CC BY
1УДК 537.9
DOI: 10.21779/2542-0321-2024-39-2-15-25
М. А. Магомедов1'2, А. К. Муртазаев1'2, С. Ш. Гасанов1
Влияние внешнего магнитного поля на структуры основного состояния модели Изинга со смешанным спином на квадратной решетке
1 Институт физики ДФИЦ РАН; Россия, 367015, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94;
2 Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; [email protected]
Аннотация. Высокоэффективным репличным обменным алгоритмом метода Монте-Карло исследована модель Изинга со смешанным спином = (1/2, 1) на квадратной решетке. Рассчитаны температурные и полевые зависимости основных термодинамических параметров. Получены структуры основного состояния и построены фазовые диаграммы. Установлено, что при отсутствии магнитного поля система может находиться в четырех различных фазах ЛЕ, Б-ЛЕ, 01 и 011. Рассчитана энергия основного состояния и определены структуры основного состояния для каждой из фаз. Показано, что в фазе ЛЕ спины в подрешетках Л и Б ориентированы противоположно, реализуется ферримагнитное упорядочение. В фазе Б-ЛЕ спины в подрешетке Б разбиваются на две субподрешетки, ориентированных противоположно, а спины в подрешетке Л принимают случайные значения. В фазе 01 спины в подрешетке Л направлены вверх, а половина спинов в подрешетке Б принимают нулевые значения, а другая половина ориентирована против спинов в подрешетке Л. В фазе 011 спины в подрешетке Б принимают случайные значения, а все спины в подрешетке Б принимают нулевые значения. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на структуру основного состояния и термодинамические параметры системы.
Ключевые слова: модель Изинга со смешанным спином, структура основного состояния, фазовая диаграмма, конкуренция, фрустрация, полевые характеристики, репличный обменный алгоритм, метод Монте-Карло.
Исследование выполнено в рамках научной программы НЦФМ (проект «Исследования в сильных и сверхсильных магнитных полях»).
Введение
В последние годы ведутся активные исследования низкоразмерных спиновых систем методами вычислительной физики. Интерес к таким системам обусловлен как фундаментальным аспектом, так и перспективой их применения в современных устройствах микроэлектроники. Одной из простейших и активно изучаемых моделей в физике является модель Изинга [1-25]. Несмотря на относительную простоту, модель Изинга аналитически решена только для одномерного и двумерного случаев. Трехмерная модель Изинга, а также низкоразмерные более сложные варианты, в которых учитываются разные конкурирующие обменные взаимодействия, анизотропия, магнитное поле, различная величина спинов в узлах решетки и т. д., до сих пор не имеют точного решения. Сложных для решения, но чрезвычайно интересной как для фундаментальной науки, так и для прикладных исследований является модель Изинга со смешанным спином [3-19]. Если в классической модели Изинга все спины в узлах решетки могут принимать одно из двух значений (в основном обозначаемых как +1 и -1), то в модели
со смешанным спином система разбивается на два и более подрешеток, в каждой из которых спин может принимать разные по величине значения. Чаще всего исследуют и более высокий научный интерес представляют смеси целых и полуцелых спинов, например, такие комбинации, как £ = (1/2, 1), £ = (3/2, 2) и т. д. [3-19]. Такие системы подходят для описания ряда низкоразмерных бинарных магнитных систем. Примером такого материала может служить ферримагнетик {[Р(Р^4] [МпСг(ох)3]} - квазидвумерный ферромагнетик (антиферромагнетик с некомпенсированными магнитными моментами подрешеток). Так как данные системы не поддаются аналитическому решению, чаще всего для их исследования применяют различные численные методы: классический и квантовый методы Монте-Карло. В статье приводятся результаты компьютерного моделирования репличным обменным алгоритмом классического метода Монте-Карло модели Изинга со смешанным спином £ = (1/2, 1) на квадратной решетке.
н = - 3! - 3 2
2 ££ + В 2 £ 2
Модель
Модель Изинга со смешанным спином £ = (1/2, 1) может быть задана следующим гамильтонианом [3-19]:
1
_ О =± - £, = 0, ± 1, (1)
(', ]) (', ] >е в уе в 2
где первая сумма учитывает обменное взаимодействие между спинами в подрешетке А и подрешетке В, вторая сумма - обмен только между спинами в подрешетке В, третья -одноионную анизотропию спинов в подрешетке в.
Решетка со спинами в узлах, условные обозначения различных состояний спинов и обменные взаимодействия между спинами приведены на рисунке 1. У данной модели достаточно богатая картина фаз, в которых система оказывается в зависимости от соотношений параметров 31, 32 и В. Здесь нами приводятся результаты моделирования для случая фиксированного значения 31 = -1 и вариаций 32 и В.
Рис. 1. Модель Изинга со смешанным спином
Фазовая диаграмма, полученная аналитически для данной модели в случае 31 = -1, приведена на рисунке 2.
-0.5
Рис. 2. Фазовая диаграмма модели Изинга со смешанным спином
В данной модели могут реализоваться четыре различные фазы, обозначенные на фазовой диаграмме как ЛЕ, Б-ЛЕ, 01 и 011.
Каждая из фаз обладает своей уникальной структурой основного состояния, примеры которых приведены на рисунке 3. В фазе ЛЕ спины в подрешетках Л и Б ориентированы противоположно, реализуется ферримагнитное упорядочение. В фазе Б-ЛЕ спины в подрешетке Б разбиваются на две субподрешетки, ориентированных противоположно, а спины в подрешетке Л принимают хаотичные значения.
№
ф Ф ф * ф Ф ф ♦ ф « ф * ф Ф ф Ф ф * ф Ф
• Ф • Ф ® Ф ® Ф * Ф * Ф ® Ф ® Ф * Ф ® Ф
ф ® ф • ф • ф * Ф * ф ® ф ® Ф • Ф Ф ф ®
• ф ® ф ® ф ® ф ® ф ® «> ® ф ® Ф • Ф • ф
ф ® ф • ф Ф ф ♦ ф ♦ ф Ф ф Ф Ф Ф ф Ф ф Ф
® Ф ® Ф ® Ф ® Ф ® Ф • Ф * ф ® ф ♦ Ф ® Ф
Ф ® Ф • Ф ® Ф ® Ф ® ф ® ф * ф ® ф ® ф ®
® ф * ф ® ф ® ф ® ф * ф ♦ Ф ® Ф ® Ф ® Ф
Ф ® Ф ® Ф ® Ф. ♦ Ф ♦ ф Ф ф ® Ф ® Ф ® ф ®
Ф ф ® ф Ф Ф ® ф ® ф ® ф Ф ф Ф ф Ф ф ♦ Ф
01
он
ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф о ♦ О ф О * О ф О ф
Ф О ♦ О ® О ♦ О ф о ф ф ф ф ф ф ф ф ф
о ♦ О ♦ О ф О ф о О ф О • О ® О ф о ®
Фо ф О фО♦О♦О ф О ® 0*0*0ф о
ф ф ф ф ф ф ф ф ф
О ® О ф 0*0*0ф
Ф О ® О ф О ♦ О ♦ О ф О ф О ♦ О ф о * о ф Ф Ф Ф Ф ♦ Ф Ф Ф ♦ о * О ф О * О ф О ф Ф О ® О ф О * О ф О ф О * О ф О ф о * о
О ф О ф О ф о ф О ф Ф О ф О ф О ф О ф О ф О ф О ф О ф О ф о
ффффффффф
Рис. 3. Магнитные структуры основного состояния
В фазе 01 спины в подрешетке Л направлены вверх, а в подрешетке Б одна половина спинов принимает нулевые значения, а другая половина ориентирована против спинов в подрешетке Л.
В фазе 0II спины в подрешетке B принимают хаотичные значения, а все спины в подрешетке B - нулевые значения.
Методы исследований и результаты
Исследования температурных и полевых характеристик модели Изинга со смешанным спином S = (1/2, 1) проводились методом Монте-Карло. В статье применен один из самых эффективных алгоритмов данного метода - репличный обменный алгоритм.
Кратко алгоритм может быть задан следующим образом:
1) Одновременно стандартным методом моделируются N независимых копий системы реплик с различными температурами: Ti, T2, ..., Tn.
2) После выполнения определенного количества шагов две ближайшие реплики Xi и Xi+1 производят обмен температурами в соответствии с вероятностью:
f1, for A < 0,
w(X ^ XM) = \ (2)
V i i+1' [exp(—A), for A> 0, ' K }
где A = —(( - Ui+1) • (1/ Ti — 1/ T+1), Ui и Ui+1 - энергии двух соседних реплик.
В репличном обменном алгоритме каждая реплика совершает случайное блуждание в энергетическом пространстве. Обмен репликами позволяет решить проблему «застревания» системы в многочисленных состояниях с локальной минимальной энергией, которая характерна для спиновых систем с фрустрациями. Обмен репликами производится обычно для ближайших по температуре пар реплик, так как с увеличением разности температур между ними вероятность обмена реплик согласно формуле (2) уменьшается экспоненциально.
Эффективность алгоритма повышается с уменьшением температурного интервала между репликами и с ростом общей ширины температурного интервала. Число одновременно моделируемых реплик в нашем случае составляло 250. Так же, как и стандартный алгоритм метода Монте-Карло, репличный обменный алгоритм позволяет рассчитать значения интересующих нас термодинамических величин (например, энергии E, теплоемкости С, намагниченности m и т. д.) для каждой отдельной температуры (нужно помнить, что сами реплики могут менять температуру, следовательно, флукту-ационные соотношения следует применять для фиксированной температуры!) используя стандартные флуктуационные соотношения:
E = ( И^, (3)
С = (NK 2)(u 2) — <U>2 ) (4)
1 N
= N ^ . (5)
I N
m
м . 1
где K = Щ/ kBT, U - внутренняя энергия.
Температурная зависимость внутренней энергии для различных соотношений обменных параметров и анизотропии, отмеченных на рис. 2, каждая из которых соответствует одной из фаз, приведена на рис. 4.
Рис. 4. Температурная зависимость внутренней энергии системы Е
Температурная зависимость теплоемкости для соотношений обменных параметров из каждой фазы приведена на рисунке 5. Как видно, в первых трех случаях наблюдается ярко выраженный максимум теплоемкости. В четвертом варианте отмечается пологий максимум, в этом случае в системе не происходит фазового перехода.
Рис. 5. Температурная зависимость теплоемкости системы С
Далее мы приводим результаты исследований модели Изинга со смешанным спином во внешнем магнитном поле. Для расчета полевых характеристик нами использовался репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло. Количество реплик варьировалось и в среднем составляло 300. Отметим, что данного количества вполне хватало для охвата всего температурного диапазона как низкотемпературной области, так и высокотемпературного региона с большим запасом по величине. Мы расматриваем данные для случая Л1 = -1 Л2 = -1 ПА = 3, то есть фазу 011. Аналогичные исследования были обозначены и для других случаев.
На рисунке 6 приведена полевая зависимость намагниченности системы при различных температурах. Из графика можно сделать следующие выводы. В отсутствие внешнего магнитного поля система имеет нулевую намагниченность. Однако добавле-
ние малейшего поля приводит к скачкообразному появлению магнитного момента у системы. При введении поля нарушается симметрия системы и выгодней становится структура с ненулевым магнитным моментом т = 0.25. При достижении магнитным полем значения к = 5 система переходит на следующую ступень с магнитным моментом т = 0.5, а при достижении полем значения к = 9 система снова скачком переходит в состояние с магнитным моментом т = 0.75, которое является максимальным для данной системы. С повышением температуры скачки сглаживаются.
100
т
0.75
0 50
0.25
0.00
0 75
0.25
Рис. 6. Полевая зависимость намагниченности т
На рисунке 7 представлена полевая зависимость полной энергии системы (энергии обменного взаимодействия спинов и Зеемановского вклада, обусловленного влиянием внешнего магнитного поля на спины). На вставке указаны метки Монте-Карло данных и функции аппроксимации полевых зависимостей на разных участках. Первая сумма в функции указывает на вклад обменного взаимодействия между спинами, а вторая - на полевой вклад. Множитель перед к соответствует значению намагниченности системы на каждом плато.
Магнитные структуры основного состояния, полученные при различных значениях магнитного поля при самой низкой из рассчитанных нами температур (Т = 0.01), приведены ниже на рисунке 8. Как видно из рисунка, при нулевом внешнем магнитном поле в системе устанавливается структура, приведенная на первом рисунке. В этом случае спины в подрешетке А (которые могут принимать три значения: -1, 0, +1) принимают все значения, равные 0. Это связано с большим значением анизотропии ПЛ = -3, которое способствует принятию спинами величины 0. Спины во второй подрешетке могут принимать хаотичные значения -1/2 или +1/2, т. к. энергия обменного взаимодействия определяемая как скалярное произведение двух спинов, в любом случае будет равна нулю. Отметим, что такая картина наблюдается при J3 = 0, т. е. при отсутствии обмена между спинами в подрешетке В. Основное состояние, таким образом, является достаточно сильно вырожденным. Намагниченность системы в данном случае равняется нулю.
4
5
9
Е/Л/
-4
-2
2
О
-д '_._I_._' I_| _' _I_._
О 2 4 6 8 10 12
л
Рис. 7. Полевая зависимость энергии системы Е
Введение любого сколь угодно малого значения магнитного поля приводит к снятию вырождения и появлению упорядоченной конфигурации, в которой спины в подрешетке А по прежнему принимают нулевые значения, а все спины в подрешетке В поворачиваются вдоль магнитного поля, принимая значение, равное +1/2. Намагниченность системы скачком становится равной 0.25 и находится на этом плато достаточно долгое время. Такая конфигурация сохраняется до значения поля к = 5, при котором половина спинов в подрешетке А также ориентируются вдоль поля, принимая значения, равные +1. Намагниченность системы скачком становится равной 0.5 и находится на этом плато до следующего скачка, которое произойдет далее. При дальнейшем росте поля и достижении значения к = 9 все оставшиеся спины в подрешетке А также ориентируются вдоль поля, и мы получаем структуру, в которой все спины ориентированы вдоль поля. Намагниченность системы скачком становится равной 0.75, что соответствует намагниченности насыщения, т. е. это максимальное значение магнитного момента, которое может принимать система.
Отметим еще одну интересную деталь. Магнитное поле, если размышлять логически, всегда старается упорядочить систему, но иногда может играть дестабилизирующую роль. Это обычно происходит на границе двух плато. В момент перескока между двумя ступеньками плато намагниченности возникает ситуация, когда энергия двух ступенек становится равной и конкуренция между ними приводит к возникновению фрустрации. Такое поле обычно называют «фрустрирующим». В нашем случае это магнитные поля к = 5 и к = 9. При к = 5 возникает конкуренция между структурами с намагниченностью т = 0.25 и т = 0.5. В результате появляется новая неупорядоченная структура, имеющая магнитный момент с промежуточным значением примерно т = 0.375. При к = 9 возникает конкуренция между структурами с намагниченностью т = 0.5 и т = 0.75. В итоге появляется новая неупорядоченная структура, имеющая магнитный момент с промежуточным значением примерно т = 0.625. Сами магнитные структуры, при этом являются сильно вырожденными, и система находится в неупорядоченном фрустрированном состоянии.
Е/Л/ = 0.0 И = 0.0 0*0*0*0*0*
* о * о * о * о * о
О * О * О * О * О ♦
* о ♦ о ♦ о * о * о 0*0*0*0*0*
* о ♦ о ♦ о ♦ о ♦ о о * о * о * о * о *
* о * о * о ♦ о * о 0*0*0*0*0*
* о * о * о * о * о
Ш = -0.250 Л = 1.0 0*0*0*0*0*
* о * о * о * о * о 0*0*0*0*0 * +0+0+0*0*0 о * о * о * о * о *
* о * о * о * о * о о * о * о * о * о *
* о * о * о * о • о о * о * о * о * о *
* о * о * о * о * о
Е/Л/=-1.250 /7 = 5.0
Ф * Ф * о * Ф * о *
* о * о * о * о * о ф • о * о + о * Ф *
* о * Ф * о * О * С) О * О * О * Ф * Ф *
* о * Ф * о * о * о Ф * О * о * Ф * о *
* о * Ф * о * с * о Ф + О * О * Ф * ф * *0*0*0*0*0
Е/Л/ - -3.250 /7 = 9.0 ф*'ф*ф*ф*ф*
* о * о * о * о * о
Ф+О+Ф+Ф+Ф*
*Ф *Ф*о *ф*ф ф * ф * ф * ф * ф *
* о * О * О *0 *Ф
ф * ф * ф * ф * ф *
* о * о + ф + о * о ф * ф * ф * ф * ф *
+ Ф + о + ф * о + ф
Е/Л/= -0.025 /7 = 0.1 0*0*0*0*0* *0*0*0*0*0 о * о * о * о * о *
* о * о * о * о * С) 0*0*0*0*0 *
* о * о * о * о * о о * о * о*о + о*
* о * о * о ♦ о * о 0*0*0*0*0*
* о * о * о * о * о
Е/Л/ = -0.500 Ь = 2.0 0*0*0*0*0*' ♦0*0*0*0*0 0*0*0+0*0* ® О ® О ® О ® О ® О о * о * о + о + о *
* о * о * о * о * о о * о * о * о * о *
* о * о * о * о • о 0*0*0*0*0 * ® о * о * о * о * о
ЕУЛ/ = -1.750 /7 = 6.0 ф+ф+ф*ф*ф+
* о * о * о + о * о ф*ф + ф + ф* ф +
* о * о * о * о * о ф + ф + ф * ф * ф *
+0+0*0*0*0 ф + ф + ф * ф + ф*
* о * о * о * о * о
ф + ф * ф * ф * ф *
* о * о * о * о * о
Е1 А/= -0.125 /7 = 0.5 0*0*0*0+0+ ♦0*0*0*0*0 о + о * о * о * о *
♦ о ♦ о * о • о ♦ о 0*0*0*0+0*
♦ о * о * о * о * о 0*0*0+0+0*
♦ о * о * о * о ♦ о 0*0*0*0+0+
♦ о * о * о * о * о
Е/Л/ - -0.750 /7 = 3.0 0*0*0*0*0*
♦ О * О * О * 0 * о 0*0*0*0+0* + 0*0*0*0 * о 0*0*0*0+0*
♦ о * о * о + о ® о 0+0*0*0*0*
♦ о * о * о * о * о 0+0*0*0+0+
♦ о * о * о • о • о
Е/Л/=-2.750 /7 = 8.0
0+0*0+0*0+
♦ ф * ф * ф + ф * ф
0*0*0*0*0+ * ф* ф + ф+ ф* ф
0*0*0*0*0+ * ф * ф * ф + ф + ф
0*0+0+0*0+
♦ Ф * Ф Ф + Ф +: Ф
о * о * о * о * о *
♦ ф + ф + ф + ф + ф
Е/Л/ = -4.000 /7= 10.0 ф+ф *ф+ф*ф*
+ ф + ф' * ф + ф * ф ф *ф*ф*ф + ф + * ф * ф ♦ ф * ф * ф ф * ф * ф * ф + ф *
+ ф + Ф + ф + ф*ф
ф * ф * ф * ф * ф *
*ф *ф* ф* ф* ф ф * ф* ф + ф + ф* * ф + ф * ф * ф + ф
Е/Л/= -5.500 /7 = 12.0 ф + ф + ф * ф * ф +
* ф* ф* ф+ ф+ ф ф + ф* ф® ф + ф* ♦ ф * ф + ф + ф * ф ф* ф* ф* ф* ф + *ф*ф*ф*ф+ф ф* ф* ф* ф* ф* + ф+ ф+ ф+ ф+ ф ф+ ф+ ф+ ф* ф + * ф * ф * ф * ф * ф
Рис. 8. Магнитные структуры основного состояния при различных значениях магнитного поля
к (при Т = 0.01)
Температурные зависимости термодинамических параметров в отсутствии магнитного поля и при его присутствии тоже различаются. Так, при наличии внешнего поля на температурной зависимости теплоемкости появляется дополнительный пик, связанный с температурой разрешения установленного упорядоченного состояния. Рост магнитного поля приводит к тому, что со временем данный максимум становится превалирующим в системе и поглощает второй слабый максимум. Таким образом, внешнее магнитное поле оказывает сильное влияние на структуру основного состояния системы
и температурные характеристики. Поле играет решающую роль в устанавливающихся физических свойствах системы.
Заключение и выводы
Нами проведено исследование модели Изинга со смешанным спином на квадратной решетке в магнитном поле с использованием современного, высокоэффективного репличного обменного алгоритма метода Монте-Карло. Построена фазовая диаграмма системы и получены структуры основного состояния в отсутствии внешнего магнитного поля и при его наличии. Рассчитаны температурные и полевые зависимости различных термодинамических параметров, таких как внутренняя энергия E, теплоемкость C и намагниченность т. Расчет полевых зависимостей системы показал богатый вид кривой намагничивания системы. В зависимости от величин обменных взаимодействий мы можем наблюдать несколько различных плато намагниченности.
Литература
1. Schultz, T. D. Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermions / T. D. Schultz, D. C. Mattis, E. H. Lieb // Rev. Mod. Phys. 1964. Vol. 36. - Рр. 856871.
2. Azaria, P. An exactly solvable two-dimensional Ising model with magnetic field / P. Azaria, H. Giacomini // J. Phys. A: Math Gen. 1988. Vol. 21. - Рр. 935-940.
3. Buendia, G. M. Numerical study of a mixed Ising ferrimagnetic system / G. M. Buendia, M. A. Novotny // J. Phys.: Condens. Matter. 1997. Vol. 9. - P. 5951.
4. Godoy, M. Critical behavior of the mixed-spin Ising model with two competing dynamics / M. Godoy, W. Figueiredo // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. - P. 026111.
5. Oitmaa, J. A series study of a mixed-spin S = (1/2, 1) ferrimagnetic Ising model / J. Oitmaa, I. G. Enting // J. Phys. Condens. Matter. 2006. Vol. 18. - Pр. 10931-10942.
6. Selke W., Oitmaa J. Monte Carlo study of mixed-spin S = (1/2, 1) Ising ferrimag-nets // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. Vol. 22. - P. 076004.
7. Selke, W. Mixed Ising ferrimagnets with next-nearest-neighbour couplings on square lattices / W. Selke, C. Ekiz // J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. - P. 496002.
8. Da Cruz Filho, J. S. Phase diagram of the mixed spin-2 and spin-5/2 Ising system with two different single-ion anisotropies / J. S. Da Cruz Filho, M. Godoy, A. S. De Arruda // Physica A. 2013. Vol. 392. - Pр. 6247-6254.
9. De la Espriella, N., Buendia G.M. and Madera J.C. Mixed spin-1 and spin-2 Ising model: study of the ground states / N. de la Espriella, G. M. Buendia, J. C. Madera // J. Phys. Commun. 2018. Vol. 2. - P. 025006.
10. Karimou, M. Critical behaviors and phase diagrams of the mixed spin-1 and spin-7/2 Blume-Capel (BC) Ising model on the Bethe lattice (BL) / M. Karimou, R. Yessoufou, F. Hontinfinde // Int. J. Mod. Phys. B. 2015. Vol. 29, по. 28. - P. 1550194.
11. Albayrak E. Triple mixed-spin Ising model // Int. J. Mod. Phys. B. 2020. Vol. 34, по. 13. - P. 2050129.
12. Aycan, Ozkan. A simulation of the mixed spin 3 - spin 3/2 ferrimagnetic Ising model / Ozkan Aycan // Phase Transitions. 2016. Vol. 89. - Pр. 94-105.
13. Stre'cka, Jozef. Strong- and weak-universal critical behaviour of a mixed-spin Ising model with triplet interactions on the union jack (centered square) lattice / Jozef Stre~cka // Entropy. 2018. Vol. 20 (2). - P. 91.
14. Akimenko, S. S. Mixed spin-1/2 and spin-1 Ising model on a bilayer hierarchical lattice / S. S. Akimenko, A. V. Myshlyavtsev, M. D. Myshlyavtseva // JMMM. 2021. Vol. 530. - P. 167929.
15. Akin, H. Calculation of thermodynamic quantities of 1D Ising model with mixed Spin-(s, (2t - 1)/2) by means of transfer matrix / H. Akin // Axioms. 2023. Vol. 12 (9). -P. 880.
16. Ying, An. An analysis of magnetic and hysteresis characteristics of a mixed spin Ising-type borophene monolayer / An Ying, Shi-qi et al. // Micro- and Nanostructures. 2023. Vol. 183. - P. 207672.
17. Mouhrach, T. Magnetic properties and hysteresis behavior of a mixed spin-3/2 and spin-3 Ising ferrimagnetic system in a graphene monolayer / T. Mouhrach, K. E. Kihel et al. // JMMM. 2023. Vol. 580. - P. 170932.
18. Wang, X.-J. Magnetic behaviour of a mixed-spin Ising model on a two-dimensional square-octagon lattice in a dynamic magnetic field / X.-J. Wang, W. Jiang // Physica Scripta. 2024. Vol. 99, по. 5. - P. 055902.
19. Akin, H. The extremality of disordered phases for the mixed spin-(1,1/2) Ising model on a Cayley tree of arbitrary order / H. Akin, F. Mukhamedov // J. Stat. Mech. Theory and Exp. 2024. Vol. 2024. - P. 013207.
20. Магомедов, М. А. Исследование температурных и полевых характеристик одномерной модели Изинга с конкурирующими обменными взаимодействиями / М. А. Магомедов, А. А. Муртазаева, А. К. Муртазаев, Л. К. Магомедова, Л. Р. Хибиева // Вестник ДГУ. Серия 1: Естественные науки. 2023. Т. 38, вып. 1. - C. 16-25.
21. Муртазаев, К. Ш. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга с конкурирующими обменными взаимодействиями в магнитном поле / К. Ш. Муртаза-ев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов // Известия РАН. Серия Физическая. 2022. Т. 86, № 2. - С. 182-186.
22. Рамазанов, М. К. Исследование влияния слабых магнитных полей на фазовые переходы четырехкомпонентной антиферромагнитной модели Поттса / М. К. Рама-занов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов, М. К. Мазагаева // Физика твердого тела. 2023. Т. 65, вып. 12. - С. 2281-2285.
23. Murtazaev, K. Sh. Phase diagram of the antiferromagnetic Ising model on a body-centered cubic lattice with competing exchange interactions under a magnetic field / K. Sh. Murtazaev, M. A. Magomedov, A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2023. Vol. 148. - Pр. 1156461-1156266.
24. Morten, Hagen. Serial Replica Exchange / Hagen Morten, Kim Byungchan, Liu Pu et al. // J. Phys. Chem. B. 2007. Vol. 111. - Pр. 1416-1423.
25. Sugita, Y. Replica-exchange multicanonical algorithm and multicanonical replica-exchange method for simulating systems with rough energy landscape / Y. Sugita, Y. Okamo-to // Chem. Phys. Lett. 2000. Vol. 329, Issues 3-4. - Pр. 261-270.
26. Бадиев, М. К. Структуры основного состояния модели Изинга на слоистой треугольной решетке в магнитном поле / М. К. Бадиев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамаза-нов, М. А. Магомедов // ЖЭТФ. 2022. Т. 161, вып. 5. - С. 753-759.
27. Муртазаев, А. К. Влияние магнитного поля на фазовые переходы в модели Гейзенберга на треугольной решетке / А. К. Муртазаев, М. К. Бадиев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов // Физика твердого тела. 2021. Т. 63, вып. 8. - С. 1141-1145.
Поступила в редакцию 4 июня 2024 г.
Принята 14 июня 2024 г.
