CC BY
12
УДК 539.374
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ПЛОСКО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТОЙ ПЛИТЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
С. В. Иванова
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
В настоящей работе определяются перемещения в упругопластической толстой плите, ослабленной эллиптическим отверстием, находящейся под действием растягивающих усилий.
The shifts in the elastoplastic thick slab weakened by an elliptic aperture being under the influence of stretching efforts are defined in the following work.
Ключевые слова: напряжение, деформация, упругость, пластичность, анизотропия.
Для определения перемещения будем считать определенным напряженное состояние. Уравнения для определения компонентов напряжений и перемещений в пластической области принадлежат гиперболическому типу.
Для определения напряжений вблизи отверстия имеет место задача Коши, и идеальнопластическое состояние определяется условиями на границе отверстия. Далее из условия сопряжения на границе пластической области и напряженного состояния на бесконечности определяется напряженное состояние в упругой зоне.
Деформированное состояние определяется в обратном порядке. Вначале по известным компонентам напряжения определяется деформированное состояние в упругой области, а далее из условий сопряжения перемещения на границе упругопластической зоны по известным уравнениям для компонентов перемещения в пластической области определяются компоненты деформации в пластической зоне.
Определим перемещения в упругой и пластической областях. В исходном нулевом приближении в упругих и пластических областях имеет место условие несжимаемости
е(0) + e(0) _ 0
ер + ее _ °. (!)
Согласно (1) перемещения и деформации в упругой и пластической областях примут вид
и(0) _—,v(0) _ 0,ер0) _ -—,е(0) _-2- еР0 _ 0. (2)
2Gp р Gp Gp ре
В упругой области согласно [1] и формулам (I), (VI), (VIII), приведенным в монографии [2], получим
PE
/и\ 1п2 р + 1п р
1Л (а + Ь)(4-а2)
(1-Р) (^2 - 2^2 )-Р ( - ^2)
3Р Р
4а
00820-
(3)
V
5рэ
Зр3
У
у( 7 )е = 1
(р ( - 2 Б2 )-^-Р ( - Б2)
3Р
008 40
8ІП 20
р
2^
5рг Л1 + ^)(2 А4 - 3Б4 )-Зр3 (Л. - Д.)
л
8ІП 40
Имеет место условие пластичности
{<р1 -О0 р",
А + Б А - Б
008 40
-4г(р )2 чср0
А + Б А - Б
+2 (ор)-о0р) ))
А - Б . лп -------8ІП40
2 2 = (2 + ^ст)2,
008 40
(4)
В пластической зоне согласно условию пластичности (4) и ассоциированному закону течения имеют место следующие соотношения:
Єр= Єр =ЯЄа
= Я
2(
) -*0 Р )
А + Б А - Б
2 2 +тр0(А - Б)8Іп40-^(2 + ^<г)],
008 40
е0 = е0рр = ^
д_
до0
= Я
2 Л
-2 Л) -°р)
А + Б А - Б
008 40
-трв (А - Б)іп 40 - ц(2 + /но-),
(5)
е0 = ер0=Х-д— = 4Т р)
р0 р0
дт
>0
р0
А + Б А - Б
008 40
А - Б .
------8ІП40
Из (4)следует
-р0
д/^Ор д//ёо0 д/)й\
■ = Х.
р0
(6)
В соотношениях (6) присутствуют компоненты пластической деформации, так как только они испытывают приращения в пластической зоне при возрастании нагрузки, причем при ^ = 0 имеют место равенства ерр = ер = еррР = 0 . Момент времени ^ = 0 для каждой точки А отсчитывается от момента прохождения через нее упругопластической границы.
Полные деформации при ґ = 0, т. е. в момент возникновения пластических деформаций, отличны от нуля и совпадают с упругими деформациями, накопленными элементом тела к моменту достижения им предела текучести. Перепишем соотношения (6)в виде
2(ер0 -^ре)
Т
ер рр = е0 - е0 = 21ер0 ер0)
д/^ор д/^о0 д/^гр0
С учетом (5) соотношения (7) перепишем в виде
е - е
р р
2 (р)-о0р))
А + Б А - Б
008 40
-Рр0(А - Б ) 8Іп 40 - ц (2 + цо')
(7)
-2 (о<р ’-о0<”)
А + Б А - Б
008 40
Тр0(А - Б )8Іп40-ц(2 + цо)
4р р)
0
А + Б А - Б
008 40
О)-О0 о))
А - Б . Л. ----------8іп 40
=.
(8)
Упругие деформации при ц = — примут вид
е„ =
(( -Ов),е0 = 4^(Оэ -Ор),ереэ = ^,
Из(5)следует
40
ер + е0 = 0.
е(7) + е(7) = -43°
е0) = -4Гц,
(9)
(10)
где
Л(0) = -
80
1 -
2^
р2
Из (10) получим
(7) + е(7) = е(7 )е + е(7 )е + е(7) р + е(7) р = _Ц
р 0 20
Ґ
-е0' = ер + е.
1
\
V1 V,
Согласно [2] запишем соотношения для деформаций
ди(п) 1 ду( п) и(п)
е„ =■
еа =-
~^0
р др и р д0 р
Из соотношения (8) найдем
ду( п) У( п) 1 ди(п)
--------------------1------------
др р р д0
е(7) -■ ер0 =
г(7)р (
20
2 -
Р
(7) е + е( 7 )е =
(11)
(12)
(13)
Согласно (11), (12) и (13) с учетом е(,) + ер ) = 0 дифференциальные уравнения для определения перемещения в пластической области в первом приближении примут вид
ди(7) + 1 ду(7) + и(7) = ц ґ др р д0 р 20
ду V 1 ди
др р р д0 20
Из уравнений (14), (15) получим
1
Л
Р(р0р ( 1
р
-----1
чр /
Л
- 2
/
(14)
(15)
г~у *
.(7) р = С00
+ Ц (р2 - 21пр) - 2(С21* 008(л/3 1пр) + С22* 8ш(л/31пр))008 20 20 р ' '
-4 (41* 008^л/Ї5 1п р) + С42* 8Іп(л/і51п р) ^008 40
3Р0 р
(16)
у(7)р ^^1р^ + ^у^3С22* + С21 ^008(\/31п р) + {22* -^3С21 )8Іп^Т31п р))20-
40р
^22 21
+ (((/ + С41*) С08 (л/Т51п р) + (42* + л/Т5С41* ^81п^л/Т5 1п р) )п 4Р.
Условия сопряжения на упругопластической границе имеют вид
и р\ = ие\ ; урр\ = VеР .
р \ р=1 р \ р=1 рр р=1 ррр=1
Коэффициенты С00, с2т, с22, С*т, с42 определим из (3) и условия сопряжения (17)
(17)
г * _ _ 00 = 20
1 + ц
^‘11"2/а + 1п/а
5 - ц
а -
-1Л (а + Ь ) (4-а)
4а
*
С21 = -
12Е
(А2-2 Б2 ),
с'22'=ыэЕ (А- Б2 *- яЕ(А - Б2
(18)
*
С41 = -
4 Е
^(2 А4-3Б4 -Б4)
С
1 + ц
1 + 3ц
42
=А А - 3Б‘ ))г5е-(а* - Б )йЕ
где коэффициенты А2, А4, Б2, Б4 определены согласно [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Иванова, С. В. Упругопластическое напряженное состояние толстой плиты из анизотропного сжимаемого материала, ослабленной эллиптическим отверстием / С. В. Иванова // Научный сборник по широкому спектру проблем строительной механики и теории сооружений. - Саратов : СГТУ, 2010. - С. 116-123.
2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 202 0.
