Фундаментальная теория унитарных матриц u(n, n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Андреев, А. И.,

кандидат физико-математических наук,

e-mail: andranatoliy@yandex.ru Andreev, A. I.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ U(n, n).

Аннотация. Работа является изложением фундаментальной теории произвольных унитарных матриц U(n, n). Фундаментальными являются спектральная теорема произвольных унитарных матриц U(n, n) и коммутативная теорема унитарных матриц, фундаментальная теорема НЕПРИВОДИМЫХ представлений произвольных групп конечного порядка.

FUNDAMENTAL THEORY OF UNITARY MATRICES U(N, N).

SUMMARY. Work is outlining fundamental theory of arbitrary unitary matrices U(n, n). Fundamental spectral theorem are arbitrary unitary matrices U(n, n) and the theorem is commutative unitary matrices, the fundamental theorem of irreducible representation of groups of finite order.

Ключевые слова: унитарные (ортонормированные) матрицы, эрмитовы (симметричные) матрицы, теория произвольных унитарных матриц, спектральная теорема произвольных унитарных матриц, коммутативная теорема унитарных матриц, произвольные группы конечного порядка.

Keywords: unitary (orthonormal) matrix Hermitian (symmetric) matrix theory arbitrary unitary matrices, spectral theorem arbitrary unitary matrices, Theorem commutative unitary matrices, arbitrary groups of finite order.

МАТЕМАТИКА, ТЕОРИЯ ГРУПП, ФИЗИКА, КВАНТОВАЯ ФИЗИКА, КРИСТАЛЛОГРАФИЯ.

Среди множества квадратных и прямоугольных матриц выделяются матрицы, обладающие особыми свойствами. Такими матрицами являются унитарные (ортонормированные) матрицы и эрмитовы (симметричные) матрицы. Названия в скобках соответствуют вещественным матрицам, все элементы которых вещественны. Названия перед круглыми скобками соответствуют комплексным матрицам, в которых часть или все элементы комплексные.

В связи с широким использованием унитарных матриц в прикладных направлениях представлена теория унитарных матриц U(n, n) произвольной размерности.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ и(п, п)

В линейной алгебре выделяют вещественные и комплексные матрицы. Необходимость различать вещественные и комплексные матрицы связана с двумя определениями скалярного произведения векторов. Скалярное произведение произвольных векторов а(п), Ь(п) в ортонормированном базисе имеет вид:

п

а^Ь = а*Ь = 2акЪк,

к=1

где символ • выражает операцию скалярного произведения векторов, а символ * обозначает транспонирование вектора или матрицы с комплексным сопряжением элементов. В случае вещественных векторов и матриц символ * заменяется символом т - транспонирование без комплексного сопряжения элементов.

Скалярное произведение вещественных векторов коммутативно, т. е. а^Ь = Ь^а.

Скалярное произведение комплексных векторов а^Ь = а*Ь не коммутативно, но выполняется а^Ь = (Ь^а)с, где символ с - символ комплексного сопряжения результата.

Существуют различные определения унитарных матриц. В предлагаемой работе за основу принято матричное определение унитарных матриц. Матрица и (п, п) называется унитарной, если выполняется:

и*(п, п) и(п, п) = и*и = Е(п, п),

где символ * - символ операции транспонирования матрицы с комплексным сопряжением ее элементов, Е(п, п) - единичная матрица.

Обычно унитарная матрица рассматривается как матрица ортонорми-рованных столбцов. Но из определения унитарной матрицы следует, что и строки унитарной матрицы ортонормированы. Действительно, умножим матричное определение унитарной матрицы и*и = Е справа на матрицу и* и расставим скобки, используя свойство ассоциативности произведения матриц:

и*ии* = (и*и)и* = и*(ии*) = и*.

Равенство (и*и)и* = и*(ии*) = и* возможно, если только каждая из матриц и*и = Е(п, п) и ии* = Е(п, п) является единичной. Действительно, единственной матрицей, которая не меняет ни один элемент исходной матрицы при умножении на нее слева или справа, является единичная матрица. Выражение и*и = Е определяет унитарную матрицу и(п, п) как матрицу ортонормированных столбцов. Выражение ии* = Е(п, п) определяет унитарную матрицу и(п, п) как матрицу ортонормированных строк.

В алгебре подчеркивается удивительная особенность унитарных матриц: столбец ик(п) унитарной матрицы содержит совершенно другую последовательность элементов по сравнению со строкой ик*(п) матрицы. Но из орто-нормированности столбцов матрицы следует и ортонормированность ее строк.

В алгебре матрица В(п, п) в выражении В(п, п) А(п, п) = Е(п, п) называется левой обратной матрицей для исходной матрицы А(п, п), т. е. ВА = А-1А= Е или В = А-1 . Для квадратной матрицы левая обратная матрица является также правой обратной матрицей, т. е. из А-1А = Е следует А-1А = АА-1 = Е.

Из определения унитарной матрицы и*и = Е следует, что матрицей и-1, обратной к исходной матрице и, является сопряженная матрица:

и-1 = и*, т.е. и*и = ии* = и-1 и = ии-1 = Е.

Известно, что определитель невырожденной матрицы А(п, п) и обратной матрицы равны, т. е. Се1 А = Се1 А-1. Из определения унитарной матрицы и ее обратной матрицы следует: Се1(и*и) = Се1 (и-1 и) = й2 = Се1 Е = 1. Из равенства й2 = 1 следует, что определитель любой унитарной матрицы может принимать только одно из двух возможных значений: (+1) или (-1), в зависимости от фактических параметров унитарной матрицы.

В связи с использованием операции * транспонирования векторов и матриц с комплексным сопряжением их элементов отметим: произведение комплексных чисел 71, 72 коммутативно, т.е. 7172 = 7271. Аналогично 7* = 7*2* ,

где символ * обозначает операцию комплексного сопряжения числа.

В линейной алгебре часто используются операции с векторами, один из которых содержит скалярный комплексный множитель а. Пусть а(п), Ь(п) -комплексные вектора и а - комплексный скаляр. Справедливы выражения: а^(аЬ) = (а^Ь)а = а(а^Ь). С другой стороны, (аа)^Ь= (аа)^Ь = а*а* Ь = (а^Ь)а* = а*(а^Ь).

Для операции перемножения комплексных чисел справедливо: (71 72)* =

2 2 = 22

12 2 1 .

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ УНИТАРНЫХ МАТРИЦ и(п, п)

Условие ортонормированности строк и столбцов унитарных матриц определяет и их особые свойства. Эти особенности отражает соответствующая теорема.

ТЕОРЕМА: сумма квадратов модулей элементов любой строки или столбца произвольной унитарной матрицы равна единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Преобразуем все элементы икт любого столбца ик(п) или любой строки ит*(п) унитарной матрицы в экспоненциальную форму по формуле Эйлера:

ик(п) = [и и2 ... ип] = [СИ+'Ьп 02+]'Ь2 ... ап+'Ьп] = [Р1 ет Р2 вт... Рп в]Рп1 ],

где рк = + д/а\ + Ъ2к - модуль комплексного числа, фк = сгс 1д(Ьк/Ск) - фаза.

Определим скалярное произведение вектора ик(п) на себя, в результате получим:

п

ик- ик = и к ик = ]Г РтетрРтв= р2 + р2 +...+ Р = 1.

т=1

Сумма квадратов рх + р2 +... + р„ = 1 модулей элементов любого

столбца (строки) матрицы является фундаментальным инвариантом унитарной матрицы и(п, п).

СЛЕДСТВИЯ из определения фундаментального инварианта унитарной матрицы.

СЛЕДСТВИЕ 1: модуль любого элемента икт унитарной матрицы и(п, п) не может превосходить значения единица. Действительно, из определения фундаментального инварианта унитарной матрицы рр + р\ +... + рр = 1 следует, что сумма квадратов вещественных чисел равна единице, если каждое

из чисел рк меньше единицы. Геометрически все элементы Ukm унитарной

матрицы и(п, п) являются точками комплексной плоскости, ограниченной радиусом г = 1, проведенным из начала координат комплексной плоскости. Предельные случаи допустимы: часть элементов унитарной матрицы может иметь модуль единица и расположена на окружности радиуса г = 1.

СЛЕДСТВИЕ 2: если модуль элемента унитарной матрицы Ukm равен единице, тогда все элементы строки 1< и столбца 1Г1, на пересечении которых расположен элемент и<т , являются нулевыми.

В качестве примера рассмотрим матрицы преобразования исходного базиса декартовых координат \, ], k в новый базис путем поворота относительно осей 07, ОХ, ОУ. Соответствующие матрицы имеют вид:

07

соб( - бш р 0 бш р соб( 0

0

0

1

, 0у

соб О 0 - бю О

0

1 0

бш О 0 соб О

, 0х

1 0

0

0 соб у - бш у 0 бш у соб у

Каждая из матриц 07, 0у, 0х является унитарной.

В алгебре с любой матрицей А(п, п) всегда связана спектральная задача Ax = Лx. Решения s<(n) уравнения Ax = Лx являются собственными векторами матрицы А(п, п), а значения Л< - собственные значениями матрицы А(п, п). Собственные значения Л<, < = 1, 2, ... п представляют спектр матрицы А(п, п) и часто записываются в форме диагональной матрицы й(п, п) = й(Л<).

Последовательность собственных значений Л<, записанная в форме диагональной матрицы й(п, п) = й(Л), называется диагональной матрицей собственных значений, при этом каждое собственное значение записывается в диагональную матрицу столько раз, какая у него кратность. Нумерация значений Л< в матрице й(п, п) произвольна.

Последовательность собственных векторов s<(n), < = 1, 2, ... п, записанная в форме матрицы Б(п,п), определяет матрицу собственных векторов Б(п, п). Для полноосных матриц А(п, п) число собственных линейно независимых векторов s<(n) равно размерности п матрицы А(п, п) по определению полноосных матриц.

Спектральные особенности унитарных матриц отражает соответствующая теорема.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ

и(п, п)

ТЕОРЕМА. Диагональная матрица й(п, п) = й(Л<) собственных значений произвольной унитарной матрицы и(п,п) всегда является унитарной матрицей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Спектральное уравнение Ux = Лx унитарной матрицы и(п,п) представляет равенство двух векторов. Ux и Лx.

Применим вспомогательное векторное равенство у = x. Умножим каждую часть векторного равенства скалярно на себя, получим скалярное равенство:

У^У = У*У = x•x = x*x или у*у = x*x.

Используя определение унитарной матрицы и*и = Е и нормировку любого собственного вектора x•x = x*x = 1 на единицу, умножим каждую часть спектральной задачи Ux = Лx скалярно на себя. В результате векторное ра-

венство переходит в скалярное равенство. Для левой части скалярного равенства получим:

= x*U*Ux = x*(U*U)x = x*x = 1.

Для правой части скалярного равенства получим:

(Л^ = Л*x*Лx = Л*Л (Л) = Л*Л.

Собственные значения Л унитарной матрицы могут быть в общем случае комплексными, т. е. Л = а + ]'Ь. Используя формулу Эйлера, применим экспоненциальную форму комплексного числа Л = а + ]'Ь = ре^, поэтому Л*Л = ре'фре-'ф = р2 = 1.

Из выражения р2 = 1 следует, что собственными значениями произвольной унитарной матрицы и(п, п) могут быть только вещественные числа (±1) и пары сопряженных комплексных чисел е'ф и е-'ф с модулем единица и противоположным значением фазового угла ф.

Столбцы диагональной матрицы собственных значений й(п,п) унитарной матрицы и(п, п) не только ортогональны между собой, но и нормированы на единицу. Поэтому диагональная матрица собственных значений й(п,п) является унитарной матрицей. Из унитарности й(п, п) следует унитарность сопряженной матрицы й*(п, п) и равенство й*й = йй* = Е, при этом й* = й-1.

Отметим: любая диагональная матрица ортогональна, но не унитарна.

СЛЕДСТВИЕ 1 из спектральной теоремы унитарных матриц: собственными значениями унитарной матрицы могут быть только вещественные числа (±1) и пары комплексно сопряженных чисел с модулем единица г1 р, г~( при

этом г]рг~]р = +1.

СЛЕДСТВИЕ 2: в спектральном полиноме унитарной матрицы и(п, п) свободный коэффициент ап равен определителю матрицы или произведению собственных значений: ап = Се1 и = Л1 Л2 ... Лп = ±1. Поэтому определитель любой унитарной матрицы равен ±1.

В алгебре все матрицы делятся на полноосные (простые) и неполноос-ные (дефектные). Матрица А(п, п) называется полноосной, если в спектральной задаче этой матрице соответствует невырожденная квадратная матрица собственных векторов Б(п,п). В неполноосной матрице число собственных векторов меньше размерности исходной матрицы.

Любая унитарная матрица является полноосной [6]. С унитарной матрицей как полноосной связано равенство иБ = Бй, где Б(п, п) - матрица собственных векторов и й(п, п) - матрица собственных значений. Любая полно-осная матрица при преобразовании подобия матрицей собственных векторов подобна диагональной матрице своих собственных значений.

ТЕОРЕМА УНИТАРНОСТИ МАТРИЦЫ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ Б(п, п) УНИТАРНОЙ МАТРИЦЫ и(п, п)

Свойство унитарности матриц в прикладных направлениях является исключительно важным. В текущем изложении доказана теорема об унитарности матрицы собственных векторов Б(п, п) любой унитарной матрицы и(п, п).

ТЕОРЕМА. Матрица собственных векторов Б(п, п) унитарной матрицы и(п,п) является унитарной матрицей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Со спектральным уравнением Ux = Лx.унитарной матрицы как полноосной связано равенство иБ = Бй, где Б(п, п) - матрица собственных векторов, й(п, п) - диагональная матрица собственных значений.

Применим операцию сопряжения к каждой части равенства и3 = 30:

2*и* = 0*2*.

Определим произведение матриц 3*и* и и3 с учетом приведенных равенств:

5*и*иБ = 0*3*30. Из унитарности матрицы ии* = Е(п, п) следует 3*3 = 0*3*30. Умножим каждую часть равенства 3*3 = 0*3*30 на диагональную матрицу 0(п,п):

03*3 = 00*3*30 = 3*30 или 03*3 = 3*30, где учтено, что 0(п, п) - унитарная диагональная матрица, поэтому 00* = Е(п, п).

В равенстве 03*3 = 3*30 матрица 3*3 коммутирует с диагональной матрицей 0(п,п). Диагональная матрица 0(п, п) может коммутировать только с другой диагональной матрицей, поэтому матрица 3*3 является диагональной матрицей.

С другой стороны, диагональными элементами матрицы 3*3 являются только значения (+1). Действительно, диагональные элементы матрицы 3*3 -это скалярные произведения ортонормированных собственных векторов (3*3)кк = $к*3к = Эк^ Эк.= +1. Скалярное произведение нормированного на единицу вектора на себя всегда равно (+1). Поэтому матрица 3*3 = Е(п, появляется единичной.

Выражение 3*3 = 33* = Е(п, п) в матричной форме определяет матрицу собственных векторов 3(п, п) как унитарную и доказывает теорему.

В алгебре рассматривается полная спектральная задача для исходной и сопряженной матриц. Для унитарных матриц используют исходную и и сопряженную и* матрицы:

их = Лх, и*1 = XI

Спектральные особенности сопряженных унитарных матриц и*(п, п) представлены ниже.

ТЕОРЕМА УНИТАРНОСТИ МАТРИЦЫ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ Т(п, п) СОПРЯЖЕННОЙ УНИТАРНОЙ МАТРИЦЫ и*(п, п) ТЕОРЕМА. Матрица собственных векторов Т(п, п) сопряженной унитарной матрицы матрицы и*(п, п) является унитарной матрицей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Со спектральным уравнением сопряженной унитарной матрицы и*1 = XI как полноосной связано равенство:и*Т = Т0,

где Т(п,п) - матрица собственных векторов 1к(п), 0(п, п) - диагональная матрица собственных значений.

Спектр матриц и* и и совпадает (транспонирование не меняет определителя матриц).

С равенством и*Т = Т0 связано сопряженное равенство. Т*и = 0*Т*.

Определим произведение матриц Т*и и и*Т, учитывая ии* = Е(п,п):

Т*ии*Т = 0*Т*Т0 или . Т*Т = 0*Т*Т0 Умножим каждую часть равенства Т*Т = 0*Т*Т0 слева на унитарную диагональную матрицу 0(п,п), учитывая 00* = Е:

0Т*Т = 00*Т*Т0 = Т*Т0 или 0Т*Т = Т*Т0 В равенстве 0Т*Т = Т*Т0 диагональная матрица 0(п,п) коммутирует с матрицей Т*Т. Диагональная матрица 0(п,п) может коммутировать только с

другой диагональной матрицей. Поэтому произведением матриц Т*Т является диагональной матрицей.

Диагональными элементами (Т*Т)|\ матрицы Т*Т являются скалярные произведения ортонормированных собственных векторов 1| матрицы и*:

(Т*Т)у = = +1 при I = ]' или 0 при I + \.

Поэтому матрица Т*Т является единичной, т.е. Т*Т = ТТ* = Е(п, п).

Равенство Т*Т = ТТ* = Е(п, п) является определением унитарной матрицы собственных векторов Т(п,п) сопряженной матрицы и(п,п) как унитарной и доказывает теорему.

Собственные векторы Эк(п) и 1т(п) унитарных матриц и(п, п) и и*(п, п) связаны определенным образом. Эту связь отражает соответствующая теорема об ортогональности собственных векторов исходной и сопряженной унитарных матриц и(п, п) и и*(п, п).

ТЕОРЕМА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ УНИТАРНЫХ

МАТРИЦ и(п, п) и и*(п, п)

Унитарные матрицы и(п,п) и и*(п,п) являются полноосными. Позтому из спектральных уравнений этих матриц их = Лх и и*1 = XI следуют выражения:

и3 = 30, и*Т = Т0,

где 3(п, п) - матрица собственных векторов и 0(п, п) - диагональная матрица собственных значений матрицы и(п, п), Т(п, п) - матрица собственных векторов и 0(п, п) - диагональная матрица собственных значений сопряженной матрицы и*(п,п).

Собственные значения матриц и(п, п) и и*(п, п) совпадают (транспонирование матрицы не меняет ее определителя). С исходным равенством и*Т = Т0 связано сопряженное равенство: Т*и = 0*Т*.

Умножим равенства и3 = 30 слева на Т*, а равенство Т*и = 0*Т* умножим справа на 3, в результате получим два равенства:

Т*и3 = Т*30, Т*и3 = 0*Т*3.

Приравняем правые части в приведенных равенствах, так как левые части равны:

Т*30 = 0*Т*3.

Матрицу Т*3 для краткости обозначим символом W = Т*3, аналогично W-1 = (Т*3)-1. Тогда равенство Т*30 = 0*Т*3 запишется в виде:

W0 = D*W.

Умножим приведенное равенство слева на матрицу W-1, в результате получим:

0 = W-1D*W.

Матрица W = Т*3 является произведением унитарных матриц, имеет обратную матрицу W-1, поэтому равенство 0 = W-1D*W справедливо. Из равенства 0 = W-1D*W следует, что матрицы 0 и 0*.подобны, имеют одинаковый спектр 0* = 0.

Диагональными элементами W кк = (Т*3)кк, к = 1,2, ... п матрицы W(n, п) являются произведения нормированных на единицу собственных векторов 5к(п) и 1к(п) матриц 3(п, п), Т(п, п), т. е. W кк = (Т*3)кк = Эк*1к = Эк^1к. При согласованной нормировке собственных векторов справедливо выражение Эк^т = бкт, где бкт = 1 при к = т и 0 при к + т. Поэтому матрица W(n, п) = Т*(п, п) 3(п, п) = Е(п, п).

С произвольной унитарной матрицей и(п, п) связано пять унитарных матриц:

- унитарная диагональная матрица собственных значений й(п, п) и сопряженная унитарная диагональная матрица собственных значений й*(п, п),

- унитарная матрица собственных векторов Б(п, п) исходной унитарной матрицы и унитарная матрица Т(п, п) собственных векторов сопряженной унитарной матрицы,

- при согласованной нормировке собственных векторов sk(n)•tk(n) = +1 произведение матриц собственных векторов является единичной матрицей Б(п, п)Т(п, п) = Е(п, п).

Отметим: матрица Т(п, п) является контраградиентной по отношению к матрице Б(п, п), т. е. Т(п, п) = (Б-1)Т = (БТ)-1. Операции обращения -1 и транспонирования Т коммутативны, т. е. -1Т.= Т(-1), для комплексных матриц -1*.= *(-1).

Унитарные матрицы широко используются в прикладных направлениях. В цифровой обработке первое место занимает спектральный анализ, затем -свертка, рассматриваемая как фильтр. С дискретными данными x(n) связан спектральный вектор F(n) как выходной вектор фундаментальной матрицы Эйлера W(n,n): F(n) = W(n, п) x(n). Обоснованием способа быстрого и сверхбыстрого преобразования Фурье является работа [1, 2].

Фундаментальная матрица Эйлера W(n, п) представляет последовательность целых степеней дискретной функции Эйлера 7 = в р = [7° 71 72 ... 7п-1 [2]. При нормировке каждого столбца 7к(п) на единицу матрица W(n, п) становится унитарной. Лагранж назвал функцию вр петербургского академика Эйлера самым замечательным открытием математики.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ

Теория симметрии кристаллов связана с унитарными матрицами. В работе [3] аналитически определена группа симметрии кристаллов кубической сингонии перестановочно-инверсионными матрицами Мк = Р| й-, I =1,2.6, ]' = 1,2, ... 8, к = 1,2, ... 48. Матрицы перестановок Р| представляют перестановку столбцов единичной матрицы, матрицы инверторы й- формируются заменой значений +1 на (-1) в единичной матрице Е(3, 3).

ТАБЛИЦА МАТРИЦ ПЕРЕСТАНОВОК Р|(3, 3) И МАТРИЦ ИНВЕРТОРОВ й](3, 3):

"100" "10 0" "10 0 " "10 0" "1 0 0 " "10 0 "

Р1 = й1 = 010 = Е, Р2 = 0 I 0 , Р3 = 0 10 , Р4 = 0 10 , Р5 = 0 10 , Р6= 0 10

001 0 0 I 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

"10 0" "1 0 0" "1 0 0" "1 0 0" "1 0 0" "1 0 0 " "10 0"

й2 = 0 10 , й3= 0 1 0 ,й4= 0 10 ,й5= 0 1 0 ,й6= 0 10 ,й7= 0 1 0 ,й8= 0 10

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Таблица перестановочно-инверсионных матриц кубической сингонии приведена ниже для подгруппы порядка 24. Полная группа симметрии куба порядка 48 является двойной, содержит 24 пары матриц Мк, Мк = (-1) Мк, к =

1,2, ... 24. В каждой паре матриц одна матрица отличается от другой противоположным знаком своих элементов. Теория двойных групп изложена ниже.

ТАБЛИЦА перестановочно-инверсионных матриц симметрии куба

24:

Mi

P1D1 "100"

010

001

M9 P2D1 01 0 001 1 0 0

M17

P3D1

0 0 I" 0 1 0

1 0 0

M2 P1D2

10 0

0 10

0 0 1

M10 P2D2 0 0 1 1 0 0 0 10

M18 P3D2

"10 0" 0 0 1 0 1 0

M3 P1D3

10 0" 0 1 0 0 0 1

M11 P2D3 0 0 1"

10 0 0 1 0

M19 P3D3

"100 0 0 1 0 10

Mk(3, 3), k = 1,2

M4 M5

P1D4 P4D5

"10 0" "0 01"

0 10 1 0 0

0 0 1 0 1 0

M12 M13

P2D4 P5D5

0 01 0 1 0

10 0 10 0

0 10 0 01

M20 P3D4 10 0" 0 0 1 0 1 0

M21 P6D5 1 0 0"

0 0 1

0 10

M6

P4D6

010" 0 0 1 1 0 0

M14 P5D6 0 10 1 0 0 0 0 1

M22 P6D6 0 0 1" 0 1 0 10 0

M7 P4D7

0 10"

0 0 1

10 0

M15 P5D7

"010 1 0 0 0 0 1

M23

P6D7 0 0 1 "

0 10 1 0 0

M8 P4D8

"010" 0 0 1 10 0

M16 P5D8

"0 1 0" 10 0 0 0 1

M24

P6D_8 0 0 1"

0 10

10 0

Двойной называется группа О(п), которая содержит п/2 пар матриц, в каждой паре одна матрица отличается от другой противоположным знаком своих элементов.

В кристаллографии выделяют семь сингоний. В каждой сингонии существует группа с максимальным числом элементов, называемая голоэдрией. Поэтому существует семь голоэдрий, каждая голоэдрия является двойной группой.

Сформулируем теорему существования двойных групп.

ТЕОРЕМА. Группа О(п), линейное представление которой содержит две

матрицы Е(п, п) и (-1)Е (п, п) = Е, является двойной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию теоремы с группой О(п) связаны две мат-

'Е

рицы Е (п, п) и (-1)Е (п, п) = Е , которые составляют подгруппу Н

E

поряд-

ка два. Обычно подгруппу использует для разложения исходной группы G(n) = G(gk) на смежные классы Hgk = Hk, k = 1,2, ... n/2.

По теореме Лагранжа отношение порядка группы n к порядку подгруппы m всегда целое положительное число n/m, называемое индексом подгруппы. Индекс подгруппы равен числу смежных классов в разложении группы по

' E"

подгруппе. Разложение группы G(n) по подгруппе H =

E

порядка 2 содер-

жит п/2 смежных класса.

Каждый смежный класс содержит пару матриц Ак = АкЕ, А = Ак (-1)Е =

АЕ . Приведенное равенство доказывает теорему.

Матрица Е является матрицей инверсии векторного пространства. Особенности двойных групп позволяют сократить в четыре раза объем таблиц умножения группы, таблицы подобных элементов. В квантовой теории двойные группы тесно связаны с теорией спиноров, с двузначным представлением групп.

Определение группы включает определение состава группы и групповой операции, обычно называемой квадратом Кейли. Таблица умножения группы симметрии куба приведена ниже.

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ 1 СИММЕТРИИ 1 КУБА:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

02 01 04 03 07 08 05 06 11 12 13 10 16 15 14 13 20 19 18 17 22 21 24 23

03 04 01 02 08 07 06 05 12 11 10 08 14 13 16 15 18 17 20 19 23 24 21 22

04 03 02 01 06 05 08 07 10 09 12 11 15 16 13 14 18 20 17 18 24 23 22 21

05 08 07 06 04 01 02 03 22 23 24 21 17 20 19 18 15 14 13 16 11 10 09 12

06 07 08 05 01 04 03 02 23 22 21 24 19 18 17 20 13 16 15 14 12 09 10 11

07 06 05 08 03 02 01 04 21 24 23 22 20 17 18 19 14 15 16 13 09 12 11 10

08 05 06 07 02 03 04 01 24 22 23 21 18 19 20 17 16 13 14 15 10 11 12 09

09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 01 02 03 04 05 06 07 08

10 09 12 11 15 16 13 14 19 20 17 18 24 23 22 21 04 03 02 01 06 05 08 07

11 12 09 10 16 15 14 13 20 19 18 17 22 21 24 23 02 01 04 03 07 08 05 06

12 11 10 09 14 13 16 15 18 17 20 19 23 24 21 22 03 04 01 02 08 07 06 05

13 16 15 14 12 09 10 11 06 07 08 05 01 04 03 02 23 22 21 24 19 18 17 20

14 15 16 13 09 12 11 10 07 06 05 08 03 02 01 04 21 24 23 22 20 17 18 19

15 14 13 16 11 10 09 12 05 08 07 06 04 01 02 03 22 23 24 21 17 20 19 18

16 13 14 15 10 11 12 09 08 05 07 06 02 03 04 01 24 21 22 23 18 19 20 17

17 18 19 20 21 22 23 24 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

18 17 20 19 23 24 21 22 03 04 01 02 08 07 08 05 12 11 10 17 14 13 16 15

19 20 17 18 24 23 22 21 04 03 02 01 06 05 08 07 10 09 12 11 15 16 13 14

20 19 18 17 22 21 24 23 02 01 04 03 07 08 05 06 11 12 09 10 16 15 14 13

Определитель матриц инверсии пространства меняет знак в пространстве с нечетным числом измерений и сохраняет знак в пространстве четных измерений. Унитарные преобразования пространства матрицами с определителем +1 обычно называют собственными или чистыми вращениями. В действительности это не оправдывается в пространствах с четным числом измерений.

Инверсионные матрицы в квантовой теории имеют глубокий смысл. Окружающий нас мир представляет мир волновых квантовых частиц с целым и полуцелым спином. Волновые функции частиц с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны и т. д.) антисимметричны, а для частиц с целым спином (фотоны) симметричны. Поэтому существует статистика Ферми-Дирака (для электронов) и статистика Бозе-Эйнштейна.

КОММУТАТИВНАЯ ТЕОРЕМА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ

ТЕОРЕМА. Унитарная матрица и(п, п) может коммутировать только со скалярной матрицей аЕ(п, п), где а - произвольный скаляр.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию теоремы для унитарной матрицы и(п, п) и произвольной матрицы А(п, п) предполагается равенство иА = Аи.

Для любой унитарной матрицы и(п, п) как полноосной справедливо равенство и3 = 30 или и = 303*, где 3(п, п) - матрица собственных векторов, 0(п,п) - диагональная матрица собственных значений матрицы и(п, п).

Применим выражение и = 303* в предполагаемом равенстве иА = Аи:

303*А = А303*.

Умножим равенство 303*А = А303* слева на матрицу 3*, а справа на 3. Учитывая 3*3 = Е(п, п), получим:: 3*303*А3 = 3*А303*3 или 03*А3 = 3*А30.

В равенстве 03*А3 = 3*А30 диагональная матрица 0 коммутирует с матрицей 3*А3. Диагональная матрица коммутирует только с другой диагональной матрицей, поэтому матрица 3*А3 должна быть диагональной.

Полноосная матрица А(п, п) преобразуется подобием в диагональную матрицу собственных векторов 0а(п, п) = 3*аА3а только матрицей собственных векторов 3а(п, п).Аналогично для унитарной матрицы 0и = 3*ии3и.

Но выражение 3*иА3и не содержит собственных векторов матрицы А. В этом случае справедливым является неравенство 3*иА3и Ф 0. Полученное неравенство противоречит предполагаемому равенству иА = Аи. Поэтому унитарная матрица не может коммутировать с произвольной матрицей А(п, п).

С другой стороны, если в выражении иА = Аи матрица А = аЕ(п,п) скалярная, тогда равенство и(аЕ(п, п)) = (аЕ(п, п))и справедливо для любой унитарной матрицы.

Унитарная матрица может коммутировать только со скалярной матрицей.

В квантовой физике с линейными операторами связаны матрицы. Среди матриц выделяют матрицы коммутаторы АВ = ВА и анти коммутаторы АВ = -ВА.

Коммутационная теорема унитарных матриц является фундаментальной в теории неприводимых представлений групп.

ТЕОРИЯ ПОДОБНЫХ МАТРИЦ

Подобные матрицы широко используются в теории групп. Соответствующая теория представлена ниже.

В теории подобия необходимо различать операцию подобия и подобные матрицы. Существуют два определения операции подобия, которые в прикладных направлениях приводят к одинаковым результатам.

Определение 1: Вк = Тк-1АТк; определение 2: Ск = ТкАТк-1.

Применим к произвольной матрице А(п,п) преобразование подобия Вк = Тк-1АТк. В п-мерном пространстве существует бесконечное множество невырожденных матриц, каждая из которых может быть применена в преобразовании подобия. Поэтому исходной матрице соответствует бесконечное множество подобных матриц. Какие из бесконечного подобия исходной матрицы приводят ее в более простую форму?

В алгебре все матрицы делятся на полноосные (простые) и неполноос-ные (дефектные). Полноосной называется матрица, которой в спектральной задаче соответствует невырожденная квадратная матрица собственных векторов. В противном случае матрица называется неполноосной (дефектной). Применение операции подобия создает для исходной матрицы бесконечное множество подобных матриц. Но только полноосная матрица преобразованием подобия преобразуется в диагональную матрицу.

В приложениях часто необходимо определить, являются ли две матрицы подобными. Соответствующая теорема определяет необходимые и достаточные условия подобия матриц.

ТЕОРЕМА. Матрицы А(п, п), В(п, п) подобны, если коэффициенты спектральных полиномов этих матриц совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С каждой матрицей А(п, п), В(п, п) связан спектральный полином:

Се1(А - XI) = Хп + 01Хп-1 + 02Хп-2 +...+ап = 0, Се1(В - XI) = Хп + ЬпХ1"1-1 + Ь2Хп-2 + ... + Ьп = 0.

Подобные матрицы имеют тождественный по составу спектр. Поэтому равенство коэффициентов ак = Ьк, к = 1,2, ... п спектральных полиномов является необходимым и достаточным условием подобия матриц. Подобные матрицы называются эквивалентными.

Пример не подобных матриц определяет приводимая ниже теорема..

ТЕОРЕМА. Матрица тождественного преобразования Е(п,п) подобна

только себе. Матрица инверсии (-1) Е(п, п) = Е подобна только себе.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим преобразование подобия Т-1АТ = Е, из которого следует А = ТЕТ-1 = Е. Приведенное равенство показывает, что матрица тождественного преобразования подобна только себе. Аналогично, из Т-1АТ

= Е следует А=ТЕ Т-1= Е - матица инверсии подобна только себе. Но между

собой матрицы Е, Е не подобны.

Матрицы с одинаковым значением характера могут быть не подобными. Из равенства характера, как одного из коэффициентов спектральных полиномов, не следует, что и другие коэффициенты полиномов равны.

В качестве примера приведена таблица подобных матриц симметрии

куба.

ТАБИЦА ПОДОБНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КУБА: Мтк М1Мк/ 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01

Мтк М2Мк/ 02 02 02 02 03 03 03 03 03 03 03 03 02 02 02 02 04 04 04 04 04 04 04 04

МТ М3Мк/ 03 03 03 03 02 02 02 02 04 04 04 04 04 04 04 04 02 02 02 02 03 03 03 03

МТ М4Мк/ 04 04 04 04 04 04 04 04 02 02 02 02 03 03 03 03 03 03 03 03 02 02 02 02

М1 МбМк/ 05 06 06 05 05 05 06 06 14 14 15 15 23 21 23 21 23 21 23 21 15 14 14 15

М1 М6Мк/ 06 05 05 06 06 06 05 05 15 15 14 14 21 23 21 23 21 23 21 23 14 15 15 14

Мт М/Мк/ 07 08 08 08 08 08 07 07 13 13 16 16 24 22 24 22 22 24 22 24 13 16 16 13

МТ М8Мк/ 08 07 07 07 07 07 08 08 16 16 13 13 22 24 22 24 24 22 24 22 16 13 13 16

МТ М9Мк/ 09 12 10 11 19 20 18 17 09 12 10 11 19 20 18 17 09 12 10 11 19 20 18 17

МТ МюМк/ 10 11 09 12 17 18 20 19 11 10 12 09 20 19 17 18 12 09 11 10 18 17 19 20

МТ МпМк/ 11 10 12 09 20 19 17 18 12 09 11 10 18 17 19 20 10 11 09 12 17 18 20 19

МТ М12Мк/ 12 09 11 10 18 21 19 20 10 11 09 12 17 18 20 19 11 10 12 09 20 19 17 18

МТ М13Мк/ 13 13 16 16 24 22 24 22 22 24 22 24 13 16 16 13 07 08 08 07 08 08 07 07

МТ М14Мк/ 14 14 15 15 23 21 23 21 23 21 23 21 15 14 14 15 05 06 06 05 05 05 06 06

МТ М15Мк/ 15 15 14 14 21 23 21 23 23 23 21 23 14 15 15 14 06 05 05 06 06 06 05 05

МТ М16Мк/ 16 16 13 13 22 24 22 24 24 22 19 22 16 13 13 16 08 07 07 08 07 07 08 08

Мк М17Мк/ 17 19 20 18 12 10 11 09 17 19 20 18 12 10 11 09 17 19 20 18 12 10 11 09

1 к

МТк М18Мк/ 18 20 19 17 10 12 09 11 19 17 18 20 11 09 12 10 20 18 17 19 09 11 10 12 МТк М19Мк/ 19 17 18 20 11 09 12 10 20 18 17 19 09 11 10 12 18 20 19 17 10 12 09 11 мк М20Мк/ 20 18 17 19 09 11 10 12 18 20 19 17 10 12 09 11 19 17 18 20 11 09 13 10 м1 М21Мк/ 21 23 21 23 14 15 15 14 06 0-5 05 06 06 06 05 05 15 15 14 14 21 23 21 23 Мк М22Мк/ 22 24 22 24 13 16 16 13 07 08 08 07 08 08 07 07 13 13 16 16 24 22 24 22 Мк М23Мк/ 23 21 23 21 15 14 14 15 05 06 06 05 05 05 06 06 14 14 15 15 23 21 23 21 Мк М24Мк/ 24 22 24 22 16 13 13 16 08 07 07 08 07 07 08 08 16 16 13 13 22 24 22 24

В компактной форме таблица подобных элементов группы О(п) имеет

вид:

д -11Сд1 = О1, д -12С д2 О = О2,... д -1пО дп = Оп,

С подобными матрицами связано существование классов подобных элементов.

В группе симметрии куба порядка 48 существует 8 классов подобных элементов:

1С1 (+3), 6С2(+1), 8С3(0), 9С4(-1), 1Б1 (-3), 9Б2(+1), 8Б3(0), 6Б4(-1).

Группа симметрии куба является двойной, содержит подгруппу матриц порядка 24 с определителем +1 и смежный класс по подгруппе порядка 24 с определителем (-1).

ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ ГРУПП

В теории групп различают обычные и двойные группы. Группа элементов О(п) называется двойной, если она содержит п/2 пар матриц, в каждой паре одна матрица отличается от другой противоположным знаком своих элементов.

В качестве примера рассмотрим группу симметрии куба порядка 48, которая содержит подгруппу матриц порядка 24 с определителем +1. Смежный класс по подгруппе содержит 24 матрицы с определителем (-1). Свободный коэффициент спектрального полинома любой из матриц подгруппы равен +1. В смежном классе свободный коэффициент любого спектрального полинома равен (-1). Никаким преобразованием подобия матрица подгруппы не может быть преобразована в матрицу своего смежного класса с одинаковым характером. Матрицы подгруппы и матрицы смежного класса составляют неприводимое представление группы симметрии куба.

В составе подгруппы симметрии куба существуют последовательности матриц, отличающиеся значением характера. Такие матрицы составляют неприводимое представление группы симметрии куба, так как в спектральном полиноме этих матриц коэффициент си (характер матрицы) различный.

В группе симметрии куба существует восемь классов подобных элементов:

1С1(+3), 6С2(+1), 8С3(0), 9С4(-1), 1Б1 (-3), 9Б2(+1), 853(0), 6Б4(-1).

Символы Ск и Бк относятся к классам подгруппы и ее смежного класса. Восемь классов симметрии куба составляют неприводимое представление группы симметрии куба.

ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ АЛГЕБРЫ

Спектральная задача произвольной матрицы А(п,п) всегда содержит в себе две задачи:

- определение собственных значений (спектра матрицы),

- определение матрицы собственных векторов 3(п, п).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С любой матрицей А(п, п) связано спектральное

уравнение:

Ах = Хх. Условие существования ненулевого решения Се1(А - ХЕ) = Хп + а1Хп-1 + а2Хп-2 + ... +ап = 0 определяет спектральный полином степени п. По основной теореме алгебры полином степени п всегда имеет ровно п корней, составляющие спектр исходной матрицы.

Первый шаг спектральной задачи состоит в определении спектра матрицы.

На втором шаге определяются собственные вектора матрицы А(п,п) при известных собственных значениях Хк. С каждым собственным значением Хк связана система однородных линейных уравнений (А - ХкЕ)х (п) = 0(п). Любая матрица (А - ХкЕ) имеет порядок п, ранг Гк, дефект Ск = п - Гк. Именно дефект Ск определяет для каждого собственного значения число собственных векторов.

Существуют матрицы, которые и при кратных собственных значениях являются полноосными. Например, единичная матрица Е(п, п)и матрица в форме жордановой клетки А(п, п) имеют единственное собственное значение кратности п. Но единичная матрица является полноосной, а матрица в форме жордановой клетки при любой ее размерности п имее единственный собственный вектор.

В общем случае с собственным значением кратности к может быть связано от одного до к собственных векторов.

В теории групп часто рассматривается задача преобразования исходной матрицы в унитарную матрицу [5, 7]. Особенности такой задачи отражает соответствующая теорема.

ТЕОРЕМА. Произвольная матрица А(п, п) никаким преобразованием подобия не может быть преобразована в унитарную матрицу и(п, п).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим преобразование подобия В-1АВ = и, из которого следует равенство матриц А = Ви В-1 и равенство определителей. В правой части определителем является определитель унитарной матрицы Се1 (Ви В-1) = Се1 и = ±1. В левой части матрица А - произвольная, ее определитель может иметь любое значение. Поэтому справедливо неравенство Се1 А Ф Се1 и, которое доказывает теорему.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА НЕПРИВОДИМОСТИ ГРУПП КОНЕЧНОГО

ПОРЯДКА

ТЕОРЕМА. Линейное представление любой группы конечного порядка неприводимо.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливость теоремы основана на трех основных теоремах линейного представления групп. По теореме 1 любая группа конечного порядка имеет унитарное представление [5, 7]. Поэтому любая группа конечного порядка рассматривается как унитарная. По теореме 2, доказанной в текущем изложении, любая унитарная матрица коммутирует толь-

ко со скалярной матрицей. По теореме 3 последовательность матриц, которая коммутирует только со скалярной матрицей, является неприводимой [5].

На основе трех теорем справедлив вывод: любая группа конечного порядка является неприводимой.

В теории представлений определение неприводимых представлений является основной, центральной задачей. Эта задача имеет определенные трудности, поэтому в настоящее время неприводимые представления определены для небольшого числа групп [8].

Определение неприводимых представлений групп конечного порядка в текущем изложении отличаются от известных в литературе определений.

Предлагаемая работа представляется полезной для математиков, физиков, специалистов квантовой физики, теории групп, кристаллографии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев, А. И. Способ сверхбыстрого преобразования Фурье [Текст] / А. И. Андреев // Геофизика. - М. : ГЕРС, 2003. - № 2.

2. Андреев, А. И. Сверхбыстрый оптимальный фильтр [Текст] / А. И. Андреев // Технологии сейсморазведки. - М. : ГЕРС, 2006. - № 1.

3. Андреев, А. И. ГРУППЫ МАТРИЦ ПЕРЕСТАНОВОК В ТЕОРИИ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ [Текст] / А. И. Андреев // Депонировано в ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - 02.06.2009. - № 341 -В.

4. Андреев, А. И. Фундаментальная теория симметрии кристаллов [Текст] / А. И. Андреев // Мир современной науки. - М. : Перо, 2014. - № 1.

5. Смирнов, В. И. Курс высшей математики [Текст] / В. И. Смирнов. - М. : Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - Т. 3. Ч. 1.

6. Гантмахер, Ф. Р. ТЕОРИЯ МАТРИЦ [Текст] / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1988.

7. Вигнер, Е. ТЕОРИЯ ГРУПП и ее приложения к квантово механической теории атомных спектров [Текст] / Е. Вигнер. - Новокузнецк : Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

8. Наймарк, М. А. Теория представлений групп [Текст] / М. А. Наймарк. - М. : Наука, 1976.