Анизотропная эксцентричная труба с учетом сжимаемости материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 374

АНИЗОТРОПНАЯ ЭКСЦЕНТРИЧНАЯ ТРУБА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА

Т. А. Кульпина

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Для анизотропной эксцентричной трубы из сжимаемого материала, находящейся под воздействием внутреннего давления, но без учета касательных усилий, определены компоненты напряженного состояния до первого приближения включительно.

The following is defined in the article: the components of stress condition up to the first approaching for anisotropic eccentric tube made of compressed material under internal pressure but without tangential forces.

Ключевые слова: анизотропия, эксцентричная труба, сжимаемость, давление.

Рассмотрим анизотропную эксцентричную трубу из сжимаемого материала под действием внутреннего давления p .

В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжений, отнесем к величине k - пределу текучести на сдвиг, величины, имеющие размерность длины, - к величине r(0 - радиусу пластической зоны при равномерном растяжении: S = 0 [2].

В результате получим безразмерные величины:

crij =&у / k, p = p / k, q = q / k ,Ti =Ti / k, G = G / k,

siJ = siJ / r°, u = u / r°, v = v / r°, w = w / r°, a = a / r°,

где cij - компоненты тензора напряжений, sij - компоненты скоростей деформации,

u, v, w - компоненты скоростей перемещений вдоль осей р, в, z соответственно.

Для решения задачи в цилиндрической системе координат используем уравнения равновесия [1]:

дср 1 дтрв дтр ср-св „

---— +----------— + —— + —-----= 0,

др р дв dz р

дтрв 1 дср дт в 2трв „

—— +--------------------------------------— + —— + —— = 0, (1)

др р дв дz р

дтр 1 дтв дс z т р

—— +-----------------------— +- + ^— = 0.

др р дв дz р

Пусть радиусы стенок трубы а и b(a < b), эксцентриситет - с. Уравнение внешнего контура трубы имеет вид

(х - с)2 + у2 = b2. (2)

Полагая х = rcose, у = rsine , перепишем (2) в виде

р2 -25р^в + (S2 -в2) = 0, (3)

где

я с r b a

S = -0, р = ~, в = ~, a= -0 > (4)

rs rs rs rs

r(° - радиус упругопластической зоны в невозмущенном состоянии.

Из (3) найдем

р = 5cose + Jfi2 -S2 sin2 в = в + Scose -5— sin2 в --^-—sin4 в +... (5)

^ 2в 8в3

Предполагается, что на внутренней поверхности трубы не действуют касательные усилия; тогда в нулевом приближении будем иметь

= т(р = в = 0 . (6)

Все остальные компоненты тензора напряжений зависят только от р .

Согласно (6) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат (1) примут вид

С с(0) -св0)

---р- + -°-----------------------------------------— = 0. (7)

йр р

Условие пластичности Мизеса в анизотропном состоянии в условиях сжимаемости имеет вид [3]

А(Ср -св)2 + В(св -cz )2 + C (cz -ср)2 = 6(1 + fc)2 , (8)

где A, B, C - постоянные величины, имеющие вид:

A = 1 + Sa,

B = 1 + 5b,

(9)

C = 1+ 5C. v 7

a,b, c, / - const. Пусть

т p + тв

Tz =-p^L, (ІО)

тогда условие пластичности (8) с учетом (10) примет вид:

4A + B + Cи _ „ ,2

((-тв)2 = 6(І + /т)2

(4 А + В + С )(<7„-СТ,)2 = 24(1 + /а)2.

'р ^е/ - 1 (11)

Решение уравнения (7) согласно условию пластичности (11) и граничному условию

ар = -р при р = а, р = соті

(12)

в пластической зоне имеет вид [4]:

(0)р = 1 р/ (Р)-М/____1

Р г ^ ' г'

/ а /

а

(0)р = 3 + 2/ 1 - р/ ( Р

3 - 4/ /

а

- м/

-. где

М = -

3 - 4/

(13)

В упругой зоне решение уравнения (7) определяется из условия сжимаемости, закона Гука и граничного условия

(14)

= Ч при Р = в

и имеет вид

ар)е = ч + 20С1

р2 V

, а(е0)е = Ч + 2вС1

Р2 V

С = соті. (15)

Постоянную С1 определим, удовлетворив (13) и (15) условиям сопряжения. Тогда выражения (15) принимают вид:

_(0> = „ М(1 - р/) аМ/ ар = Ч------------------------2— а

(

11

Р+в

(16)

а(0)е = а М(1 - р/) аМ/ ( 1

ае = ч--------------2—а

Р2 V

т(0)е = 0 1 ре ~ и ■

Величина г° определяется из трансцендентного уравнения

1 - р/ 3 - / м/ 1

а =----—-----------— а J--.

/ 3 - 4/ /

(17)

В рассматриваемой задаче внутренний контур и внешние нагрузки на нем не фиксированы, поэтому

М) р

Ф 0, а

(її) р

Ф 0.

(18)

у ’ у

Определим компоненты напряженного состояния в пластической области в первом приближении.

Линеаризуя условие пластичности (8), в первом приближении получим

(

36т

1 - р/ ч3 - 4 У,

Из (19) получим

\ 2 , N -2М/

а

Ґ

- 72

1 - р/ 3 - 4/

^(а(р) -Сд ))= 0, где т = 4а + Ь + с. (19)

а(ї) а(ї) = т ( 1 - р/ Л

СУ ГЛ — (У п — —

Р е 2

.3 - 4/

В первом приближении уравнения (1) примут вид:

2М/

1

6

1

1

1

1

1

йСР) СР) -сЄ )

Р - + - Р

йр

= 0,

Р

йр 2тР

ре + ре = 0

(21)

йр р

Решив второе уравнение системы (21), получим

т(ї) = £\_ Тре = р2 •

Найдем постоянную С1, удовлетворив (22) граничным условиям,

т(ї) (С(0) С(0)) Л = 0

ТрЄ - (Се -С р ) К\ = 0.

Из (22), (23) получим

С1 = і 8ш Є, где і =

тр( р/ -1 ^

Учитывая (22), (23), (24), получим

т(ї) =• 1 ре ~

Ґ 8ІпЄ Р2

(22)

(23)

(24)

(25)

Решим первое уравнение системы (21), учитывая условие (20),

С(рр) =-

1

2М/ р2М/

+ С

Ср) = я

Є „2М/

Р

2М/

-1

+ С2.

Определим компоненты напряженного состояния в упругой области в первом приближении.

Из условий сопряжения решения

ко> ]=".

С) + да*'

(0)

др

-Ри

аТ) +

да

др ' " др2 2 др

в первом приближении согласно (13), (16) получим

= 0 при р = 1;

= 0 при р = 1

(26)

)е =2 = 0 при р = и

а также

4

Се е = тРи при Р = 1, где И = И

(3 - 4/)2

3(1 - р/)(3 - /)

-а

-м/

(27)

(28)

1

Граничные условия на внешней поверхности трубы в первом приближении согласно (13), (16) и линеаризованным граничным условиям на внешнем контуре трубы в первом приближении

^ йР„ (Т) / (0) (0)\А йРт

йр

примут вид

п

п

_(1 )е _ _п_ р в4

а(1 )е ив -

в4

Г(Т)е _

1 рв

в4

р +

3р +

р +

1

в4 -1

в4 -1

4 V

в р~

008 в,

/

4 Л

3р+р р

008 в,

в -1

Из (28) и (31) найдем

р\$ _

Ип

в -1

в4 л р-7,

-008 в.

8Ш в.

(29)

ар)е _—^оо8и, трв _—^81пв при р_в, где п _М(1 -р/)а . (30)

Условия (27), (29) позволяют определить напряжения в упругой области:

(31)

(32)

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - Воронеж : Колос, 2005. - 205 с.

2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.

3. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - С. 33-185.

4. Михайлова, М. В. О влиянии сдвигов на упругоидеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении / М. В. Михайлова, Л. И. Афанасьева // Проблемы механики неупругих деформаций. - М. : Физматлит, 2001. - С. 211-228.

1

п

1

п