Одномерная модель Изинга с конкурирующими обменными взаимодействиями во внешнем магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321-2024-39-2-26-35

М. А. Магомедов1'2, А. К. Муртазаев1'2, С. Ш. Гасанов1, Э. Ф. Гаджибабаева2

Одномерная модель Изинга с конкурирующими обменными взаимодействиями во

внешнем магнитном поле

1 Институт физики ДФИЦ РАН; Россия, 367015, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94;

2 Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; [email protected]

Аннотация. В статье дан анализ исследования высокоэффективным репличным обменным алгоритмом метода Монте-Карло одномерной модели Изинга в магнитном поле с учетом конкурирующего обменного взаимодействия между первыми, вторыми и третьими соседями. Рассчитаны температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров, таких, как внутренняя энергия E, теплоемкость C, намагниченность ш и т. д. Получены магнитные структуры основного состояния и построены фазовые диаграммы. Показано, что в отсутствии внешнего магнитного поля при низких температурах в системе устанавливается упорядочение типа {++++++}, {+++—}, {++--++}, {++-++-} или {+-+-+-}. Магнитное поле индуцирует появление дополнительных структур типа {+++--} и {+++-}. Установлено, что структура типа {+++-} возникает только в случае Jl < 0. Изучено изменение энергии и магнитной структуры основного состояния системы при наложении внешнего магнитного поля. Показано хорошее согласие результатов, полученных совершенно разными алгоритмами.

Ключевые слова: одномерная модель Изинга, структура основного состояния, фазовая диаграмма, конкуренция, фрустрация, полевые характеристики, репличный обменный алгоритм, метод Монте-Карло.

Исследование выполнено в рамках научной программы НЦФМ (проект «Исследования в сильных и сверхсильных магнитных полях»).

Введение

Модель Изинга, несмотря на свою простоту, является одной из наиболее часто используемых в статистической физике [1-8]. Одномерная модель Изинга имеет точное аналитическое решение. Однако добавление вторых и третьих соседей значительно усложняет задачу и пока не имеет точного решения. Она может быть использована для описания различных цепочечных систем, вследствие чего интерес к ней остается высоким.

В статье анализируются исследования температурных и полевых характеристик одномерной модели Изинга с учетом обменных взаимодействий как между ближайшими соседями, так и вторыми, и третьими. Учитывается также влияние на систему внешнего магнитного поля. В работе [8] авторами с помощью алгоритма Ванга-Ландау энтропийного метода Монте-Карло и репличного обменного алгоритма подробно исследован частный случай данной модели при значениях обменных взаимодействий Jl = 1, J2 = -1 и Jз = -1. В данной работе нами проведены подробные исследования данной модели при фиксированном взаимодействии между ближайшими спинами Jl = 1 и различных значениях J2 и Jз. Величины J2 и Jз менялись с шагом 0.1 в диапазоне от -3 до

3. Такого диапазона оказалось вполне достаточно для определения всех возможных типов упорядочения в системе (фаз), общей энергии и магнитного момента каждой фазы. Исследования проведены для систем, содержащих N = 144 спинов репличным обменным алгоритмом метода Монте-Карло [8-11]. Получены температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров при разных соотношениях обменных взаимодействий.

Модель

Гамильтониан одномерной модели Изинга с учетом взаимодействия между ближайшими, вторыми и третьими соседями, а также магнитного поля может быть представлен в виде:

МММ N

н=-лх - /1 slsl+2 - / I <ад+з - их , =±1 (1) ¡=1 1=1 1=1 1=1 ' где первые три суммы учитывают обменные взаимодействия, а четвертая - влияние внешнего магнитного поля. Для уменьшения влияния конечности системы применялись периодические граничные условия.

Схематически исследованная модель представлена на рисунке 1, где приведен один из возможных типов упорядочения системы. Темными кружками обозначены спины, направленные вверх (Sl =+1), а светлыми - спины, направленные вниз

(S1 =-1).

Рис. 1. Одномерная модель Изинга с учетом обменного взаимодействия между ближайшими /1,

вторыми /2 и третьими /з соседями

Методы исследований и результаты

Первым предложенным и наиболее часто применяемым алгоритмом метода Монте-Карло является метод Метрополиса. Алгоритм Метрополиса отличается простотой реализации, поэтому может быть использован для моделирования большинства спиновых систем, где не требуется высокая точность результатов. Однако, несмотря на свои достоинства, алгоритм Метрополиса обладает и рядом недостатков. Особенно сильно низкая эффективность алгоритма проявляется в области фазовых переходов, при моделировании систем в области сверхнизких температур, а также при исследовании систем с конкуренцией обменных взаимодействий, особенно фрустрированных систем. В последние годы предложен ряд новых алгоритмов и методов, которые в той или иной мере лишены его недостатков. Для исследования систем в области фазовых переходов разработаны более эффективные кластерные алгоритмы (однокластерный алгоритм Вульфа, многокластерный алгоритм Свендсена-Янга, алгоритм Нидермаера и т. д.). Однако при моделировании в области низких температур, а также фрустрирован-ных систем кластерные алгоритмы оказались неэффективными. В области низких температур, особенно при наличии конкуренций между обменными взаимодействиями и проявления фрустрационных эффектов, желательно применять другие алгоритмы.

Одним из наиболее эффективных алгоритмов, показавших высокую точность, масштабируемость и гибкость при моделировании низкоразмерных систем с эффектами конкуренции, фрустрации, является репличный обменный алгоритм.

В этом алгоритме одновременно моделируется множество копий-реплик системы, которые периодически обмениваются друг с другом своими температурами. Репличный обменный алгоритм позволяет избавиться от основной проблемы алгоритма Метрополиса при моделировании фрустрированных систем в области низких температур - застревания в локальных минимумах энергии, что неизбежно приводило к увеличению времени релаксации системы в равновесное состояние. Также алгоритм легко масштабируется и может быть адаптирован для расчетов на GPU с использованием технологии Nvidia CUDA, что в десятки, а иногда и в сотни раз повышает скорость расчетов.

Репличный обменный алгоритм подробно изложен в работах [10; 11]. Кратко алгоритм может быть задан следующими способами:

1) одновременно стандартным методом моделируются N независимых копий

системы - реплик с различными температурами Ti, 72, ..., TN;

2) после выполнения определенного количества шагов две ближайшие реплики

Xi и Xi+i производят обмен температурами в соответствии с вероятностью:

Обмен репликами производится обычно для ближайших по температуре пар реплик, т. к. с увеличением разности температур между ними вероятность обмена согласно формуле (2) уменьшается экспоненциально. Также рекомендуется перебирать пары реплик попеременно - сначала для четных i, потом для нечетных. Это позволяет избежать цепного эффекта и немного повысить точность расчетов. Репличный обменный алгоритм эффективен благодаря тому, что обмен репликами позволяет решить проблему «застревания» системы в многочисленных состояниях с локальной минимальной энергией, которая характерна для спиновых систем с фрустрациями.

Эффективность алгоритма повышается с уменьшением температурного интервала между репликами и с ростом общей ширины температурного интервала. Также крайне желательно, что бы максимальная температура системы была выше точки фазового перехода. Решение перечисленных условий возможно только увеличением общего количества одновременно моделируемых реплик, что неизбежно сказывается на объеме требуемой оперативной памяти и продолжительности вычислений. Число одновременно моделируемых реплик в нашем случае составляло 300, что является достаточно большой величиной и позволяет охватить весь интересующий нас температурный интервал, при этом ресурсов оперативной памяти современного компьютера также было достаточно.

Как и стандартный алгоритм метода Монте-Карло, репличный обменный алгоритм позволяет рассчитать значения интересующих нас термодинамических величин (например, Энергии Е, теплоемкости С, намагниченности ш, восприимчивости ^и т. д.) для каждой отдельной реплики при помощи стандартных флуктуационных соотношений:

1, for А < 0,

exp( -A), for А> 0,

(2)

где А = ~(Ui — UM ) • (l/ Tt — 1/ T+i), Ui и Ui+i - энергии двух соседних реплик.

1 N

m = —^ Si , Ntf i

(3)

Х = т){(т2)-{т) ) (4)

С = (Ж2)((и2) - {и)2) (5)

где К = квТ, и - внутренняя энергия.

В зависимости от значений обменных интегралов /1, /2, 33 и магнитного поля к при низких температурах в системе могут реализоваться различные типы упорядочений (фаз).

Магнитные структуры основного состояния (фазы), которые могут возникнуть в данной модели, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Структуры основного состояния при 31 = 1

№ Конфигурация Краткое обозначение Период Е т

1. ++++++ 1+1+ 1 Е — /1 / 2 33 к 1

2. + + +--- 3+3- 6 Е _(- Л + 32 + 3/3 ) 3 0

3. ++--++ 2+2- 4 Е = 3 2 0

4. ++-++- 2+1- 3 Е + 32 - 3/3 - к) 3 1/3

5. +-+-+- 1+1- 2 Е — 31 3 2 ^ 33 0

6. + + + -- 3+2- 5 Е (- 3Х + 332 + 333 - к 5 ) 1/5

7. + + + - 3+1- 4 Е = - к/ 2 1/2

В таблице 1 приведены спиновая конфигурация, ее краткое обозначение, период, а также энергия и намагниченность для каждой фазы.

Зная энергии каждой из фазы, можно найти область, в которой данная фаза наиболее энергетически выгодна, а также границу раздела фаз. Например, найдем границу между фазами 1 и 2. Для этого приравняем энергии этих фаз Е1 =-/1 - /2 - /3 - к = Е2 = (— /1 + /2 + 3/ )/3 . Откуда при /1 = 1 и к = 0 получим

/3 = - 2/2 -1. Такую процедуру можно провести для всех пар фаз.

и2

Рис. 2. Фазовая диаграмма системы при к = 0

Фазовая диаграмма модели в отсутствии внешнего магнитного поля приведена на рисунке 2. Дан номер фазы, а в фигурных скобках приведено краткое обозначение структуры в соответствии с таблицей 1. Отметим, что структуры под номерами 6 и 7 при отсутствии магнитного поля в системе не возникают. Фазы 6 и 7 могут появиться только при наличии внешнего магнитного поля, причем фаза 7 встречается только в случае Jl = -1, который нами в данной работе не рассматривается. Также на рисунке мы видим три точки, в которых сосуществую три фазы одновременно. Найти их можно, решая задачу равенства энергии соответствующих трех фаз. Такими точками при Jl = 1 и к = 0 будут:

- для фаз 1, 3 и 4 - J2 = -1 и Jз = 1;

- для фаз 1, 2 и 3 - J2 = -0.5 и Jз = 0;

- для фаз 1, 2 и 5 - J2 = 1 и Jз = -1.

Фазовая диаграмма модели при наличии внешнего магнитного поля (к = 1) приведена на рисунке 3. Отметим появление фазы под номером 6, которая отсутствовала в нулевом магнитном поле. Также видно, что область фазы 1 со структурой типа 1+1+

Л

Рис. 3. Фазовая диаграмма системы при к = 1

Постепенно с увеличением величины магнитного поля область фазы 1 будет расти и захватит всю фазовую диаграмму. Об этом можно судить по рисунку 4, где приведена фазовая диаграмма при к = 2. Также из рисунка видно, что область фазы 6 расширяется в размерах, однако с дальнейшим ростом магнитного поля и она будет вытеснена фазой 1.

Рис. 4. Фазовая диаграмма системы при к = 2

Далее мы приводим температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров.

На рис. 5 отмечены температурные зависимости энергии Е в отсутствие внешнего магнитного поля к = 0 при различных значениях 32 и Зз. Соотношения взяты таким образом, чтобы учитывалась каждая фаза, приведенная на рис. 2.

т

Рис. 5. Температурная зависимость энергии системы Е при к = 0

На рис. 6 приведены температурные зависимости теплоемкости С системы. Для фаз 2, 3 и 4 наблюдаются два пика теплоемкости. Первый, достаточно резкий пик соответствует разрушению дальнего порядка в системе. Например, для фазы 2 структура {3+3-} выше первого максимума теплоемкости перестает глобально повторяться, од-

нако встречается локально. Выше второго пологого максимума локальная структура также распадается, и система переходит в разупорядоченное парамагнитное состояние. Для фаз 1 и 5, у которых короткий период локальных упорядочений, первого пика не наблюдается.

Зависимость энергии системы от внешнего магнитного поля при наименьшей использованной температуре Т = 0.01 приведена на рис. 7. При такой температуре система находится в основном состоянии.

1.0

с/м

0.8 0.6 0.4 0.2

0.0

0 1 2 3 4 5

т

Рис. 6. Температурная зависимость теплоемкости системы С при к = 0 о

-1

Е/Л/

-2

-3 -4

-5

0 1 2 3 4 5

/7

Рис. 7. Полевые зависимости энергии системы Е при Т = 0.01

Фаза 1 имеет структуру {++++++}, изначально упорядоченную ферромагнитно даже в отсутствии внешнего поля, и магнитный момент системы то = 1.

Фаза 2 = -1 и Зз = -1) имеет структуру 3+3- и обладает нулевым магнитным моментом то = 0 в отсутствии магнитного поля. На кривой зависимости энергии от поля это проявляется в горизонтальном ходе при малых магнитных полях.

Фаза 3 (32 = -1 и Зз = 0) со структурой 2+2- тоже характеризуется нулевым магнитным моментом то = 0 в отсутствии поля.

Фаза 4 (32 = -2 и Зз = 2) характеризуется структурой 2+1-, ее магнитный момент то = 1/3.

Фаза 5 (З2 = 2 и Зз = -2) характеризуется структурой 1+1-, ее магнитный момент также равен нулю то = 0.

Полевые зависимости намагниченности системы т при Т = 0.01 приведены на рисунке 8. Фаза 1 обладает спонтанной намагниченностью то = 1, фазы 2, 3 и 5 - нулевым магнитным моментом то = 0. Фаза 4 с изначальной структурой 2+1- имеет спонтанную намагниченность то = 1/3. Для каждой фазы наложение магнитного поля приводит к тому, что в определенный момент при достижении полем некоторого критического значения ко намагниченность скачком принимает значение т = 1, кроме случая фазы 2. Для фазы 2 существуют два критических поля. До достижения полем значения ко1 система находится в состоянии со структурой 3+3-. Выше ко1 = 1.5 система переходит в состояние 3+2- соответствующее фазе 6. Дальнейшее увеличение поля выше ко2 = 3 приводит к переходу в состояние насыщения т = 1.

1.2

1.0

т

0.8

0.6

0.4

0.2 0.0

0 1 2 3 4 5

h

Рис. 8. Полевые зависимости намагниченности системы m при T = 0.01

Заключение и выводы

В статье проанализировано исследование одномерной модели Изинга с учетом обменного взаимодействия между ближайшими, вторыми и третьими соседями в магнитном поле с использованием современного высокоэффективного репличного обменного алгоритма метода Монте-Карло. Рассчитаны температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров. Получены структуры основного состояния в отсутствии внешнего магнитного поля и при его наличии, построены фазовые диаграммы системы.

Литература

1. Azaria P., Giacomini H. An exactly solvable two-dimensional Ising model with magnetic field // J. Phys. A: Math Gen. 1988. Vol. 21. - Рр. 935-940.

2. Shiba H. Quantization of magnetic excitation continuum due to interchain coupling in nearly one-dimensional Ising-like antiferromagnets // Prog. Teor. Phys. 1980. Vol. 64. - Pр. 466-478.

3. Baxter R. One-dimensional anisotropic Heisenberg chain // Annals Phys. 1972. Vol. 70. - Pр. 323-337.

4. Lajko P. and Igloi F. Mixed-order transition in the antiferromagnetic quantum Ising chain in a field // Phys. Rev. B. 2021. Vol. 103. - P. 174404.

5. Zarubin A. V., Kassan-Ogly F. A., Proshkin A. I. Frustrations and orderings in Ising chain with multiple interactions // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1389 (1). - P. 012009.

6. Fumani F.K., Nemati S., and Mahdavifar S. Quantum critical lines in the ground state phase diagram of spin-1/2 frustrated transverse-field Ising chains // Annalen der Physik. 2021. Vol. 533. - P. 2000384.

7. Nemati S., Khastehdel Fumani F., and Mahdavifar S. Comment on quantum fidelity approach to the ground-state properties of the one-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model in a transverse field // Phys. Rev. E. 2020. Vol. 102. - P. 016101.

8. Магомедов, М. А. Исследование температурных и полевых характеристик одномерной модели Изинга с конкурирующими обменными взаимодействиями / М. А. Магомедов, А. А. Муртазаева, А. К. Муртазаев, Л. К. Магомедова, Л. Р. Хибиева // Вестник ДГУ. Серия 1: Естественные науки. 2023. Т. 38, вып. 1. - C. 16-25.

9. Murtazaev K. Sh., Magomedov M. A., Murtazaev A. K., Ramazanov M. K. Phase diagram of the antiferromagnetic Ising model on a body-centered cubic lattice with competing exchange interactions under a magnetic field // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2023. Ш. 148. - Pр. 115646-1-115626-6.

10. Sugita Y., Okamoto Y. Replica-exchange multicanonical algorithm and multi-canonical replica-exchange method for simulating systems with rough energy landscape // Chem. Phys. Lett. 2000. Ш. 329, Issues 3-4. - Pр. 261-270.

11. Morten Hagen, Byungchan Kim, Pu Liu, et. al. Serial Replica Exchange // J. Phys. Chem. B. 2007. Ш. 111. - Pр. 1416-1423.

Поступила в редакцию 28 мая 2024 г.

Принята 10 июня 2024 г.

UDC 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321-2024-39-2-26-35

One-Dimensional Ising Model With Competing Exchange Interactions Within a

Magnetic Field

M. A. Magomedov1'2, A. K. Murtazaev1'2, S. Sh. Gasanov1, E. F. Gadzibabaeva2

1 Institute of Physics DFRC RAS; Russia, 367015, Makhachkala, M. Yaragsky st., 94;

2 Dagestan State University; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; [email protected]

Abstract. A high-efficient replica exchange algorithm of the Monte-Carlo method is used for studying one-dimensional Ising model with relevance to the competing exchange interaction between the first, second and third nearest neighbors and the external magnetic field. The temperature and field dependences of various thermodynamic parameters, such as internal energy E, specific heat C, magnetization m etc. are calculated. The ground state magnetic structures are obtained and phase diagrams are described. While there is no external magnetic field, the ground state magnetic structures of the system can be arranged as {++++++}, {+++—}, {++--++}, {++-++-} and {+-+-+-}. The magnetic field induces the appearance of additional structures of the type {+++--} and {+++-}. It was established that a structure of the type {+++-} occurs only in case of J1<0. A change in the ground state

energy and magnetic structure with applying an external magnetic field was studied. A good agreement of the results obtained by the two completely different numerical methods is shown.

Keywords: one-dimensional Ising model, ground state structures, phase diagram, competing, frustration, field characteristic, replica exchange algorithm, Monte Carlo method.

The reported study was carried out as part of the Scientific Program of the NCFM (the project "Research in strong and superstrong magnetic fields").

Received 28 May, 2024 Accepted 10 June, 2024