Плотность состояний и структура основного состояния модели Изинга на треугольной решетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321 -2024-39-3 -36-50

М. А. Магомедов1'2, А. К. Муртазаев1'2, Л. К. Магомедова1'2, А. Х. Гюльмагомедов2

Плотность состояний и структура основного состояния модели Изинга

на треугольной решетке

1 Институт физики ДФИЦРАН; Россия, 367015, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94;

2 Дагестанский государственный университет, Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; [email protected]

Аннотация. Алгоритмом Ванга-Ландау метода Монте-Карло исследована модель Изинга на треугольной решетке с ферромагнитным обменным взаимодействием между ближайшими спинами и антиферромагнитным обменным взаимодействием между вторыми соседями. Получены структуры основного состояния. Показано, что основное состояние системы может быть ферромагнитным, страйповым двухполосным или вырожденным. Вычислены плотности g(E) состояний и температурные зависимости внутренней энергии E, свободной энергии F, теплоемкости C, энтропии S и т. д. Показано, что энтропия для данной модели при температурах, близких к абсолютному нулю, принимает нулевые значения, кроме случая J2 = -0.5, в которой происходит смена одного типа упорядочения на другой. Показано, что конкуренция между ферромагнитным и страйповым двухполосным приводит к вырождению основного состояния и к ненулевой остаточной энтропии. С повышением температуры энтропия стремится к теоретическому значению S/N = ln2«0.693. Построена фазовая диаграмма модели.

Ключевые слова: модель Изинга, конкуренция, фрустрация, плотность состояний, структура основного состояния, алгоритм Ванга-Ландау, метод Монте-Карло.

Исследование выполнено в рамках научной программы НЦФМ (проект «Исследования в сильных и сверхсильных магнитных полях»).

Введение

Модель Изинга является одной из самых известных моделей в статистической физике. Несмотря на свою простоту, модель Изинга точно решена только в одномерном и двумерном случаях. Для трехмерной модели Изинга точного решения до сих пор не найдено. Модель Изинга стала важным инструментом в статистической физике и за ее пределами, служа основой для изучения критических явлений и сложных систем в различных научных областях. В настоящее время модель Изинга широко применяется для описания фазовых переходов в магнитных системах, спиновых стекол и фрустрирован-ных систем, сложных систем, включая биологические, социологические и экономические модели [1; 2].

Модель Изинга исследована на множестве различных решеток. Одним из интересных вариантов является модель Изинга на треугольной решетке. В ферромагнитной модели Изинга на треугольной решетке происходит фазовый переход второго рода. Критическая температура выше, чем на квадратной решетке, из-за большего количества ближайших соседей. Фазовый переход описывается универсальными характеристиками (критические показатели, принадлежащие к классу универсальности 2d-Изинга).

Антиферромагнитная модель на треугольной решетке демонстрирует фрустрацию, поскольку в геометрии треугольника не удается удовлетворить всем взаимодействиям. Это приводит к выраженной дегенерации основного состояния и возникновению сложных паттернов спинов, таких, как состояние спиновой жидкости.

Модель Изинга на треугольной решетке хорошо описывает ряд низкоразмерных материалов:

- NiGa2S4: антиферромагнетик с сильной фрустрацией, где магнитные ионы образуют треугольные слои [3].

- CsNiClз и CsCoClз: слоистые гексагональные антиферромагнетики, в которых плоскости спинов образуют треугольную решетку [4; 5].

В некоторых материалах треугольная решетка приводит к образованию спиновой жидкости - состояния с высокой степенью квантовой запутанности. Одним из первых материалов, в котором обнаружили квантовую спиновую жидкость, является гер-бертсмитит ^пСиз(ОН)бСЬ). Это природный материал, в котором медные ионы образуют треугольную решетку [6].

Магнитные системы с орбитальными степенями свободы, такие, как LiNiO2 и №№02, в которых взаимодействие спинов связано с кристаллографической симметрией, также описываются моделью Изинга. В этих материалах из-за треугольных слоев никеля возникает конкуренция между антиферромагнитным упорядочением и фрустрацией [7].

Еще один интересный пример - BaзCoSb209: кобальтовый антиферромагнетик с треугольными слоями, где спины демонстрируют квантовую фрустрацию [8].

Нами в данной работе приводятся результаты исследования модели Изинга на треугольной решетке с учетом ферромагнитного обменного взаимодействия между ближайшими и антиферромагнитного между следующими ближайшими соседями алгоритмом Ванга-Ландау метода Монте-Карло [9-11].

Модель и метод исследований

Гамильтониан модели Изинга на треугольной решетке может быть записан в следующем виде:

Н = X 8,8, - Л X 8,8к 8, =±1

О/ (а) '

(1)

где первая сумма учитывает обмен между ближайшими соседями, а вторая - между следующими за ближайшими соседями.

Схематическое представление модели дано на рисунке 1. Показано обменное взаимодействие Jl между шестью ближайшими спинами и J2 между шестью вторыми соседями.

В данной работе нами применён энтропийный метод Монте-Карло, реализованный по алгоритму Ванга-Ландау. Уникальной особенностью этого подхода является возможность определять плотность состояний системы. Зная плотность состояний, можно вычислить температурные и полевые зависимости любых интересующих термодинамических величин (свободная энергия, теплоёмкость, магнитная восприимчивость и др.).

Рис. 1. Модель Изинга на треугольной решетке

Алгоритм Ванга-Ландау позволяет эффективно исследовать системы с большим числом состояний, избегая проблем, связанных с долгоживущими метастабильными состояниями или трудностями в достижении равновесия. Он адаптивно корректирует весовые коэффициенты, что существенно ускоряет сходимость и обеспечивает равномерное покрытие конфигурационного пространства. Подробное описание алгоритма Ванга-Ландау, его реализации, а также особенностей применения для различных моделей можно найти в работах [9-11].

Температурные зависимости основных термодинамических параметров, включая такие, как внутренняя энергия Е, теплоемкость С, свободная энергия Г и энтропия 5, определяются с использованием следующих формул, представленных в работах [9-11]:

Е (Т) =

Е Е^ ( Е )е

I g ( Е )е

-Е / квТ

(2)

Е

С (Т ) =

Е2\- (Е)2

квТ2

(3)

^ (Т )=-квТ 1п g (Е

ЕквТ

Е

$ (Т)

_ Е(Т)- ^(Т)

Т

(4)

(5)

Е / квТ

Результаты исследований

В данной работе представлены результаты моделирования систем с линейными размерами L = 12,24 и 36. Соответствующее число спинов в системе составляет N = L2 = 144, 576 и 1296. Для моделирования использовались периодические граничные условия по всем направлениям. Обменное взаимодействие между ближайшими соседними спинами фиксировалось равным Jl = 1, в то время как взаимодействие между вторыми соседями изменялось в диапазоне 1 < 0.

На рисунке 2 представлены структуры основного состояния при фиксированном значении Jl = 1 и различных значениях J2. Эти структуры позволяют подробно рассмотреть влияние параметра J2 на упорядоченность системы и тип формируемой магнитной структуры.

При J2 > -0.5 основное состояние системы оказывается ферромагнитным. В этом случае спины выстраиваются в однонаправленную конфигурацию, минимизируя энергию системы благодаря сильному обменному взаимодействию ближайших соседей Jl, которое доминирует над взаимодействием со вторыми соседями. Ферромагнитная упорядоченность характеризуется однородностью системы, где все спины направлены в одну сторону, обеспечивая максимальную симметрию и упрощённый энергетический ландшафт.

Снижение J2 до значений менее -0.5 приводит к кардинальному изменению структуры основного состояния. В этом случае в системе реализуется страйповая двухполосная структура, в которой спины образуют чередующиеся полосы с противоположной ориентацией. Это поведение обусловлено доминированием взаимодействий второго порядка J2 над ближайшими соседями Jl, что способствует образованию антиферромагнитных корреляций на более крупных масштабах. Страйповая структура свидетельствует о сложной конкуренции взаимодействий, при которой энергия минимизируется за счёт образования более сложного паттерна упорядоченности.

Особый интерес представляет случай J2 = 0, где наблюдается конкуренция между ферромагнитной и страйповой структурами. Эта конкуренция приводит к тому, что система оказывается частично неупорядоченной. В таком состоянии полосовой характер сохраняется, однако наблюдается вариативность ширины полос и их локальной ориентации. Это может быть связано с фрустрацией взаимодействий, когда различные конфигурации имеют близкие значения энергии, что препятствует формированию строгого порядка. В результате система демонстрирует состояние, близкое к критической точке, где даже малые изменения параметров могут существенно повлиять на её структуру. Подобное поведение может быть интерпретировано как переходная фаза, в которой одновременно сосуществуют элементы ферромагнитного и страйпового типов упорядоченности.

На рисунке 3 представлены плотности состояний g(E), отражающие распределение возможных энергий в моделируемых системах. Учитывая, что значения плотности состояний достигают чрезвычайно больших величин, для удобства анализа и визуализации приведён логарифм g(E). Это позволяет лучше понять поведение плотности состояний в широком диапазоне энергий, включая низкоэнергетические области, где находятся состояния, близкие к основному.

Л = 0

Л = -0.25

Л = -0.5

о©оооооооооо ооооооо©©ооо

ооооооооооос о с о о о о с с о о о о

О О О О О С) о о о о о о о с о о о о о о о о о о

= -0.5

• ••ООООООООФ • ••0®00€)©00#

• • О О -О С) • О С) о • •

• # о о о о с с о о + •

• С О С) С.) С) О О С) • • •

е о о о о о о с; • • • # о с с о о о с о • • • •

•0 о с) о С) с: • • • • о о с с о о о с • • • • о

С) О О О О <")•••• о с; о о о о о • • • • о с;

Л = -0.75

• @ •• Ф О •

• • с) о • • • о • • с; о с • • о о • * с о • • о

в С • • О о • • о о • • о о • • о о • • о о • #

• оо#*оо#«оо#

• о о • * о с • • о с •

• • с о • ••••• о

е • • о о • • о о • • о

72 = -1.0

ООООО0ОООООО

оо©оооо@©ооо

оооооооо#ооо о о с о о о о о о о о о

о о о о о о о о о с о о С) о о о о о о о о о о о

Рис. 2. Структура основного состояния при различных значениях J2

Из рисунка можно заметить, что основное состояние системы характеризуется слабым вырождением. Это означает, что количество различных микроскопических конфигураций спинов, соответствующих минимальной энергии, остаётся весьма ограниченным. Исключение составляет случай J2 = -0.5, для которого наблюдается несколько более высокое вырождение основного состояния. Однако даже в этом случае вырождение остаётся сравнительно низким и существенно уступает значениям, характерным для сильно фрустрированных систем, где множество равновесных состояний приводит к значительно более сложным энергетическим ландшафтам. Слабое вырождение основного состояния для большинства значений J2 указывает на отсутствие сильной фрустрации в системе. Это согласуется с предыдущими выводами о ее структуре: ферромагнитные и страйповые состояния обладают высокой степенью упорядоченности, что способствует формированию чётко выраженного глобального минимума энергии.

Для J2 = -0.5, где конкурируют ферромагнитные и страйповые взаимодействия, увеличенное вырождение отражает наличие множества близких по энергии конфигураций, возникающих в результате фрустрации. Тем не менее, даже здесь система демонстрирует относительно простой характер энергетического ландшафта, что выделяет её среди типичных фрустрированных систем с высокоразветвлённым спектром состояний.

Далее представлены температурные зависимости различных термодинамических параметров, рассчитанных на основе плотности состояний.

Температурная зависимость внутренней энергии системы показана на рисунке 4. На графике отчетливо виден скачок энергии в области J2 < -0.5, что указывает на фазовый переход первого рода для данной области параметра J2.

На рисунке 5 представлена температурная зависимость теплоёмкости C. Как следует из графика, в случае J2 > -0.5 наблюдается ярко выраженный максимум на кривой, что является характерным признаком фазового перехода второго рода. В области J2 < -0.5 теплоёмкость демонстрирует резкий скачок в узкой температурной области, подтверждая наличие фазового перехода первого рода. При J2 = -0.5 максимум теплоёмкости отсутствует, что свидетельствует об отсутствии фазового перехода.

Температурная зависимость свободной энергии системы F представлена на рисунке 6. Этот график демонстрирует плавное изменение свободной энергии с температурой. Таким образом, на графике отражены изменения термодинамического состояния системы.

На рисунке 7 показана температурная зависимость энтропии На графике видно, что при высоких температурах энтропия стремится к теоретическому значению /п(2) ~ 0.693. При снижении температуры энтропия постепенно уменьшается и стремится к нулю, за исключением случая J2 = -0.5, где наблюдаются отклонения от стандартного поведения. Эти результаты наглядно демонстрируют особенности термодинамических свойств системы при различных значениях параметра J2 и позволяют определить области с фазовыми переходами первого и второго родов.

Минимальная достигнутая в ходе моделирования энергия системы E при различных значениях J2 приведена на рисунке 8. Четко видны две тенденции, соответствующие двум фазам, страйповой двухполосной и ферромагнитной, которые встречаются в точке J2 = -0.5. Конкуренция двух фаз приводит к тому, что при J2 = -0.5 система переходит в неупорядоченное состояние.

На основе анализа всех данных нами была построена фазовая диаграмма системы, которая приведена на рисунке 9: страйповая двухполосная ^г), ферромагнитная (Г) и парамагнитная (Р) фазы.

Рис. 3. Плотности состояний системы g(E)

Рис. 4. Температурная зависимость внутренней энергии системы E при Jl = 1 и различных J2

0 1 23456789 10

Рис. 5. Температурная зависимость теплоемкости системы C

Рис. 6. Температурная зависимость свободной энергии системы Г

Рис.7. Температурная зависимость энтропии системы 5 при Jl = 1 и различных J2

Рис. 8. Зависимость энергии основного состояния системы E от величины J2

Рис. 9. Фазовая диаграмма модели Изинга на треугольной решетке

Заключение и выводы

В данной статье нами представлены результаты комплексного исследования модели Изинга на треугольной решётке, в которой учитываются ферромагнитное обменное взаимодействие между ближайшими спинами и антиферромагнитное обменное взаимодействие между вторыми соседями. Для анализа системы использовался современный высокоэффективный алгоритм Ванга-Ландау, основанный на энтропийном методе Монте-Карло. Этот метод позволяет получить детализированную картину термодинамических свойств модели за счёт вычисления плотности состояний, на основе которой можно рассчитать широкий спектр термодинамических величин.

В рамках проведённого исследования были определены структуры основного состояния системы в зависимости от параметров взаимодействия. Вычислены плотности состояний, которые представляют собой фундаментальный инструмент для анализа системы, поскольку позволяют рассчитать температурные зависимости таких термодинамических параметров, как внутренняя энергия E, свободная энергия F, теплоемкость C, энтропия S.

Анализ показал, что введение антиферромагнитного взаимодействия между вторыми соседями существенно влияет на характер упорядочения в системе. При определённых значениях параметров взаимодействия наблюдается смена фазового перехода со второго рода (характеризующегося плавным изменением параметров порядка) на первый род, для которого свойственен скачкообразный переход системы в новое состояние. Этот эффект обусловлен конкуренцией ферромагнитного и антиферромагнитного взаимодействий, которая приводит к изменению симметрии и появлению новых фазовых состояний.

В ходе работы были вычислены критические температуры фазовых переходов для различных значений параметра взаимодействия между вторыми соседями J2. Это позволило не только уточнить типы фазовых переходов, но и детализировать их поведение при изменении параметров модели. На основе полученных данных была построена фазовая диаграмма модели Изинга на треугольной решётке, которая наглядно демонстрирует границы фазовых состояний и области фазовых переходов разного рода.

Полученные результаты представляют интерес как с точки зрения теоретической физики, так и с точки зрения применения. Они позволяют лучше понять, как конкуренция взаимодействий на разных расстояниях влияет на структуру фазового пространства и характер упорядочения в системах с фрустрацией. Кроме того, построенная фазовая диаграмма может быть использована в будущем для интерпретации экспериментальных данных в системах с аналогичной природой взаимодействий, например, в магнитных материалах или адсорбционных системах.

Таким образом, данное исследование демонстрирует важность учёта дальнодей-ствующих взаимодействий в моделях спиновых систем и эффективность применения алгоритма Ванга-Ландау для изучения сложных фазовых переходов.

Литература

1. Azaria, P. An exactly solvable two-dimensional Ising model with magnetic field / P. Azaria, H. Giacomini // J. Phys. A: Math Gen. 1988. Vol. 21. - Рр. 935-940.

2. Scholl, P. Quantum simulation of 2D antiferromagnets with hundreds of Rydberg atoms / P. Scholl, M. Schuler, H. J. Williams et al. // Nature. 2021. Vol. 595 (7866). - P. 233238.

3. MacLaughlin D. E. et al. Muons and frustrated magnetism in NiGa2S4 and Pr2lr2O7 // J. Phys.: Conf. Ser. 2010. Vol. 225. - P. 012031.

4. Varma, C. Mysterious order for spins on a triangular lattice / C. Varma // J. Club Condens. Matter Phys. 2008 № 27.

5. Minkiewicz, V. J. The magnetic structures of RbNiCb and CsNiCb / V. J. Minkiewicz, D. E. Cox, G. Shirane // Solid State Communications - 1970. Vol. 8, Issue 12. -Pp.1001-1005.

6. Philippe Mendels and Fabrice Bert. Quantum kagome antiferromagnet: ZnCu3(OH)6Cl2 // J. Phys.: Conf. Ser. 2011. Vol. 320. - P. 012004

7. Lucas, Tosin Paese. Thermodynamic properties of LiNiO2, LiCoO2, and LiMnO2 using density-functional theory / Lucas Tosin Paese, Philippe Zeller, Sylvie Chatain and Christine Gueneau // Phys. Chem. Chem. Phys. 2023. Vol. 25. - Pp. 20641-20656.

8. Darie, C. Two new cubic perovskite oxides Ba3CoSb2O9 and Ba2SrCoSb2O9: Syntheses, crystal structures and magnetic properties / C. Darie, P. Bordet, M. Viaud et al. // Journal of Solid State Chemistry. 2023. Vol. 317. - P. 123701.

9. Wang, F. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states / F. Wang, D. P. Landau // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86. - Pp. 2050-2053.

10. Wang, F. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram / F. Wang, D. P. Landau // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. - P. 056101.

11. Landau, D. P. A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics / D. P. Landau, F. Wang // Braz. J. Phys. 2004. Vol. 34 (2A). - Pp. 354-362.

Поступила в редакцию 21 августа 2024 г.

Принята 12 сентября 2024 г.

UDC 537.9

DOI: 10.21779/2542-0321 -2024-39-3 -36-50

The Density of the States and the Ground State Structures of Ising Model on the

Triangular Lattice

M. A. Magomedov1'2, A. K. Murtazaev1'2, L. K. Magomedova1'2, A. K. Gulmagomedov2

1 Institute of Physics DFRC RAS, Russia, 367015 Makhachkala, M. Yaragsky st., 94;

2 Dagestan State University, Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; [email protected]

Abstract. The Wang-Landau Monte Carlo algorithm was used to study the Ising model on a triangular lattice with ferromagnetic exchange interactions between the nearest neighbors and antifer-romagnetic interactions between second neighbors. The ground state structures of the system were determined, showing that the ground state can be ferromagnetic, two-stripe, or degenerate. The density of states g(E) and temperature dependencies of thermodynamic parameters such as internal energy E, free energy F, heat capacity C, and entropy S were calculated.

The results reveal that the entropy approaches zero near absolute zero for most cases, except for J2 = -0.5, where a transition between different ordering types occurs. It was demonstrated that the competition between ferromagnetic and two-stripe ordering leads to ground-state degeneracy and a nonzero residual entropy. As the temperature increases, the entropy converges to the theoretical value S/N = ln2 ~ 0.693. A phase diagram of the model was constructed.

Keywords: Ising model, competition, frustration, density of states, ground state structure, Wang-Landau algorithm, Monte Carlo method.

The reported study was carried out as part of the Scientific Program of the NCFM (the project "Research in strong and superstrong magnetic fields").

Received 21 August, 2024 Accepted 12 September, 2024