CC BY
19
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003, 07-01-92000-ННС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. McLaughlin J.R. Inverse theory Using Nodal Points as Data - A Uniqueness Result // J. Diff. Eq. 1988. Vol. 73, № 2. P. 354-362.
2. Cheng Y.-H., Lau C.K. The inverse nodal problems for Hill's equation // Inverse problems. 2006. Vol. 22. P. 891-901.
3. Lau C.K., Tsay J. On the well-posedness of the inverse nodal problem // Inverse problems. 2001. Vol. 17. P. 1493-1512.
4. Курышова Ю.В. Обратная спектральная задача для интегродифференциальных операторов // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 6. С. 855-866.
УДК 517.984
А.С. Луконина
О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
В статье рассматривается оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением:
1(у) = вУ (х) + у' (1 - х) + Р1 (х) у (х) + р2 (х) у (1 - х) , х е [0,1] , (1)
где в2 = 1, Рг е С 1[0,1] (г = 1, 2) , и интегральным граничным условием:
1
и (у ) = / р (4) у (4) & = 0, р (4) = ^ ^, (2)
0
где 1/2 < а < 1, к(4) е С[0,1] П V[0,1] и удовлетворяет соотношению
(к2 (0) - 72к2 (1)) (к2 (1) - 72к2 (0)) =0, 7 = в - ^в2-^. (3)
1
Г к (4)
Граничное условие схожего с (2) вида --—р— у (4) ¿4 = 0 для опера-
( 141 )
-1
тора дифференцирования Ь0у = у'(х) было впервые рассмотрено А.М. Сед-лецким. Оператор (1),(2) при р1 (х) = р2 (х) = 0 был подробно изучен А.П. Хромовым [1]. На основе этой работы для оператора (1), (2) автором была доказана равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) и в обычный тригонометрический ряд
Фурье, получен аналог теоремы Жордана—Дирихле из теории тригонометрических рядов [2], а также установлена суммируемость по Риссу спектральных разложений [3], в настоящей статье исследуется базисность по Риссу системы с.п.ф. в пространстве Ь2 [0,1] . Для оператора Ь0у эти результаты получены А.М. Седлецким [4].
Резольвента оператора Ь. Пусть у = Яд/, где Яд = (Ь — АЕ)-1 , - резольвента оператора Ь (Е - единичный оператор, А - комплексный параметр). Тогда имеем
ву (х) + у' (1 — х) + Р1 (х) у (х) + Р2 (х) у (1 — х) = Ау (х) + / (х). (4)
Полагая и1 (х) = у (х) , и2 (х) = у (1 — х) и беря еще (4) с заменой х на (1 — х) , придём к системе
Ви' (х) + Р (х) и (х) = Аи (х) + Е (х), (5)
т /в _1\
где и (х) = (и1 (х) ,и2 (х)) (Т - знак транспонирования), В = ( 1 ^ ,
Р (х) = Ц-я) р^х)) ■ Е (х) = (/(х),/ а — х))т . Система (5)
есть система Дирака. Граничное условие (2) переходит в
1
и(и)^У N (г) и (г) ^ = 0, N (г) = ^ (р (г) (1 — г)). (6) о
Лемма 1.Если у = Яд/, то и (х) удовлетворяет системе (5),(6). Обратно, если и (х) удовлетворяет (5),(6) и соответствующая однородная система имеет только нулевое решение, то ЯД существует и ЯД = и1 (х). Лемма 2. Преобразование и = Ги> приводит систему (5), (6) к
w' (х) + Р (х) w (х) = АЛ^ (х) + Е (х), и (Гад) = 0, (7)
где Р (х) = ВГ—1Р (х) Г, Е (х) = ВГ—1Е (х) , Г = ^ ^ , В = Мад (й, —й) ,
й =1А/в 2- 1.
Пусть Н(х,А) = Н0(х) + ДН1(х), где Н0(х) = diag (^11 (х), ^22 (х)), Ьц (х) = ехр ^ — / (г) , (х) (г = 1, 2) - диагональные элементы матрицы Р(х), а Н1(х) - кодиагональная матрица, определяемая единственным образом из матричного уравнения:
НО (х) + Р (х) Но (х) + [Н (х) В — ВН (х)] = 0.
Лемма 3. При больших |А| преобразование и = Н (х,А) г приводит (7) к следующей краевой задаче:
г' (х) + Ра (х) г (х) = АРг (х) + Ра (х), и(ГНг) = 0,
(8)
где Ра (х) = АН-1 (х, А) Н[ (х) + Р (х) Н (х) , Ра (х) = Н-1 (х, А) Р (х).
При условии (3) (аналог условия регулярности Биркгофа), используя асимптотические свойства системы (8), получаем, что все Акгде Ак -собственные значения оператора Ь, находятся в некоторой полосе П = = {А^ | < Н} , причем число Акв прямоугольнике < Н,
- 4| < 1 ограничено при всех вещественных 4. Полосу П можно представить в виде объединения конечного числа различных групп равных между собой прямоугольников, границы которых Гк (к = ±1, ±2,...; при возрастании | к| контуры удаляются от начала координат) состоят из отрезков, лежащих на прямых = ±Н, и отрезков длины 2Н, параллельных веще-
ственной оси. При этом контуры Г к находятся на положительном расстоянии от множества {Ак} . Кроме того, для каждого Гк конкретной группы существует целое 4к такое, что Гк = Г + йк, где Г - некоторый фиксированный контур этой группы, г - мнимая единица.
Лемма 4.Пусть J - любой конечный набор целых чисел. Тогда имеет
место оценка:
Е /Яа ¿А
ке1 гк
= О (1) , равномерная по J (
норма в
Ь2 [0, 1] ).
Используя полноту в Ь2 [0,1] системы с.п.ф. оператора Ь, получаем
Теорема. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в Ь2 [0,1] .
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А.П. Об аналоге теоремы Жордана - Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 80-87.
2. Луконина А.С. О сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 67-70.
3. Луконина А.С. О суммируемости по Риссу спектральных разложений одного функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 69-72.
4. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005.
