CC BY
7
УДК 512.647 ББК 22.143 К 59
Козлов В.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, математики и методики их преподавания Армавирского государственного педагогического университета, Армавир, e-mail: [email protected] Паланджянц Л.Ж.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и системного анализа инженерно-экономического факультета Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. I
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается задача о полиномиальных криволинейных мультипликативных интегралах. Выявляется структура подалгебры мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, мультипликативная интегрируемость, матричные функции.
Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Physics, Mathematics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical University, Armavir, e-mail: [email protected]
Palandzhyants L.Zh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
On structure of subalgebra of second order polynomial multiplicatively integrated matrix functions. I
Abstract. We consider here the task about polynomial curvilinear multiplicative integrals, as well as the structure of subalgebra of second order multiplicatively integrated matrix functions.
Keywords: curvilinear multiplicative integral, multiplicative integrability, matrix functions.
Постановка задачи
Рассмотрим полиномиальный криволинейный мультипликативный интеграл
п
J E + P( x, y)dx + Q( x, y)dy (1)
c
вдоль кривой с полиномиальной параметризацией c : x = xn (t), y = ym (t), n, m e N, t e R , x, y e R2; P(x, y) и Q(x, y) - непрерывные матричные функции второго порядка.
Будем говорить, что подынтегральная матричная функция принадлежит множеству полиномиальных мультипликативно интегрируемых функций, если криволинейный мультипликативный интеграл (1) является полиномиальным. Обозначим множество полиномиальных мультипликативно интегрируемых функций через M(P, Q) .
Целью статьи является выявление структуры множества M(P, Q) при малых степенях подынтегральной матричной функции. Исследование будет проводиться индукцией по степеням полиномиальных кривых c : x = xn (t), y = ym (t), вдоль которых идет интегрирование. Отметим, что случай обыкновенного мультипликативного интеграла рассмотрен в работах [1, 2].
В данной статье ограничимся линейными относительно x и y подынтегральными матричными функциями:
P( x, У) =
&12 ^ , fß11 ß12 x +
V^21 ^22 J
ß ß
■y,
22 J
f
Q( x, y) =
У11 У12
Л
x +
Ч ¿12 " V^21 ^22 J
• y, S,ßj eR j = 1,2.
4^21 ^22 У
Вдоль кривой с : х = хп ^), у = ут ^) криволинейный мультипликативный интеграл (1) превращается в обыкновенный мультипликативный интеграл
Y(()= JE + A(()dt,
где A(t ) = (( x„ (t ), (t )) x: (t ) + Q( xn (t ), ^ (t )) ^ (t ) ).
Первообразная Y (t ) удовлетворяет уравнению Y ' = A(t )Y . Согласно формуле Лиувилля,
I
det Y (( ) = exp J sp A(z)di
(2)
при этом à{{), sp à{{), J sp à{{)dt, det Y{t) - полиномиальные функции. В этом случае равенство (2) возможно лишь тогда, когда
sp A{t) = 0, J sp A{t)dt = const, det Y{t) = const.
Будем полагать, что Y{t0 ) = E . Это предположение не ограничивает общности, поскольку в качестве первообразной можно взять Y {t )Y 1 {t0 ), что легко проверяется. В самом деле,
{t {t )Y 1 {to {t )Y 1 {to )) = Y'{t)Y-{to )Y{to )Y- {{)= Y'{t)Y- {t) = à{{). Исследуем индукцией по степеням полиномиальных кривых deg xn (t), deg ym (t) . Случай 1. Пусть deg xn (t) = 0, deg ym (t) = 0 .
Тогда x'n (t ) = 0, y'm (t ) = 0 и, следовательно, A(t ) = 0, то есть Y {t ) = E . Таким образом, нулевая матрица O œ M(P, Q) .
Г x(t ) = a1t + a0,
Случай 2. Пусть deg xn (t) = 1, deg ym (t) = 0 . Тогда c : <
l y(t ) =
Следовательно,
dx = a1t, dy = 0, A(t) = (atj )a12t + (an +a22)a0a1 + (j11 + j22)a1b0, i, j = 1,2. Так как spA(t ) = 0, то
Г(а11 +a22)a12 = 0, l(a11 +a22)a0a1 + (j11 +022)a1b0 = 0. Откуда следует, что a11 + a22 = 0, j311 + j22 = 0 .
Из уравнения для производной Y' = A(t)Y получаем YY 1 = A(t) . Так как A(t) -многочлен первой степени, то Y(t) - также многочлен первой степени с неопределенными коэффициентами. Пусть
Y (t ) =
^111 + d-ц C121 d~12
VC21t Ъ d21 C22t Ъ d22 J
Решим уравнение Y' = A(t)Y . Вначале вычислим произведение
0
A{t )Y {t) = ((ailc1 $ + «г 2c2 aDt2 rf + (а^аа + ßnaiK)ci j + « 2d2 fll + + {«i2a0а1 + ß2а1Ь0 )d2 j \ t + {aiia0+ ßiaib0 «1 j + {«i 2a0+ ß2a1A0 )d2 j ) , ^ j = 1,2 •
Теперь вычислим производную Y' =
12
V C21
• Тогда уравнению Y' = A(t )Y после
"22 J
некоторых преобразований соответствует следующая система уравнений:
а-1с1 j +а 2 C2 a = 0
«i1d1 ja12 + {ai1a0 a1 +ß1a1b0)c1 j + «i 2d 2 ;a12 + {«i 2 a0 a1 +ß 2 a1b0)d2 j = 0 {ai1a0a1 +ßi1a1b0 )«1 j + {«i 2 a0 a1 +ß 2a1b0)d2 j = 0
«11 + «22 = 0
Д + Д22 = 0.
Преобразуя систему (3), получаем систему уравнений:
«11С11 + «12С21 = 0, «11С12 + «12 С22 = 0, «21С11 + «22 С21 = 0, «21С12 + «22С22 = 0,
ДАС11 + Д12Ь0 С21 + «„а1^1 +«12 21 = 0, Д11Ь0С12 + Д12Ь0С22 + «^11 а1 ^12 +«12 а^22 = 0, Д21Ь0 С11 + Д22Ь0С21 + +«22 а^21 = 0, Д21Ь0 С12 + Д22Ь0С 22 + ^^21 а1 ^12 +«22 а1<^22 = 0,
- Сц + («11а0 а1 + ДА а1)а11 + («12 а0 а1 + Д12Ь0 21 = 0
- С12 + («пао а1 + ^0^12 + («12 а0 а1 + Д12Ь0 al)d 22 = 0
- С21 + («21а0а1 + Д21Ь0а1^11 + («22а0а1 + Д22Ь0al)d22 = 0 - С22 + («21а0 а1 + Д21Ь0al)d12 + («22 а0 а1 + Д22Ь0al)d21 = 0 «11 +«22 = 0 Д +Д22 = 0.
Выпишем матрицу системы (4) без последних двух строк:
(3)
(4)
c
11
с11 C12 C21 C22 du d12 d21 d22
«11 «12
«11 «12
«12 «22 «21 «11
«12 «22 «21 «11
ß12b0 " -« ßA «и «11a1 «12a1
ß12A0 - -« ßA0 «11 «11a1 «22 a1
ß22^ -- —ß Ъ И21и0 —11 —22 a1
ß22Ъ0 -- — ß Ъ У21и0 —11 —21a1 —22al
—12 —11 a11a0 a1 + + ß1lalЪ0 —12 a0 a^1 1 + ß12 alЪ0
—12 —11 a11a0 a1 + + ß1lalЪ0 —12 a0 al 1 + ß12 alЪ0
- 1 —21a0 a1 + ^ ^^21 a1 Ъ0 —22 a0 al ^ + ß22 aA
- 1 —21a0 a1 + ^ ^^21 a1 Ъ0 —22 a0al ^ + ß22 alЪ0
СХ
В строках 3 и 4 необходимо положить —22--12 —21 = 0, в противном случае, соответ-
С11
ствующая система будет иметь лишь нулевые решения. Кроме того, перенесем строки 11 и 12 на место строк 3 и 4.
Дальнейшие вычисления показали, что для существования ненулевых решений требуется выполнение следующих соотношений:
—а + -—ААХ—л а1 + А1аА) —
«21«1 + (Р22Ъ0 -— ААХ—Лa1 + ß2laA)
«11
—12 a1 + (ß12 Ъ0 - ßlAX—2 a0 a1 +ß22 а1Ъ0)
= _«11_
—
—22 a1 + (ß22b0--- AAX—2 a0 a1 + ß22 a1b0)
—11a1 + (ß12b0 - ДАХ—Лa1 +ß21a1b0)
_«11_ =
—
a11a1a0 + ß11a1b0 +—12(a 21a0 a1 + ß21a1b0) —11
—12 a1 + (ß12 Ъ0 ßlAX—22 a0 a1 +ß22a1b0) =_—_
—12 a1a0 +ß12 a1b0 + ——22 a0 a1 +ß22 a1b0) —11
Кроме того, из пропорциональности некоторых строк следует, что:
—11а1 + (^12Ь0 -С" ДАХ—Л а1 + АЛ^
—11
—21a1 + (ß22 Ъ0 ß21b0)(—21a0a1 +ß21a1b0)
(5)
«12а1 + (Д12Ь0 - — ДА)(«22а0а1 +Д22аЮ =-«-' (6)
«22а1 + (Д22Ь0--- Д21Ь0)(«22а0а1 + Д22аА)
«11
«11а1 + (Д12Ь0 - — Д11Ь0)(«21а0а1 +Д21а1Ь0) _«Л_ =
«11 (а1а0 + Д11аА) +«^(«21а0 а1 +Д21а1Ь0)
«11
«12а1 + (Д12Ь0 - — Д11Ь0)(«22а0а1 +Д22аА) =_«_
«12 а1а0 +Д12 а1Ь0 + ~ («22 а0 а1 +Д22 а1Ь0) «11
«
Решим систему уравнений, учитывая, что «22--— «21 = 0, а также условия (5) и (6).
«11
Ранг матрицы системы равен 6. Переменные с21 и с22 выберем свободными. Тогда, сократив уравнения (5) и (6) на а1, получаем:
«11С11 +«12С21 = 0, «11С12 + «12С22 = 0 , «^ «Сл о С^л «2 2 а0
откуда С11 =--^ С21 , С12 =--- С22 , d11 =--Д-7------Д \ «21.
«11 «11 «21а0а1 +Д21а1Ь0 «21а0 а1 +Д21а1Ь0
Найдем d21 из соотношения
«11 + («21а0 а1 +Д21а1Ь0)(Д12Ь0 ДМ
«11_С =
21
а21а0 а + д21а1Ь0
а^аъа°а + дпаА) + дЛ - адиъ0)(а22а0а! + Д22-а,а + Д2Ъй - аДД))
d21 :
/-> 7 V/ 12 0 / 11 0 У V 22 0 1 / 22 1 0 12 1 V/ 12 0
«21а0 а1 +Д21а1Ь0 «11 «11
откуда нетрудно выразить d21 через свободную переменную с21 и далее d11 через с21. Так же выразить переменные d12 и d22 через свободную переменную с22. Таким образом, в случае 2 решение уравнения У' = Л{1 )У определяется из системы алгебраических уравнений:
«11С11 +«12С21 = 0, «11С12 +«12С22 = 0 ,
- С21 + («21а0а1 + Д^АМп + («22а0а1 +Д22аА)d21 = ^
- С22 + («21а0а1 + Д21а1Ь0^12 + («22а0а1 + Д22аАК2 = ^
«
(«11а1 + (Д12Ь0--" Д11Ь 0)(«21а1а0 + Д21аА)Мп +
«11 «
+ («12 а1 + (Д12Ь0--" Д11Ь0)(«22 а1а0 + Д22 21 = 0 ,
«11
(«11а1 + (Д12Ь0 Д11Ь0)(«21а1а0 + Д21а1Ь0 ))^2 + «11
+ («12 а1 + (Д12Ь0 Д11Ь 0 )(«22 а1а0 +Д22 alb0))d22 = 0. «11
Итак, множество М(Р, О) образует подалгебру алгебры Ли б1(2, Я) матричных функций второго порядка со следом нуль, с определяющими соотношениями (5) и (6) и
—22
—
12
—1
a21 = 0. Из последнего равенства следует, что
(— ), i, j = 1,2, должна быть вырожденной.
a
a
21
a г
a
22
= 0, то есть матрица
Примечания:
1. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О вычислении мультипликативного интеграла от полиномиальных матричных функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2010. Вып. 1 (53). С. 22-31. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Александрова И.А., Козлов В.А., Паланд-жянц Л. Ж. О мультипликативном интегрировании полиномиальных матричных функций // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2010. Вып. 2. С. 11-18. URL: http://vestnik.adygnet.ru
References:
1. Kozlov V.A., Palandjyants L.Zh. On the evaluation of the multiplicative integral of polynomial matrix functions // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2010. Iss. 1 (53). P. 22-31. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Aleksandrova I.L., Kozlov V.A., Palandjyants L.Zh. On multiplicative integration of polinomial matrix functions // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2010. Iss. 1 (61). P. 11-18. URL: http://vestnik.adygnet.ru
