О вычислении криволинейного мультипликативного интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64 ББК 22.143 К 59

Козлов В.А.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент кафедры .математики и .методики преподавания Армавирской государственной педагогической академии, Армавир, e-mail: [email protected] Паланджянц Л.Ж.

- ,

- -, , e-mail: [email protected]

О вычислении криволинейного мультипликативного интеграла

(Рецензирована)

Аннотация

Предлагается метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла от .матричных функций произвольного порядка. Интегрирование ведется вдоль прямоугольника на плоскости с помощью дифференциального представления соответствующего обыкновенного мультипликативного .

: , .

Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor of Department of Mathematics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical Academy, Armavir, e-mail: [email protected]

Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 57-03-53, e-mail: [email protected]

The computation of a curvilinear multiplicative integral

Abstract

The paper proposes a method to calculate the curvilinear multiplicative integral proceeding from matrix

functions of any order. The integration is performed along a rectangle on the plane with the help of differential

representation of the corresponding ordinary multiplicative integral.

Keywords: multiplicative integral, curvature.

В статье приводится метод вычисления криволинейного мультипликативного интеграла вдоль замкнутой кривой на плоскости, основанный на дифференциальном представлении обыкновенного мультипликативного интеграла. Основные понятия теории мультипликативного интеграла изложены в работах [1-6].

Мультипликативные интегралы

Ub

|E + A(t )dt, (1)

a

nb

JE + A(t )dt, (2)

a

где A(t) - матричная функция произвольного порядка, называют прямым и обратным.

Связь между прямым и обратным мультипликативными интегралами задается формулой

иЬ Л 1 пЬ

|Е + Л(г)ёг = |Е - Л(г )ёг . (3)

) а

Для вычисления прямого мультипликативного интеграла применяется следующее интегральное представление, известное как матрицант соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений:

У(г) = Е + jA(t)ёг + | |A(s)ds) IЛ(т)ёг+-

а а \ а у

Для обратного мультипликативного интеграла имеет место равенство

У (г) = Е + | Л(! )ёг + | Л(т) | A(s)dsdт

+ ■

Лемма 1. Для мультипликативного интеграла (1) имеет место следующее дифференциальное представление:

У (г) = Е + Л •г + (Л' - Л2— + (Л - 2 Л • Л - Л • Л + Л3— + ••• + Лп (г)^ +..., (4)

где Лп = Лп-1 • Л(г) - Л'п-1, Л = Е при соответствующих предположениях о дифференцируемости подынтегральной функции Л(!) .

Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для матричного дифференциального уравнения первого порядка

ёУ

— = УЛ(г), У(!0) = Е, (5)

где Л(г) - известная матричная функция, У = У (г) - искомая матричная функция, определенные при г > г0, Е - единичная матрица. Будем считать матрицу Л(г) бесконечно

дифференцируемой и ограниченной.

Из уравнения (5) получаем:

—у -

— = -Л(0У-\ У-чо = Е. (6)

Проинтегрируем равенство (6) по частям, учитывая уравнение

Уч(0 = ЕУ- -Е = -Л(г)У"V + |—(лу4 ) = -Л(г)У"V + А Л2 - — У-Ыг.

1 ёг ёг

Продолжая процесс интегрирования по частям в силу уравнения (6), получаем ряд

У- -Е = -Л(г)У"V + (Л2 - — У-1 -— (л3 - 2Л Л + ЛЛ' + Л"У-1 — + ■ ■ • . (7)

2 —Л

V

Умножим обе части уравнения (7) на У справа и вычислим У (г). Тогда получаем равенство (4):

л ,3

У л- ) = Е + Л • г + (л2 - Л У— + (л3 - 2 Л • Л - Л • Л + Л'— + ••• + Лп (г У— + • ••,

а

а

где Ап а)=Ап-1 а) Л(г ) - А'п-1 (г), п=1,2, _, а0(г )=е .

Если ряд (4) сходится, то он является решением задачи (5). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Мультипликативный интеграл (2) имеет следующее дифференциальное представление:

У (г) = Е + Лг + (Л2 - Л— +(Л3 - 2 ЛЛ - Л'Л + Л' —+••• + вп—+•••, (8)

3!

п!

где Вп = ЛВп , - В' ,, В0 = Е.

^ п п-1 п-1 5 О

Доказательство проводится аналогично лемме 1.

Лемма 3. Произведение двух рядов с матричными коэффициентами вычисляется по формуле:

I<2^■ IрпХ=І зI

т=0

т!

п=0

п! п=о п!

ОР-ХУ

і=о V' у

(9)

где

п

Vі У

п!

і!(п - і)!

---коэффициенты бинома Ньютона.

Доказательство проводится индукцией по п . Вычисления показывают, что справедливо следующее равенство:

IОп^Ъ^=Е+Ц 2ірі-іХ>Ьі +

т=0 Ш[ п=0 П- 11 і=0 V/

1 з (Ъ\ . .. і

А X ' /Л ТЛ 1 Ч — 1 -1-

3! і=0 Vі /

+т,I , О.Рз-х'у1-1+■■■+-I О,Рп-,Хуп +■

п! і=0 Vі /

откуда и следует утверждение леммы 3.

Лемма 4. Произведение двух рядов от двух переменных с матричными коэффициентами вычисляется по формуле:

^ ^ ^ і+1 — п

£ 4хУ ■ £ В^У1 = £ - £ ^у

і, 1=0 і, 1=0 п=0 у п* і, 1=0

(10)

где са = X

■ А В

кя п-к ,п - я •

к ,$=о Vк + ^ )

Доказательство проводится индукцией по п .

Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл второго рода

|Е + Р(х, у )х + О(х, у )у.

(11)

Вычислим приближенно интеграл (11), считая, что кривая с ограничивает область достаточно малой площади.

Для вычисления интеграла (11) воспользуемся дифференциальным представлением мультипликативного интеграла, данным в лемме 1. Это необходимо, поскольку алгебраическая структура подынтегральной матричной функции неизвестна и невозмож-

т

п

с

но применить алгебраические методы вычисления мультипликативного интеграла, используя структуру матричной функции.

Теорема. Криволинейный мультипликативный интеграл (11) имеет следующее представление в виде ряда:

О ^

|Е + Рйх + Qdy = £Кг]хгу], (12)

с г, ] =О

где с - прямоугольник на плоскости с вершинами в точках (О,О),(х,О), (х,у),(О,у); Кц -матричные функции, зависящие от Р и Q, и их производных по переменным х и у :

У

і+] - к, і+] - я ’

1 гц (г + Л ~ 1 гЦ (г + Л ~~

Л = Ш*йг И, ‘Л' = Ш,йг )-0р■

дР (х О)

Рп(х,О) = Р(х,О)Рп-1 (х,О)---п-=^, п = 1,2,к, Ро(х,О) = Е .

дх

Q„(x, у)=№ y)Qn-l(x, у) -д° -д( x, у), п=1,2,к, Qo(x, У)=Е.

дУ

~ ~ дР (х у)

Рп (х, у) = Р( х, у) Рп-1( х, у)-п-д-^), п = 1,2, к, Р-( х, у) = Е;

дх

о,(О,у) = Q(О,у)й-1(О,у)-да'~-д(О’у). п = 1,2,к, Qo(О,у) = Е.

ду

Доказательство. Вычисляя интеграл по сторонам прямоугольника, получим разложение криволинейного интеграла в произведение четырех обыкновенных мультипликативных интегралов:

|Е + Pdx + Qdy = |Е + Q(О,у —у- |Е + Р(х,у —х- ]Е + Q(x,у —у -1Е + Р(х,О—х . (13)

с ух О О

Каждый из четырех обыкновенных мультипликативных интегралов в (12) может быть вычислен с помощью формулы (8) из леммы 2.

Воспользуемся формулой (8). Тогда

хп

|Е + р(х,0)х = £ Рп (х,0) — (14)

О п=О п!

дР (х О)

где Рп(х,О) = Р(х,О)Рп-1 (х,О)------п-1 ’ , п = 1,2,к, Р-(х,О) = Е .

дх

Аналогично для второго интеграла из равенства (11) получаем

|Е + о(х у О (x, у) —. (15)

0 т=0 т!

где °(x, у) = °(x, y)Qn-1(x, у) - Э(°п -д( x, у), п =Ъ2, • • ■, Qo( х у) = Е.

ду

Теперь вычислим произведение интегралов (14) и (15).

у х

о о ж т ж п

|Е+Q(x,у —у-1Е + °(x,у) — •£Рп(х,О)—.

Применяя лемму 3, получаем

Е°(x,у) -г-ЕРп(х,О)-г=Е Е

^ т! п=О п! п=О. п!

п

т=О п=О *1' п=О

^Рп-ху’1-г

(16)

Вычислим теперь третий и четвертый интегралы из равенства (12). Согласно свойству мультипликативного интеграла и равенству (3), имеют место следующие соотношения:

|е + Р(х, ——х = |Е - Р(х, у —х, (17)

О у

и

\Е + °(0, у —у = \Е - °(0, у —у. (18)

у О

Воспользуемся равенством (4) из леммы 1.

х

и ж лу»п

Iе - Р(х у )ск = £ Рп(x, у)—, (19)

-1 п!

п=О

^E-Q(О,y—у = Х^п(О,у)2-т, (20)

т=О

т!

~ ~ дР (х у)

где Р(ху)=P(x,у)pn-l(x,у) —п-д , , п=1,2,к, у)=Е;

дх

Q„(О,у) = Q(О,у)<~„-1 (О,у)-д<2п'.!(0,у), п = 1,2,к, Qo(О,у) = Е.

ду

Тогда из равенств (17), (19) и (18), (20) получаем

х

о ж п

|Е + Р(х у = £ р„ (х у) —, (21)

„г

- п=О ,1-

\Е+Q(o, у —у = X Оп (о, у)уг ■ (22)

- т=О т!

Произведение интегралов (21) и (22) равно

О

х

О

т

О

т=0

Е+о(0, Уку ■ |Е + Р(х У)х = ЕОп(0, У)^ ■ ЕРп(x, У).

■> ■> ^ т! 0 п!

х

п!

Применяя лемму 3, получаем

I й(°, у) -I р.(х- у) х=I 1I

т=0

т!

п=0

п!

п=0

V п! і=0 V' У

ОРп-гхгу”

(23)

Для окончательного вычисления исходного интеграла необходимо перемножить ряды (23) и (16).

Предварительно введем обозначения:

і і і

п=0 V п! і=0 V 1 У

ОРп-гх1уп

1 п (п

= і А,ху, і-і

,1=0

п=0 V п! і=0 Vі У

ОРп-і ху

= і А/у] ,

,1=0

1 £1 (і + 1 ^ ~ 1 ^1 Л

где А = 77^ V ОР, , 4 ^7-^71

ОР.

(і +1')! і^-=0^ 1 ) (і +1)! і^7=04 і )

Тогда, применяя лемму 4, получаем

^ ^ ^

Ё ^~1хгу Ё Ах у = Ё к1х>

і, 1 =0 і, 1 =0 і, 1 =0

■ А А

кя і+1 -к ,і+1 -я

где К. =-----------V

(і +1)! к7=0 4 к + я у

Теорема доказана.

Следствие. Криволинейный мультипликативный интеграл вдоль прямоугольника с с вершинами в точках (0,0), (х,О), (х, у), (О, у) на плоскости имеет вид:

+

\Е+Р<к+О<Іу = Е + ( - Ру + ОР - РО ) + ([(х, Р] - 4РхР )

с

+(- Р, [о, р- - 2[Р, Ох ]+ [р, р, ]+р, Рх ]+Ох - Ру )+

2 3

+ -Р, [р, О]+ 2р, Ру ]-[р, Оу ]+[О, Ох ]-р,+о, )+Ру, о]-4ОуО )+ + (- 2 Р4 + 6[[Рх, Р], Р]+[Р!, Рх ]+2[Р, Рх ]+4 РххР - 2( Рх )2 )+ + (- 2О4 + 6[[Оу, О], О]+[О2, Оу ] + 2[О, О,, ] + 4ОууО - 2(Оу )2)+

+ (2[[О, Р], О] - [[О, Р2], О]+4[р,р , О]+2[[р, , Р], О]+4[ Р,О, Р]+[[О, Рх ], О] -[[Р, Оу ], Р] + 2[[Ох, О], Р] + 4[О, Р]Ох + [Оу, Рх ] + [Р, Руу ] + 2[О, Р„. ] +

-2 2

+ 2[Оху , Р] + 2ОххО + 2РРуу - 4РуО, - Руу + 2Охху)^ +

0

0

т

п

+ ([Q3, P] + 3[QP, Q]Q + 3[[Q, P, ], Q] - [Q,[Q,, Q]] + [[Q,, Q], P] + 3[QP, Q, ] +

3

+[Q,Q, P]+3[Q,P, Q]+[Q,, Q, ] - 2Q,Q, + 3[Q, Pyy ] + 3[Qy, Py ]+[Qxy, Q] - 2QQx,, - P•„,) ^+

+ ([Q, P3]+3P[PQ, P] - 3[P, [Qx, P]]+[P,, PQ] +[[P, P, ], P]+[[Px, P], Q]

+

3

+ т, Р] + [ РРх, Q] + [Рх, Ру ] - 2РуР + 3[Q--, Р] + 3^, Рх ] + 6РРуР- 2 Р—Р + О-) ~—3У + -.

Таким образом, криволинейный мультипликативный интеграл вычислен с точностью до четвертой степени переменных интегрирования.

Примечания: References:

1. Гантмахер ФР. Теория матриц. М.: Наука, 1. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.:

1988. 552 с. Nauka, 1988. 552 pp.

2. Маитуров O.B. Мультипликативный иите- 2. Manturov O.V. Multiplicative integral //

грал // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. Problems of geometry. 1990. Vol. 22. P. 167-C. 167-215. 215.

3. Палаиджяиц Л.Ж. Геометрия мультипли- 3. Palandzhyants L.Zh. Geometry of multiplica-кативиого интеграла. Майкоп: Качество, tive integral. Maikop: Kachestvo, 1997. 94 pp. 1997. 94 c.

4. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Развитие 4. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Develop-

- ment of the theory of multiplicative integra-ния полиномиальных матричных функций. tion of polynomial matrix functions. Maikop: Майкоп: Магарин ОТ., 2010. 109 с. Magarin O.G., 2010. 109 pp.

5. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Мультип- 5. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Multipli-

cative integral and representations of Lie групп и алгебр Ли. Майкоп: Магарин ОТ., groups and algebras. Maikop: Magarin O.G., 2010. 92 . 2010. 92 pp.

6. Козлов BA., Паланджянц ЛЖ. Мультип- 6. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. Multipli-ликативный интеграл и вариационные за- cative integral and variational problems. Mai-дачи. Майкоп: Магарин ОТ., 2012. 104 с. kop: Magarin O.G., 2012. 104 pp.