CC BY
60
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ С УЧЕТОМ ТРАНСЛЯЦИОННОГО
УПРОЧНЕНИЯ
А.В. Ковалев, В.В. Ковалев, А.Ю. Яковлев
В рамках теории течения с помощью метода возмущений определено напряженное и деформированное состояние в составной упругопластической конструкции
Ключевые слова: упругопластическое тело, малый параметр, упрочнение
Проблеме определения напряженного и деформированного состояния в составных упругих и упругопластических конструкциях посвящены работы многих авторов, например [6-9].
Целью настоящей работы является определение напряженного и деформированного состояния в толстой плите с эллиптическим отверстием, в которую с натягом запрессовано несколько большее по размеру эллиптическое цилиндрическое включение. На бесконечности плита растягивается взаимно перпендикулярными усилиями P1 и P2, по контуру внутреннего отверстия во включении приложено давление с интенсивностью P0.
При решении задачи принимались следующие предположения. Под влиянием внешних нагрузок плита находится в упругопластическом состоянии, а включение в упругом, при этом пластическая зона в плите полностью охватывает контур эллиптического отверстия.
Для описания поведения материала плиты в пластическом состоянии применялась модель Ишлинского - Прагера [2, 5] с функцией
нагружения вида
Р = Б - сер Ж - сер )- Ж = 0, (1)
где - компоненты девиатора тензора
напряжений, с - коэффициент упрочнения, ер -
компоненты тензора пластических деформаций, к -предел текучести материала на сдвиг. В качестве соотношения связывающего компоненты пластической деформации и компоненты тензора напряжений использовался ассоциированный закон пластического течения в следующей записи
Сер = С1(Б у - сер), где СХ - скалярный
положительный множитель, 1 далее в качестве параметра нагружения.
В качестве метода решения выбирался приближенно-аналитический метод - метод малого параметра [4]. Решение ограничивалось двумя
Ковалев Алексей Викторович - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 220-87-63
Ковалев Виктор Васильевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 220-87-63
Яковлев Александр Юрьевич - ВГУ, канд. физ.-мат. наук, тел. (473) 220-87-63
приближениями и строилось в цилиндрической системе координат р,в, 2 для случая плоской деформации. Ось 02 направлена вдоль центральной оси отверстия в плите. За нулевое приближение выбиралось осесимметричное состояние толстой плиты с круговым отверстием радиуса а, содержащим с натягом круглый цилиндр с внешним радиусом а1 и внутренним р. На бесконечности конструкция растягивается взаимно
перпендикулярными усилиями интенсивностями Р + Р
Р = —------. Внутренний контур включения
2к
нагружен усилиями интенсивностью Р0. Материал плиты и включения в пластической зоне описывается условием пластичности Мизеса для идеально упругопластического материала.
В плоскости, перпендикулярной оси 02, согласно [7, 9] запишем
уравнение контура, ограничивающего включение до деформации
р = а1(1 + &С1со$2в-...), (2)
уравнение контура, ограничивающего отверстие в плите до деформации
р = а(1 + &С1со$2в-...), (3)
уравнение контура, ограничивающего внутреннее отверстие во включении до деформации
р = Р(1 + &12сои2в-...), (4)
где а > а, введем е = а1 - а - мало по сравнению с единицей, а, а1, р - радиусы круговых контуров в нулевом приближении соответственно: отверстия в плите, внешнего очертания включения, внутреннего отверстия во включении, 3 - малый параметр,
характеризующий отклонение контура от окружности, возмущение статических граничных
Р - Р 1 /
условий (3сС~ =—------— ), а также отклонение
3 2к
функции нагружения от идеально пластического условия Мизеса, С1, С2 ,С3 - безразмерные константы. Согласно [4], решение задачи ищется в виде
°р =°Г +3°<р,°в =оТ +3s<в),
= *Р +3tPв, °2 = 1^(ар+ав X (5)
(0) + 3и р(1), и„ = и}а) + 3мд1'1),
иР= иР
?(1)
р^ = R10) +
с = с(0) +3с(1),
где верхний индекс приближения, д
К = 1 + <
,0)
а„ ,а
,Грв
'р ’в напряжений, ир и Ыд р и в соответственно,
указывает
-малый
компоненты
на номер параметр, тензора
перемещения вдоль осей Г - радиус
упругопластической границы в плите, ркоо - линия контакта включения и плиты.
Ввиду малости величины е, примем за линию контакта плиты и включения внешнюю границу включения [7, 9], которая при разложении
представляется в форме
Ркоо = Я(0) +
?(1)
(6)
где R(0) = а1, R(1) = а1й1со^2в.
Все соотношения записаны в безразмерном виде. Величины, имеющие размерность
напряжений, отнесены к к - пределу текучести на сдвиг материала плиты. Перемещения отнесены к радиусу упругопластической границы в плите 0 .
Для обозначения безразмерных величин используем прежние обозначения.
Следуя [4], для пластины в упругой области имеем
а
(0)е 1
,(0)е
1
Р
Рв
2—1р
(7)
в* = 0,
где 01 - модуль сдвига материала плиты.
В пластической зоне пластины имеем
а
.(0)Р _
р
= -д + 2с1п—, а(0)р = аРР + 2
а
(0)р (0)е
Ыр = Ыр ,
Р
(8)
= 0,
,7-(0)р (0)р _ ^ (0)е ^ (0)р
1 рв ~'
где q=q/k - нормальное давление, с = и1ёп(Р + д).
В упругом включении распределение поля напряжений и перемещений имеет вид
1
ґ
а( 0 )е =
а(0)е =
'-'/Ж
да, - Р0в - (д - р0)
оИ2 л р2 у
Р2 - аі2
да2 - р,р2 + (д - р0)а-Рг
р
(9)
г(0)е - I
Ы(0). = к (д - Р,)аі-Р2 рв 20-(Р2 -а-)р’
и,
(0)е _
вв
= 0,
где 02 - модуль сдвига материала включения, символ В означает принадлежность к упругому включению.
Из условий совместности деформаций пластины и включения вдоль линии контакта
(0)р| —(0)| + е, е = а-а (10)
р
= и(0)
I = Ырв
Ір=а г р = аі
и из условий сопряжения на упругопластической границе в плите
ав0 р = а®Л
в 1р=1 в 1р=1
имеем следующую систему уравнений
Г
д = 1 - Р + 21п—, а
^(р - а12) = в(ц - а)(р - ц2)
(11)
2аафг
арк
+ — (1 - Р - 21па) - + — 1п г50
2^ 2—1 —
(12)
Решение системы уравнений (12), позволяет найти величину натяга q и радиус упругопластической границы в плите г^.
Рассмотрим первое приближение.
Граничные условия на бесконечности имеют
вид
ар = Р -ЗС3со$2і,трв = ЗС3БІп2і,
где Р =
Яс13 =
Р - Р
Й3
(13)
безразмерная
2к 2к
постоянная.
Линеаризованные условия сопряжения на упругопластической границе в плите и граничные условия на внутреннем контуре включения для первого приближения записываем согласно [4]
( \
а°)е + рв
.(1)е
Са(0)е
рв
РС со82в
Ср 2
= 0,
р = Р
(14)
С 8Іп2і
= 0.
Г1)е + 2| а(0)е - а(0)е
Р ' ' "р = Р
На упругопластической границе в плите линеаризированные условия сопряжения имеют вид [4]
Эр
= 0.
(15)
р=1
Здесь и далее знак [ ] означает разность значений представленных в скобках выражений, соответствующих упругой и пластической областям. Вдоль линии контакта плиты и включения в случае, когда цилиндр вложен с натягом и трение на границе запрессовки отсутствует, имеем [7] и [9] Са(?)р ,,, ,,, СаР
арР +
Ср
г(1)
- (ат -а7) а =0;
Я (1) =ар +
(°)лс - і
рв я (1)-
Ср
ГріР - (а(0)Р - арР) а = 0, при р = Я(
А'
(
dup(0)p
u (1)p +-----p-ad cos2l
Л
p
du
dp
(0)
-1'
p = ai
u(1) +---PBa. d. cos2l
PB dp 11
P = a{
В случае если включение впаяно с натягом в отверстие, то
da^°p da^°
aP) p + R 0) = a(B + daP^R(1);
p dp pB dp
P - (SB - spB))si=p - ap - spp)si;
u (1)p + u (0)p s = u (1)p + u (0)p s при p= R(0)-
ue + up si = uiB + upB su при p = R ;
(17)
Ґ
u (i)p + duP Up + dp
(0)p Л
ad1 cos2l
,
(
dU (0) (1) PB
\
up +-----— ad cos2l
pB dp 11
P = a1
где 51 = R(1) /R(0>, точка означает производную по углу в, а(0),аР1) - компоненты тензора напряжений
для нулевого и первого приближения.
Рассматривался случай малого упрочнения [1] с = 3с(1) .
Учитывая граничные условия (13) компоненты тензора напряжений и вектора перемещений для упругой области плиты имеют вид [3, 4]
аР =-~г - (с3 + 6а21р~4 + 4а22р-)соБ2в,
al = --Af + (d3 + 6a21p 4)cos2l,
(18)
Г
.(i)
= (d3 - 6a21p 4 - 2a22p 2 )sin2l,
pl ~ V3 2
u(1)e = —Am---------LIp - a21p- - a22p- Icos2l,
2G1p G1 v 2
— f — p + a, o-
Gi V 2
ul1)e = — I p + a21p J I sin2l,
(19)
где Лт, а21, а22 - константы, определяемые из
условий сопряжения (16) или (17) на границе контакта плиты и включения.
В пластической области плиты, согласно [1, 4, 9] имеем уравнение
ав1 -а(р = 2стев(°\
откуда получаем выражения для напряжений в форме
аР = Лпп- тш, {1п Р+-, 1 1
- — I d3cos|g--^V3a21 sm^g-^- , + 2a22 cosg jcos2l,
2pz 2
a(1) = An, - mrrn 1 !np--p + 4 I -
-----1 d3 cosf g----Л - 2л/3із2і sin| g--------------} +
PV ~ V 3J V 3
+ 2a22 cosg)cos2q
Гв =-1 - d3 cos| g+— I + 2y[!a2i sinf g+— \ +
r(1): p
+ 2a22 cos! g-------I Isin2 в.
3
где g
= 4!inp,
2с(1)k
2—1 + с
Предполагая независимость касательного
напряжения в первом приближении от параметра нагружения, что подтверждается результатами работы [1] получим для определения перемещений в пластической области систему аналогичную [4], [7]
эу(1) -1 - \_ = ЭиГ _(!)Р
Эр2 р Эр р2 Эв2 Эр рв,
(21)
где uy =
(і) = 1 f(1) „(і) = f(1)
ul =-
г Эв Эг
Решение системы (21) даст следующие выражения для компонент вектора перемещений в пластической зоне плиты
Л
..(1)p ________-■ "пл
up = "
2G1P
-1 d Nii(p) + a2iNi2(p) - a22 NB(p))cos2e,-
(22)
G
в = (d3N2i(p) + a2iN22(p) a22 N23(p))sin2q,
Gi
где
w=fsin[g+f j_ 2^os(r-f
N12(P) = cos^g+ f j + ^^sin[^/-
ЛГ , 4 sing cosg
N13<P) = ^T + ^>
V3 P2
n2i<p:> ^^23sin(g-?}+_p2cos^g+^ |.
N22 <P) = cos[^g- - P2sin[V+
N23(P)=^Pr^os(g-^^j-^^S.n(g+f).
Полученные соотношения (18), (19), (20) и (22) определяют напряженное и деформированное состояние в плите. Вид упругопластической
границы первого приближения Г^1"1 определяется
линеаризированным условием [4]
p=a
u
=-а і-
эа(^
dp
(23)
p=i
(24)
Из соотношения (23), используя (18) и (20), находим выражение, определяющее радиус упругопластической границы в плите
г0) = Гік + 9 а21 + ^ 1 С082в-^.
А ^ 2 4 21 2 ) 4
Согласно [3] и условиям на внутреннем контуре включения (14) в упругом включении запишем соотношения для напряжений
а(1)
UpB
+A
= 2(а-2 (ep-p-1 -p-> - 3p-)+ 2K,(p- -p-)+
£- -p-2 2
\
cos2l,
а
.(1)
= 2K2(p4 + 3p-4)-2K3p - 3p2)-
PB
- Ap- Icos2l,
(25)
Д1)
= 2K2(3p-2p-2 + p4 -3p-4)+ K3(3p2 -2p-2 -p-2)-
- A p +P~2 )II sin2в,
для перемещений
uPB = -1 (k2 p -p"4p- 3p-2p-1)+
G2
+ K3 (2p-2p-p3 + p-)+ A (p~2p + p- )J cos2l,
^B* = 77- (k 2 p - Vі)+
G2
+ K3 (2p3 + p- - 2p-2p)+ A p- -p-2p)^Jsin2e,
(26)
где
A = 2d,
(q - P, )«i2p2 (p2 -«f)
Для определения констант Л^, а21, а22, К2, К3 имеем систему четырех уравнений в зависимости от типа закрепления включения (16) или (17).
Рассмотрим некоторые частные случаи. Так
при С3 = 0 имеем случай равномерного растяжения
конструкции на бесконечности, при С1 = С2 = 0 круговое отверстие в плите и круговое включение, при с = 0 - случай идеально пластического материала [4].
Литература
1. Артемов, М. А. О двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием из упрочняющегося упругопластического материала / М. А. Артемов // ПМТФ.
- 1985. - № 6. - С. 158-163.
2. Быковцев, Г. И. Теория пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. - Владивосток : Дальнаука, 1998.
- 528 с.
3. Бицено К.Б. Техническая динамика/ К.Б. Бицено, Р. Граммель. -М.: Гостеоретиздат. - Т. 1. -1950. -657 с.
4. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов,. -М. : Наука, 1978. - 208 с.
5. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - 701 с.
6. Кузнецов, П. Н. Упругопластическое состояние неоднородной плоскости с круговым отверстием, подкрепленным эксцентрическим эллиптическим включением, при двухосном растяжении / П.Н. Кузнецов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - Т. 67, №8/2, - С. 90-97.
7. Марушкей, Ю. М. Двуосное растяжение упругопластического пространства с включением / Ю. М. Марушкей // Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 1975. - № 12. - С. 25-30.
8. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. - М. : Наука, 1966. - 707 с.
9. Спорыхин А. Н. Неодномерные задачи
упруговязкопластичности с неизвестной границей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. - 219 с.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
STUDING OF MECHANICAL BEHAVIOR ELASTO-PLASTIC CONSTRUCTIONS WITH A TRANSLATION HARDENING
A.V. Kovalev, V.V. Kovalev, A.Yu. Yakovlev
In the frame of the theory of plasticity with the help of the method of the small parameter determined by the stress and strain state in the elastic-plastic structures
s
Key words: elastic - plastic body, small parameter, hardening
