Критические свойства трехмерной фрустрированной антифромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 239.2

КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТРЕХМЕРНОЙ ФРУСТРИРОВАННОЙ АНТИФЕРРОМАГНИТНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ

© 2008 Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов Г.М., Джамаева Н.М. Дагестанский государственный педагогический университет

Впервые с помощью репличного метода Монте-Карло исследованы критические свойства трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке. На основе теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны статические магнитные и киральные критические индексы теплоемкости а восприимчивости у, % намагниченности в, J3k, радиуса корреляции V, Vk, а также индексы Фишера п, П Показано, что трехмерная фрустрированная модель Гейзенберга на треугольной решетке образует новый класс универсальности критического поведения.

The critical properties of three-dimensional frustrated Heisenberg’s model on a triangular lattice are investigated by the replica Monte Carlo method. The static magnetic and chiral critical exponents of heat capacity a susceptibility y, Y, magnetization в вк, correlation length

V, Vk, as well as the Fisher exponent п, Пк are calculated by means of the finite-size scaling theory. A new universality class of the critical behavior is shown to be formed by the threedimensional frustrated Heisenberg model on triangular lattice.

Ключевые слова: Монте-Карло, фрустрации, универсальность, фазовые переходы, критические явления.

Keywords: Monte-Carlo, frustrations, universality, phase transitions, critical phenomena.

В антиферромагнетиках с

треугольной решеткой в отличие от обычных слоистых

антиферромагнетиков, в которых основной элемент магнитной структуры - четырехугольник, основным

элементом является равносторонний треугольник со спинами в каждой из

вершин. В таком треугольнике антиферромагнитное взаимодействие приводит к фрустрации. Классическим основным состоянием

антиферромагнетика с треугольной решеткой является 1200-ая структура. Однако это состояние оказывается вырожденным. При заданном

направлении спина одного из узлов возможны две различные структуры. Таким образом, антиферромагнетики с треугольной решеткой отличаются от обычных ферро- и

антиферромагнетиков, где задание направления спина в одном из узлов полностью определяет структуру [5].

В нашей работе методом Монте-Карло (МК) исследованы критические свойства трехмерной (3D)

антиферромагнитной модели

Г ейзенберга на треугольной решетке.

Интерес к этой модели обусловлен тем, что антиферромагнетики на треугольной решетке являются примером фрустрированных систем (ФС). Изучение этой модели может позволить получить ответ на вопрос о принадлежности фрустрированных

систем к новому киральному классу универсальности, который до сих пор является дискуссионным [3, 5, 7, 11, 18, 19, 22, 23, 25]. Кроме того, многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Эти особенности могут привести к сужению классов универсальности критического

поведения, и этот вопрос все еще недостаточно полно изучен.

Результаты, полученные при исследовании ФС, а также спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком, показывают, что многие из этих результатов выходят далеко за рамки современной теории фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) [2, 5, 6].

Достигнутые в последние годы успехи в понимании ФП и КЯ в ФС связаны с применением методов вычислительной физики. Это

обусловлено тем, что большинство традиционных теоретических и

экспериментальных методов

исследования таких систем сталкивается с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического поведения [2, 4]. Это привело к интенсивному

изучению ФП и КЯ в ФС в настоящее время методами Монте-Карло [3, 6, 22].

В данной работе нами предпринята попытка, по возможности, с

максимальной точностью, соблюдением единой методики, использованием надежной и проверенной схемы на основе специального алгоритма метода Монте-Карло (репличный алгоритм) определить значения критических параметров 3D фрустрированной антиферромагнитной модели

Гейзенберга на треугольной решетке.

Гамильтониан антиферромагнитной 3D модели Гейзенберга на треугольной решетке может быть представлен в следующем виде [20] :

н = - J Ê ( )

j , (1) где - трехкомпонентный единичный

вектор S = (sx, sy, Sf ), J<0 -

константа обменного взаимодействия. Суммирование производится по ближайшим соседям. Решетка состоит из двумерных треугольных слоев,

сложенных по ортогональной оси. Фрустрации в этой модели обусловлены геометрией решетки [5, 18, 19, 22, 23].

Фрустрированные спиновые системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Как известно, вблизи критической точки метод МК сталкивается с проблемой «критического замедления», а в ФС эта проблема становится еще более актуальной [3]. Кроме того, для ФС характерна проблема многочисленных

долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо

справляются с решением этих проблем. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК, специально

ориентированных на исследования ФС. Из них наиболее мощными и

эффективными в исследовании КЯ в ФС оказались репличные алгоритмы метода МК [20].

Поэтому в данном исследовании нами использован высокоэффективный

репличный обменный алгоритм метода

Монте-Карло [20]. Репличный обменный алгоритм применялся в следующем виде:

1. Одновременно моделируются две реплики X и X с разными температурами T и Т.

2. После выполнения 100

МКшагов/спин эти реплики

обмениваются данными в соответствии со схемой Метрополиса с вероятностью

f1, for А < 0,

w( X ^ X') = \

[exp(-А), for А > 0,

где A=(T-T')(U-U'), U и U' - внутренняя энергия первой и второй реплики соответственно.

В репличном обменном алгоритме для каждой реплики реализуется случайное блуждание по

«температурному интервалу», которая в свою очередь стимулирует случайное блуждание в поле потенциальной энергии. Это облегчает решение проблемы «застревания» системы в многочисленных состояниях с локальной минимальной энергией.

Расчеты велись для систем с периодическими граничными условиями (ПГУ) и с линейными размерами LxLxL=N, L=12^42. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекался участок длиной т0=4.0х105 МКшагов/спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических величин

проводилось вдоль марковской цепи длиной т=25т0. Для повышения точности делалось усреднение и по данным, полученным из десяти различных начальных конфигураций.

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались выражения [1, 14, 23, 26]:

С = (NK 2)(( U2) - (U)2) (NK) (( m2) -(\m\ ^) (NK)(,

Х =

ш

T < г„

T > T,

(2)

Хк

( NK)( mk 2) -\mk\2

(NK)(mk

T > Tk

, (4)

где К=\Л/кВТ N - число частиц, т -магнитный параметр порядка, тк -киральный параметр порядка, х -киральная восприимчивость.

Параметр порядка системы т вычислялся по формуле [19]:

т = ^ (М1 + М В + М^>/3 , (5)

где МА, Мв и Мс - намагниченности трех подрешеток соответственно.

Намагниченность подрешетки

определялась следующим образом [19]:

М г|)=( )

V \у /, г = А, в, с. (6)

Для вычисления кирального параметра порядка системы тк использовались следующие выражения [19, 23]:

2 У У,* s, ]

«3 ы ' '

mk = —г=

кР о /q

m,

m

(7)

(8)

где р=(х,у,г) - компоненты вектора.

На рис. 1 и 2 представлены

температурные зависимости

теплоемкости С и восприимчивости X Здесь и далее погрешность данных не превышает размеры использованных символов на рисунках. Отметим хорошо выраженные максимумы в критической области, причем эти максимумы в пределах погрешности приходятся одну и ту же температуру.

на

кТАА

Рис. 1. Зависимость теплоемкости С/кв

2

Р

от температуры keT/\J\

кв т

Рис. 2. Зависимость восприимчивости х от температуры квТ/^\

Для более точного определения критической температуры Тм нами

использовался метод кумулянтов Биндера иь четвертого порядка, который имеет вид [12]:

(т 4) ь

UL = 1 -

з( m2)

(9)

Согласно теории конечно-размерного скейлинга (КРС) точка пересечения всех кривых UL в их температурной зависимости является критической точкой [1].

На рис. 3 показана характерная

зависимость UL от температуры. Вставка на этом рисунке демонстрирует точность определения критической температуры. Из графика видно, что критическая температура 7^=0.957(1) (здесь и далее температура дана в единицах Ш/кВ). При определении киральной критической температуры Тк нами использовался метод пересечения кумулянтов («cumulant crossing»), который считается более точным и надежным [8, 10, 12, 15, 23, 25].

Рис. 3. Зависимость кумулянта Биндера UL от температуры квТ/^\

Для расчета статических киральных и магнитных критических индексов теплоемкости а восприимчивости % Л, намагниченности в в и радиуса корреляции V, ук использовались

соотношения теории конечно-размерного скейлинга [12, 14-16, 26]. Из соотношений КРС следует, что в системе с размерами ЬхЬхЬ при Т=ТМ и достаточно больших Ь выполняются следующие выражения [14,

16, 20, 21, 23]:

m « L, (10)

-ßk/

\ S (11)

г/ X « L/v , (12)

Yt/

X, « L/Vt , (13)

II (14)

К V = I/vt о Vnk L gVn (15)

где gVn - некоторая постоянная, а в качестве Vn и Vnk могут выступать:

(ж1Е)

v' - w- <Е>

' ' , (/=1,2,3,4), (16)

(т*Е)

V„ -VV- <Е>

\тк' , (г=1,2,3,4). (17)

Эти выражения применялись для определения ß ß, У, Ti, V и Vk. Для аппроксимации температурной

зависимости теплоемкости от L

2

использовалось выражение [7, 18, 19, 23]: СтаХ(Ь)=А1-АгЬ (18)

где А] и А2 - некоторые коэффициенты.

На рис. 4 в двойном

логарифмическом масштабе даны характерные зависимости параметров V при г=1, 2, 3 от линейных размеров решетки Ь. Как видно из рисунка, все точки на графиках в пределах

погрешности хорошо ложатся на

прямую. Зависимости на рисунке,

проведенные в соответствии с методом наименьших квадратов, параллельны друг другу. Угол наклона прямой определяет значения 1/к Вычисленное таким образом значение V использовалось для определения критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у и параметра порядка р. По этой схеме были определены и киральные критические индексы.

Рис. 4. Зависимость параметра VI от линейных размеров системы L при T=TN

Все значения индексов, полученные таким образом, отражены в таблице 1. Здесь же для сравнения приведены данные, полученные в работах [5, 18, 19, 23, 25].

Таблица 1

Значения магнитных и киральных критических параметров для антиферромагнитной трехмерной модели Гейзенберга на треугольной решетке

Критический параметр Данные этой работы [19] [20] [23] [6] Чистая модель [25]

Ты 0.957(1) 0.954(2) 0.955(2) 0.9577(2) - 1.443

V 0.64(1) 0.53(3) 0.59(2) 0.586(8) 0.54(3) 0.7112(5)

а 0.05(2) 0.4(1) 0.24(8) - 0.39(9) -0.133(1)

в 0.30(1) 0.25(2) 0.30(2) 0.285(11) 0.25(1) 0.3689(3)

7 1.36(2) 1.1(1) 1.17(7) 1.185(3) 1.10(5) 1.3960(9)

П -0.06(3) - - - - 0.0375(5)

Тк 0.957(2) - 0.958(2) 0.9577(2) - -

Vk 0.64(2) - 0.60(2) 0.60(2) - -

вк 0.52(2) - 0.55(2) 0.50(2) 0.44(2) -

Т* 0.93(3) - 0.72(2) 0.82(2) 0.84(2) -

Пк 0.63(4) - - - - -

Особо следует отметить процедуру, использованную нами для определения индекса Фишера п Используя отношение между восприимчивостью X и радиусом корреляции § [18]

X-?'У, (19)

а также соотношение п=2-уМ

связывающее индекс пи V, мы получим 1п(х/Й=с-п1п£ (20)

где с - некоторая константа. Для систем с конечными размерами при Т=ТМ. Имеем: 1п(х/Ь2)=с-п1пЬ. (21)

На основе выражения (21) были рассчитаны значения магнитных и киральных критических индексов Фишера п и цк. Эти данные также представлены в таблице.

Из нее видно, что значения магнитной и киральной критической температур в пределах погрешности совпадают между собой и с теми, что получены в работах [18, 19, 23]. Часть критических индексов нашей модели в пределах погрешности совпадает с результатами, полученными для такой же модели в работе [20].

Как видно из таблицы 1, результаты нашей работы хорошо согласуются как с данными лабораторного эксперимента, так и с большинством результатов численных экспериментов других авторов, но отличаются от результатов для нефрустрированной модели Гейзенберга [25]. Это позволяет нам говорить, что 3В фрустрированная антиферромагнитная модель

Гейзенберга на треугольной решетке образует новый класс универсальности критического поведения.

Исследования критических свойств 3В фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке, проведенные в данной работе, выполнены с использованием высокоэффективного

репличного алгоритма метода Монте-Карло. Рассчитаны все основные статические магнитные и киральные критические индексы. Расчет критических индексов теплоемкости а

восприимчивости у, у, параметров порядка Д Д, индекса Фишера П, П и радиуса корреляции V, Vk выполнен на основе соотношений теории конечноразмерного скейлинга и с соблюдением единой методики в рамках одного исследования. Значения индексов Фишера П и % для этой модели рассчитаны впервые. Полученные данные

свидетельствуют о принадлежности ЪВ фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке к новому классу универсальности.

Примечания

1. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике. -М.: Наука, 1995. - С. 144. 2. Доценко Вик. С. Критические явления в спиновых системах с

беспорядком // УФН. 1995. Т.165. - С.481. 3. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К.

Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // УФН. 1999. Т.169. - С.773. 4. Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных спиновых системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. Т.176. - С.233. 5. Малеев С.В. Рассеяние

поляризованных нейтронов в магнетиках // УФН. 2002. Т.172. - С.617. 6. Муртазаев А.К.

Исследование критических явлений в спиновых решеточных системах методами Монте-Карло // УФН. 2006. Т.176. - С.1119. 7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей // ЖЭТФ. 2001. Т.120. - С.1535. 8. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Статическое критическое поведение трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием // ЖЭТФ. 2007. Т.132. - С.1152. 9. Муртазаев А.К., Камилов И.К.,

Рамазанов М.К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке // ФТТ. 2005. Т.47, №6. - C. 1125. 10. Муртазаев А.К., Камилов И.К.,

Рамазанов М.К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке // ФНТ. 2006. Т.32. - C.323. 11. Муртазаев

А.К., Камилов И.К., Рамазанов М.К. Исследование критических свойств 3d фрустрированной модели Изинга методом Монте-Карло // Вестник ДагНЦ. 2006. Т.24. - С.5. 12. Binder K.Z.

Thermodynamics of finite spin systems // Phys. B. 1981. № 43. - P.119. 13. Binder K., Wang J-Sh. Spin glass: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // J. Stat. Phys. 1989. №55. P.87. 14. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I.

Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. 1969. №185. - P.832. 15. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical Behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991. №44. - P.5081. 16. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for

finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. - 1972. №28. - P.1516. 17. Holm Ch., Janke W. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study // Phys. Rev. B. - 1993. №48. - P.936. 18. Kawamura H.J. New Critical

Behavior I-Heisenberg Antiferromagnet on the Layered-Triangular Lattice // J. Phys. Soc. Jap. 1987. №56. - P.474. 19. Kawamura H.J. Monte Carlo Study of Chiral Criticality -XY and

Heisenberg Stacked- Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. 1992. №61. - P. 1299. 20. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. 1994. №205. -P.41. 21. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians H=J Z(Sc Sj)3 //

Phys. Lett. A. 1999. №257. - P.83. 22. Loison D., Sokolov A. I., Delamotte B., Antonenko S. A., Schotte K. D., Diep H. T. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group. // Письма в ЖЭТФ. 2000. Т.72. - С. 447. 23. Mailhot A., Plumer M.L.,

Caille A. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1994-II. №50. - P. 6854. 24. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular

Simulations of Biopolimers // Biopolymers (Peptide Science). 2001. №60. - P.96. 25. Murtazaev A.K., Ramazanov M.K. Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange interaction // Phys. Rev. B. 2007. №76. - P. 174421. 26. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. №.43. - P. 6087.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 07-02-00194), грантом РФФИ-«Юг России» (проект № 06-02-96602), грантом ведущей научной школы (НШ-5547.2006.2) и грантом Фонда содействия отечественной науке (А. К. Муртазаев).