Фундаментальная теория биортогональных векторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Андреев А. И.,

кандидат физико-математических наук, е-mail: andranatoliy@yandex.ru

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ

Решение прикладных задач часто приводит к определению систем векторов, взаимно ортогональных между собой.

Целью предлагаемой работы является изложение фундаментальной теории биортогональных векторов.

Определение. Система векторов tk(n), sm(n) называется биортогональной, если

выполняется:

tk(n)•sm(n) = tk•sm = 5кт, где символ Кронекера 5k = m = 1, 5k Ф m = 0, k, m = 1,2...п.

Генератором систем биортогональных векторов часто являются спектральные задачи для матриц A(n,n). С каждой матрицей A(n,n) в алгебре связано несколько спектральных задач.

В спектральной задаче A(n,n) s(n) = Хб(п) или As = Хб определяют собственные векторы s(n) матрицы А(п,п), которые при умножении на матрицу А(п,п) не меняют своего исходного направления.

С каждой матрицей А(п,п) связана сопряженная матрица А*(п,п) и соответствующая спектральная задача для сопряженной матрицы А*(п,п) ^п) = Х^п). Собственные значения Хк исходной и сопряженной матриц совпадают.

С матрицей А(п,п) связана спектральная задача

определения собственных строк Р*(п) матрицы

Р*(п)А(п,п) = X Р*(П) или Р*А = XР*

В операции А(п,п)б(п) = Аб вектор б(п) является правым операндом матрицы. Вектор не может быть левым операндом матрицы (исключая тензорное произведение векторов и

матриц). Строка элементов Р*(п) может быть

Р*

только левым операндом матрицы г А.

В векторном анализе определено скалярное произведение векторов a(n)•b(n) = a•b,

Р*(п)

скалярное произведение строки * и вектора х(п) согласно Р*(п) х(п) = Р* х,

скалярное произведение строк

Р* • ^* = Р* t

Скалярное произведение строки

Ь(п)

а* (п)

на

вектор 4 у является числом (скаляром а): а* Ь = а. Произведение вектора а(п) на

Ь*(п) „ .

строку 4 у является матрицей А(п,п) ранга единица: а Ь* = А(п,п).

Скалярному произведению векторов a•b в матричной форме соответствует произведение a•b = a*b, где * - символ комплексного или вещественного транспонирования вектора в

3/2015

Мир современной науки

1

строку. В скалярном произведении строк

1 * ^ 1 *

Р *.

правый операнд транспонируется в

1 Р и Р1

вектор 1: г • = г 1.

С каждой спектральной задачей связана матрица собственных векторов. Для полноосной матрицы A(n,n) спектральная задача A(n,n) s(n) = хб(п) приводит к матрице собственных векторов S(n,n) = [б1 s2 б3...бп]. Матрица A(n,n) называется полноосной (простой), если в спектральной задаче ей соответствует невырожденная квадратная матрица собственных векторов S(n,n) = [б1 s2 бз ... бп].

Любая унитарная матрица и(п,п) является полносной [1], [2].

Спектральная задача А*(п,п) 1(п) = Х1(п) для сопряженной матрицы А*(п,п) приводит к матрице собственных векторов Т(п,п) = [11 12 13...1п].

Задача определения собственных строк Р* (п) матрицы А(п,п) согласно Р* (п) А(п,п) = хр* (п) приводит к матрице Р(п,п)

собственных строк:

Р1* Р 2*

Р,

Р(п,п) = Ь

Матрицы собственных векторов и собственных строк S(n,n), Т(п,п), Р(п,п) определенным образом связаны. Эту связь отражают соответствующие теоремы.

С любой матрицей А(п,п) связано фундаментальное тождество спектральных матриц:

А(п,п) S(n,n) = S(n,n) Б(п,п) или AS = SD,

где S(n,n) - матрица собственных векторов, D(n,n) - диагональная матрица собственных значений.

В общем случае в тождестве AS = SD матрица S = S(n,m) для неполноосных матриц А(п,п) может быть прямоугольной, т.е. т < п, соответственно D = D(m,m), т < п. Например, матрица А(п,п) в форме жордановой клетки при любой ее размерности п имеет только одно собственное значение X и только один собственный вектор б(п). Фундаментальное тождество спектральных матриц для любой матрицы А(п,п) в форме жордановой клетки имеет вид:

А(п,п) S(n,1) = S(n,1) D(1,1)

ТЕОРЕМА. Собственные векторы Бт(п) исходной матрицы А(п,п) и собственные векторы 1к(п) сопряженной матрицы А*(п,п) биортогональны:

1к(п)^т(п) = 1к^т = 5кт, где 5к = т = 1, 5к Ф т = 0, к, т = 1,2.п.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две спектральные задачи для полноосной матрицы А(п,п) и соответствующие тождества спектральных матриц типа AS = SD:

А(п,п) б(п) = Хб(п), А(п,п) S(n,n) = S(n,n) D(n,n) или AS = SD,

А*(п,п) 1(п) = Х1(п), А*(п,п) Т(п,п) = Т(п,п) D(n,n) или А*Т = TD.

Умножим обе части равенства AS = SD слева на матрицу Т*(п,п) = Т*:

T*AS = T*SD.

Транспонируем обе части равенства А*Т = TD ^ Т*А = DT*, учитывая D* = D для вещественной матрицы D(n,n). Затем обе части равенства Т*А = DT* умножим справа на матрицу S:

Т*А8 = БТ*8.

В равенствах Т*А8 = Т*8Б и Т*А8 = БТ*8 левые части Т*А8 равны, поэтому равны и правые части:

Т*8Б = БТ*8.

В полученном равенстве Т*8Б = БТ*8 диагональная матрица Б коммутирует с матрицей (Т*8). Диагональная матрица может коммутировать только с другой диагональной матрицей. Поэтому матрица (Т*8) диагональная. Обозначим строки матрицы Т*

символами ^к* (п), а символами э(п) столбцы матрицы 8(п,п). Тогда каждый элемент диагональной матрицы (Т*8) равен

(п)

скалярному произведению строки к у 7 на вектор эт(п):

(Т*8) кт = *к* эт = 5к Ф т = 0.

Матрица (Т*8) диагональная, все не

диагональные элементы (Т*8) к Ф т = ^к* эт

нулевые. Поэтому равенство ^к* эт = 5к Ф т = 0 справедливо.

Равенство для собственных векторов исходной и сопряженной матриц

Т*(п,п) 8(п,п) = Т*8 = Б(п,п)

является фундаментальным тождеством в теории спектральных задач исходной и сопряженной матриц.

Согласно равенству Т*(п,п) 8(п,п) = Т*8 = Б(п,п) каждый собственный вектор tk(n) сопряженной матрицы А*(п,п) ортогонален собственному вектору эт(п) исходной матрицы А(п,п), т.е. tk• эт = 5к Ф т = 0 при условии к Ф т. Значение произведения tm• эт при одинаковых индексах к = т зависит от принятой нормировки собственных векторов tm, эт.

Отметим особенности ортогональных векторов. Если векторы a(n), Ь(п) ортогональны, т.е. a•b = 0, тогда они остаются ортогональными при любой нормировке или перенормировке. Действительно, из условия a•b = 0 следует ^ИРЬ) = (аР)^^) = 0, где а, Р - любые вещественные числа. Умножение вектора a(n) на скаляр а не меняет его направления в трехмерном или п-мерном пространстве. Свойство ортогональности векторов не зависит от их длины, от нормировки или перенормировки.

Рассмотрим особенности диагональных элементов tm* эт в фундаментальном тождестве спектральных матриц Т*8 = Б:

tm* эт = tm• эт = dmm, т = 1,2...п.

В общем случае часть собственных векторов tk, эт исходной и сопряженной матриц, как покаывают вычисления, не ортогональна, т.е. tm* эт = р Ф 0. Для не ортогональных векторов tm•sm = р Ф 0 допустима перенормировка:

^т/р •эт) = (tm•sm/p) = 1/р^т^т) = 1.

Перенормировка собственных векторов сохраняет их ортогональность, но меняет значение скалярного произведения не ортогональных векторов. Поэтому не ортогональные собственные векторы tk, эт всегда допустимо перенормировать к единичному скалярному произведению tm• эт = 5кт.

Необходимо подчеркнуть: в теории биортогональных векторов нормируют на единицу не исходные неортогональные векторы спектральной задачи tk(n), эт(п), а их скалярные произведения не ортогональных векторов tm•sm = 5т т = 1

Применим перенормировку не ортогональных собственных векторов 1т^т = р Ф 0 ^ tm•sm = 5т т = 1 в фундаментальном тождестве спектральных матриц Т*8 = Б(п,п). В результате перенормировки получим: Т*8 = Б(п,п) ^ Т*8 = Е(п,п).

В алгебре матрица В(п,п) при условии В(п,п) А(п,п) = Е(п,п) называется обратной к матрице А(п,п), т.е. В = А-1 и АА-1 = А-1А = Е.

Из теоремы о биортогональности собственных векторов исходной и сопряженной матрицы Т*(п,п) S(n,n) = Е(п,п) следует, что матрица Т*(п,п) является обратной к матрице S(n,n): Т*(п,п) = S-1(n,n). Применим к обеим частям равенства Т*(п,п) = S-1(n,n) или Т* = S-1 операцию транспонирования:

(Т*)* = (S-1)* или Т = ф-1)* = ф*)-1.

В выражении Т = ^-1)* матрица (S-1)* называется контраградиентной по отношению к матрице Т(п,п). Поэтому матрица собственных векторов Т(п,п) сопряженной матрицы А*(п,п).- это контраградиентная к матрице собственных векторов

S(n,n).исходной матрицы А(п,п).

Линейное (матричное) представление групп часто приводит к контраградиентным матрицам.

В частном случае матриц А(п,п) в форме жордановой клетки исходная матрица А(п,п) имеет единственный собственный вектор б(п). Сопряженная матрица А*(п,п) имеет также единственный собственный вектор 1(п), ортогональный вектору б(п): бЧ = 0. При этом условие биортогональности БкЧк = 5кк = 1 не выполнимо.

Предлагаемая работа представляется полезной широкому кругу специалистов по математике и ее прикладным направлениям.

Отметим особенности ортогональных и биортогональных векторов на примерах. Базисные векторы е1, е2, е3 декартовой системы координат ортогональны и нормированы на единицу: еЬе2 = е2^е3 = е3^е1 = 0, еЬе1 = е2^е2 = еЗ^еЗ = 1.

Рассмотрим базис косоугольных координат а1, а2, аЗ и связанный с ним взаимный базис (а1ха2)/У = 13, (а2ха3)/У = 11, (а3ха1)/У = 12, где V = а3^(а1ха2) - объем базисного параллелепипеда. Базисные векторы а1, а2, а3 и 11, 12, 13 не нормированы на единицу и не ортогональны, но образуют систему биортогональных векторов согласно условию акЧт, = 5кт.

В общем случае в системе биортогональных векторов часть векторов ортогональна, а часть векторов не ортогональна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев А.И.Фундаментальная теория симметрии кристаллов. Изд-во ПЕРО, ж. Мир Современной Науки, № 1 (2014), М., 2014.

2. Гантмахер Р Теория матриц. М., Наука, 1988 г.