Термодинамические характеристики четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке в магнитном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321-2024-39-3-17-28

М. А. Магомедов1 2, А. К. Муртазаее1 2, Я. К. Абуев1

Термодинамические характеристики четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке в магнитном поле

1 Институт физики ДФИЦ РАН; Россия, 367015, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94;

2 Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; [email protected]

Аннотация. Высокоэффективным репличным обменным алгоритмом метода Монте-Карло исследована четырехвершинная модель Поттса на гексагональной решетке. Получены магнитные структуры основного состояния системы в зависимости от величины внешнего магнитного поля. Показано, что основное состояние системы является димерным, добавление магнитного поля приводит к росту сонаправленных с полем димеров. Рассчитаны температурные зависимости различных термодинамических параметров (внутренняя энергия E, теплоемкость С, энтропия S и т. д.). Показано: энтропия для данной модели при температурах, близких к абсолютному нулю, для большинства значений магнитных полей принимает нулевые значения, кроме трех значений поля (h = 1.5,h = 2.5Hh = 4), в которых происходит скачок из одной структуры к другой; скачок нультемпературной энтропии при магнитных полях h = 1.5, h = 2.5 и h = 4 связан с фрустрирующим влиянием магнитного поля на систему. С повышением температуры энтропия стремится к теоретическому значению S/N = In4 = 1.38629.

Ключевые слова: четырехвершинная модель Поттса, структура основного состояния, конкуренция, фрустрация, полевые характеристики, репличный обменный алгоритм, метод Монте-Карло.

Исследование выполнено в рамках научной программы НЦФМ (проект «Исследования в сильных и сверхсилъных магнитных полях»).

Введение

В последние годы ведутся активные исследования методами теоретической и вычислительной физики различных низкоразмерных магнитных систем. Такие материалы обладают целым рядом интересных свойств, которых нет у других, макроскопических, объектов. Значительный интерес представляет изучение применимости таких систем в качестве компонентов для устройств наноэлектроники.

Чаще всего при компьютерном моделировании используются следующие модели: модель Изинга, XY-модель, классическая модель Гейзенберга, модель Поттса с различным числом состояний q, часовая модель (clock model) и др. Все эти модели являются упрощенными, не учитывают множество свойств реальных систем. Тем не менее, на основе этих моделей с помощью различных теоретических и численных методов получена весьма обширная информация о свойствах реальных систем [1-13].

Все больше внимания исследователей привлекает модель Поттса с различным числом состояний на различных решетках. Интерес к модели Поттса связан с тем, что она описывает множество реальных физических систем: слоистые магнетики, сверхпроводящие материалы, фрустрированные магнитные материалы, адсорбцию криптона

на различных подложках и т. д. Одной из таких моделей является четырехвершинная модель Поттса на гексагональной решетке [9-13]. Она активно исследуется как теоретическими, так и различными численными методами. В данной статье нами приводятся результаты исследования четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке современным высокоэффективным репличным обменным алгоритмом метода Монте-Карло [14; 15]. Метод отличается высокой эффективностью и надежностью, а также позволяет определить структуру основного состояния системы. В статье исследованы температурные и полевые характеристики модели. Изучено влияние температуры и поля на магнитную структуру и различные термодинамические характеристики системы.

Модель

Гамильтониан модели Поттса с числом состояний спина д = 4 на гексагональной решетке с учетом взаимодействий первых и вторых ближайших соседей, а также влияния внешнего магнитного поля может быть представлен в следующем виде:

н = -л X 88 - 32 X ад - ь I я =

(',/},'*] (' к ),г*к (г >

. (1)

= - 3, X ,, - 3 2 X л - ь I ^

(' ] (' ,к ),г*к (г >

где 31 и 32 - параметры обменных ферро- (31 > 0) и антиферромагнитного (3г < 0) взаимодействий соответственно для первых и вторых ближайших соседей, дг], 0г,к — углы между взаимодействующими спинами 8г - 8] и 8г - 8к, к - величина магнитного поля (к приводится в единицах 31). В данной работе нами обменные взаимодействия фиксировались как 31 = 1, 32 = -1, т. е. ферромагнитное взаимодействие ближайших и антиферромагнитное взаимодействие вторых соседей. Величина внешнего магнитного поля менялась в интервале -2.0 < к < 7.0 с шагом 0.1. Магнитное поле направлено вдоль направления спина 81.

Схематическое и цветовое (в электронной версии) представление модели на рисунке 1. Спины, обозначенные кружками одного и того же цвета, имеют одинаковое направление. На вставке даны направления спинов для каждого из 4 значений спина и соответствующее цветовое представление. На рисунке также представлены взаимодействия между первыми и вторыми ближайшими соседями. Как видно на рисунке, у каждого спина есть три ближайших (сплошные жирные линии красного цвета) и шесть следующих ближайших (пунктирные линии синего цвета) соседа.

Направления спинов заданы таким образом, что выполняется равенство: 0, / 8, = Я] с й [ 1, г/ 8г = 8]

[109.47°, г/ 8, ф 8} ^ С°Щ•] {-1/3, г/ 8, Ф 8} (2)

Согласно уравнению (2) для двух спинов 8г и 8] энергия парного обменного взаимодействия Ег,] = - 3\, если 8г = 8]. В случае, когда 8г Ф 8энергия Ег,] = 31/3. Таким образом, энергия парного взаимодействия спинов равна одной величине при их одинаковом направлении и принимает другое значение при несовпадении направлений спинов. Для модели Поттса с числом состояний спина д = 4 в трехмерном пространстве такое возможно только при ориентации спинов, как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Модель Поттса с числом состояний спина q = 4на гексагональной решетке

Методы исследований и результаты

В последние годы разработано много новых алгоритмов метода МК. Одним из наиболее эффективных для исследования подобных систем является репличный обменный алгоритм [14; 15]. Поэтому в ходе работы над данным проектом был использован именно этот алгоритм.

Кратко алгоритм может быть задан следующим образом:

1. Одновременно стандартным методом моделируются N независимых копий системы - реплик с различными температурами Ti, Т2, Tn.

2. После выполнения определенного количества шагов две ближайшие реплики Xi nXi+j производят обмен температурами в соответствии с вероятностью:

fl, for Д<О,

wX ^ XM) = \ (3)

i i+l7 |ехр(-Д), for Д>О,

где А = -(Ui — Ui+1) • (l / Тг — 1 / T+1), Ui и Ui+i - энергии двух соседних реплик.

Главное преимущество этого алгоритма заключается в том, что вероятность обмена априори известна, тогда как для других алгоритмов процедура определения вероятности отнимает много времени. В репличном обменном алгоритме для каждой реплики реализуется случайное блуждание по «температурному интервалу», которое в свою очередь стимулирует случайное блуждание в поле потенциальной энергии. Это облегчает решение проблемы «застревания» системы в многочисленных состояниях с локальной минимальной энергией, которая характерна для спиновых систем с фрустрациями. Для повышения эффективности этого метода необходимо увеличение числа реплик, что требует серьезного роста компьютерных мощностей. Современные компью-

теры обладают достаточной мощностью, что позволяет моделировать необходимое количество реплик и получать результаты с высокой точностью.

Для определения природы и характера ФП использовался гистограммный метод анализа данных. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекался участок длиной 5*104 МК шагов на спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических параметров проводилось вдоль марковской цепи длиной до 5*105 МК шагов на спин. Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями и линейными размерами Ь^Ь=Ы,Ь = 12^60, где Ь - линейный размер решетки, N- количество спинов в системе.

Для наблюдения за температурным ходом поведения намагниченности т, восприимчивости х, теплоемкости С и энтропии 8 нами использовались следующие выражения:

1 Н

т = -V 8, (4)

Х = (NK)((т2) - (т)2) С = (Ж2)((и2) - (и)2 Л

(5)

(6)

8 (Г )=| ^Т , (7)

где К = \3А/ квТ, и^-внутренняяэнергия.

На рисунке 2 приведены температурные зависимости намагниченности т при различных значениях внешнего магнитного поля.

Температурные зависимости полной энергии системы Е, состоящей из внутренней энергии и энергии взаимодействия спинов с внешним магнитным полем, при различных магнитных полях приведены на рисунке 3. Как видно из рисунка, с ростом магнитного поля полная энергия системы уменьшается, что связано с ростом отрицательного вклада взаимодействия спинов с внешним магнитным полем.

Рис. 2. Зависимость намагниченности системы га от температуры Т при различных значениях

внешнего магнитного поля Л

ЕМ

я

/1= 0.0 _

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0 -

4.5

5.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

т

Рис. 3. Зависимость внутренней энергии Е от температуры Т

0.28

0.32

0.36

0.40

0.44

кт

Рис. 4. Зависимость теплоемкости С от температуры Т

С/к

0.8 -

1-1-г

к - 4.0 —■— 5.0 — •— 6.0 -а

7.0 —▼—

тТТТТТТТт

0.6 -

0.4 -

7

7

Л., /

/

ооооооо

••••••

0.2 -

Л

1

7

/

0.0 -

Л/ I /

/■ / V7

\_I_I_¡.

0.0 0.5 1,0 1.5

Рис. 5. Зависимость теплоемкости С от температуры Т

2-Чт>К,|

На рисунках 4 и 5 приведены температурные зависимости теплоемкости при различных значениях внешнего магнитного поля. Отметим особое поведение теплоемкости для некоторых значений магнитных полей (к = 1.5, к = 2.5 и к = 4). Эти поля являются критическими и вызывают перескок намагниченности с одного плато на другое (как это будет далее показано на полевой зависимости намагниченности). При этих полях наблюдается нарушение порядка в системе, вследствие чего их в литературе часто называют фрустрирующими полями (т. е. полями, вызывающими фрустрацию в систе-

ме). Теплоемкость при этом практически не имеет максимума. Также сглаживание максимума теплоемкости вследствие подавления фазового перехода происходит при полях И >4.

Т

Рис. 6. Зависимость энтропии от температуры Т при различных значениях внешнего

магнитного поля И

Температурные зависимости энтропии 5 при различных значениях внешнего магнитного поля для систем с линейными размерами 12, 24 и 48 приведены на рис. 6. В системе без поля энтропия основного состояния стремится к нулю с увеличением линейных размеров. В то время как для полей И=1.5, И=2.5иИ = 4 энтропия остается конечной. Данные значения полей, как мы указали выше, являются фрустрирующими -они вызывают разупорядочение в системе. С повышением температуры энтропия стремится к предельному теоретическому значению /п4 = 1.38629.

На рисунке 7 приведены структуры основного состояния, полученные нами при различных значениях внешнего магнитного поля. Отметим, что основу всех структур составляют димеры.

При отрицательных полях (И < 0), как показано на рисунке 7а, в системе реализуются димерные структуры, состоящие из спинов 82, 8з и 84. Количество димеров трех типов одинаково. Димеры из спинов 81 не образуются, так как они невыгодны энергетически.

В отсутствии внешнего поля (И = 0), как показано на рисунке 7Ъ, в системе образуются димеры всех четырех типов. При этом их количество одинаково.

При магнитных полях в диапазоне 0 < И < 1.5, как показано на рисунке 7с, в системе образуются димеры всех четырех типов. При этом количество димеров, образованных спинами 81 (черные кружки), составляет 1/3 из всех. Остальные димеры образуются спинами 82, 8з и 84 с равной вероятностью.

При магнитных полях в диапазоне 1.5 < И < 2.5, как показано на рисунке 7^, в системе образуются димеры всех четырех типов. При этом количество димеров, обра-

зованных спинами 81 (черные кружки), составляет 1/2 из всех. Остальные димеры образуются спинами 82, 8з и 84 с равной вероятностью.

При магнитных полях в диапазоне 2.5 < к <4, как показано на рисунке 7е, в системе образуются димеры всех четырех типов. При этом количество димеров, образованных спинами 81 (черные кружки), составляет 2/3 из всех. Остальные димеры образуются спинами 82, 8з и 84 с равной вероятностью.

При магнитных полях в диапазоне к >4, как показано на рисунке 7/ в системе образуются только димеры, состоящие из спинов 81 (черные кружки). Наступило полное насыщение.

*

а) к

-1

*

• * * • *

Ь) к = О

« • * •

с) к = 1

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

* * « •

• • •

• • •

• • •

• • •

* • •

• • • •

с1) к = 2

• * * •

• • • •

• * * •

* * * •

• • • •

е) к = 3 /) к = 4.5

Рис. 7. Структура основного состояния чистой системы при различных значениях внешнего

магнитного поля к

На рисунке 8 приведена энергия основного состояния Етт системы в зависимости от значения внешнего магнитного поля Л. Указаны также области реализации магнитных структур на рисунке 7.

Для каждой структуры приведены рассчитанные нами теоретические значения энергии, а также методом Монте-Карло (результаты компьютерного моделирования).

ь

Рис. 8. Энергия основного состояния системы в зависимости от значения внешнего

магнитного поля Л

На рисунке 9 приведена температурно-полевая зависимость намагниченности системы т. На графике отчетливо видны плато, соответствующие тому или иному упорядочению. С повышением температуры флуктуации приводят к постепенному уменьшению намагниченности.

На рисунке 10 приведена температурно-полевая зависимость намагниченности системы т. На графике отчетливо видны плато, соответствующие тому или иному упорядочению. С повышением температуры флуктуации приводят к постепенному уменьшению намагниченности.

т

1.2 1.0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4

— > 1 1 1 '

—■— Т- 0.01 ♦ 0.20 —0.30 —Г— 0.40 —* - п <=;п „

_____иА ™ 1 -

|

— —— — — —д — — ар*"" -

- {а} {1 '} {с} 1 1 {е} 1 {П -

1/9 1/3

19/120

-1/3

-]

2 3 4 5

к

Рис. 9. Зависимость намагниченности системы га от внешнего магнитного поля Л при различных значениях температуры Т

т

1.000

0.8000 0 6000

Рис. 10. Температурно-полевая зависимость намагниченности системы га

Заключение и выводы

В данной статье нами приведены результаты исследования четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке во внешнем магнитном поле с использованием современного высокоэффективного репличного обменного алгоритма метода

Монте-Карло. Получены структуры основного состояния в отсутствии внешнего магнитного поля и при его наличии. Рассчитаны температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров (внутренняя энергия E, теплоемкость С, намагниченность m и энтропия S). Расчет полевых зависимостей системы показал богатый вид ее кривой намагничивания. В зависимости от величин обменных взаимодействий мы можем наблюдать несколько различных плат намагниченности. Проведен анализ каждого плато намагниченности и определены их магнитные структуры.

Литература

1. Landau, D. P. Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Third Edition / D. P. Landau, K. Binder. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009. - 750 p.

2. Boer, A. GPU-based simulation of the long-range Potts model via parallel tempering/A. Boer // Сотр. Phys. Comm. 2014. Vol. 185 (7).-Pp. 1932-1937.

3. Ortiz, G. Dualities and the phase diagram of the p-clock model / G. Ortiz, E. Co-banera, Z. Nussinov //Nucl. Phys. B. 2012. Vol. 854. - P. 780.

4. Surungan, T. Berezinskii-Kosterlitz-Thouless transition on regular and Villain types of q-state clock models / T. Surungan, S. Masuda, Y. Komura, Y. Okabe // Phys. A. 2019. Vol. 52. - P. 275002.

5. Chen, Y. Phase transitions of the five-state clock model on the square lattice / Y. Chen, Z. Y. Xie, J. F. Yu // Chin. Phys. B. 2018. Vol. 27. - P. 080503.

6. Houtappel, R. M. F. Order-disorder in hexagonal lattices / R. M. F. Houtappel // Physica. 1950. Vol. 16.-Pp. 425-455.

7. Wu, F. Y. The Potts model / F. Y. Wu // Rev. Mod. Phys. 1982. Vol. 54. -Pp. 235-268.

8. Chiaki, Y. Three-dimensional antiferromagnetic q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm / Y. Chiaki, O. Yutaka // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. Vol. 34.-P. 8781.

9. Фадеева, M. А. Моделирование четырехкомпонентной модели Поттса на гексагональной решетке методом Ванга-Ландау с контролируемой точностью / М. А. Фадеева, Л. Н. Щур // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2022. Т. 162, № 6 (12). - С. 909-916.

10. Рамазанов, М. К. Фазовые переходы и магнитные свойства модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке в слабых магнитных полях / М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов, М. К. Мазагаева // Письма в ЖЭТФ. 2021. Т. 114, вып. 11.-С. 762-767.

11. Ramazanov, М. К. Phase transitions in the frustrated Potts model in the magnetic field / M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, M. A. Magomedov // Physica E: Low-dimensional Systems andNanostructures. 2022. Vol. 140.-Pp. 115226-1115226-6.

12. Рамазанов, M. К. Исследование влияния слабых магнитных полей на фазовые переходы четырехкомпонентной антиферромагнитной модели Поттса / М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов, М. К. Мазагаева // Физика твердого тела. 2023. Т. 65, вып. 12. - С. 2281-2285.

13. Ramazanov, М. К. Phase diagram of the Potts model with the number of spin states q = 4 on a Kagome lattice / M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, M. A. Magomedov, T. R. Rizvanova, A. A. Murtazaeva // Low Temperature Physics. 2021. Vol. 47, no. 5. -Pp. 396-400.

14. Morten, Hagen. Serial Replica Exchange / Hagen Morten, Kim Byungchan, Liu Pu, etal. //J. Phys. Chem. B. 2007. Vol. lll.-Pp. 1416-1423.

15. Sugita, Y. Replica-exchange multicanonical algorithm and multicanonical replica-exchange method for simulating systems with rough energy landscape / Y. Sugita, Y. Okamo-to // Chem. Phys. Lett. 2000. Vol. 329, Issues 3-4. - Pp. 261-270.

Поступила в редакцию 24 июля 2024 г.

Принята 2 августа 2024 г.

UDC 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321-2024-39-3-17-28

The Thermodynamic Characteristics of the Four-State Potts Model on the Hexagonal

Lattice in a Magnetic Field

M. A. Magomedov1'2, A. K. Murtazaev1'2, Ya. K. Abuev1

1 Institute of Physics DFRC RAS; Russia, 367015, Makhachkala, M. Yaragsky st., 94;

2 Dagestan State University; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; [email protected]

Abstract. A highly efficient replica exchange Monte Carlo algorithm was used to study the four-state Potts model on a hexagonal lattice. The magnetic ground state structures of the system were obtained as a function of the external magnetic field. It was shown that the ground state of the system is dimerized, and the application of a magnetic field leads to an increase in dimers aligned with the field. The temperature dependencies of various thermodynamic parameters, such as internal energy E, heat capacity C, entropy S, and others, were calculated. It was demonstrated that the entropy for this model approaches zero at temperatures near absolute zero for most values of the magnetic field, except for three specific field values (h= 1.5, h = 2.5, and h = 4), where a jump between different structures occurs. Thisjump in zero-temperature entropy at h = 1.5,A = 2.5, and h = 4 is associated with the frustrating influence of the magnetic field on the system. As the temperature increases, the entropy approaches the theoretical value of SIN = ln4 = 1.38629.

Keywords: Four-state Potts model, ground state structure, competition, frustration, field characteristics, replica exchange algorithm, Monte Carlo method.

The reported study was carried out as part of the Scientific Program of the NCFM (the project "Research in strong and superstrong magnetic fields").

Received 24 July, 2024 Accepted 2 August, 2024