Открытие по математике: «Фундаментальный закон диагонализации произвольных матриц a(n,n) в спектральных задачах» Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

Андреев А. И.,

кандидат физико-математических наук, е-mail: andranatoliy@yandex.ru

Андреев В. А., физик, МГУ,

е-mail: andrvova@yandex.ru

ОТКРЫТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ: «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДИАГОНАЛИЗАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ МАТРИЦ A(N,N) В СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ»

В линейной алгебре центральное место занимает решение двух задач:

- решение систем линейных уравнений А(т,п)х(п) = Ь(ш),

- решение спектральных задач А(п,п)х(п) = X х(п).

Понимание особенностей решения систем линейных уравнений проявилось раньше понимания особенностей решения спектральных задач.

Распространенным способом решения линейной системы А(п,п)х(п) = Ь(п) является ЬИ-преобразование (алгоритм Гаусса). При этом исходная матрица А(п,п) ^ И(п,п) преобразуется в верхнюю треугольную матрицу И(п,п). Затем используется обратная подстановка. Способ ЬИ-преобразования применим только для совместных линейных систем, имеющих единственное решение.

Способ ЬИ-преобразования неприменим при решении спектральных задач. ЬИ-преобразование не сохраняет пространство собственных значений и собственных векторов исходной матрицы А(п,п). Для решения спектральных задач используется преобразование подобия. Операция подобия преобразует исходную матрицу А(п,п) в более простую, разреженную форму с сохранением собственных значений и собственных векторов.

В алгебре все матрицы делятся на пол-ноосные (простые) и неполноосные (де-

4/2015 ' =

фектные). Матрица А(п,п) называется пол-ноосной (простой), если в спектральной задаче с ней связана невырожденная квадратная матрица собственных векторов Б(п,п) = ^ 82...8п]. В неполноосной (дефектной) матрице А(п,п) число собственных векторов б(п) меньше размерности матрицы, т.е. Б = Б(п,ш), ш < п.

Операция подобия определяет подобные матрицы. Особенности подобных матриц отражает соответствующая теория.

ТЕОРИЯ ПОДОБНЫХ МАТРИЦ

Все матрицы в алгебре делятся на подобные и не подобные. Существуют две формы операции подобия, которые в приложениях приводят к одинаковым результатам:

А(п,п) = Т-1(п,п) В(п,п) Т(п,п), В(п,п) = Т(п,п) А(п,п) Т-1(п,п).

Выражение А = Т-1ВТ является определением операции подобия, определяет матрицу А(п,п), подобную матрице В(п,п).

В п-мерном векторном пространстве существует бесконечное множество невырожденных матриц Т(п,п). Любая из невырожденных матриц Тк(п,п) со своей обратной матрицей Тк-1(п,п) может быть использована в преобразовании подобия исходной матрицы А(п,п):

Ак(п,п) = Тк-1(п,п) А(п,п) Тк(п,п), к = 1,2,...ю.

Поэтому с любой матрицей A(n,n) может быть связано бесконечное множество подобных матриц. С другой стороны, в п-мерном пространстве существуют матрицы A(n,n), B(n,n), которые никакой операцией подобия не могут быть связаны между собой.

Примером является единичная матрица

Е (п, п)

у ' 7 и матрица инверсии пространства

Е (п, п) - Е(п, п) хт Л

4 ' 7 = у ' 7. Условие подобия Т ЕТ = Е невыполнимо для любой преобразующей матрицы Т(п'п) . Действи-

Т'-! РТ1

тельно, справедливы выражения: 1 ЕТ

= Т Т = Е ф Е . в преобразовании подобия единичная матрица подобна только сама себе. Матрица инверсии

Е (п5п) также подобна только сама себе. Между собой матрицы Е (п'п) и

Е(п,п) Л

не подобны. Рассмотрим другой пример. Определим для произвольной матрицы A(n,n) спектральный полином ДХ) = Хп + an - Дп -1 + ап - 2Хп -2 ...+ ао. Изменим любой коэффициент исходного полинома путем умножения его или сложения с любым числом. В результате получим множество полиномов, отличающихся своими коэффициентами. Каждому такому полиному соответствует матрица, не подобная матрице исходного полинома. Поэтому в п-мерном пространстве с исходной матрицей может быть связано любое количество подобных и неподобных матриц.

Необходимо отметить: из тождественности спектров матриц не следует их подобие.

"1 0" "11"

0 1_ и А = 0 1_

Например, матрицы Е = имеют тождественный по составу спектр и тождественные коэффициенты спектральных полиномов, но не являются подобными. Операция подобия с любой преобразующей матрицей Т(2,2) приводит только к неравенству Т-1ЕТ = Е ф А. Вопрос о необходимых и достаточных условиях подобия матриц имеет самостоятельное значение [3].

Операции подобия используются в спектральных задачах, например, для диа-гонализации матриц с использованием собственных векторов. С любой матрицей А(п,п) связано фундаментальное тождество спектральных матриц [1]: А(п,п) Б(п,п) = Б(п,п) Б(п,п) или АБ = ББ,

где Б(п,п) - матрица собственных векторов, Б(п,п) - диагональная матрица собственных значений.

Полноосной матрице собственных векторов 8А(п,п) соответствует обратная матрица 8А-1(п,п). Для полноосной матрицы из равенства АБА. = БаБа. следует: Ба = БА-1А8А, А = БАБАБА-1.

Преобразование БА = 8А-1АБА показывает, что только матрица собственных векторов БА диагонализирует исходную полноосную матрицу А(п,п) операцией подобия. Равенство А = 8АБАБА- показывает, что полноосная матрица А(п,п) подобна диагональной матрице своих собственных значений.

Матрица собственных векторов Б(п,т), т < п неполноосной (дефектной) матрицы А(п,п) прямоугольная и не может быть использована в операции подобия. В операции подобия используются три квадратные матрицы одинаковой размерности.

Алгебраистов всегда удивляло, почему некоторые матрицы не преобразуются в диагональную форму. Объясняется это тем, что любая спектральная задача всегда содержит в себе две задачи:

- определение собственных значений (спектра) матрицы А(п,п),

- определение собственных векторов (главных осей).

Каждая из этих задач решается своим способом и отражает различные особенности исходной матрицы А(п,п). Обычно первая часть спектральной задачи решается способом спектрального полинома. Для исходной матрицы А(п,п) определяют спектральную матрицу (ХЕ - А) и спектральный полином ДХ) = ёй (ХЕ - А) = Хп + а1Хп -1 + а 2Хп -2 ...+ ап. По основной теореме алгебры любой полином степени п имеет ровно п корней - собственных значений матрицы, составляющих ее спектр.

После определения спектра решается вторая часть спектральной задачи - опре-

=■ 4/2015

ОТКРЫТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ: «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН...»

деление собственных векторов матрицы с использованием известных собственных значений. Собственные значения могут быть простыми (однократными) и многократными. С каждым собственным значением связана алгебраическая и геометрическая кратность. Кратность собственного значения как корня спектрального полинома называется алгебраической кратностью. Число собственных векторов, связанных с собственным значением, называется геометрической кратностью собственного значения.

Кратное собственное значение может порождать как полноосную, так и не полноосную матрицу собственных векторов Б(п,ш), ш < п. Существенным является не только фактическое значение собственного значения и его кратность, но и фактические значения исходной матрицы. Поэтому определение кратности собственных значений и полноосности матрицы возможно только для матриц, заданных фактическими параметрами. Исключение составляют унитарные матрицы И(п,п) [2]. Любая унитарная матрица является полноосной, а собственными значениями матрицы И(п,п) могут быть только числа (+1), (-1), пары

комплексных чисел единица.

е-^

с модулем

Обоснование открытия по математике: «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН ДИАГОНАЛИЗАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ МАТРИЦ А(п,п) В СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ».

Основу открытия составляет использование спектральных особенностей произвольных матриц А(п,п). С любой матрицей А(п,п) связана спектральная матрица

(ХЕ - А) и спектральный полином Г(Х): det (ХЕ - А) = ^Х) = аоХп + аДп -1.+ ап. По основной теореме алгебры любой полином степени п содержит ровно п корней полинома, считая каждый кратный корень столько раз, какая у него кратность. Из основной теоремы алгебры следует каноническая форма спектрального полинома [3, 4]:

/(А) = (А-Л) Р1(Л-Л2)р2 (А-А г

где сумма показателей р1 + р2 ... + ри = п. Линейные множители типа

(А-А )Рт

V называются элементарными

делителями матрицы А(п,п) или элементарными делителями спектрального полинома Г(Х).

В линейной алгебре с каждым элементарным делителем (Х - Хк)ш связывают квадратную матрицу в форме жордановой клетки 1к(ш,ш) размерности ш:

р 1 0 ... 0

0 р 1

0

000

1

ТГ , ,0 0 0... р

1к(ш,ш) = , ^ .

Размерность ш жордановой клетки равна кратности собственного значения X = р, определяющего клетку-матрицу 1к(ш,ш). Матрицы в форме жордановых клеток имеют определенные особенности, отражаемые теоремой.

ТЕОРЕМА о спектре матриц жордано-вых клеток: любая матрица 1к(ш,ш) в форме жордановой клетки имеет единственное собственное значение Хк = р и единственный собственный вектор 8к(ш) = 8 с единственной ненулевой компонентой = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С матрицей 1к(ш,ш) связан спектральный полином:

ёй (ХЕ - 1к) = (X - р)ш = 0, который имеет единственное собственное значение Хк = р кратности ш.

Единственному собственному значению Хк = р кратности ш соответствует единственный собственный вектор 8к(ш). Действительно, линейная система для определения собственных векторов при известном собственном значении Хк = р имеет вид:

4/2015

1к(т,т) 8к(т) = р вк(т) или (1к -"0 1 0 ... 0

0 0 1

0

000

1

8к(т) = Н(т,т)

, ,0 0 0 ... 0

рЕ>к(т) = Ь _

8к(т) = 0(т).

Ранг г матрицы Н(т,т) равен (т -1), и дефект ё = (т - г) = (т - т +1) = 1. Линейная однородная система Н(т,т) вк(т) = 0(т) с дефектом ё = 1 имеет единственное ненулевое решение - единственный собственный вектор вк(т).

Единственный собственный вектор вк(т) жордановой клетки 1к(т,т) при любой ее размерности т имеет только одну ненулевую компоненту = 1, остальные компоненты нулевые: б1 = 1, б2 = = ... Бт = 0. Такая особенность собственного вектора следует из уравнения Н(т,т) вк(т) = 0(т) и исключает необходимость вычислений для определения собственного вектора.

Для жордановой клетки 1к(т,т) любой размерности т допустимо сразу выписать собственный вектор Sk(m), не решая линейную систему (ХЕ - 1к)8к(т) = 0.

Спектральные особенности жордано-вой клетки 1к(т,т) определяют и особенности преобразования матрицы 1к(т,т) в диагональную форму.

ТЕОРЕМА о диагонализации матрицы в форме жордановой клетки: матрица в форме жордановой клетки 1к(т,т) преобразуется своим единственным собственным вектором вк(т) в диагональную матрицу единственного сооственного значения Бк(1,1) = Хк.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Фундаментальное тождество спектральных матриц АБ = ББ, приведенное в [1], для жордановой клетки имеет вид:

1к(п,п) Б(п,1) = Б(п,1) Б(1,1) или 1к(п,п) 8к(п) = вк(п)Хк и 1к вк = Хк 8к.

где учитывается: Бк(п,1) = вк(п) и

Бк(1,1) = Хк.

Умножим слева каждую часть равенства 1к8к = Хквк на сопряженный в строку

единственный собственный вектор вк(п) ^ (п) (в вещественном случае вк(п) ^

«кТ(п)):

* *

вк ^к = XkSk Sk = XkSk•Sk = Хк.

В спектральных задачах каждый собственный вектор обычно нормируют на единицу. Скалярное произведение нормированного на единицу вектора на себя всегда равно единице, поэтому вк*8к = 1.

Полученное равенство 1квк = Хк доказывает теорему. Любая матрица в форме жордановой клетки 1к(п,п) преобразуется своим единственным собственным вектором вк(п) в диагональную матрицу Б(1,1) = Б(Хк) = Хк единственного собственного значения согласно равенству: 1квк = Хк.

Теорема о спектре матриц в форме жордановых клеток в форме 1квк = Хк используется для обоснования фундаментального закона диагонализации произвольных матриц А(п,п).

Фундаментальная теорема ДИАГОНАЛИЗАЦИИ произвольной матрицы А(п,п). С любой матрицей А(п,п) связана жорданова блочно-диагональная матрица 1(п,п), которая преобразуется в диагональную матрицу собственных значений Б(р,р) = Б(Х) исходной матрицы А(п,п).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Блочно-

диагональная жорданова матрица 1(п,п), связанная с любой исходной матрицей А(п,п), имеет вид:

Л 0 0 0 0 Л 0 0

1(п,п) =

0 0 0 ^ а )

Каждый диагональный блок 1т = 1т (кт,кт) в 1(п,п) является жордановой клеткой. Число матриц 1т равно числу элементарных делителей кратных собственных значений в канонической форме спектрального полинома матрицы А(п,п). Размерность каждой матрицы 1т (кт,кт) равна кратности соответствующего собственного

. А (Л )

значения Хт. Диагональный блок ^ р содержит все однократные собственные значения матрицы А(п,п).

=■ 4/2015

10

МИР современной науки

ОТКРЫТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ: «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАКОН.»

Диагональные блоки (кш,кш) жорда-новой матрицы 1(п,п) однозначно связаны с элементарными делителями спектрального полинома ДХ) исходной матрицы А(п,п). Поэтому в дальнейшем изложении жорда-нова форма матрицы 1(п,п) рассматривается как известная.

Преобразуем исходную жорданову матрицу 1(п,п) в диагональную матрицу

3(пп) = Б^^) = Б(Х) собственных значений исходной матрицы А(п,п), используя теорему о диагонализации жордановой клетки (кш,кш):

3 (п, п) =

* т

813 А

0 э*3282 0..

0 0... 0 0

0

0 0... Б,(Ар)

Л 0 ...0 0

0 Аз 2... 0 0

0 0 ...0 Б,(Ар)

где 8к(п) - единственный собственный вектор диагонального 1к блока.

Приведенное равенство показывает, что с любой матрицей А(п,п) связана жор-

3 (п, п)

данова матрица , которая преобра-

зуется в диагональную матрицу Б^^) своих собственных значений исходной матрицы А(п,п). Число д равно числу различных по величине собственных значений исходной матрицы А(п,п) в спектральном полиноме ДХ).

Приведенное равенство доказывает теорему о диагонализации любой полноос-ной или неполноосной (дефектной) матрицы А(п,п) в диагональную матрицу ее собственных значений Б(Х).

= Б(ад) = Б(Х),

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев, А.И. Фундаментальная теория биортогональных векторов / А.И. Андреев // Мир современной науки. - М. : ПЕРО. -2015. - № 3.

2. Андреев, А.И. Фундаментальная теория унитарных матриц И(п,п) / А.И. Андреев // Мир современной науки. - М. : ПЕРО. -

2014. - № 3.

3. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - 4-е изд. - М. : Наука, 1988. -548 с.

4. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. - Т. 1 / В.И. Смирнов. - М. : ГОС. изд-во технико-теоретической литературы, 1957.

4/2015