CC BY
9
УДК 512.647+517.373 ББК 22.143+22.161.12 К 59
Козлов Владимир Анатольевич
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики, математики и методики их преподавания Армавирского государственного педагогического университета, Армавир, e-mail: [email protected] Паланджянц Левон Жирайрович
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и системного анализа инженерно-экономического факультета Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, тел. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
О структуре подалгебры полиномиальных мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. III
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматривается задача о полиномиальных криволинейных мультипликативных интегралах. Выявляется структура подалгебры мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка. Исследование проводится по степеням полиномиальных кривых.
Ключевые слова: криволинейный мультипликативный интеграл, мультипликативная интегрируемость, матричные функции, подалгебра.
Kozlov Vladimir Anatolyevich
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Department of Mathematics and Methodology of Teaching Armavir State Pedagogical University, Armavir, e-mail: [email protected] Palandzhyants Levon Zhirayrovich
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph. (8772) 570353, e-mail: [email protected]
On subalgebra structure of the polynomial multiplicatively integrated matrix functions of the second order. III
Abstract. In this paper, we consider the problem on polynomial curvilinear multiplicative integrals and reveal the structure of subalgebra of the multiplicatively integrated matrix functions of the second order. The research is conducted by degrees of polynomial curves.
Keywords: curvilinear multiplicative integral, multiplicative integrability, matrix functions, subalgebra.
Постановка задачи
Рассмотрим полиномиальный криволинейный мультипликативный интеграл
п
J E + P( x, y)dx + Q( x, y)dy (1)
c
вдоль кривой с полиномиальной параметризацией c : x = xn (t), y = ym (t), n, m e N, t e R , x, y e R2; P(x, y) и Q(x, y) - непрерывные матричные функции второго порядка.
Обозначим множество полиномиальных мультипликативно интегрируемых функций через M (P, Q).
Целью статьи является продолжение исследования по выявлению структуры множества M(P, Q) при малых степенях подынтегральной матричной функции. Исследование будет проводиться индукцией по степеням полиномиальных кривых c : x = xn (t), y = ym (t),
вдоль которых идет интегрирование. Отметим, что предыдущие по индукции случаи рассмотрены в работах [1, 2].
В данной статье ограничимся линейными относительно x и y подынтегральными матричными функциями:
P( x, y) =
Ca a Л ( ß ß ^
Ыц ОС 12 f->n ¡J 12
x +
Va21 a22 J
Vß21 ß22 J
• y,
,ßj j gR, i, j = 1,2.
т ) (У У2 ^ , (¿11 ¿и ] 0(х, у) = • х + „ „ • у:
У 722 ) К 21 22 )
Вдоль кривой с : х = хп (^), у = ут (^) криволинейный мультипликативный интеграл (1)
превращается в обыкновенный мультипликативный интеграл
п
У (( )= | Е + А(( )А ,
где А(/) = ((хп (), ут ())хП () + 0(Хп (), ут (Г))ут ()).
Отметим, что первообразная У(/) удовлетворяет уравнению У' = А(/)У . Проведем исследование индукцией по степеням хп ^), ут (^) полиномиальных кривых х = хп 0), у = ут 0).
I х(г) = аЛ2 + аЛ + а0,
Случай 5. Пусть хп (^ = 2, ут (^ = 1. Тогда с : 1 ' 2 1 0
[ у(г) = Ъхг +
Следовательно, дх = (2а^ + а1 ) А, Ау = ЪА,
А(Г) = (2(а. )а\)13 + (3(а. )аха2 + 2( Д. )а2Ъх + (у )а2ЪхУ2 + ((а. )(а2 + 2а0а2) +
+ (Д )(аА + 2аЪо) + (7. )а1Ъ1 + (¿, )Ъ2 )Г + (а. Ка + (Д.. )аД + (у. КЪ + )ЪоЪ1, г,. = 1,2. Вычислим след подынтегральной матричной функции:
^РА(г) = (2(а11 +а22)а22У3 + (3(а11 +а22)а1а2 + 2(Д11 +Д22)а2Ъ1 + (7п +У22)а2Ъ1)^2 +
+ ((а11 + а22)(а' + 2а0а2) + (Д11 + Д22)(а1Ъ1 + 2а0Ъ0) + (У11 + У22)а1Ъ1 + ¿11 + ¿МУ +
+ (а11 + а22)а0а1 + (Д11 + Д22)а1Ъ0 + (711 + У22)а0Ъ1 + ¿11 + ^22)Ъ0Ъ1 = 0 . Следовательно, получаем систему уравнений:
Ц11 +а22 = 0
2(Д11 + Д22)а2Ъ1 + (У11 + У22)а2Ъ1 = 0,
<
(Д11 + Д22)(а1Ъ1 + 2а0Ъ0) + (711 + У22)а1Ъ1 + ¿11 + ¿22)Ъ12 = 0
(Д11 + Д22)а1Ъ0 + (У11 + У22)а0Ъ1 + ¿11 + ¿22)Ъ0Ъ1 = 0. Перейдем к решению уравнения У' = А(I)У , где
(2)
Y (t) =
Cnt + du ci2t + di2 VC21t ^ d21 C22t ^ d22 у
Y '(t) =
VC21
12
'22 У
Для краткости введем обозначения:
= 2а.а22 , Л = 3а.а1а2 + 2Рг,а2Ъ1 + УуМ ,
= а. (а12 + 2а1а2 ) + (а1Ъ1 + 2а2Ъ0 ) + 7,а1Ъ1 + ¿,Ъ12 ,
= а.а0а1 + ДаА + 7.а0Ъ1 + ¿М, и . =1,2. Тогда А(0 = (е. У + + ^ у + (Ь. ), г,. = 1,2. Вычислим произведение А(^)У(^) :
(3)
A(t )y (t) = ((ej )t3+(f j )t2+(gj )t+(hj)) • (Cjt+dj) = (e 1c1 j + e 2c2 j )t4+(e idi j + e j + f л; +
+ f 2C2 i )t3 + ^./i 1d1 i + f 2d2 i + gi1C1, + g, 2C2 j )t 2 + (gi1d1 i + g 2d2 , + h1C1, + h2C2 j )t + h1d1 j + h2d2 j . (4)
Приравнивая матрицы (4) и Y '(t) =
VC21 C22 У
1j i2 2j
, получаем систему уравнений:
12
e,1C1 j + e, 2C2 j = 0,
e,1d1 j + e, 2d2 j + f1C1 j + /i 2C2 j = 0, f1d1 j + /i 2d 2 j + g,1C1 j + g, 2C2 j = ^ g,1d1 j + g, 2d2 j + h,1C1 j + hi 2C2 j = ^ h,1d1 j + ^2d2 j = C,;..
C
Решим систему (5) методом Гаусса. Вычисления показывают, что система (5) имеет ненулевые решения, когда ее ранг равен шести.
Таким образом, ненулевые решения уравнения У' = Л{1 )У есть решения системы
- с„ + Ипйи + И12ё21 = °
— Си + + ^2^22 = 0,
C21 + h21d11 + h22d21 = 0 — С22 + h21d12 + h22d22 = 0 (e11h11 + e12hl2)d11 + (e11h12 + e12h22)d21 = 0, (e11h11 + e12h12)d12 + (e11h12 + e12h22)d22 = 0
(6)
при выполнении условии:
^11^11 ^ e12 h21 _ e 11^12 ^ e12 h22
е11К11 + e12 h21
e11h12 ^ e12h22
^21^11 ^ e22h21 ^21^12 ^ e22К2
e11 + /11К11 + f12h21 e12 + f11h12 + f12h2
^11^11 + e12 h21
e11h12 ^ e12h22
e11h11 + e12 h21
^11^12 ^ e12 h22
e21 ^ /21К11 ^ f22 h21 e22 + ЛЛ 2 ^ f22h22 ^11^11 ^ e12h21 _ e 11^12 ^ e12h22
f21 + ^11^11 + g12 h21 /12 + g11h12 + S 12h22 ^11^11 ^ e12h21 _ ^11^12 ^ e12h22
/21 ^ g21h11 ^ S22h21 f12 + Snh12 + S12h 2
e11h11 + e12h21
S12 + + h12h2 ^11^12 ^ e12h22
g12 ^ h11^12 ^ h2h2
§21 + ^11^12 + ^22 ^21 §12 + ^11^12 + ^12^22 Требование ) = 0 после элементарных преобразований будет иметь вид:
«11 +«22 = 0, 2(Д„ + Ди) + (¿11 + ¿22) = 0 ,
(Д„ +Р22)(—а1Ъ1 + 2а2Ъ0) + (¿11 +¿22)^ = 0 , (Д„ + Р22)(а1Ъ0Ъ1 — — а2%) = 0.
Если предположить, что Дп + Д22 = 0, то ¿р«) = ¿рД) = ¿рУ.) = ¿р^.) = 0. Условия (7) и (8) являются определяющими отношениями в подалгебре М(Р, О).
Г ) = а^ + а0,
Случай 6. Пусть х0) = ^уи(0 = 2. Тогда С: ^
[ у(г) = Ъ^ + Ъхх + Ъ0.
Следовательно, дх = аё^, йу = (2Ъ^ + Ъ1 , Л(*) = (2(Г, )Ъ1)13 + (3(5. )\Ъ2 + 2(у. Уф2 + (Д. 2 + ((¿. )(Ъ2 + 2Ъ0Ъ2) + (у. )(аЪ + 2а0Ъ2) +
+Д )а1Ъ1 +(«. +5 )Ъ0Ъ1 + У )а0Ъ1 + Д )а1Ъ0 +(«. )аoаl, и . =1,2.
Условие ¿рЛ^) = 0 примет вид:
¿11 +522 = ^
(7)
(8)
2(УП +У22) + (Д11 +Д22) = 0, (У11 + У22 )(2а0Ъ2 — а1Ъ1) + («11 + «22 )а' = 0, (У11 + У22)(а0 а1Ъ1 — а'Ъ0 — а02Ъ2) = 0. Перейдем теперь к решению уравнения У' = Л(I)У . Пусть как прежде
(9)
Y (t) =
С111 + d11
v c21t ^ d21
C12t + d12 ^ C22t ^ d22 J
Y '(t) =
V C21
22 J
Для краткости обозначим:
erj = Щи22 , /г] = ЩЬ1Ь2 + 2-7rja1b2 + ßjja1b2 >
Sij = Щ (Ь12 + 2Ь0Ь2 ) + Г1} (a1b1 + 2a0b2 ) + ßjaA + CC^ К = ЩМ + Yna0b1 + ßija1b0 + Ca a1 , i, j = 1,2 .
C
C
11
12
Тогда A(t )Y (t) = ((e . )t3 + (f. )t2 + (gj )t + (hj )) • (Cjt + d. ).
Следующие далее вычисления (в терминах e ц, f., g ., h. ) совпадают с соответствующими вычислениями для случая 5.
Поэтому решениями уравнения Y' = A(t )Y будут решения системы (6) при условиях
(7) предыдущего случая (deg xn (t) = 2, deg ym (t) = 1), в которых приняты обозначения (10).
Системы (7) случая 5 и (9) данного случая в принятых обозначениях (10) являются определяющими отношениями в подалгебре M(P, Q).
|x(t) = a2t2 + a,t + a0,
Случай 7. Пусть deg Xn (t) = 2, deg Ут (t) = 2. Тогда c : ^ v/ 2 1
[ y(t) = b2t2 + V + b0.
Следовательно, dx = (2a2t + a1 )dt, dy = (2b2t + b1 )dt, A(t) = (2(a. )a22 + 2(Д )a2b2 + 2(r. )a2b2 + 2(Д. )b2)t3 + (3(a. )axa2 + (Д. )(a,b2 + a2\) + + (Г. )(<hb + 2a^) + 3(^ )b1b2)t2 + ((а. )(a2 + 2aoa2) + (Д. )(a1bl + a2b0) + (г. Xa.Zb + 2ab) +
+ )(b2 + bop2))t + (a.)aoa1 + (Д.)aA + (Г.Kb + )bob , ^. = 1,2. (11)
Отметим, что условие SpA(t) = 0 равносильно системе уравнений:
2(ajj + a22 к2 + 2((ДП + Д22) + (Г11 + Ги))^ + 2(SU + Ä^2 = 0,
3(a11 + a22)a1a2 + (Д11 + Д22)(01Ь2 + 2a2b1) + (Гц + r22)(a2b1 + 2a1b2) + 3(^1 + ^22)b1b2 = 0,
(a11 + a22)(af + 2a0a2) + (Д11 + Д22 )(a1b1 + 2a2b0) + (Гп + r22)(a1b1 + 2a0b2) + ¿11 + ^22)(b12 + 2b0b2) = 0
(a11 + a22)a0a1 + (Д1 + Д22 )a1b0 + (Г11 + Г22 )a0b1 + ¿11 + ^22)b0b1 = 0.
Обозначим:
2(a. )a^ + 2(Д. )a2b2 + 2(r )a2b2 + 2(Д. )b2 = e.,
3(a. )a1a2 + Д )(a1b2 + a2b1 ) + (Г )(a2b1 + 2a1b2 ) + 3(^ )b1b2 = f ,
(a. )(a2 + 2a0a2) + (Д. )(ab + a2b0) + (г. Хо^г^ + 2a0b2) + )(b2 + ^^) = g. ,
(a )a0 a1 +Д )a1b0+(r )a0b1 +)b0b1 =h, ^.=1,2 (12)
Тогда A(t) = (e. )t3 + (f. )t2 + (g. )t + (h. ), /, J = 1,2.
Дальнейшие вычисления вновь (как и в случае 6) повторяют вычисления случая 5.
Тогда решениями уравнения Y' = A(t )Y являются решения системы (6) случая 5 (в принятых в данном случае обозначениях (12)) при условии (7) случая 5.
Условия (7) и SpA(t) = 0 являются определяющими отношениями в подалгебре M (P, Q).
Примечания: References:
1. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подал- 1. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On structure of гебры полиномиальных мультипликативно интег- subalgebra of second order polynomial multiplica-ририуемых матричных функций второго порядка. I tively integrated matrix functions. I // The Bulletin of // Вестник Адыгейского государственного универ- the Adyghe State University. Ser. Natural-ситета. Сер. Естественно-математические и техни- Mathematical and Technical Sciences. 2017. ческие науки. 2017. Вып. 4 (211). С. 54-59. URL: Iss. 4 (211). P. 54-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru http://vestnik.adygnet.ru
2. Козлов В.А., Паланджянц Л.Ж. О структуре подал- 2. Kozlov V.A., Palandzhyants L.Zh. On structure of гебры полиномиальных мультипликативно интег- subalgebra of second order polynomial multiplica-ририуемых матричных функций второго порядка. tively integrated matrix functions. II // The Bulletin of Ii // Вестник Адыгейского государственного уни- the Adyghe State University. Ser. Natural-верситета. Сер. Естественно-математические и Mathematical and Technical Sciences. 2018. технические науки. 2018. Вып. 1 (216). С. 49-53. Iss. 1 (216). P. 49-53. URL: http://vestnik.adygnet.ru URL: http://vestnik.adygnet.ru
