Фундаментальная теория матричных полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Андреев А. И.,

кандидат физико-математических наук, e-mail: [email protected]

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ПОЛИНОМОВ

Матричные полиномы часто используются в приложениях. С каждой матрицей A(n,n) связана спектральная матрица (ХБ -A) и спектральный полином Д(Х), где X -произвольный неизвестный параметр, E(n,n) - единичная матрица.

Определитель спектральной матрицы (ХБ - A) является спектральным полиномом:

¿й (ХБ - A) = Д(Х) = Хп + аДп -1 + а2Хп -2 + ...+ ап = 0.

Целью предлагаемой работы является изложение фундаментальной теории матричных полиномов.

С любым полиномом скалярной переменной Д(Х) связан матричный полином ДА). Матричный полином определяют заменой степеней скалярной переменной Хк степенями матрицы А , включая нулевую степень матрицы А0(п,п) = Б(п,п).

Особенности преобразования скалярного полинома скалярной переменной в матричный полином Д(А) матричной переменной отражает фундаментальный закон матричных полиномов.

Фундаментальный закон генерации матричных полиномов: при преобразовании полинома скалярной переменной Д(Х) в матричный полином Д(А) матричной переменной каждая степень Хк заменяется стек

пенью матрицы А , включая нулевую степень матрицы А0(п,п) = Б(п,п). Свободный коэффициент ап полинома Д(Х) (при его наличии) умножается на нулевую степень матрицы А0(п,п): ап ^ ап А0(п,п) = ап Б(п,п). Нулевой скаляр 0 в правой части Д(Х) = 0 (при его наличии) умножается на матрицу А (п,п), образуя нулевую матрицу 0А0(п,п) = 0(п,п).

Результат преобразования полинома скалярной переменной Д(Х) в матричный полином Д(А) зависит от значения скалярного полинома.

ТЕОРЕМА о нулевом матричном полиноме. Скалярному полиному Д(Х) = 0 с нулевым значением соответствует матричный нулевой полином Д(А) = 0(п,п).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При преобразовании полинома скалярной переменной ДХ) в полином матричной переменной Д(А) правая часть скалярного полинома умножается на матрицу А0(п,п). Если правая часть Д(Х) = 0 нулевая, тогда и матричный полином нулевой согласно Д(А) = 0А0 = 0(п,п).

Полиному Д(Х) Ф 0 соответствует ненулевой матричный полином Д(А) Ф 0(п,п).

В качестве примера рассмотрим скалярный полином степени два (квадратное 2 2 уравнение) Д(х) = х + а1х + а2 = х - 12х +

27 = 0, определив его корни х1 = 3, х2 = 9.

Со скалярным полиномом Д(х) связана матрица Фробениуса А(2,2), которая содержит строку коэффициентов спектрального полинома Д(х) = х2 + а1х + а2 = х2 - 12х + 27:

A(2,2) =

"0 1 " "0 1 "

a2 a 27 12 _

где

обозначено (-а) = а, (- 27) = 27 .

Скалярному полиному Д(х) = х2 + а1х + а2 = х - 12х + 27 = 0 соответствует матричный полином Д(А):

Д(А) = А2 - 12А + 27А0 = А2 - 12А + 27Б = 0(2,2).

Отметим особенности спектрального полинома Д(Х) = Хп + а1Хп -1 + а2Хп -2 ...+ ап.

Корни полинома Х1, Х2,... Хк обращают его в нуль, т.е. Д(Хк) = 0, при этом и мат-

4/2015

ричный полином является нулевым: ДА) = 0(п,п). Если переменная X не является корнем полинома Ф 0, тогда и матричный полином не является нулевым, Д(А) Ф 0(п,п).

Корни матричного полинома Д(А) - это матрицы Хк(п,п), обращающие Д(А) в нулевую матрицу Д(Хк) = 0(п,п). Любому нулевому скалярному полиному = 0 матрицы А(п,п) соответствует нулевой матричный полином Д(А) = 0(п,п), т.е. матрица А(п,п) является корнем своего собственного матричного полинома ДА) = 0(п,п).

С другой стороны, с каждым корнем скалярного полинома связана скалярная матрица Хк = ХкЕ(п,п), которая является корнем матричного полинома Д(Хк) = 0(п,п). Полноосная матрица А(п,п) имеет п различных корней Хк и п скалярных матриц Хк = ХкЕ(п,п), являющихся корнями матричного полинома Д(А).

Любая матрица в форме жордановой клетки 1(п,п) имеет единственный корень Х1 своего спектрального полинома = 0 кратности п и два корня матрицы Х = I, Х1 = Х1Е, обращающие матричный полином ДГ) в нулевую матрицу: ДГ) = Д(Х1Е) = 0(п,п).

В отличие от скалярного полинома

= 0, имеющего п корней Хк, матричный полином Д(А) может иметь от двух до (п + 1) матриц корней Хк(п,п) в согласии с [1]..

В приведенном примере с матрицей Д(2,2) связан скалярный полином = X + а1 X + а2 = X 2 - 12 X + 27 = 0 и матричный полином ДА) = А 2 - 12 А + 27Е = 0(2,2). Скалярный полином имеет два корня: х1 = 3, х2 = 9. Матричный полином Д(А) имеет три корня матрицы Хк(2,2), обращающие Д(А) в нулевую матрицу: Х0 = А(2,2), Х1 = х1Е(2,2) = 3Е, Х2 = х2Е(2,2) = 9Е, да) = Д(Хо = А) = ДХ1 = 3Е) = Д(Х2 = 9Е) = 0(2,2).

Скалярные и матричные полиномы являются составной частью теории многочленных матриц, часто называемых X-матрицами или А^) матрицами. В связи с этим представлена теория X-матриц.

ТЕОРИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ X-МАТРИЦ.

Множества полиномов отличаются природой своих элементов. В алгебре выделяют:

- полиномы скалярной переменной X со скалярными коэффициентами Д^),

- полиномы скалярной переменной X с матричными коэффициентами Б^),

- полиномы матричной переменной А(п,п) со скалярными коэффициентами

Д(А),

- полиномы матричной переменной с матричными коэффициентами Р(А).

С любой X-матрицей А(п,п) связаны два определения, приведенные ниже:

Я3 + Л 2Л3 + Л2'

А(2,2) =

-Л3 -2Л2 +1 3Л3 +Л

"1 2" "0 1" "1 0" "0 0"

Т 3 Л3+ 2 0 Л2+ 0 1 _ Л+ 1 0 _

где

(- 2) - 2 .

Л3 +Л 2Л3 + Л2"

Матрица А(2,2) = I-- Л -2Л +1 зЛ +Л _ определена как X-матрица своих элемен тов-многочленов а^^).

Матрица А(2,2) =

"1 2" "0 1"

_ 1 3_ Л3+ _2 0_ Л2+

"1 0" "0 0"

0 1 _ Л+ 1 0 _

определена как полином A(X) степеней скалярной переменной X с матричными коэффициентами - матрицами порядка п. Наивысшая степень X среди всех элементов матрицы называется степенью X-матрицы.

Матричный полином: А^) = А^11 + АД11 -1...+ Ап с невырожденной матрицей А0(п,п) называется регулярным. Условие регулярности является существенным при делении X-матриц.

Распространенной операцией в теории X-матриц является их деление. Для X-матриц

4/2015

Андреев А.И.

А(п,п), В(п,п) различают правое и левое деление [2]. Операцию правого деления А(Х) матрицы записывают в виде операции умножения:

А(Х) = 0(Х)В(Х) + Я(Х), где - правое частное, В(Х) - правый делитель, Я(Х) - правый остаток.

Операция левого деления А(Х) имеет

вид:

А(Х) = В(Х)

® (X)+Я (X),

Я(Л)

- ле-

где^ (X) - левое частное, вый остаток.

Операции деления Х-матриц имеют определенные особенности. Эти особенности отражены при обосновании простого способа деления Х-матриц, представленного ниже.

СПОСОБ ДЕЛЕНИЯ Х-МАТРИЦ.

Операция деления Х-матриц А(Х), В(Х) содержит последовательность шагов деления. Каждый шаг включает три операции а1, а2, а3.

Применим правое и левое деление Х-матрицы А(п,п) на Х-матрицу В(п,п).

Правое деление Х-матрицы А(Х) на матрицу-делитель В(Х): А = QB + Я.

Л4 + Л2 + Л-1 Л +Л2 +Л + 2"

А(Х) =

2Л3 -Л Л2 +1 1 Л Л2 +Л

2Л2 + 2Л

В(Х) =

Каждая из матриц представляет полином степеней скалярной переменной Х с матричными коэффициентами. А(Х) = А0Х4 + ..., В(Х) = В0Х2 + ....

Определим матрицу делителя

"1 0"

В0(2,2) =

01

и обратную матрицу

В0-1 =

1 шаг.

10 01

А0 =

1 0" 0 0

А0 В0-1 Х2 = О1

Л2 0" 0 0

А - о1В = я1 =

Л-1 Л3 +Л + 2 2Л3-Л 2Л2 + 2Л

2 шаг.

1

0 1 2 0_ 0 Л

Я01В0-1Х= О2 =

я1- о2в =я2=

2Л 0

-Л2 +Л-1 - Л2 +Л + 2

3 шаг. Я

0

Я02В0-1 = О3 =

_3Л

Т 1 0 2

Г 1 0 2

2Л2

я2- о3в = я3= я

О = О1 + О2 + О2 = "2Л 2Л + 3"

2Л 2Л + 3" 5 Л - 2Л

"Л2 -1 Л-1 2Л 2

я

5 Л - 2Л

А = ОВ + я.

Пояснения: на 1 шаге операция а1

определяет матрицу А0 делимого. В опера-

1 2

ции а2 перемножаются матрицы А0 В0-1 Х2 = О , определяя частное О первого шага деления. Показатель степени в Х2 равен разности степени делимого и делителя, т.е. 4 - 2 = 2. В операции а3 А - О1В = я1 из делимого А(2,2) вычитается произведение О1В, определяя остаток деления первого шага. Этот остаток становится делимым на втором шаге деления.

На 2 шаге операция а1 определяет матрицу Я01 делимого К1. Операции а2, а3 аналогичны операциям первого шага.

4/2015

2

По завершении всех шагов деления суммируют частные каждого шага деления О = О + О + О и представляют результат правого деления А = ОВ + Я.

ЛЕВОЕ ДЕЛЕНИЕ А = В 0 + Й

При левом делении используют известную из предыдущего матрицу В0-1.

10

1 шаг. А0 =

0 0

Во-1Ао^ = 01

АВ 01= Й1 =

о 1

2 шаг. л0 =

Во-1 Д/ X= 0 2

Л2 0" 0 0 _

Л-1 Л3 +Л2 +Л + 2 Л3-Л 2Л2 + 2Л 0 1" 1 0, 0 Л Л 0

Й1 - В о

-у К 3 шаг. 0 =

1

Л2 + 2

В0

~ = 3

- ЛЛ - Л Л + 2Л 0 1" 11 0 1 1 1

Й2 - В о3 = Й3 = Й=

0 =01 + 02 + 02

0 0" 0 0_ "Л2

Й

00 00

Л +1

Л-1 1

А = в 0 + Й = в 0.

Операция деления X-матриц используется при определении минимальных многочленов и в других направлениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев, А.И., Андреев, В.А. Открытие по математике / А.И. Андреев, В.А. Андреев // Мир современной науки. - М. : ПЕРО. - 2015. - № 2.

2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - 4-е изд. - М. : Наука, 1988. - 548 с.

2

4/2015

МИР современной науки

15