CC BY
96. Hugonnier J., Kramkov D.O. Optimal investment with random endowments in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 2004. 14, N 2. 845-864.
7. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. 72, N 1. 46-66.
8. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005.
9. Гущин А.А. О расширении понятия /-дивергенции // Теория вероятн. и ее примен. 2007. 52, № 3. 468-489.
10. Rockafellar R. Т. Extension of Fenchel's duality theorem for convex functions // Duke Math. J. 1966. 33, N 1. 81-89.
11. Хаеанов P.В. Максимизация полезности со случайным вкладом: новая постановка двойственной задачи // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2011. 18, № 1. 96-97.
12. Rockafellar R.T., Wets R.J.-В. Variational analysis // Grundlehren Math. Wiss. 1997. 317.
13. Rockafellar R.T. Integrals which are convex junctionals II // Pacif. J. Math. 1971. 39, N 2. 439-469.
Поступила в редакцию 11.11.2011
УДК 515.164.8, 512.542, 515.122.55
ЛЮБАЯ КОНЕЧНАЯ ГРУППА ЯВЛЯЕТСЯ ГРУППОЙ СИММЕТРИЙ НЕКОТОРОЙ КАРТЫ ("АТОМА'-БИФУРКАЦИИ)
Е. А. Кудрявцева1, А. Т. Фоменко2
Изучаются карты, т.е. клеточные разбиения замкнутых двумерных поверхностей, или двумерные атомы, с помощью которых кодируются бифуркации слоений Лиувилля невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем. Доказано, что любая конечная группа G является группой симметрий некоторой ориентируемой карты (атома), причем одна такая карта X(G) строится конструктивно, алгоритмически. Получены верхние оценки для минимального рода Mg(G) ориентируемой карты с данной группой симметрий G, а также для минимального числа вершин, ребер и граней таких карт.
Ключевые слова: конечная группа, ориентируемая карта, группа симметрий карты, действие группы на замкнутой поверхности.
Maps are studied, i.e. cell decompositions of closed two-dimensional surfaces, or two-dimensional atoms, which encode bifurcations of Liouville fibrations of nondegenerate integrable
G
X(G)
are obtained for the minimal genus Mg(G) of an orientable map with the given symmetry group G, and for the minimal number of vertices, edges and sides of such maps.
Key words: finite group, orientable map, symmetry group of a map, group action on a closed surface.
1. Введение. А. Т. Фоменко в fl, 2] было введено понятие "атом". Атомы кодируют типичные перестройки (бифуркации) торов Лиувилля в невырожденных интегрируемых гамильтоновых системах. К настоящему времени в терминах двумерных атомов и "молекул" описаны многие известные интегрируемые системы с двумя степенями свободы и их классы относительно различных отношений эквивалентности. В частности, оказалось, что многомерные бифуркации торов Лиувилля представляются в виде полупрямых произведений двумерных атомов (см. [3]), что делает актуальным изучение групп симметрий двумерных атомов. Двумерные седловые атомы можно эквивалентным образом задавать при помощи либо так называемых /-графов [4], либо карт (т.е. абстрактных многогранников, см. ниже).
Карта (или абстрактный многогранник) — это клеточное разбиение замкнутой двумерной поверхности, рассматриваемое с точностью до клеточных гомеоморфизмов. Гомеоморфизмы поверхности на себя, сохраняющие такое разбиение и рассматриваемые с точностью до гомеоморфизмов, переводящих каждую
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eakudrQmech.math.msu.su.
2 Фоменко Анатолий Тимофеевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fomenkoQmech.math.msu.su.
клетку разбиения в себя с сохранением любой выбранной на ней ориентации, образуют группу симметрий карты. Эта группа дискретна. В настоящей работе доказывается (теорема 1), что любая конечная группа является группой симметрий некоторой ориентируемой карты (т.е. ориентируемого абстрактного многогранника), а также группой симметрий некоторой ориентированной хордовой диаграммы. Повторим, что понятия карты и ее группы симметрий эквивалентны понятиям атома и его группы симметрий (см. ниже). История вопроса такова.
В работе [5, задача 5] А.Т. Фоменко и A.B. Болсинов сформулировали следующую задачу: любая ли конечная группа может выступать в роли группы симметрий 2-атома? Здесь речь идет, конечно, не об одних лишь максимально симметричных, а обо всех 2-атомах. Для максимально симметричных атомов описание их групп симметрий известно. Это описание получено A.A. Ошемковым и Ю.А. Браиловым (см. работу Ю.А. Браилова [6]). В работе [7] Ю.А. Браилов и Е. А. Кудрявцева обнаружили связь между некоторыми сериями максимально симметричных атомов и устойчивой топологической несопряженностью интегрируемых гамильтоновых систем. Глубокое исследование групп симметрий атомов (в том числе групп симметрий максимально симметричных атомов, т.е. групп симметрий максимально симметричных карт, или абстрактных многогранников) выполнено в работах Е. А. Кудрявцевой, И. М. Никонова, А. Т. Фоменко [8, 9].
В настоящей статье дается положительный ответ на поставленный выше вопрос, а именно доказывается, что любая конечная группа является группой симметрий некоторого ориентируемого двумерного атома. При этом предлагается конструктивный алгоритм построения такого атома по заданной группе. В нашем доказательстве используется понятие накрытия между атомами (т.е. накрытия между картами, или абстрактными многогранниками).
Напомним понятие двумерного седлового атома (далее просто атома). Пусть M — связная замкнутая двумерная поверхность (ориентируемая или неориентируемая) и f : M ^ R — правильная функция Морса, т.е. имеющая ровно три критических значения — минимальное, максимальное и седловое. Тогда ее седловой уровень является связным графом K, все вершины которого имеют степень 4. Дополнение к этому графу состоит из двумерных клеток (дисков). Следовательно, все вершины клеточного разбиения
44 т.е. каждое ребро граничит с черной клеткой и белой клеткой. Правильные функции Морса f и f' на поверхностях M и M' называются послойно-эквивалентными в окрестностях ^P' своих критических уровней {f = c} и {f' = с'}, если существуют такие малые е > 0и е' > 0 и диффеоморфизм D : P = {|f — с| < е} ^ P' = {|f' — с'| < е'}, что связные компоненты линий уровня функции f переходят в связные компоненты линий уровня функции f '.Если D сохраняет направление роста функции, то функции называются послойно оснащенно эквивалентными. В дальнейшем будем считать, что с = 0.
Атомом (P, K) называется класс послойной оснащенной эквивалентности функции Морса f в окрестности P = {|f | < е} ее седлового критического уровня K = {f = 0}. Часто атомом называется какой-либо
PK
KP
f (P, K)
няющие направление роста функции и рассматриваемые с точностью до гомеоморфизмов, переводящих K
P
собственных (т.е. сохраняющих ориентацию) гомеоморфизмов дает группу собственных симметрий атома.
f
M, P,
P
должением функции внутрь диска в точности с одной критической точкой в его центре. Род поверхности M
группа собственных симметрий транзитивно действует на ребрах атома.
Как отмечалось выше, имеется естественная биекция между атомами и картами (абстрактными многогранниками) [8]. Напомним (см. [10] или [8]), что по любой карте (т.е. по клеточному разбиению поверхности M) можно построить 2-атом (т.е. по сути правильную функцию Морса на M) следующим образом: на каждом ребре карты добавим одну вершину и на каждой грани карты соединим ребрами добавленные
K,
4
рицательными" являются связные компоненты дополнения графа К в поверхности, содержащие вершины карты, а "положительными" — связные компоненты, содержащиеся в гранях карты). При этом любой атом и отвечающая ему карта имеют одинаковый род, изоморфные группы симметрий и одновременно ориен-
тируемы или одновременно не ориентируемы. Очевидно, имеются биекции между множествами вершин, отрицательных и положительных граничных окружностей атома и (соответственно) множествами ребер, вершин и граней карты, согласованные с действиями группы симметрий. Поэтому все утверждения настоящей статьи допускают эквивалентную переформулировку в терминах карт (абстрактных многогранников) и их групп симметрий. Повторим, что рассматриваемые в настоящей работе ориентируемые атомы (а потому и карты) не обязательно максимально симметричны.
2. Построение атома с заданной группой симметрий. Следующее утверждение было известно и ранее (см. [11, 12]). Но мы предлагаем более геометрическое и более конструктивное доказательство, полезное для приложений. В этом и следующем разделах мы также дадим оценки на род и сложность карт ("атомов'-бифуркаций), обладающих заданной группой симметрий.
Теорема 1 (см. [11, 12]). Любая конечная группа С является группой симметрий некоторого ориентируемого двумерного атома. При этом искомый атом X(С) строится конструктивно, алгоритмически.
Конечно, атомов, группа симметрий которых изоморфна С, может быть много. Но свойства атома X(С), алгоритмически конструируемого согласно теореме 1, можно описать достаточно детально.
Пусть к ^ 0и й ^ 5 — произвольные целые числа, такие, что й ^ 6 при к = 0. Тогда, оказывается (см. лемму 2 ниже), всегда можно построить ориентируемый атом Т (к, й) род а к с й граничными окружностями и с тривиальной группой симметрий. Это построение эффективно, и мы его опишем ниже. Далее, пусть п — число вершин атома Т(к, й), й- — число отрицательных граничных окружностей, а — число положительных граничных окружностей этого атома Т(к, й), й = й- + . Например, можно считать (см. лемму 2), что п = 2к + й — 2 и й- < й — любое натуральное число, такое, что в случае к = 0и й = 6, 7 выполнено 1 < й- < й — 1.
к
конечной группы С. Среди атомов с группой симметрий С есть ориентируемый атом X(С) рода, д = (к — 1)|С| + 1, где |С| — это порядок гр уппы С. Атом X (С) является (неразветвл енным) С-регулярным, накрытием атома Т(к, й) и имеет п|С| вершин, й- |С| отрицательных граничных окружностей и d+|С| положительных граничных окружностей, причем любая симметрия атома X(С) сохраняет его ориентацию. Группа симметрий С ат,ом,а, X(С) действует свободно на его вершинах и граничных окружностях (т.е. каждая, симметрия либо тривиальна, либо не имеет неподвижных вершин и инвариант,ных граничных окружностей).
Отметим, что если группа С тривиальна и к = 0 (т.е. |С| = 1 и к — минимальное число порождающих элементов), то в этом случае в теореме 2 утверждается существование атома X(С) = Т(0, й), описываемого в лемме 2, формулируемой ниже. Перейдем к доказательству.
С
конечном связном графе Ш (С) автоморфизмами графа, а, пот,ом,у свободно действует на, некоторой замкнутой связной ориентируемой поверхности М(С) диффеоморфизмами, сохраняющими ориентацию (отметим, что поверхностей и, действий на, них с таким свойством может быть много). Поверхность М(С), конструируемая по группе С, имеет род д = (к — 1)|С| + 1, причел« граф Ш(С) гомотопически эквивалентен букету д окружностей, а, факт,орграф Ш(С)/С является букетом к окружностей. Здесь к С.
Доказательство. В работе [13] (см. утверждения 3.2 и 3.3) доказано существование свободного дей-С М(С)
неориентируемого случая см. в [13, ч. II]), однако не указана явная конструкция такого действия. Но такая конструкция потребуется нам для дальнейшего, поэтому мы докажем лемму с явным указанием действия.
Шаг 1. Для тривиальной группы С (в том числе при к = 0) лемма очевидна. Пусть далее к > 0 и задано какое-либо копредставление группы С, т.е. система ее образующих |й1 ,..., } и соотношений. Напомним, что одна и та же группа может задаваться разными копредставлениями. Фиксируем одно из них. Пусть Ш' = Ш'(С) — граф Кэли данного копредставления группы С. Иногда для краткости будем говорить о графе Кэли данной группы С. Напомним, что вершины графа Ш'(С) соответствуют элементам группы С. Два элемента д и Н соединены ориентированным ребром, выходящим из д и входящим в Н, если да^ = Н и образующая а не является элементом порядка два (и нетривиальна). Если же а имеет порядок два, то две вершины д и Н = да^ соединим неориентированным ребром (поскольку д = На^). Иными словами, все ребра графа Ш'(С) помечены символами а!,...,а&, причем вершина д соединена ребром а^ (ориентированным или неориентированным) с вершиной да^, если а^ = 1. Можно считать, например, что к — это наименьшее возможное число образующих в группе С. Граф Ш'(С), очевидно, конечен и связен. Он не имеет петель, а также не имеет кратных ребер в случае а% = а^ и а% = а-1 при любых г,
1 ^ г < 3 ^ к, таких, что а^ = 1 и аj = 1. Пусть Ш = Ш(С) — ориентированный граф, полученный из графа Ш' заменой каждого неориентированного ребра двойным ребром (т.е. парой противоположно ориентированных ребер с теми же концами) и добавлением ко ориентированных петель в каждой вершине, где ко — количество тривиальных элементов среди а1,...,а^. Для каждой вершины фиксируем биекцию между ко петлями в этой вершине и тривиальными элементами.
Шаг 2. Ясно, что действие группы С па себе левыми сдвигами индуцирует свободное и транзитивное на вершинах (а потому свободное на ребрах) действие па ориентированном графе Ш(С) автоморфизмами ориентированного графа. Действительно, покажем, что индуцированное действие па графе Ш(С) определено корректно. Так как элемент д группы С переводит вершину Н в вершину дН, то д переводит выходящее из Н ребро, ведущее в вершину На^, в выходящее из дН ребро, ведущее в дНа^. Итак, поскольку С
Ш(С) построен при помощи правых сдвигов, то действие группы продолжается свободно и транзитивно на граф Ш(С). Отсюда следует, что окрестности любых двух вершин на графе Ш(С) "устроены одинаково". Очевидно, граф Ш(С)/С является букетом к окружностей (отвечающих элементам а1,..., а^).
Шаг 3. Рассмотрим погружение 3 : Ш ^ М2 граф а Ш = Ш (С) в плоскость, которое инъективно на множестве вершин и в окрестности любой вершины "устроено одинаково". Это означает, что для любых двух вершин Н и дН существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм 7 : и^ малой окрест-
ности точки 3(Н) в М2 на малую окрестность Ujточки 3(дН), такой, что действие автоморфизма д на графе Ш в окрестности вершины Н совпадает с 3-1Рассмотрим плоскость М2 как подмножество М3, и пусть г : Ш ^ М3 — вложение, близкое к погружению Пусть £ — регулярная "трубчатая" окрестность (достаточно "малого радиуса") графа г(Ш) в М3 и М = М(С) — граница Ясно, что М —
С
поверхности М с сохранением ее ориентации. Граф Ш связен, имеет |С| вершин и к|С| ребер. Поэтому его эйлерова характеристика равна (1 — к)|С| = 1 — д, где д — род М. Значит, поверхность М имеет род д = (к — 1)|С| + 1. Напомним здесь, что эйлерова характеристика границы трубчатой окрестности графа в М3 равна удвоенной эйлеровой характеристике самого графа. Лемма 1 доказана. □
Лемма 2. Для любых целых чисел к ^ 0 и й ^ 5, таких, ч,т,о й ^ 6 при к = 0, существует, ориентируемый атом, Т(к, й) рода, к с й граничными окружмост,ям,и, группа симметрии, которого тривиальна (таких атомов много). При заклеивании граничных окружностей такого атома дисками получается двумерная ориентируемая замкнутая поверхность Q = ф(к, й) рода к (и соответствующая правильная функция Морса, на ней). Один из таких атомов имеет п = 2к + й — 2 вершин, й_ отрицательных и (1+ = (1 — (1- положительных граничных окружностей для, любого натурального числа, (1- < (1, такого,
что 1 < (1- < (1 — 1 при к = 0 и (1 = 6, 7.
Доказательство. Пусть к = 0. Обозначим через Т(0,й, й_) искомый атом Т(0,й) с й_ отрицательными граничными окружностями. Без ограничения общности й_ ^ При й = 6 можно взять, например, любой из двух плоских атомов Т(0, 6, й_) = , ), й_ € {2, 3}, где плоский граф показан на рис. 1 (для каждого из этих атомов плоский граф получен из окружности добавлением двух нетель белой и черной, расположенных по разные стороны окружности, а также добавлением "восьмерки" при й_ =2 или "вывернутой восьмер-рИС- \ ки" при й_ = 3). Пусть п ри й > 6 и 1 < < й—1 плоский
атом Т(0,й, й_) получен из атома Т(0,6,2) добавлением й — 6 петель нужных знаков к "нижней" окружности "восьмерки" (рис. 2). При й ^ 8 и й_ = 1 можно взять плоский атом Т(0,й, 1), отвечающий плоскому графу К па рис. 3. Этот плоский граф К получен из окружности добавлением петли, двух "восьмерок", а также добавлением й — 7 петель к "нижней" окружности одной из "восьмерок".
Пусть теперь к > 0. Возьмем любой ориентируемый атом (Р1, К1) род а к, у которого каждое ребро не является истлей (т.е. соединяет две разные вершины). Например, такой атом можно взять из бесконечных серий максимально симметричных атомов Ап, Вп, Сп, Оп при п > 0 (подробности см., например, в [8, 9]). Пусть для определенности это атом Ап (рис. 4). Данный атом имеет род к = [п/2] и обладает циклической группой симметрий А^(Ап) = ^2п. Он состоит го одной белой 2п-угольной клетки и одной
2п п п п
возьмем атом Ап для четного п = 2к. Тогда у него ровно одна отрицательная и ровно одна положительная грани чные окружности.
Рис. 2
В середине одного ребра графа K добавим маленькую петлю (рис. 5). На языке функций Морса это соответствует возникновению пары критических точек седловой и минимаксной. Тогда любая симметрия полученного атома (P2, K2) сохраняет на месте вершину петли, а потому либо тривиальна, либо меняет ориентацию, т.е. две половинки ребра меняются местами. В последнем случае рассмотрим два других "коротких" ребра графа K2, инцидентные концам петли (по построению они не совпадают, т.е. не образуют петлю). Тогда эта симметрия переставляет два
K2
ребер добавим две маленькие петли (образующие "восьмерку"), как показано на рис. 5. Тогда полученный атом T(k, 5) = (Рз,Кз), очевидно, уже не имеет нетривиальных симметрий. При этом род атома (P3,Кз) такой же, как и v исходного атома (Pi,Ki), т.е. равен k. Заклеив пять граничных окружностей поверхности P3 двумерными дисками, мы получаем 2-поверхность Q рода k и канонически расположенный на ней атом (P3, K3) с тривиальной группой симметрий. При d > 5 атом T (k, d) можно получить из атома T (k, 5) добавлени ем d — 5 петель нужных знаков к "нижней" окружности "восьмерки" (аналогично случаю k = 0). Лемма 2 доказана. □
Доказательство теорем 1 и 2. Сначала докажем теорему 1. По лемме 1 группа G свободно действует на некоторой замкнутой ориентируемой связной поверхности M рода g = (k — 1)|G| + 1 с сохранением ориентации. Так как х(М) = 2 — 2g = —2(k — 1)|G| и группа G действует свободно с сохранением ориентации, то фактормногообразие M/G является связной ориентируемой поверхностью и %(M/G) = (2 — 2g)/|G| = —2(k — 1) = 2 — 2k, M/G
k. Q = M/G
T(k, d) k d
ными окружностями (т.е. имеется функция Морса в точности с тремя
d
тривиальной группой симметрий. Более того, согласно построению ато-T(k, d)
один конец которого является вершиной петли, а другой вершиной восьмерки или "вывернутой" восьмерки, причем на этой восьмерке мо-
k=0
из них, которому отвечает либо белая петля в случае 1 < d- < d — 1, либо восьмерка с дополнительными петлями в случае d- =^и d- = d — 1).
T(k, d) M.
гда полученный атом X(G) на М, очевидно, имеет группу симметрий G. Действительно, любая симметрия атома X(G) индуцирует корректно
T(k, d),
тис указанного ребра в какое-либо поднятие этого же ребра с сохранением его ориентации. Атом T (k, d) получается факторизацией атома X (G)
G.
G
M(G)
на вершинах и граничных окружностях атома X(G). Отсюда получаем требуемые формулы для количества вершин и храничных окружностей атома X(G). Дело в том, что атом X(G) является регулярным и нераз-
G
X(G) T(k, d)
G, | G| G
окружностях атома X (G) является свободным, указанное накрытие X (G) ^ T (k, d) атомов индуцирует регулярное неразветвленное накрытие M (G) ^ Q(k, d) замкнутых поверхностей, полученных заклеиванием граничных окружностей атомов двумерными дисками. Теорема 2 доказана. □
3. Задача отыскания "минимального" атома с заданной группой симметрий. Изучим задачи
g(G) G,
Рис. 3
Рис. 4
о нахождении минимальных чисел Мп(С), Мй_(С)(= Мй+(С)), Мй(С) вершин, отрицательных (либо положительных) граничных окружностей и всех храни чных окружностей соответственно таких атомов. Теорема 2 дает следующие верхние оценки для чисел Мд(С), Мп(С), Мй(С), Мй_(С) =Мй+(С):
Мд(С) < (к — 1)|С| + 1, Мп(С) < п|С|, Мй(С) < й|С|,
Мй_(С) = Мй+(С) < пип{й_,й+}|С|,
где к — число порождающих элементов группы С] числа п, й, й_, й+ такие же, как в теореме 2 (точнее, как в лемме 2, а именно п = 2к+й—2 ж й+ = й—й_ для любых натуральных чисел й_ < й, таких, что й ^ 5, при к = 0 выполнено й ^ 6, при к = 0и й = 6, 7 выполнено 1 < й_ < й — 1). Отсюда для С
Рис. 5
Мд(С) < (к — 1)|С| + 1, Мп(С) < (2к + 3)|С|, Мй(С) < 5|С|, Мй_(С) = Мй+(С) < |С|. (1)
Интересно выяснить, как устроены "наименьшие" атомы, имеющие наперед заданную хрупну симметрий С.
Например, в случае любой
С
том числе для конечной циклической группы Za) следующее утверждение позволяет понизить верхние оценки. Например, хруп-па ^з + Zз является группой симметрий атома рода 4 (рис. 6). При этом усиления оценок удалось добиться благодаря тому, что, в отличие от теоремы 2, мы здесь не предполагаем, что хруп-па симметрий действует свободно на граничных окружностях атома.
Теорема 3. Абелева группа С = Z01 + ... + Ъа, + ЪЬ1 + ... +
Рис. 6
Zfr£ является группой симметрий некоторого ориентируемого атома рода
д = (д+1—Ь_1—...——1)|С|+1
для, любых натуральных чисел а1,..., а^, Ь1,...,^1 (к,1 ^ 0, к + I > 0) и любого целого числа, д ^ к. Более того, если (Р, К) = Т(д, й) — ориентируемый атом из леммы 2 рода, д с й ^ 21 граничным,и
С
накрытие (Р,К), являющееся ориентируемым атомом рода д с группой симметрий С. Атом (Р,К) имеет п = п|С| вершин и й = (2Ь_1 + ... + 2Ь_1 + й — 21)|С| граничных окружностей, где п, й_, й+ — число вершин и отрицательных/положительных граничных окружностей атома (Р, К) (см. лемму 2), й = й_ + й+. Количество отрицательных и положительных граничных окружностей одного из таких
атомов (Р, К) имеет соответствен но вид й_ = (Ь_ + ... + + 2Ь_+1 + ... + )/2 + й_ — й_ )|С|;
йд+ =
ь_1 +
)/2+1 + ... + 2Ь_ + й+ — й+)|С| для, произвольных целы,х чисел, й'_,й+,и ^ 0
со свойствами
й'_ ^ й_,
й+ < й-
+,
й'_ + й+ = 21,
и ^ тш{й'_,й+}, 2 | (й'_ — и)
{например, для, й_ = ни п{й_, 21}, й+ = 21 — й_, и = тш{й'_, й+}). Группа симме трий С ат,ом,а, X' (С) = (Р, КС) действует свободно на вершинах, но необязательно свободно на граничных окружностях атома
X'(С) (а, именно действие на граничных окружностях свободно тогда и только тогда, когда ^ = ... = = 1). В частности, для конечной а,беле вой группы С = Zal + ... + Zaт ранг а г ^ 1 щи а1 ^ ... ^ аг верны оценки
Мд(С) < (г - а-1 - ... - а-1 - 1)|С| + 1, Мп(С) < 4|С|, (2)
Мс(с) < (2/а1 +2/а2 + тш{1,2/аз})|С|, Мд+(С) = Мд_(С) < |С|/а1, ( )
где при г ^ 2 слагаем аг+1 = ... = а3 = 1.
Доказательство. Фиксируем 21 различных граничных окружностей атома (Р, К) = Т(д, д), например отрицательных и положительных. Пусть в1,..., в1 — попарно непересекающиеся простые дуги на Р, соединяющие пары этих окружностей и пересекающие край Р только в своих концевых точках (для определенности первые и из этих дуг в1,...,ви соединяют пары окружностей разных знаков, следующие ((_ - и)/2 дуг соединяют пары отрицательных окружностей, а последние (д+ - и)/2 дуг — пары положительных окружностей, чего можно добиться перенумерацией дуг). Пусть а1,...,ак — попарно непересекающиеся, неразбивающие окружности на Р, не пересекающие край Р и дуги в1,...,в1. Рассмотрим |С| копий (Рг1 ,...,¿^1,...,^, Кг1 ) атома (Р, К), 1 ^ ^ а5,1 ^ ^ ^ Ь*, и разрежем каждую копию вдоль окружностей а|1 ¿к ^ ^ и вдоль дуг в|1 ¿к j1 je, являющихся копиями окружностей а5 и дуг в* на Ргь...,гкаь...а£, 1 ^ 8 ^ к, 1 ^ £ ^ I. Для каждого набора (г1,..., ¿к,... , ^) склеим правый берег дуги в^ ¿к j1 ^ с левым берегом дуги в^ ¿к j•1 ^, а правый берег окружности а|1 ¿к j1 ^ с левым берегом окружности а|1 ¿з+1 ¿к j1 ^. Здесь и далее через (г1, ...,г&, ^1,...,^'* + 1,..., ^) обозначен набор либо (гь..., г^, л,.. 1 + 1,;'4+1,.. ) при ^ < либо (гь..., г^, л,.. 1, 1,;4+1,.. . ^) при л = Ь4, ачерез (¿1,...,г5 + 1,...,гк,л,..— набор либо (¿1,.. . ,г8_ьг8 + 1,г8+1,Л,...,¿0 при < а5, либо (г1,..., г5_1,1, г5+1,..., г^, л,..., л) при = а5. Полученный атом (Р, К) имеет требуемые род и количество вершин и граничных окружностей (так как, например, граничную окружность поверхности Р, содержащую конец дуги в*, накрывает ровно |С|/Ь* граничных окружностей поверхности Р). Он искомый, так как является С-регулярным (неразветвленным) накрытием над атомом (Р, К), где действие к +1 канонических образующих группы С на Р индуцировано попарно коммутирующими циклическими перестановками
{Рг1,...,гк,Л,...Л ^ Рп,...,1а+1,...,1к^1,...^1> }П.....¿к ,Л,...Л, {р1,...А,Л,...,.7£ ^ Рг1 ,...,гк ,jl ,...,jí+1 ,...,j£ }П.....¿к ,jl,...,jl
порядка а5 и соответственно (1 ^ 8 ^ к, 1 ^ £ ^ I). При этом из построения атома (Р, К) = Т(д,д) следует, что любая (необязательно сохраняющая ориентацию) симметрия атома (Р, КС) индуцирует корректно определенную симметрию атома (Р, К) (см. доказательство теоремы 1). Отсюда получаем, что группа симметрий атома (Р, К) в точности совпадает с группой С (а не только содержит ее).
Докажем оценки (2). Первая оценка получается при (д = к,1) = (0,т), вторая — при (д = к,1, д) = (0, т, 6), третья — при д = 5, д ^ 1 или при д = 6, д ^ 0, четвертая — при = = и = 1. Теорема 3 доказана. □
Отметим, что для абелевых групп оценки (2) более сильные, чем оценки (1), вытекающие из теоремы 2. Правда, в отличие от оценок (1), оценки (2) не обязаны "достигаться" одновременно на одном и том же атоме. На примере группы Za + Z5 опишем свойства атомов, на которых "достигается" та или иная оценка в (2).
Следствие. Группа С = Za + Zb является группой симметрий некоторых ориентируемых атомов
рода
0)д = 2а6 - а - Ь +1, (И)д = (а - 1)(Ь - 1) (3)
для, любых натуральных чисел а, Ь. Более того, если (Р, К) = Т(д, д) — ориентируемый атом из леммы 2 рода, д с отрицательными и д+ = д - положительными граничным,и окружностями и тривиальной, группой симметрий, где
(1) д ^ 1, = 1, д ^ 5, (и) д = 0, =2, д ^ 6,
то имеется его регулярное (неразветвленное) Za + Z^-накрытие (Р,КС), являющееся ориентируемым атомом рода, д (см. (3)) с группой симметрий С = Za + Zb, причем атом (Р,КС) имеет п вершин, отрицательных и д+ положительных граничных окружностей, с? = + с?+, где (I) п = аЬ(д + 2д - 2), с? = (д - 4)аЬ + 2а + 2Ь, = Ь, (1+ = (д - 4)аЬ + 2а + Ь; (И) п = аЬ(д - 2), с? = (д - 4)аЬ + 2а + 2Ь, с?_ = 2Ь, с?+ = (д - 4)аЬ + 2а.
При этом группа симметрии С атом,а, X'(С) = (Р, К) действует свободно на вершинах, но не свободно (при Ь > 1) на, граничных окружностях атома X'(С). В частности, при а ^ Ь верны следующие оценки:
Мд^а+Zь) < (а—1)(Ь—1), Мп^а< 4аЬ, Мй^а< аЬ+2а+2Ь, Мй_^а= Мй+^а< Ь.
С
(Р, К) (Р, К)
вых двух оценок имеет 6 граничных окружностей и его род д = 0 (см. (И) при й = 6 и рис. 1), а, для, остальных двух оценок он имеет 5 граничных окружностей и его род д ^ 1 (см. (1) при й = 5).
Доказательство. (¿) Пусть род атома (Р, К) равен д ^ 1 и й_ = 1. Положим к = 0, I = 2, Ь1 = а, Ь2 = Ь, й'_ = и = 1, й+ = 3, й+ = й — 1. Из теоремы 3 и леммы 2 при й ^ 5 получаем требуемые формулы для рода и числа вершин и граничных окружностей атома (Р,К):
д = аЬ(д + 1 — а_1 — Ь_1) + 1 = (д + 1)аЬ — а — Ь + 1, п = аЬп = аЬ(й + 2д — 2),
(1= аЬ(2/а+2/Ь+й—4) = (й—4)аЬ+2а+2Ь, й_ = аЬ/а = Ь, (1+ = аЬ(а_1 +2Ь_1 +й+—3) = (й—4)аЬ+2а+Ь. (И) Пусть род атома (Р, К) равен д = 0 и й_ = 2, й ^ 6. Положим к = д = 0, I = 2, Ь1 = а, Ь2 = Ь, и = 0, й'_ = й+ = 2. Из теоремы 3 и леммы 2 получаем требуемые формулы для рода и числа вершин и
граничных окружностей атома (Р,К):
д = аЬ(1 — а_1 — Ь_1) + 1 = (а — 1)(Ь — 1), п = аЬп = аЬ(й — 2), й = аЬ(2/а + 2/Ь+й — 4) = (й — 4)аЬ+2а + 2Ь, й_ = 2а_1аЬ = 2Ь, й+ = аЬ(2Ь_1 + й+ — 2) = (й+ — 2)аЬ + 2а = (й — 4)аЬ + 2а.
Оценки ДЛЯ Мд^а + ^ь), Мп^а + Мй(^а + Мй_(^а + ^ь) =Мй+^а + ^ь) следуют ИЗ (2). Из формул (¿) и (И) вытекает, что они "достигаются" для атомов с указанными свойствами. Следствие доказано. □
В действительности для любой конечной циклической группы минимальный род равен Мд^а) = 0, а для любой нециклической группы С = Za + Zь он равен Мд(С) = 1. В частности, для группы Zз + Zз получаем оценки
Мд^з + Zз) = 1, Мп^з + Zз) ^ 36, Mй(Zз + Zз) ^ 21, Mй_(Zз + Zз) = Мй+^з + Zз) < 3.
Авторы приносят благодарность Д. Л. Гонсалвесу и А. А. Ошемкову за полезные обсуждения. Настоящая работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова при поддержке РФФИ (грант № 10—01—00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-1410.2012.1), программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (грант 14.740.11.0794) и гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071— 1075.
2. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1 (265). 145-173.
3. Nguyen T.Z. Decomposition of nondegenerate singularities of integrable Hamiltonian systems // Lett. Math. Phys. 1995. 33. 187-193.
4. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН. 1994. 205. 131-140.
5. Болеинов А.В., Фоменко А. Т. Некоторые актуальные нерешенные задачи по топологии интегрируемых гамильтоновых систем // Топологические методы в теории гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1998. 5-23.
6. Браилов Ю.А. Алгебраические свойства симметрии атомов // Топологические методы в теории гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1998. 24-40.
7. Браилов Ю.А., Кудрявцева Е.А. Устойчивая топологическая несопряженность гамильтоновых систем на двумерных поверхностях // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 2. 20-27.
8. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
9. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики. Т. 3: Математика. Вып. 2: Геометрия и топология. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 58-97.
10. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
11. Cori R., Machi A. Construction of maps with prescribed automorphism group // Theor. Сотр. Sci. 1982. 21. 91-98.
12. Sirân J., Skoviera M. Orientable and non-orientable maps with given automorphism groups // Australas. J. Combin. 1993. 7. 47-53.
13. Fujii K. A note on finite groups which act freely on closed surfaces // Hiroshima Math. J. 1975. 5. 261-267,1; 1976. 6. 457-463, II.
Поступила в редакцию 20.04.2012
УДК 512.541.6 + 510.67
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ РЕДУЦИРОВАННЫХ АБЕЛЕВЫХ р-ГРУПП
М. А. Ройзнер1
Рассматриваются неограниченные редуцированные абелевы р-группы (р ^ 3 Ai и A.2. Доказывается, что если группы автоморфизмов Aut Ai и Aut A2 элементарно эквивалентны, то группы Ai и A2 эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной финальным рангом базисных подгрупп групп Ai и A2.
Ключевые слова: элементарная эквивалентность, эквивалентность в логике второго р
Unbounded reduced Abelian p-groups (р > 3) Ai and A2 are considered. It is proved that Aut Ai Aut A2
Ai A2
Ai A2
Key words: elementary equivalence, second order equivalence, Abelian p-groups, automorphism groups.
1. Введение. В данной работе рассматриваются элементарные свойства (т.е. свойства, выразимые в языке первого порядка) групп автоморфизмов абелевых р-групп.
Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моделей были рассмотрены в 1961 г. А. И. Мальцевым в работе [1]. Он доказал, что группы Gn(K) и Gm(L) (G = GL, SL, PGL, PSL; n, m ^ 3 K, L — поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда m = n и толя K и L элементарно эквивалентны.
Развитие эта теория получила в 1992 г., когда с помощью конструкции ультрапроизведения и теоремы об изоморфизме [2] К. И. Бейдар и A.B. Михалев в работе [3] нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда K и L являются телами и ассоциативными кольцами.
Продолжением исследований в этой области явились работы Е. И. Буниной 1998-2010 гг. [4-7], в которых результаты А. И. Мальцева были распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шевалле над полями и локальными кольцами.
В 2000 г. В. А. Толстых [8] рассмотрел связь свойств второго порядка тел и свойств первого порядка групп автоморфизмов бесконечномерных пространств над этими телами. В 2003 г. Е. И. Буниной и А. В. Михалевым [9] была изучена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колец эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами.
В работе [10] Е. И. Бунина и A.B. Михалев установили связь между свойствами второго порядка абелевой р-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов.
В работе [11] Е. И. Бунина и М.А. Ройзнер рассмотрели связь между свойствами первого порядка группы автоморфизмов абелевой р-группы (р > 2) и свойствами второго порядка делимой части и базисной подгруппы самой группы.
1 Ройзнер Михаил Александрович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: MRoiznerQgmail.com. 15 ВМУ, математика, механика, №3
