также, что седловые точки принадлежат одному и тому же подмножеству 3\. разбиения 7, где 1 ^ к ^ в. Тогда из леммы 1 следует, что е = С + Ьк и с^ = е^ + Ьк, а потому е — с^ = С — с. Отсюда с учетом € ( — |) получаем ¡Сг — Су| = \с\ — < е, что противоречит вышеприведенному
неравенству. Таким образом, |(/,а) € F0, и возникает отображение
2 ~ 2 / \ Р4: Р1 ^ Ш<\ (/, а) ~ -(/,а) = ^ о /, а) . (7)
Шаг Докажем непрерывность отображения р4: F1 м F0.
Для любых к £ (0; 1) и с £ ( — 1 + к; 1 — п)д рассмотрим диффеоморфизмы тл : [—1; 1] —[—; £ и Л,С;К о т^ : [—1; 1] —[—1; 1] (см. (5)). Покажем, что сопоставление
Н: (с, к) ь-Л,С;К о е [—1; 1]
непрерывно на множестве таких пар (с,к), что с £ ( — 1 + к;1 — к)д и к £ (0; 1). Пусть (с,к) — любая
О О п_1
пара из этого множества и т := т(^ у) — открытая грань многогранника V9-1, содержащая точку -^—тг —Л— (с) £ ~Рд~1. Из определения Л,С;К и непрерывности следует непрерывность ограничения
на множество таких пар (с',п'), что (с;) £ г. Осталось проверить непрерывность в точке (с, к)
<г+1 _
ограничения Н на множество таких пар (с', к'), что с' £ 7Г~! и 7Г~! (^+Тт1)) Для любой открытой
9+1 9+Т
грани Т\ многогранника Тд~1. Из непрерывности следует, что если с £ 9 ^-/г"^1 (^ууТт)^, то г С Т1.
Тогда грань т1 имеет вид т1 = т( у1и.и , ¿к1 + 1и..и ук2 _ ¿ки_1 + 1и...и Уки). Согласно лем ме 1 Ь1 = ••• = ^ < ^1+1 = ...= ^ ... ^ ^-1+1 = •••= Значит, = ¿ + + "^¿К ^ ь
где ко '■= 0, т.е. диффеоморфизм НС>К определяется той же формулой, что и Л-с'.к' ПРИ с' € 7Г~! 1)-
ч+Т
Непрерывность Н доказана.
Согласно (7), выполнено равенство
Р^ = е(/ а) ° /' а) = ((Я(с(/)> «)))_1 ° /> - 2
» " >"у - ^ V" >е(/ а)
Отображение В1й"[—1; 1] м Diff[—1; 1], Н м Н-1, непрерывно в С ^-топологии в силу [1, лемма 10.1]. Отсюда, а также из непрерывности функции е = е(/,а), сопоставления / м- с(/) £ М9и отображения Н (см. выше) следует непрерывность отображения Р4.
Шаг 3. Покажем, что отображение включения ¿4: F0 м F1 является гомотопической эквивалентностью. Композиция ¿4 ор4 : Р1 —F1 действует следующим образом: (/, а) |(Л-1 о /, а), где е = е(/, а), к := Л-с(/),е ^ |], [—1; 1]) (см. лемму 1). Зададим гомотопию этой композиции в ¡с^ формулой
2
(/, а) ^ (Л, од) := (1 - I) • - (/Г1 о /, а) +£■(/, а), 0 < 4 < 1.
е
Функция / является функцией Морса из Р1 с теми же линиями уровня и тем же множеством С^ критических точек, что и у функции /, причем в силу части 2 леммы 1 функция /1 в окрестности каждой критической точки есть функция /, которая умножена на положительное число (1 — + £ и к которой прибавлена некоторая константа, а форма аг — это форма а, умноженная на то же самое число. Отсюда следует, что гомотопия не выводит из пространства F1.
Покажем, что ограничение на F0 этой гомотопии не выводит из пространства F0. При отображении тг о7Г^_образ любой открытой грани многогранника ^рт^/-1 лежит в грани Отсюда
следует, что если с(/) € то С(Л) = (1 — 7Г-^Т,/(С(/)) + ^с(/) е ПРИ 0 < £ ^ 1. Значит, паре
(/г,аг) отвечает то же разбиение .] = что и паре (/, а). Поэтому выполнение условия (п)
для пар (/г), 0 <Ь ^ 1, следует из выполнения аналогичного условия для пары (/, а) с учетом =
По построению оба отображения ¿4,р4 и гомотопия D±-эквивариантны. Теорема 1 доказана. 4. Применение теоремы 1 к исследованию гомотопического типа пространства функций
Морса. Обозначим через F : = Fp,q,r;p,q,f(M) пространство, полученное из Fp,q,r(M) введением нумерации у некоторых из критических точек (называемых отмеченными) для функций f £ Fp,q,r (M), где p),'r,q — количество отмеченных критических точек локальных минимумов, максимумов и седловых точек соответственно. Пусть F0 := Fj0 r~qq(M) и F1 := Fp r~qq(M) —соответствующие пространства оснащенных
функций Морса. Пусть D0 С D± — пространство диффеоморфизмов, гомотопных idM в классе гомеоморфизмов. Снабдим C^-топологией пространства F, F1, D0 (см. [1, § 4]). Из результатов [12-14] следует, что имеется гомотопическая эквивалентность
D0 - RD0, (8)
где Rd0 одно из следующих многообразий: SO(3) (при M = S2), T2 (при M = T2) и точка (при x(M) < 0).
Предположим, что количество отмеченных критических точек р + q + 1 > x(M). Пусть
— комплекс оснащенных функций Морса и содержащее его Эд-мерное многообразие (см. [3, § 4]). Согласно [4, § 4], имеется гомеоморфизм Ev: F1 /—АЛ. Рассмотрим универсальное пространство модулей К00 : = Ev(F°/i^0) С A4 специальных оснащенных функций Морса.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и количество отмеченных критических точек
р + q + 1 >x(M). (9)
Существуют гомотопические эквивалентности и гомеоморфизм F — F1 — F0 ~ D0 х Kf — Rd0 х K.
Определение 3. Функции Морса f,g £ F назовем изотопными, если найдутся такие диффеоморфизмы hi £ D0 и h,2 £ Diff + (R), что f = h2 о g о hi и hi сохраняет нумерацию отмеченных критических точек. Множество функций из F1, изотопных f, обозначим через [f].
Лемма 2. Имеется D0-эквивариантный гомеоморфизм F0 ~ D0 х Kf. При этом Kf является сильным деформационным ретрактом M, а K — сильным деформационным ретрактом Kf.
Доказательство. Первое утверждение леммы следует из существования D0-эквивариантного гомеоморфизма F1 ~ х A4, согласованного с Ev (см. [4, § 4]). В силу теоремы 1 отображение включения F°/D° ~ Kf — Mp F1/D0 является гомотопической эквивалентностью.
Согласно [3], имеются замкнутое покрытие K = U[f]Df и открытое покрытие M = U[f]My[f], а также выпуклые множества Df С S^f] С Hf — Rq, Uff] С Uf] С Hf — R2q, такие, что Df С Myf], причем отображение включения Df — Myf] есть композиция Df ~ (D[f] х Uff])/Т ff] С (S^f х Uf])/T[f] ~
М
где r[f] — гPУппа, действующая свободно, дискретно и покомпонентно на S^[f] х Uff] (более точные определения см. в [3, § 4]). Из определения "вычисляющего" отображения Ev: F1 — M (см. [4, § 4]) следует, что Kf = U[f]Dff], где Djf] ~ (D[f] х U[f )/T[f]. Отсюда получаем, что (M, Kf) — пара полиэдров (а потому корасслоение по теореме Борсука [15, § 5.5]). Значит, Kf — сильный деформационный ретракт многообразия M (см. [16, гл. 1, § 4]).
Сильная деформационная ретракция для пары K С Kf получается из сильных деформационных ретракций для пар соседних пространств в цепочке K = KUKff1 С KUKff С KUKf С ... С KUKffL1 = Kf, где Kff := UdimDf]<fcD^f] С Kf. Сильную деформационную ретракцию для пары K U Kf_1 С K U Kff определим с помощью сильных деформационных ретракций для пар ((Df х U[f]) U (dDf х Uf]))/Г[^ С (D[f] х С7°°)/f[f], таких, что dimD[f] = к (см. [3, § 4]). □
Доказательство теоремы 2. По теореме 1 и лемме 2 имеем F1 — F0 p D0 х Kf — D0 х K. С учетом (8) и того, что забывающее отображение и отображение включения F1 — F1 — F являются гомотопическими эквивалентностями (см. [1, теорема 2.5]), получаем теорему 2. □
Автор приносит благодарность С. А. Мелихову, Д. А. Пермякову и А. Т. Фоменко за полезные замечания и обсуждения.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 12-01-00748-а, грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-3224.2010.1, грантом программы "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1.3704 "Современная дифференциальная геометрия, топология и приложения" и грантом ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракт № 14.740.11.0794).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кудрявцева Е.А., Пермяков Д.А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 33-98.
2. Кудрявцева Е.А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 13-22.
3. Кудрявцева Е.А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях // Матем. сб. 2013 (в печати); arXiv: 1104.4796.
4. Кудрявцева Е.А. Топология пространств функций Морса на поверхностях // Матем. заметки. 2012. 92, вып. 2. 241-261.
5. Кудрявцева Е.А. Связные компоненты пространств функций Морса с фиксированными критическими точками // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 3-12.
6. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 10711075.
7. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем с ручными интегралами // Матем. заметки. 1988. 43, № 5. 663-671.
8. Матвеев С.В., Фоменко А.Т, Шарко В.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 1988. 135(177), № 3. 325-345.
9. Кудрявцева Е.А. Устойчивые инварианты сопряженности гамильтоновых систем на двумерных поверхностях // Докл. РАН. 1998. 361, № 3. 314-317.
10. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.
11. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ: теория и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
12. Smale S. Diffeomorphisms of the 2-sphere // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. 10. 621-626.
13. Earle C.J., Eells J. (Jr.). The diffeomorphism group of a compact Riemann surface // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. 73, N 4. 557-559.
14. Earle C.J., Eells J. (Jr.). A fibre bundle description of Teichmüller theory //J. Diff. Geometry. 1969. 3. 19-43.
15. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
16. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.
Поступила в редакцию 10.06.2011
УДК 519.95
О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ИЗ ОДНОГО КЛАССА ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ФОРМУЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Д. В. Трущин1
В работе описан некоторый класс функций трехзначной логики, для которого получены верхние оценки функции Шеннона в классе формул специального вида. Приведены также примеры последовательностей функций из рассматриваемого класса, для которых установлены экспоненциальные относительно числа переменных нижние оценки сложности. При этом значения функции Шеннона для рассматриваемого класса найдены с точностью до аддитивной константы.
Ключевые слова: функция трехзначной логики, формула, сложность, глубина.
A set of functions of the three-valued logic is considered and upper estimates for the Shannon function in the class of formulas of specail form are obtained for that set. Some
1 Трущин Дмитрий Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
