CC BY
4
УДК 517.373+512.647 ББК 22.161.12+22.143 К 59
Козлов Владимир Анатольевич
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики, математики и методики их преподавания Армавирского государственного педагогического университета, Армавир, e-mail: [email protected] Паланджянц Левон Жирайрович
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и системного анализа инженерно-экономического факультета Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. II
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается задача о полиномиальных криволинейных мультипликативных интегралах. Выявляется структура подалгебры мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. Исследование проводится по степеням полиномиальных кривых.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, мультипликативная интегрируемость, матричные функции.
Kozlov Vladimir Anatolyevich
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Department of Physics, of Mathematics and Methodology of Teaching Armavir State Pedagogical University, Armavir, e-mail: [email protected] Palandzhyants Levon Zhirayrovich
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
On subalgebra structure of the polynomial multiplicatively integrated matrix functions of the second order. II
Abstract. In this paper we consider the problem on polynomial curvilinear multiplicative integrals and reveal the structure of subalgebra of the multiplicatively integrated matrix functions of the second order. The research is conducted by degrees of polynomial curves.
Keywords: curvilinear multiplicative integral, multiplicative integrability, matrix functions.
Постановка задачи
Рассмотрим полиномиальный криволинейный мультипликативный интеграл
п
J E + P( x, y)dx + Q( x, y)dy (1)
c
вдоль кривой с полиномиальной параметризацией c : x = xn (t), y = ym (t), n, m e N, t e R,
x, y e R2; P(x, y) и Q(x, y) - непрерывные матричные функции второго порядка.
Обозначим множество полиномиальных мультипликативно интегрируемых функций через M (P, Q).
Целью статьи является продолжение исследования по выявлению структуры множества M(P, Q) при малых степенях подынтегральной матричной функции. Исследование будет проводиться индукцией по степеням полиномиальных кривых c : x = xn (t), y = ym (t), вдоль которых идет интегрирование. Отметим, что предыдущие по индукции случаи рассмотрены в работе [1].
В данной статье ограничимся линейными относительно x и y подынтегральными матричными функциями:
P( x, y) =
11 12 , ГЦ Н12
ß ßi Л
x +
V^21 ^22 J - 49
Vß21 ß22 J
• y,
fYu ГЛ
|Ч $2Л
0(х, у) = ■ X + у, , рг], , ^ е Л, /, 7 = 1,2.
4^21 ^22 У 4^21 ^22)
Вдоль кривой с : х = хп ^), у = ут ^) криволинейный мультипликативный интеграл (1) превращается в обыкновенный мультипликативный интеграл
п
У (( ) = | Е + Л(( ),
где Л(/) = ((Хп (Г), ут ())хП () + 0(Хп (), ут (Г))ут ()).
Первообразная У(/) удовлетворяет уравнению У' = Л(/)У.
Исследуем индукцией по степеням полиномиальных кривых хп (^), ут (^) .
[ х(^) = а0,
Случай 3. Пусть degxn(t) = 0, degym(t) = 1. Тогда c :
y(t) = bit + bo.
Следовательно, dx = 0, dy = b1dt, A(t) = ($..)b12t + ($n + ö22)b0b1 + (rn + y22)a0b1, i, j = 1,2.
где Y (t) =
Так как БрЛ(^) = 0, то
^11 + $22 = ^ Гц +/22 = 0. Как и в случае 2, найдем условия, при которых имеет решение уравнение У' = Л(I )У,
С^11 / ^Ъ ^ 21 С12 ^ ^12
V C21t + d21 C22t + d22 J
Прежде всего найдем произведение:
A(t) •Y (t) = k$iCi jbi2 +$2 C2 jbi2)t 2 + [$1d1 jbi2 + ($Ab1 +rna0bi)Ci j +$2d 2 jbi2 +
+ ($2b0b1 + Г 2a0b1 )C2 j J t + ($ib0b1 + ria0b1 )d1 j + ($2b0b1 + Г 2a0b1 )d2 j ), i, j = 1,2.
Теперь вычислим производную Y' =
к следующей системе уравнений:
$i1C1 j + $ 2C2 ja = 0,
CC hi 12
V C21 C22 J
. Приравнивая A(t)Y и Y', приходим
($1b0 + r-1a0)C1 j + ($2b0 + r-2a0)C2 j + $1b1d1 j + $2ib1d2 j = 0, b1(($1b0 + r1a0)d1 j + ($ 2b0 + Г 2a0)d2 j ) = Cij ,
(2)
$11 +$22 = 0
./11 +/22 = 0.
Дальнейшие вычисления повторяют вычисления случая 2. Таким образом, решения уравнения У ' = Л(I )У находятся из системы (4) (случай 2 работы [1]), в которой сделаны следующие замены обозначений:
ац ^ 5Ц , рг] ^ / , а1 ^ bl, а0 ^ Ь0 , а0 ^ Ь0 , ^ 7 = 1,2 .
) = а/ + а0,
Случай 4. Пусть deg xn (t) = 1, degym (t) = 1. Тогда c : ■
Следовательно, dx = a1dt, dy = b1dt,
y(t) = bt + b0.
A(t) = ((av )af + ((ß) + Г ))ab + $ )b?)t + + ((а„ )a0 a1 + ß )a1b0 + (Г, )a0b1 + )b0b1), i, j =1,2.
При этом SpA(t) = 0, то есть
Uau + а12)а2 + (ßu + уи + ß + у22 )aib1 + (^11 + ^22)b12, [(«„ +^12)a0a1 + (ß11 +ß22)a1b0 + (У11 +У22)а0Ь1 + (¿Л +^22)Ь0Ь1" Решим уравнение Y' = A(t)Y относительно Y. Положим
(3)
Y (t) =
c11t + d-ц v C21t + d21
c12t + d12 C22t + d22 J
Введем обозначения:
(/ ) = К К + (Д ) + (Г, + (5г] )Ь2, г, у = 1,2; (8) = (ащ )аоа1 + ( Д )а1Ь0 + (Уг} )аА + )Ь0Ь1 , ^ 7 = 1,2 Тогда А(0 = (/у )< + ), г, 7 = 1,2.
А(* V) = ((/у ) у + (8 у ) • ((су.)/ + ^ ) =
= (/1С1 у + Л2С2у У 2 + (8ПС1 у + £2С2у + /Ау + Л2^2у У + у + 8г2d2у ), К 7 = 1,2
Из равенства А(I = Y', где Y ' = (с у ), г, у = 1,2, получаем систему уравнений отно-
г, у = 1,2:
(/ 1с1 у + Л 2С2 у У 2 + (8г1С1 у + 8г 2С2 у + Л Д у + Л 2d2 у У + (£гД у + 8г 2d2 у ) = (Су ) .
Подробнее:
сительно c. ., d н
v "
.¿1С11 + f 12С12 = 0,
C11^11 + C21<?21 + f11d11 + f 12d 12 = 0
gndn + g12d12 = сш
f21C11 + f22C21 = 0,
Cng 21 + C21g22 + f21d11 + f22d21 = 0
g 21d11 + g 22d21 = C21,
f11C12 + f12C22 0,
C12 g11 + C22 g12 + f11d12 + f 12d22 = 0,
g11d12 + g12d22 = C12 ,
f21C12 + f22C21 = 0,
C12 g21 + C22g 22 + f21d12 + f22d22 = 0,
g 21d12 + g22d22 = C22.
Матрицу коэффициентов полученной системы приведем к ступенчатому виду:
c11 C12 C21 C22 d11 d12 d21 d22
f11 f12
g11 g12 f11 f12
-1 g11 g12
fn f12
g11 g12 fu f 12
- 1 g11 g12
f21 f22
g21 g 22 f21 f22
1 g21 g22
f21 f22
g21 g22 f21 f22
- 1 g 21 g 22
Строки 3, 6, 9, 12 перенесем в начало, выполнив прежде элементарные преобразования:
УР1 + /1lУPз, УР2 + 811 УPз, УРт + /21 УPз, УР2 + 82lУPз, УР4 + УпУРб ,
уръ + ёпУРв, урЮ + 1иУРб, урН + ёиУРв, где ур означает соответствующее уравнение системы.
Тогда матрица коэффициентов полученной системы приведется к виду:
cll C12 C21 C22 dll dl2 d2l d22
-1 Sll gl2
- 1 Sll gl2
- 1 g2l S 22
- 1 g2l S 22
f 12 ./ll gll fllgl2
Sl2 fll + Sl2l f 12 + Sllgl2
f 12 /ii gll fllgl2
Sl2 fll + Sl2l f 12 + gllgl2
f22 f2lgll f2lgl2
S 22 f21 + Sllg2l f22 + gl2S21
f22 f2lgll f2lgl2
S 22 f21 + Sllg2l f22 + gl2S21
После соответствующих элементарных преобразований получаем:
C11 C12 C21 C22 dll dl2 d21 d22
- 1 Sll gl2
- 1 Sll gl2
- 1 S 21 S 22
- 1 S 21 S 22
fllSll + fl2S21 /1igl2 + fl2S22
fll + gll + gl2S21 f 12 + gllgl2 + gl2g
/l^l + .^2S21 fllgl2 + fl2S 22
/1i + gll + gl2S21 fl2 + Sllgl2 + gl2g
f2lg 11 + f22S21 f2lgl2 + f22S22
f21 + Sllg 21 + g 22 g f2l + gl2S21 + g22
f21 gll + f22 g2l f2lgl2 + f22S 22
f21 + gllg 21 + g 22 g f22 + gl2S21 + g22
Очевидно, что система имеет ненулевые решения лишь при условии пропорциональности строк 5, 6, 9, 10 и 7, 8, 11, 12. То есть должны быть выполнены условия:
/\\ё\\ + /12821 _ /иёи + /2822
fll + gll + gl2g2l f\2 + gllgl2 + gl2g22
(4)
f1lSl1 + f12g2l _ f1lSl2 + f12S22
f2lSl1 + f22 S 21 f2lgl2 + f22 g22 fllgll + fl2S 21 _ fllgl2 + fl2S 22
f21 + Sllg21 + S22S21 f22 + gl2g2l + g
(5)
Условия (4) являются определяющими соотношениями подалгебре М (Р, О), а решения уравнения Y' = А{1 определяются системой:
" С11 + 811^1 + 8^21 = 0 - С12 + 8^12 + 812d22 = 0, " С21 + 821 + 822d21 = 0 — С22 + 821 ^2 + 822d22 = 0, (/¡1811 + /2821 К +(/11812 + /12822 )^21 = 0
.(/¡1811 + /12821 ^12 + (/п812 + /12822 У22 = 0,
где = (« )а2 + (Д + у )аД + )Ь2,
8 у = («у )а0а1 + (Д )аА + У )а0Ь1 + )Ь0Ь1 .
Кроме того, элементарные преобразования системы (4): а0УР1 — аУР2, затем в ур1 после приведения подобных приводят к определяющим соотношениям:
|а1 (11 + Д22 )+ Ь1 (^11 +^22 )= 0, | а1 («11 +«22 )+ Ь1 {У 11 + У 22 )= 0
(6)
a
или — = -
Ô11 + Ô22 ß11 + ß22
Ун +У22
«11 + «22
Таким образом, соотношения (5) и (6) полностью определяют структуру искомой подалгебры М (Р, О).
Примечания:
1. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интег-ририуемых матричных функций второго порядка. I // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2017. Вып. 4 (211). С. 54-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
References:
1. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On structure of subalgebra of second order polynomial multiplica-tively integrated matrix functions. I // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 4 (211). P. 54-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
