Открытие по математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

Андреев А. И.,

кандидат физико-математических наук, е-mail: [email protected]

Андреев В. А., физик, МГУ,

е-mail: [email protected]

ОТКРЫТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

Матричный полином Д(А) степени п, связанный со скалярным полиномом Д^) матрицы А(п,п) и с его коэффициентами рк, имеет матрицы-корни (решения) Ак, к = 1,2,..., обращающие матричный полином в нулевой ДА) = 0(п,п):

Д(А) = Ап + р1Ап -1 + р2Ап -2. + рпЕ.

ОБОСНОВАНИЕ ОТКРЫТИЯ.

Спектральный анализ имеет широкое применение в различных прикладных направлениях. Квантовая теория содержит множество спектральных задач с применением самосопряженных линейных операторов. Собственные значения самосопряженного оператора определяют спектр энергии квантовой системы, а собственные вектора являются волновыми функциями квантовой системы. С каждым линейным оператором связана матрица.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ПОЛИНОМОВ.

В составе полиномов различают матричные полиномы с матричными и скалярными коэффициентами.

Матричные полиномы делятся на полиномы с правым и левым значением [6]. Соответствующие определения приведены ниже.

£ Вк/ = ВоАп+ В1Ап -1 + В2Ап - 2 ...+ Вп -к полином с правым значением,

£ Авк = АпВо + Ап -1В1 + Ап -2В2 ...+ Вп

к

- полином с левым значением.

В полиномах с правым значением степени матрицы Ак записываются справа от матриц коэффициентов Вк, а в полиномах с левым значением матрицы Ак записываются слева от коэффициентов матриц Вк. Существование матричных полиномов с левым и правым значением приводит к необходимости различать правое и левое деление полиномов, правый и левый остаток деления. Для матричных полиномов со скалярными коэффициентами справедливо ХкАк = А%.

Матричные полиномы со скалярными коэффициентами Д(А) часто определяют заменой в скалярном полиноме скалярной переменной X матрицей А(п,п).

С каждой матрицей А(п,п) связана спектральная матрица (ХЕ - А). Определитель спектральной матрицы является скалярным полиномом исходной матрицы А(п,п):

ёе1 (ХЕ - А) = = X п + р1 X п -1 + р2 X п -2

+ ...+ Рп.

Скалярному полиному соответ-

ствует каноническое разложение:

= (X - Х1) (X - X 2) (X - X з).(Х - X п),

где к = 1, 2,...п - корни спектрального полинома Д(^) = 0.

2/2015

Со скалярным полиномом Д(Х) связан матричный полином Д(А):

ДА) = Ап + р1Ап -1 + р2Дп "2 +...+ рпЕ.

Поэтому между полиномами Д(Х) и Д(А) существует взаимно однозначное соответствие:

ДХ) ^ ДА). Полиному Д(Х) соответствует полином Д(А) при замене Х ^ А(п,п) и наоборот.

Алгебраическая операция над множеством элементов называется замкнутой, если она не выводит за пределы исходного множества элементов. Алгебраическая операция извлечения квадратного корня из отрицательных чисел в поле вещественных чисел незамкнутая. Незамкнутость алгебраической операции приводит к необходимости расширения исходного множества элементов элементами из другого множества. Введение комплексных чисел в математику приводит к замкнутости алгебраической операции извлечения квадратного корня из любых чисел, включая отрицательные. Для многих прикладных направлений применение поля комплексных чисел является достаточным.

В теории групп фундаментальным является условие замкнутости групповой операции. Определение группы включает определение множества элементов, составляющих группу, и определение групповой операции. Определением групповой операции является таблица умножения, часто называемая квадратом Кейли. Например, группа симметрии куба порядка 48 содержит 48 элементов и 48 матриц в линейном представлении. Таблица умножения элементов симметрии куба содержит 482 = 2304 элемента, из которых нетождественными являются только 48 элементов исходной группы. Остальные элементы таблицы умножения повторяют исходные элементы группы ввиду замкнутости групповой операции.

Теория групп является основой теории симметрии кристаллов. В работе [4] в простой форме определены все 32 класса симметрии кристаллов на основе теории групп.

В теории полиномов уравнение полинома Д(ъ) = 0 степени п с комплексными коэффициентами рк называется алгебраическим уравнением [5]:

Д(ъ) = 2 П + р1 2 П -1 + р2 2 П "2...+ рп = 0. Значения переменной ъ = ък, которые обращают полином Д(ъ) в нуль, называются корнями полинома Д(ъ). Значение переменной ъ, для которого функция Д(ъ) = 0, называется корнем уравнения Д(ъ) = 0. Не для всякой функции Д(ъ) существует корень -

решение, обращающее ее в нуль. Фунда-

х) = е*к

ментальная функция Эйлера '

х) = е"]хк .

или при любом значении пе-

ременной х не равна нулю. Поэтому функция Эйлера не имеет корней, так как

X) Ф 0 (■

при любом

значении переменной

х.

Лагранж назвал функцию петербургского академика Эйлера е ' самым замечательным открытием математики [2]. В цифровой обработке спектральный анализ занимает первое место. Основой спектрального анализа является быстрое преобразование Фурье. Для дискретных исходных данных Дп) = Дхк) определяют фундаментальную матрицу Эйлера W(n,n)

= е

] кт2 п / п

т =

г 0 1 2 пП к, \

= [ъ ъ ъ ... ъ ], где ъ (п)

0,1,. п - дискретная функция Эйлера. В работе [1] быстрое преобразование Фурье определено в простой форме. В работе [3] быстрое преобразование использовано для обоснования сверхбыстрых оптимальных фильтров.

По основной теореме алгебры любой полином Дъ) степени п имеет ровно п корней. Основная теорема алгебры является основой теории линейных операторов, включающих операторы дифференцирования, интегрирования, матрицы и другие линейные преобразования.

Со скалярным полиномом Дъ) взаимно однозначно связан матричный полином ДА), в котором скалярная переменная ъ заменена матрицей А(п,п):

=■ 2/2015

= 2 " + Р1 2 " -1 + Р2 2 " -2...+ рп -

ДА) = А п + Р1 А п -1 + Р2 А п -2...+ рпЕ.

Особенности матричного полинома ДА), взаимно однозначно связанного со скалярным полиномом ДХ) = ёй (ХЕ - Л), определяет сформулированная и доказанная ниже теорема о нулевом матричном полиноме ДА).

ТЕОРЕМА о нулевом матричном полиноме. Матричный полином ДА), связанный со скалярным полиномом ДХ) = ёй (ХЕ - А), является нулевой матрицей 0(п,п).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим теорию присоединенных матриц в доказательстве теоремы о нулевом матричном полиноме ДА) = 0(п,п).

С любой матрицей А(п,п) связана спектральная матрица (ХЕ - А) = В и присоединенная к спектральной матрица (ХЕ - А)А = ВА С любой матрицей А(п,п) связана присоединенная матрица А(п,п)А и справедливо тождество присоединенных матриц: ААА = ААА = Е ёй А Матрица Е ёй А = аЕ(п,п) называется скалярной, представляет произведение единичной матрицы Е(п,п) на скаляр а. Если матрица А(п,п) вырожденная, тогда связанная с ней скалярная матрица Е ёй А = 0(п,п) является нулевой, так как а = ёй А = 0.

В спектральных задачах определитель спектральной матрицы В = (ХЕ - А) по условию всегда является нулевым: ёй (ХЕ - А) = ёй В = 0.

Применим тождество присоединенных матриц к спектральной матрице В = (ХЕ- А):

ВВА = Е ёй В = Е ёеДХЕ - А) = ДХ) Е или ВВА = ДХ) Е,

где учтено ёе! В = ёе! (ХЕ - А) = ДХ). В каждой части полученного равенства ВВА = £(Х)Е заменим скалярную переменную Х матрицей А(п,п):

ВВА = (ХЕ - А) ВА — (АЕ - А) ВА = (А - А) ВА = 0(п,п)ВА = 0(п,п) - для левой части,

ДХ)Е = Е (Хп + р1Хп -1...+ рп) — Е (Ап + Р1Ап -1...+ рпЕ ) = Е ДА) = ДА) для правой части. 2/2015

Приравняв правую часть нулевой левой части, получим:

ДА) = 0(п,п)..

Равенство ДА).= 0(п,п) доказывает теорему о нулевом матричном полиноме

ДА), связанном со скалярным полиномом ДХ) = ёе! (ХЕ - А) = 0..

С любой матрицей А(п,п) связан скалярный полином ДХ) = ёе! (ХЕ - А) и взаимно однозначный со скалярным полиномом ДХ) нулевой матричный полином ДА)~ ДХ).

Согласно доказанной выше теореме о нулевом матричном полиноме.

Замена скалярной переменной Х матрицей А(п,п) используется, например, при доказательстве обобщенной теоремы Безу

в [6]:

(А - ХЕ) ф 0(п,п) — (А - АЕ) = (А - А) = 0(п,п).

Основу публикуемого ОТКРЫТИЯ по МАТЕМАТИКЕ составляет доказательство существования для любого нулевого матричного полинома ДА) = 0(п,п) матриц-решений Ак(п,п), которые обращают матричный полином в нулевую матрицу ДАк) = 0(п,п).

ТЕОРЕМА. Для любого матричного полинома ДА) = 0(п,п) существуют матрицы-корни полинома - решения Ак(п,п), обращающие полином ДА) в нулевую матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы применим доказанную выше теорему о существовании нулевого матричного полинома ДА) = 0(п,п) для любой матрицы А(п,п).

Заменим в матричном полиноме ДА) = (Ап + Р1Ап -1...+ РпЕ ) матрицу А(п,п) скалярной матрицей ХкЕ(п,п), где Хк, - любой корень скалярного полинома ДХ) исходной матрицы А(п,п), к = 1,2.. В результате матричный полином ДА) преобразуется в нулевую матрицу 0(п,п):

ДА) = (Ап + Р1Ап -1...+ рпЕ ) -ДХкЕ) = (ХкЕ)п + Р1(ХкЕ )п -1.+ рпЕ .

МИР современной науки

9

Для единичной матрицы Ет = Е для любых целых чисел т. Поэтому из приведенного равенства следует:

ДХкЕ) = (ХкЕ)п + р1(ХкЕ )п -1...+ рпЕ .= (Хкп + р1Хкп -1.+ рп )Е = ДХк)Е = 0(п,п).

Каждое собственное значение Хк матрицы А(п,п) является корнем скалярного полинома Д(Хк) = 0 и обращает его в нуль.

Поэтому справедливо выражение для любого матричного полинома ДА):

Д(ХкЕ) = 0(п,п).

Полученное равенство ДХкЕ) = 0(п,п) доказывает теорему о существовании корней-матриц, обращающих матричный полином ДА) в нулевую матрицу и являющихся решениями матричного полинома

ДА).

Из теоремы о нулевом матричном полиноме ДА) следует: любая матрица А(п,п) обращает свой матричный полином ДА) в нулевую матрицу, является корень-матрицей (решением) матричного полинома ДА) = 0(п,п).

С любой матрицей А(п,п) связан скалярный полином ДХ), который в канонической форме имеет вид:

ДХ) = (Х - Х1) (Х - Х 2) (Х - Х з)...(Х- Х п).

Заменим в канонической форме скалярного полинома Д(Х) скалярную переменную Х матрицей А(п,п):

ДХ) = (Х - Х1).(Х - Х п) ^ ДА) = (А -Х1Е) (А - Х 2Е).(Л - Х пЕ) = (Ап + р1Ап -

1.+ РпЕ ).

В полученном равенстве каждый линейный множитель (А - ХкЕ) является ненулевой бином - матрицей (А - ХкЕ) и не обращает в нуль матричный полином. ДА). Но произведение всех ненулевых матричных линейных множителей (А - Х1Е) (А - Х 2Е)...(А - Х пЕ) = 0(п,п) = ДА) является нулевой матрицей.

Операции умножения скаляров (чисел) и матриц существенно отличаются. Если произведение скаляров аЬ = 0, тогда один из множителей должен быть нулевым. Из нулевого произведения матриц АВ = 0(п,п) не следует, что одна из матриц Л или В нулевая.

По основной теореме алгебры для

любого скалярного полинома Д(ъ) степени п существует п корней ък, к =1, 2, ... п. Публикуемое ОТКРЫТИЕ по МАТЕМАТИКЕ доказывает основную теорему алгебры о существовании корней-матриц матричного полинома Д(А) произвольной матрицы А(п,п).

С любой матрицей А(п,п) связаны два полинома: скалярный полином Д(Х) и матричный полином ДА). Корнями скалярного полинома ДХ) являются числа Хк. Корнями матричного полинома Д(А) являются матрицы Ак(п,п).

Число корней скалярного полинома Д(Х) порядка п равно п . Число корней-матриц матричного полинома Д(А) зависит от спектральных особенностей исходной матрицы А(п,п). Для матриц А(п,п), в которых все собственные значения Хк однократные, число матриц-корней Ак(п,п) матричного полинома ДА) равно п +1. Каждому собственному значению Хк соответствует матрица-корень Ак(п,п) = ХкЕ(п,п), к = 1, 2, . п и исходная матрица- корень А(п,п).

Кратность собственных значений исходной матрицы А(п,п) соответственно уменьшает число матриц-корней полинома ДА). Например, для матрицы А(п,п) в форме жордановой клетки матричный полином ДА).имеет только две матрицы-корни: исходная матрица А(п,п) и единственная скалярная матрица Ак(п,п) = ХЕ(п,п). Любая матрица в форме жордановой клетки имеет единственное собственное значение Х.

С матричным полиномом Д(А) связана теорема Гамильтона-Кели, по которой любая квадратная матрица А(п,п) удовлетворяет своему характеристическому уравнению 6]. Например, с матрицей А(2,2) =

" 2 1"

связана спектральная матрица

В(2,2) = ХЕ - А =

Я-2 -1 1 Я-3

и поли-

ном ёй В = ДХ) = Х - 5Х + 7. Заменив в

2/2015

спектральной матрице В(2,2) скалярную переменную Х исходной матрицей А(2,2) и вычислив определитель полученной матрицы В , получим полином ДА):

В

А-2Е -Е Е А - 3Е

, ёе! В = ДА) =

(А - 2Е) (А - 3Е) + Е2 = А2 - 5А + 7Е.

(Операция сложения матриц определена только для согласованных по размерности матриц, поэтому каждый скаляр в матрице В умножен на единичную матрицу Е(п,п)).

Гамильтон опубликовал теорему в1853 году для матриц 2*2 без доказательства. Позднее Кели сформулировал более общее утверждение. Первое доказательство опубликовал Фробениус в 1878 году.

В литературе подчеркивается: из равенства ёе! А = 0 не следует А = 0. Аналогично, из ёе! (ХЕ - А) = 0 не следует ДА) = 0(п,п). По доказанной выше теореме о нулевом матричном полиноме для любой матрицы А(п,п) существует нулевой матричный полином ДА). Определитель нулевой матрицы также нулевой, поэтому из ДА) = 0(п,п) следует ёе! ДА) = 0.

Для матричного полинома ДА) существуют два способа его определения.

В способе 1 скалярная переменная Х скалярного полинома ДХ) заменяется матрицей:

ДХ) = Х п + Р1 Х п -1 + Р2 Х п -2...+ рп — ДА) = А п + Р1 А п -1 + Р2 А п -2.+ рпЕ.

В способе 2 скалярную переменную Х заменяют матрицей А(п,п) в спектральной матрице

(А - ХЕ), затем вычисляют определитель полученной матрицы:

(А - ХЕ) =

.. а

1п

а

21

а

22

Я.....а,

2п

а

п1

а

п2

.. а

а„Е - А а^Е...........а Е

11 12 1п

«21Е

а00Е - А.....а Е

22 2 п

аЕ

п1

а Е.........а Е - А

п 2 пп

Я

= В.

ёе! В = ДА), что согласуется с теоремой Гамильтона-Кели.

Публикуемое ОТКРЫТИЕ по МАТЕМАТИКЕ расширяет область основной теоремы алгебры о корнях скалярных полиномов в область существования корней-матриц матричных полиномов, в которых независимой переменной является произвольная матрица А(п,п).

—>

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев, А. И. Способ сверхбыстрого преобразования Фурье // Геофизика. -М. : ГЕРС, 2003. - № 2.

2 Андреев, А. И. Быстрое двумерное преобразование Фурье // Геофизика. - М. : ГЕРС, 2007. - № 2.

3. Андреев, А. И. Сверхбыстрый оптимальный фильтр // Технологии сейсморазведки. - М. : ГЕРС, 2006. - № 1.

4. Андреев, А. И., Андреев, В. А. Фундаментальная теория неприводимых представлений групп, групп симметрии кристаллов // Мир Современной Науки. - М. : ПЕРО, 2014. - № 3.

5. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. - Т. 1, - М. : Изд-во технико-теоретической литературы, 1957.

6. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. -М. : Наука, 1988.

2/2015

МИР СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ

11