CC BY
8
УДК 539.374
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
Т. Н. Павлова
ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
В настоящей работе определяются перемещения в тонкой упругопластической пластине, ослабленной эллиптическим отверстием, находящейся под действием растягивающих усилий.
The shifts in the thin elastoplastic slab weakened by an elliptic aperture being under the influence of stretching efforts are defined in the following work.
Ключевые слова: напряжение, деформация, упругость, пластичность, анизотропия.
Для определения напряжения вблизи отверстия имеет место задача Коши и идеальнопластическое напряженное состояние определяется условиями на границе отверстия. Далее из условия сопряжения напряжений на границе пластической области и условия на бесконечности определяется напряженное состояние в упругой зоне.
Деформированное состояние определяется в обратном порядке. В начале по известным компонентам напряжения определяется деформированное состояние в упругой области, а далее из условий сопряжения перемещения на границе упругопластической зоны по известным уравнениям для компонентов перемещения в пластической области определяются компоненты деформации в пластической зоне.
Определим перемещение в пластической и упругой областях. Характер изменения деформированного состояния в некоторой точке P в процессе нагружения в рассматриваемом случае представляется следующим образом: сначала возрастают упругие деформации; затем, когда граница упругопластического состояния материала достигает точки P, процесс изменения упругих деформаций прекращается, так как изменения напряжений в пластической зоне в рассматриваемом случае не происходит. При дальнейшем возрастании нагрузок возникают пластические деформации.
Согласно [3] перемещения и деформации в упругой и пластической областях примут вид
(1)
е0 =^(1 --(2ln р-1)), е0 = 0. 2E р
В упругой области согласно [1], [3] получим
— 2 — I
(N - 2N)-(N - N) cos 2в +
где
(
-Р(1 + ц)(Ш - 3М) - (1+ А\{М -М) 5р 3 р
\
008 40
и0е =
1
£+£(N - 2N) -£±(N - N) 3Р Р
р5-(1 + /и)(2М - 3М) - рМ -М)
л
8Іп 20
1
\
8Іп 40
^ = ( + к )па + -3 (і-а2)) + ( -1),
N = а (' - к )а (251п а - 2) + 31 - а2^,
М = а(к + к2) (2 + —' | (-а(2 - 1п а) - 225(321п а -17)), N = а ((/) - к(()) (а 1п а - 4а- 2) - (2 + аё1),
М = 2а2
1 + —' ^(к1 + к2 )(2 - 1па)-
Имеет место условие пластичности
1 г К +< )2 К-< )2
к 1 к2
ОО82(20) -тр)2 8Іп2(20)
1 1 (1 + 1) - (_ + __ )у р 0 ’
к1 к2 2
+(-1 -
к2 к1
008(20) + ггрв 8Іп(20)
(^-д* )гр00 008(20) 8Іп(20)
к1к2
-Р 2 ° эт(20) - сов(20)]2 = 0.
В пластической зоне согласно [3] и ассоциированному закону течения имеют место следующие соотношения:
/
е = ер =А^ = А
Р Р дар
1
(гг ( Р Р ) ЛТ( Р ^ЛТ( Р)
к1к2
Л
•ОО8220
-1(2. _1л (2. - 1 \ 008 20
2 к к2 к2 к1 2
Тр ст(р) -ст(р) тр
8Іп 40 - — (—--------------0— 8Іп2 20----— 8Іп 40)
2кк 2 2
(3)
ев = е0РР = 1
Из (4)следует
до0
= Я
(Л р)
к1к2
г( р)
о(рр) - О0Р) 2
—----------------008 2в
_ 1(2_ К - Л - 1 ) 008 20
2 к1 к2 к2 к1 2
■р Ор) _Ор) Тр
8Ш 40 + ^(—-------------0— 8Ш2 20----— 8Ш 40)
2к1к2
V-
■ = Я.
д//ёар д//ёа- д//ёг—
В соотношениях (5) присутствуют компоненты пластической деформации, так как только они испытывают приращения в пластической зоне при возрастании нагрузки, причем при ^ = 0 имеют место равенства ерр = е— = е—= 0 . Момент времени ^ = 0 для каждой точки А отсчитывается с момента прохождения через нее упругопластической границы.
Полные деформации при ^ = 0 , т. е. в момент возникновения пластических деформаций, отличны от нуля и совпадают с упругими деформациями, накопленными элементом тела к моменту достижения им предела текучести. Перепишем соотношения (5) в виде
— _ е0 = 2 (ер0_ ер—)
е _ е
р р
д/^Ор д//ёс
^№ТР0
= 1
С учетом (5) соотношения (6) перепишем в виде
ер_ер = е- _е0 = 2(ер0 е р0)
13
с
= Л,
(6)
(7)
(5)
где
А =
(гг ( Р )
к1к2
г( Р )
оО) _ О00) 2
----------------008 20
_ 1(.1 .1л (1_ _ 1 ) 008 20
2 к1 к2 к2 к1 2
■ р О( р) _о р) Тр
8Ш 40 _ ^(—------------------0— 8Ш2 20-------— 8Ш 40)
2к1к2
В =
(г* ( Р )
к1к2
2
г( Р)
оО) _ О00) 2
■ —-------------008 20
_ 1(1_ _1л _ (_1 _ 1 ) 008 20
2 к1 к2 к2 к1 2
ТР —Р) -—(Р)
рв 8Іп4в + Г(—-------- — 8Іп2 2в—— 8Іп4в)
2к1к2
С =
2тв 2 1 1
----— 8ІП 2в + (-----------)8Іп2в-
к1к2 к2 к1
—) - —в ) 2 — —Р) - —вР)
—------------ 8Іп4в + Г(2гРв 008 2в---------- ------------8Іп4в)
2к1к2
Упругие деформации при и = — примут вид
Єр = I —--------------— в
р ЕI р 2 -
(8)
ее = ^ Єре 2С •
Согласно [2] запишем соотношения для деформаций
ди(п) 1 ду( п) и(п)
Єр =-----------, ее =---------------1--------
р др р дв р
ду( п) у(п) 1 ди(п п
-----------------------1---------------
др р р дв
(9)
Согласно [2], (7), (8), (9) дифференциальные уравнения для определения перемещения в пластической области в первом приближении примут вид:
ди
(')
1
др Е
—ре(т -1п Р) +
к2 + к к—— 008 2в + (к2 + к-1 + Г )8Іп2 2в
1п р
(10)
ду() у() 1 ди()
= 2
др р р дв і Ер 2G
2а 1
рв
2 а * і а і і і
+-----(к2 -к1 +—(к2 + к1+ Г)8Іп4в).
Ер 2р
Из уравнений (10), (11) получим
XI) р _
(к1 + к2)
а2 3
3 а а ^
_а1п р + 1п р(1п а + — + —-----------------(3 _—)) + —(- + ^)
4 2 р 2 2р 4
_~(р+ ~~~ + (1 _р)1пр) + [(к _ к2))а1п2 р(2 _р + а—(\Па + п
2р
1
-2)) 1+-2
2 ) 2'
а2 Д 3 . 225, Д
+1п р(_а(61па_ 5) _ 4а--(4а +—)) +—р + С21*
р 2 ) 2
008 20 +
[(к! + к2 )|_-<8 + 81па+ ^ *”) _—1п р(- + ^')(321па_ 17) _
а21пр 15
1
1
2р
*
V (I) Р = С00 +
(-п 17 ^) п— (1 _ 1п р) —р(1п р_ 1) + С
р
008 40,
р
8а
2 (
Е
(
а а
\
(к1 _к2) (_ 1пр(1 п—)--------(2_ 1па)
I р р
)
айх
р
2а
~0
(
1
(к1_ к2) I 21п р_р
] + 1п р + 2 [(к1 _ к2) х
За 7 а 1,
1п2 р(“^ р—4— 4) + 1п р(ар(1 _ 3(1 + 21п а)) па21п ап
' 4 р2) + р(3а(5 + 21п а) _ 1 рр _Т 1п3 р'] + (_2С21* + С22*р)
8Ш 20 +
Е
+Е'хк1 + к'2)(— _ 2+1па) ]+2. ((к; + к2) (а"1п рх
ч 2 р ) О'
х(2_—1пр_ 1па + 2Е (1 _ 1па))]_4[(к1 + к2)(_а21прх
(12)
1 3 225 1
х(- + 81п а + —_ — (- + ^)(321па_ 17)р1п р_ 1) _ 8 4 2 2
Л
+Тр (2_1пр)+
а /15 пгч, 2 р 1 л 1\
-----(— +17 ^)1п р +----------- (1п р—)
4 2 ’ н 4 4р2 2’ у
+ (_4С41* + С42*р)] 8) 40.
Из (3), (11) и условий сопряжения найдем коэффициенты С00*, С21*, С22*, С41*, С42*
С * = 0
^00 _
С21 = А2 M2,
где
С22*= В2 -N2 + 2(А2 -М2),
с41* = А4 - ММ 4,
с42* = В4 - N.+4(А4 - ММ4),
А = -1(1+^) г,
Е
А = Е- 2N) - 2(N - N^,
А. =1 {7(1+М)(2М - 3М) - (1+А(М - М)
Е і 5 3
В = ^{(1+^)(м - 2^) - (М-1)(N - N 1,
1 { 1
В = і! 7(1 + ^)(2М - 3М) -^ (М -М)
ЕI 5 3
ММ 2 =—(к + к2)(-+г) -—(1+—) +
2 2 4 2 2
+(к1 - к2)(а2(1п а - 4) - -1) + 2,
М. = -—(к1 +к2)(1 + 81па + 3 Г) +—, 4 1 8 4 2
Й2 = (к1 - к,,)
1
8а , ч 2а
----(2 - 1па- а )------
Е ^ и О
+2 |а 1па + —) + 3а(5 + 21па) —
N4 = 4(к1+ к2)(2+г)
{ 2а3
225
(1па - 2)--------(321па -17) +-------
Е 2 32
—Г.
где К, М, К, М, N определены согласно [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бицено, К. Б. Техническая академия / К. Б. Бицено, Р. Граммель. - Л. : Гостехиздат, 1950. - 900 с.
2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 0.
3. Павлова, Т. Н. Двуосное растяжение тонкой упругопластической анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием / Т. Н. Павлова // Научный сборник по широкому спектру проблем строительной механики и теории сооружений. - Саратов : СГТУ, 2010. - С. 183-190.
