Об одной вариационной задаче теории мультипликативного интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 ББК 22.161.6 К 59

Козлов В.А.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа математического факультета Армавирской государственной педагогической академии, e-mail: [email protected] Кумшаев Е.Н.

Преподаватель кафедры математического анализа математического факультета Армавирской государственной педагогической академии, тел. (8613) 74-76-49 Паланджянц Л.Ж.

- ,

анализа Майкопского государственного технологического университета, тел. (8772) 57-03-53, email: [email protected]

Об одной вариационной задаче теории мультипликативного интеграла

(Рецензирована)

Аннотация

Рассматривается решение одной вариационной задачи теории мультипликативного интеграла. Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, вариация.

Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Mathematical Analysis Department of Mathematical Faculty, Armavir State Pedagogical Academy, e-mail: shagin196@ yandex.ru

Kumshaev E.N.

Lecturer of Mathematical Analysis Department of Mathematical Faculty, Armavir State Pedagogical Academy, ph. (8613) 74-76-49 Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department of Maikop State University of Technology, ph. (8772) 57-03-53, e-mail:

[email protected]

On a variation task of the theory of the multiplicative integral

Abstract

This paper considers the solution of a variation problem of the theory of the multiplicative integral. Keywords: curvilinear multiplicative integral, variation.

Впервые задачу о вариации криволинейного мультипликативного интеграла сформулировал О.В. Мантуров [1]. При этом более подробно была рассмотрена задача о кривизне криволинейного мультипликативного интеграла. В предположении о том, что кривизна зависит от некоторой функции одной переменной, предлагалось найти условия на эту функцию, при которых кривизна становилась нулевой. В случае квадратных матриц второго порядка формулировалась вариационная задача на минимум скалярного функционала.

Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл вдоль кривой у в области D с R2 с параметризацией x = x(t), y = y(t) [1]:

U

IE + P(x, y, u)dx + Q(x,y, u)dy , (1)

Y

где P(x, y, u) и Q(x,y, u) - непрерывно дифференцируемые n xn -матричные функции от трех переменных, а u = u( x, y) - неизвестная скалярная функция от двух пере-

менных X и у.

К(Р,Q) = Qх + Quux -Р -Рииу + PQ -QP - кривизна интеграла (1).

Кривизна К криволинейного мультипликативного интеграла представляет собой матричную функцию переменных х, у и и .

Сформулируем две задачи, связанные с нулевой кривизной криволинейного мультипликативного интеграла (1).

1. Найти функцию и (х, у), для которой кривизна интеграла (1) будет нулевой матрицей. При этом условие К = 0 является дифференциальным уравнением в частных производных с матричными коэффициентами относительно неизвестной функции и (X, у).

2. Предположим, что Р( х, у, и) = (р^) и Q( х, у, и) = (^) - непрерывно дифференцируемые 2 х 2-матричные функции от трех переменных х, у и и . Тогда

К = (кг]), где к1} = цг]Х + дг]иих - рг]у - ртиу + РгЯщ - ЯьРэ .

Условие 8рК = 0 имеет вид

„ ( дQ дQ ди дР дР ди Л Sp ^

V

дх ди дх ду ди ду

= 0.

Исключая случай, когда матрица К представляет собой каноническую жордано-ву форму, можно вместо условия К = 0 рассмотреть условие

18рКК *ds = 0, (2)

В

где 8р означает след, В - область, содержащая начальную точку х0, у0; ds - элемент площади.

Займемся решением второй задачи.

Вычисление функции и(х, у), удовлетворяющей условию (2), сводится к решению вариационной задачи на минимум скалярного функционала:

G(u) = 18рКК*ds , (3)

где

2

SpKK • = £ к2

Исследование на экстремум функционала (3) описано, например, в работе

[2, с. 312].

Введем обозначения:

ди ди т„^* ч дЬ дЬ

Р = ^~, Ч = -г-, ЯрШ = Ь(Х х y, p, q), Ь = —, Ь = —.

дх ду др дч

Тогда функция и (х, у) является решением уравнения Эйлера

дд

Ьи -аХЬр-ТуЬч =0 (4)

Легко увидеть, что полученное уравнение (4) зависит от структуры матрицы К. Нам потребуются несколько утверждений, приводящих матрицу К к удобному виду для применения вариационной задачи. Одним из таких удобных видов является при-

О

надлежность матрицы K алгебре n х n -квадратных матричных функций со следом нуль, то есть sl(nR).

Лемма 1. Пусть P = CPC-1 ± CxC_1, Q = CQC-1 ± CyC_1 - калибровочные преобразования матричных функций Р и Q, где C = C(x, у) - некоторая невырожденная гладкая матричная функция. Пусть, далее, K = Qx - Py ± [Q, P]. Тогда K = CKC_1.

Утверждение леммы легко проверяется, причем, знак «+» нужно брать в случае

П U

интеграла I, а знак «-» - в случае интеграла I.

Лемма 2. Пусть P(x,у)е sl(n,R), Q(x,у)e sl(n,R). Тогда K(P,Q)e sl(n,R).

Доказательство. Имеем К(P, Q) = Qx - Py - [Q,P], откуда следует, что SpK (P, Q) = Sp(Qx) - Sp( Py) - -Sp([Q, P]). Учитывая, что Sp(Qx) = (SpQ ) = 0,

Sp( Py) = (SpP )y = 0, Sp([Q, P]) = 0, получаем SpK (P, Q) = 0, то есть

K(P, Q) e sl(n, R).

Однако, если K(P, Q) £ sl(2, R), то можно подобрать такое калибровочное преобразование неособой матричной функцией C(x, y), что при некоторых ограничениях

преобразованная матрица K = CKC_1 будет принадлежать алгебре 2 х 2-квадратных матричных функций со следом нуль.

Лемма 3. Пусть n = 2,

P = CPC-1 - CxC-1 е sl(2,R), Q = CQC- - C C- е sl(2, R), (5)

где ^рР)у = (SpQ)х и С = |(SpPdх + SpQdy). Тогда К(Р,0 е 81 (2,Я).

Доказательство. Принадлежность К(Р, Q) е 81 (2,Я) следует из леммы 2. Остается предъявить матричную функцию С (х, у). Из условий (5) имеем:

5рР = 5р(СРС-1) - 8р(СхС-1) = 0, SpQ = 8Р^С_1) - 8р(СуС_1) = 0,

Так как 5р(С/С_1) = 8рР и Sp(CQC_1) = SpQ , то получаем

8рР = Sp(CхC-1), SpQ = Sp(CyC-1). (6)

При С = (е^), /, ] = 1,2 уравнения (6) равносильны системе уравнений

| р11 + р22 = С11хе22 — е12 хе21 — С21хС12 + С22 хС11,

[ Ч11 + Ч22 = С11уе22 — е12уе21 — С21уС12 + С22уС11,

д д д д

или —Б^С = SpP, —Б^С = SpQ. Условие интегрируемости: —SpP =—SpQ .

дх ду ду дх

При этом (см., например, [3, с. 59]) имеет место равенство ёе1 С = |(SpPdх + SpQdy).

Таким образом, матричная функция С(х, у) вычислена в явном виде.

Покажем, что преобразованием подобия произвольную матричную функцию К е 81 (2, Я) можно свести к матричной функции К е 81 (2, Я), являющейся линейной относительно переменных и , р и Ч.

Теорема 1. Пусть К ■■

кп к12

к — к

21 Л11 У

С-

VС21 С22 У

К

ґ и V Я

— і

СК = КС. Тогда С =

С12 к21 + С2іР кіі — и

— С12Я + С21к1 кп — и J

Доказательство. Имеем

Из системы (7) получаем:

С11к11 + С12к21 _ С11и + С21р, С11к12 — С12к11 _ С12и + С22Р’ С21к11 + С22к21 _ С11Я — С21и, С21к12 — С21к11 _ С12Я — С22и.

С12 к21 + С21р

■'22

к11 — и — С12Я + С21к12

к11 _ и

21 к2 12 к1 РЯ

и — к11 и — к11

21 к2 12 к1 1 — РЯ

■'2П"'11

к 11 — и

к 11 — и

) = 0, ) = 0.

Так как

к к К + и + к12 к21

РЯ кп + кпкг1 — и — ря

ки — и ки — и

к11 — и

то, учитывая, что БвК = -кп - к1гкг1 и БвК = —и - ря, получаем:

кк к11 + и + к12 к21

РЯ БвіК — БвіК

к11 —и к11 —и

к11 — и

Пусть

(7)

(8)

Кроме того, из равенства СК = КС следует, что БвК = БвК. Следовательно,

С12

к к ря

к11 + и + т 12 21- --= 0, то есть С12 и С21 являются свободными переменными

кц — и кц — и

системы (8). Таким образом,

С =

Ґ— С12 к21 + С21р к11 — и

С12

С12 Я + С21кУ. к11 - и Теорема 1 доказана.

Следствие. Имеем 8рКК * = 2и2 + р2 + я2. Уравнение Эйлера (4) примет вид:

д2и д2и

- + -

Эх2 ду2

■ 2и,

(9)

С11 С12

С

12

С

21

С

11

12 11

где начальная точка x0, y0 е D. Отметим, что помимо начальных условий можно

сформулировать граничные условия на области D. Уравнение (9) представляет собой известное уравнение Пуассона (или Гельмгольца) (см., например, [4, с. 375]).

Таким образом, подбирая матрицу K соответствующим образом, можно получать дифференциальные уравнения в частных производных.

Покажем, что если K является линейной матричной функцией от переменных u , p и q, то уравнение Остроградского представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Пусть K = A(x, y)u + B(x,y) p + C (x,y)q, где A(x,y) = (aij), B(x, y) = (bij),

C(x,y) = (cij) - дифференцируемые 2x2- матричные функции.

Введем обозначения:

a = (ai1, ai2 , a21, a22) ,

Ъ = (Ьц , bi2 , b21, Ъ22 ) ,

C = (cii, C12 , C21, C22) .

Тогда

F = SpKK* = u2a2 + p2Ъ2 + q2c2 + 2up(a, Ъ) + 2uq(a, c) + 2pq(b, c),

где (a, Ъ) - скалярное произведение векторов a и Ъ .

Вычислим частные производные по переменным u, p и q .

dF dF dF

— = 2(ua + pb + qc)a, — = 2(ua + pb + qc)b , — = 2(ua + pb + qc)c.

du dp dq

Подставляя вычисленные значения частных производных в уравнение (4), получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

Ъ ux + 2(Ъ, c)uxy + c uyy = (a - (a, Ъ)x - (a, c)y )u - ((Ъ )x + (Ъ, c)y )ux - (Ъ, c)x + (c )y )uy.

Перейдем к исследованию второй вариации.

Для функционала

С ( du du

S = I L\ x,y,—,—, u

D У dx dy .

dxdy

формула второй вариации имеет вид: S2 S = 11 dxdy <

ГО 1 L 2 ro 1 L 2 ro 1 Г d 2L Y|

du2 dx vduduxj ^duduyj

(Su )2 +

d2L , p ч2 d2L c 2 d2L c c ,

+—i------ (Sux) + ——— (Suy) + ——-—Su„Su„ J*.

(dux )2

(duy)

duxdu/ x y

В нашем случае имеем функционал

L =

\

2

ua + ^~ Ъ + ^~ c

V vy'v 'V

dx dy

Вычислим частные производные второго порядка:

д 2Ь 2 д 2Ь 2 д 2Ь 2 д 2Ь

—т = 2а2, ------- = 2Ъ2, ------ = 2с2, ----------= 2аЬ ,

ди (дих) (диу) дихдиу

д_

дх

Удидиху

дд = — (2аЪ) = 0, —

дх ду

Г л

= — (2ас) = 0.

дидиу у ду

у /

Тогда вторая вариация (10) примет вид

£2£ = | {а {)2 + Ъ 2(ди )2 + с 2(ди)2 + ас(дихдиу )}ёу.

и

Таким образом, решена вариационная задача в случае, когда кривизна криволинейного мультипликативного интеграла является линейной функцией относительно переменных и, р и д.

Замечание 1. Отметим, что случаю К = А( х, у)и + В( х, у) р + С (х, у)д соответствует следующий выбор подынтегральных матричных функций, при котором одна из подынтегральных функций линейно зависит от и, Р(х, у, и) = В1(х,у)и , Q(х,у,и) = С1(х,у), где А = -Ву + [В1,С1], В = 0, С = -В1, С1х = 0.

Это обстоятельство позволяет сформулировать ряд задач, связанный с линейной зависимостью подынтегральных матричных функций от переменной и .

1. Одна из подынтегральных функций Р и Q линейно зависит от переменной и .

Пусть Р(х,у,и) = В(х,у)и , Q(х,у,и) = С(х,у), где В(х,у) и С(х,у) - достаточно гладкие матричные функции второго порядка.

Тогда

К = (- Ву + [В,С])и - Вр + Сх.

Следовательно,

КК * = (- Ву + [В, С ])(- ) + [В, С]* и2 + ((- Ву + [В, С]) + (- Ву + [В, С ]) ) +

*

х^" х '

+ ((- Ву + [В, С]) + В* (- Ву + [В, С]) - (вс* + СВ* )д + СХС

Вычислим Ь = 8рКК *.

Введем обозначения:

А = 8р(- Ву + [В, с ]) в*у + [ в, с ]*),

А2 = р(- Ву + [В, С ]) + (- Ву + [ В, С ])),

Аз = р(- Ву + [В, С ]) + В* (- Ву + [В, С ])),

А4 = 8р(ВВ*), а5 = —$р(вс *+СВ*),

А6=СхС;.

Тогда

Ь = А1и2 + А2и + А3ид + А4д2 + А5д + А6.

Имеем

Ьи = 2 А1и + А2 + А3д, Ьр = 0, Ьд = А3и + 2 А4 д + А5.

Следовательно, уравнение (4) запишется в виде

2 Аи + А2 + Азд — А3 уи — Азд — 2 А^д — 2 А4иху — А5у = 0,

откуда получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

2А4иху + 2А4уиу — (2А1 — А3у )и + А5у — А2 = 0 .

2. Обе подынтегральные функции Р и Q линейно зависят от переменной и . Пусть Р(х, у,и) = В(х, у)и , Q(х, у, и) = С(х, у)и, где В(х, у) и С(х, у) - достаточно гладкие матричные функции второго порядка.

Вычислим кривизну интеграла (1):

К = и2[В, С] + и(Вх — Су) + Вр — Сд.

Тогда

КК * = и 4([ В, С ][В, С ]*) + и 3([ В, С ](Вх —Су )* + (Вх —Су)[ В, С ]*) +

+ и 2( Вх — Су)(Вх — Су )* + и2 р([В, С ]Ви * + Ви[В, С ]*) — и2 д([В, С ]Си * + Си[С, В]*) +

+ ир(( Вх — Су) В* + В(Вх — Су )*) — ид(( Вх — Су )С * + С (Вх — Су )*) +

+ р2 ВВ* — д 2СС * — рд( ВС * + СВ*).

Вычислим Ь = 8рКК *.

Введем обозначения:

А = и 4 зр([В, С ][В, С ]*),

А2 = и>([В,С](Вх—Су)* + (Вх —Су)[В,С]*),

А3 = и 25р(Вх — Су )(Вх — Су ) ,

А4 = и2psp([B,С]Ви* + Ви[В,С]*),

А5 =— и2 дsp([B, С ]Си * + Си[С, В]*),

А6 = ирр( Вх — Су) в*,

А = — ид*р(( Вх — Су )С * + С (Вх — Су )*),

А = р2 лр( вв*),

А, =— д2 *р(СС *),

А10 =— рд^р( ВС * + СВ*).

Тогда

Ь = А1и4 + А2и3 + Аи2 + А4и2 р + А5и2 д + А6ир + А7ид + Ад р2 + А9 д2 + А10 рд.

Имеем:

ЬИ = 4А1и3 + 3А2и2 + 2Аи + 2А4ир + 2А5ид + А6р + А7 д,

Ьр = А4и2 + А6и + 2 Ад р + А10 д,

Ьд = А5и2 + А7и + 2 А, р + А10 р, д 2

— ЬР = А4хи + 2А4ир + А6хи + А6р + 2А8ихх + 2А8хр + А10хд + АШиху ,

d 2

dXLq = A5yu + 2Auq + A7yu + A7q + 2A9y4 + 2^yy + A10yP + A10Uxy •

Следовательно, уравнение (4) запишется в виде нелинейного дифференциального уравнения в частных производных:

2Auxx + 2A10Uxy + 2A9uyy + (2Ax + A10y - 2A6)ux + (2A)y + A10x - 2A7)Uy +

+ (2A6x + A7y - 2A3)u + ( A4x + A5y - 3 A2 )u 2 - 4A1u3.

В заключение статьи авторы надеются, что теория мультипликативного интеграла и связанные с ней вариационные задачи получат дальнейшее развитие.

Примечания:

1. Мантуров О.В. Мультипликативный интеграл // Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167-215.

2. . . -

. .:

. 1965. 424 .

3. . -

ным уравнениям в частных производных первого порядка. М., 1960. 260 с.

4. . ., . .

дифференциальным уравнениям с частными производными: точные решения. М.: Международная программа образования, 1996. 496 .

References:

1. Manturov O.V. Multiplícate integral // Geometry problems. 1990. Vol. 22. P. 167-215.

2. Elsgolts L.E. Differential equations and calculus of variations. M.: Nauka. 1965. 424 p.

3. Kamke E. The directory of the first-order partial differential equations. M., 1960. 260 p.

4. Zaytsev V.F., Polyanin A.D. The directory of the partial differential equations: exact decisions. M.: International education program, 1996. 496 p.