CC BY
20
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 118-126
Механика
УДК 539.374
Упругопластическое состояние неоднородной плоскости с круговым отверстием, подкрепленным включением, ограниченным эллипсами, при двуосном растяжении
П.Н. Кузнецов
Аннотация. Исследуется унругоиластическое двуосное напряженное состояние пластины с круговым отверстием, подкрепленным включением, ограниченным эллипсами. Рассматривается случай плоской деформации. Определяется граница уиругоиластической зоны, рассматривается влияние неоднородного включения на напряженное состояние плоскости.
Ключевые снова: плоская деформация, тензор напряжений, пластичность, упругость, уиругоиластическая граница.
Рассмотрим плоскость с эллиптическим включением. Плоскость ослаблена круговым отверстием радиуса R (рис. 1). Предел текучести материала включения равен к2, предел текучести материала плоскости — к\. Центр начала координат х, у совпадает с центром окружности. Пластина находится в состоянии двуосного растяжения под действием усилий на бесконечности Pi, Р2 (рис. 1).
Уравнение внутреннего контура включения Ь\ запишем в виде
г„2 2
уравнение внешнего контура включения L2 запишем в виде
г„2 2
—:-----2 + — 2 = (2)
(а + с) (Ь+с)
где а и b — полуоси эллипса Ь\, с — const.
Решение будем искать в приближенном виде аналогично [1—6]. Уравнение упругопластичсской границы запишем в виде
r = rM + Srsl, (3)
Рис. 1. Плоскость с эллиптическим включением и круговым отверстием
где 8 — малый безразмерный параметр.
В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, отнесем к величине г|,°\ Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесем к пределу текучести к\. Обозначим = X- Примем р = г/г[°\ р' = rsi/r[°K
Величины (а — 6)/2г[°\ {р\ — р2)/2к\ будем считать достаточно малыми, порядка 8 и обозначим
(о-6) f (Р1-Р2) f
~W = (4>
Далее примем
= d\8, 82 = d,28, di — const, 0 ^ di ^ 1. (5)
В исходном пулевом приближении при 5 = 0 имеем плоскость с включением, ограниченным окружностями, равномерно растягиваемым на бесконечности усилиями р = (р\ + р2)/'2к\ (рис. 2).
Рис. 2. Плоскость с включением, ограниченным окружностями
Радиус отверстия в безразмерном виде обозначим а = Н/г^\ внутренний радиус включения — ¡3 = {а + Ь)/'2г^\ внешний радиус включения — 7 = (а + 6 + 2с)/2г[°К Будем считать, что 7 < 1.
Компоненты напряжения запишем в полярной системе координат р, $: ар, ад, тр0. Решение будем искать в виде
= <г['})+ 8<г^. (6)
Припишем компонентам напряжения в зоне 1 индекс «1» внизу, компонентам напряжения в зоне включения в зоне 2 — индекс «2» внизу, вне включения в зоне 3 — индекс «3» (рис. 1). Компонентам напряжения в пластической области припишем индекс «р» наверху, в упругой области — индекс «е» наверху.
Рассмотрим напряженное состояние в исходном нулевом приближении.
Исходное напряженное состояние является осесимметричным
(°)р _ о т(°)р - о т{0)р - 0 (7)
тРв 1 — и’ тРв2 ~ и’ тРвл ~ и-
В зоне 1 условие пластичности примет вид
ащг _ „№ = _2> атР > (8)
В зоне включения в зоне 2 условие пластичности запишется в виде
= -2Х- О)
Вне зоны включения в зоне 3 условие пластичности запишется в виде
- 4Т = -2- (10)
Уравнение равновесия имеет вид
daf> aí°> - а>°>
dp
Из (8)—(11) имеем
= 0. (И)
а^ = 21пр+Сь a{¿)p = 2+2lnp+Cu
= 2* 1п р + С2, = 2* + 2Х 1п р + С2, (12)
ар2 ^y-rv¿,
v{p°Jp = 2 ln p + C3, 4l)p = 2 + 2 ln p + C3,
где С i, Сг, Сз — постоянные.
Из условия (7$Р\ а = 0 определим постоянную С\
С\ = —21п а.
Получим
Условие сопряжения компонент напряжений на внутреннем контуре эллиптического включения запишется в виде
СГ(0И = СГ(0И (14)
иР1 Iр=/з Р2 IР=р-
Согласно (12)—(14) получим
о-^’’ = 2х1п| + 21п- + 2х.
р а
(15)
На границе р = ¡3 имеет место разрыв напряжений <т^р
<7е°)Р-<7е01)Р = 2(х-1)- (16)
Условие сопряжения компонент напряжений на внешнем контуре эллиптического включения запишется в виде
а1°}Р\ = а{рЩ . (17)
р2 \ р=*у Рз 1р=7 4 '
Согласно (12), (15), (16) получим
ст(0)р = 21п^ + 21п- + 2Х1п I
7 ар
(0)р о і о1 Р і о і @ і о і
Гд = 2 + 21п-h 2 m-h 2 у In —.
3 7 ар
(18)
TJ " (0)р
На границе p = j имеет место разрыв напряжении ав
Согласно (16), (19) разрыв компоненты напряжения <т^р на внутреннем и внешнем контурах включительно совпадают.
гг . (0)е (0)е
При р —> ос имеет место dp = ад = р.
Решение в упругой области будем искать в виде
= °>”e = r+j2- т'рТ = 0- (20)
Из условия сопряжения компонент напряжений на упругопластичсской границе будем иметь
а1°Щ ,=4°)е| af)v I ,=<т1д)е\ (21)
Рл |р=1 Р |р=1’ V-J |р=1 в |р=1 4 ’
Из (18), (20), (21) имеем В
откуда
в 7
р - — = -2 In 7 + 2 In — + 2y In 4,
1 ар
В в 7
¡o + — = 2 - 2 In 7 + 2 In — + 2у In 4,
1 ар
в 7
В = 1, р = 1 — 2 In 7 + 2 In — +2у In-?-.
a p
(22)
(23)
Учитывая, что a = Я/г!°}, = (a + 6)/2гГ и 7 = (о + 6 + 2с)/2г'и],
(Q)
„(°)
из
(23) получим
і Р 1 , х, (а + 6 + 2с)
= СХР її - її + Vі - Х)1п —7—“Л—
,(0) _ ....
2 ' v А1 (а + Ь) Уравнение эллипса (1) перепишем в виде
х2 У2 = г
(P + chS)2 (p-chS)2 ’
In Я
(24)
(25)
или
х2 {¡3 + d\8) + y2{¡3-d\8y
1 = 0.
Пренебрегая малыми высшего порядка, уравнение (25) запишем в виде
х
1
d\8 ] + у2
+ ~^di8
02 03 J * ур2 03
Перейдем к полярным координатам по формулам
х = р cos 9, у = р sin 9.
В первом приближении будем иметь
1 = 0.
(26)
cos
2 9 sin2 9
—vd\8 cos2 9 + —sin2 б?
рА рА
1 = 0,
(27)
откуда
р = ¡3 + й\8 со8 29. (28)
Контур кругового отверстия фиксирован, поэтому в зоне 1 величины
г >р
ijl
Граничные условия на контуре Ь\ (рис. 1) запишутся в виде [2]
' da(0)p
/р , ио рі /
° pi Н-------------3--Ps і
dp
( da(0)p
I ГР , а° Р2 /
— \a p-> ^-----3—P* і
p=P
jp pe і
J°)p _ а(0)П Pjl аві api ) 0
= T
P=H
jp
рв'ї
dp
r(0 )p e2
p=P Mp\ f£s1
p- ) (3
p=P
(29)
где точка наверху означает дифференцирование по 0. Из (29) следует, что
а
гр
= л (1 -х) di cos 20,
jp
= “7 (1 х) di sin 20.
(ЗО)
рв'2 \p=f) 0 Согласно [2] из (30) получим
а'рр2 = ( V^sin (>/31n/?) + cos (>/31n/?
+ sin (V31n/3) - V3COS (7з1п/з) sin ^\/31np^ eos 20,
eos ( \/3 ln p ) +
,p _ 2(1-X)
02
O‘a.. = —------------------di
\/3sin (7зln¡3^ + eos (|\/3ln¡3^ eos ^lnpj +
sin ^\/31n/3^ — \/3cos ^\/31n/3^ sin ^\/31np^ cos 20,
x ^cos (7з ln eos (7з ln pj + sin (V3 In sin (V3 ln p'j^ sin 20.
Уравнение эллипса (2) перепишем в виде
х
(7 + d\8)2 (7 - d\8)2
= 1.
(31)
(32)
Уравнение эллипса (рис. 1) аналогично (28) в полярных координатах примет вид
р = 7 + (¿1<5 соз 20. (33)
Граничные условия при р = 7 запишутся в виде [2]
' da(Q)p '
ip ааР2 ,
° Р2 н----J^Ps2
dp
da(0)p N
ip uo рл /
= I (J‘L + —:------------Ps2
p-¿
p=7
dp
(34)
P=7
Условия сопряжения напряжений на границе Ь2 (рис. 1) при р = 7 имеют вид
п'р I = п'р I т'р I = т'р I ("«'1
р2 I р=<у РЗ I р=<у ’ Р2 I р=<у РЗ I р=<у * ' '
Согласно [2] из (33)-(35) получим
/р _ 2 (1 — х)
-dx
л/3 sin (7з In ¡3^ + cos ^\/3 ln ¡3^ cos ^\/3 ln pj +
sin ^\/3 In /3^ — \/3 cos ^\/3 In /3^ sin ^\/31np^ cos 20,
/р 2(!-х), о в-л = -----di
\/3sin ^\/3 ln ¡3^j + cos ^л/Зln ¡3^j cos ^л/3 In pj +
sin ^\/31n/3^ — \/3cos ^\/3 ln /3^ sin ^\/31np^ cos 20,
х ^cos ^\/3 ln¡3^j cos (|\/3 ln pj + sin (|\/3 ln sin (|\/3 ln p^ sin20.
(36)
Условия сопряжения напряжений в пластической и упругой областях при р = 1 имеют вид
(37)
~'Р I ~'е I
<т = <7
рЗ I р= 1 U Р\р=1
fP I re
Т рв-á I Р=1 ~ Т pi
1р=1
ст'рг = —¿2 cos 29 = а2 cos 29,
&'е3 = d,2 cos 29 = — a2 cos 29,
T'epe-¿ = ^2 sin 20 = —02 sin 20.
Откуда 02 = —(¿з- Решение в упругой области будем искать в виде
(т'еп = {— Л- + Д-1 oí,' cos 20 + ( Д-----------------------b'Á' cos 20 +
4 1 2/2
р4 р^
р* р2 ' ~2
4 3
1-------, + —Г ) d-¿ cos 20,
Р Р
1 2 { 3 \
сг'й = —г оо cos 20----------г 60" cos 20 + ( 1 н------т) d-¿ cos 20,
Р Р V Р)
Т'рв = ( - ^4 + ^2 ) °2 SÍn 20 + ( ^ - ^2 ) ^2" Sin 20 ■
2 1
И—9-----Т dz sin 20.
р р
Из (38)—(39) получим
02 =2 (1-х) di (v^sin (v^ln/í) + cos b'2 = 4 (1 — x) di cos (V3 In .
Из (37), (39) следует
(38)
(39)
a p= ~f^(1-x)diX
>/3 [ 2
sin (7з In + 2 f - 2 j cos (V3 In j cos 20 +
4 3
1-------5- + —г ) (¿2 COS 20,
P P
а'в = ^2 i1 ~ X) X
x ^\/3sin ^\/31n/3^ - 3cos ^\/31n/3^ cos20 + ^1 + <¿2 cos20,
Т'рв = ^2 (! -x)di X
\/3 ( 1
sin (V3 In f - 1 j cos ^л/3 ln j sin 20 +
H—9------T (¿2 sin 20.
Pl P4
Величину p' определим из условия сопряжения
da
(О )р \
вг J
dp
I >е
= \ о в
da
(0)е
Р=1
dp
Р=1
Из (18), (20), (36), (41), (42) следует, что
, (2d\ (х — 1) cos (\/3 In 0) + (¿2) cos 20
Р X '
Таким образом, уравнение упругопластичсской границы имеет вид
(2d\ (х — 1) cos (\/3 In ¡3) + (¿2) cos 20
р = 1 + 8-
X
(41)
(42)
(43)
(44)
В случае равномерного растяжения пластины в (44) следует положить (¿2 = 0. В случае отсутствия эксцентриситета у эллипса включения — положить (¿1 = 0. При (¿1 = 1, (¿2 = 0 из (44) следует
р = 1 + 8
2 (х — 1) cos (\/3 In 0) cos 20
X
(45)
Список литературы
1. Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных сред. М.: Мир, 1964. 156 с.
2. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978.
3. Роштова А.Н. О предельных статически определимых условиях отрыва для сжимаемого анизотропного материала // Вестник Самарского государственного университета. 2007. № 6(56). С. 5-12.
4. Тихонов С. В. Об уиругоиластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления // Вестник Самарского государственного университета. 2007. № 6(56). С. 13-21.
5. Це,тстова Е.А. Пространственное течение идеалыюиластического слоя в случае неоднородных свойств материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 1999. № 7. С. 45-47.
6. Spenser A.J.M. Perturbation methods in plasticity, I. Plane strain of nonhomogeneous plastic solids // J. Mech. and Phys. Solids. 1961. № 4.
Поступило 26.03.2009
Кузнецов Павел Николаевич ([email protected]), аспирант, кафедра математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева.
Elastoplastic condition of plain with apertures and elliptical non-uniform bodies with biaxial strain
P.N. Kuznetsov
Abstract. The elastoplastic condition of plain with apertures and elliptical non-uniform bodies with biaxial strain is investigated. The flat deformation is observed. The elastoplastic limit, influence of elliptical non-uniform body on strained condition of a plain arc considered.
Keywords: plane deformation, stress tensor.
Kuznetsov Pavel ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical analysis, Yakovlev Chuvash State Pedagogical University.
