Дискреное преобразование Хаара в задаче распознования изображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для завершения доказательства теоремы осталось подсчитать, используя определения емкости и свойства эллиптических функций, что

с =20(р)С"(£)

" 0(р-2пр)

и снова применить прием, использованный при доказательстве (3).

Замечание. Утверждение о справедливости равенства (3) было анонсировано в [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

2. Widom Н. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane //Advances in Mathematics. 1969. Vol. 3. P. 127 - 232.

3. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

4. Кейперс Л.. Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

5. Лукашов А. Л. Асимптотика для средних арифметических многочленов Ахие-зера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Са-рат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга». 2006. С. 107-108.

УДК 517.5+519.7

Д. С. Лукомский, С. Ф. Лукомский

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА В ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Пусть F{M'N) =(F^'N)){i = 0,\,...,2M -l;; = 0,l,...,2'v-l;M,/VeN) -прямоугольная матрица, которую можно трактовать как двумерное изображение. Если neN и n<mm(M,N), то через =(f.<"-n>) обозначим фрагмент изображения \ т.е.

Я".") _ f(M,N) <"// = 01

Ji.j ri+kuj + k2 U'1 Ч

при некоторых А, и к2. Задачу нахождения чисел к, и к2 по известному фрагменту fj"'n> называют задачей распознавания. Таким образом, задача распознавания сводится к исследованию на min выражения

¡=0 7=0 1

и может быть решена полным перебором по кх и к2, что требует больших вычислительных затрат. Уменьшения этих затрат можно добиваться выделением во фрагментах f{"-n) характерных особенностей или минимиза-

65

ции другого функционала. Для этого можно использовать дискретное преобразование Хаара. Пусть

х2.+4(0 =

" 2А: 2£ + Г|

-1,? 6 -^/7+1' 2п+х \

~2к + \ 2к \

+1, Г е 2^+1 ' )

¿ = 0,1,. ..,2" — 1; « = 0,1,-■ -

функции Хаара [1], нормированные в С[01). Любую функцию /, посто-

к_ к + У

янную на двоичных полуинтервалах А^"' = в виде суммы

, можно представить

до= (2)

к=0

Последовательность (/(¿)Ь=о' называется дискретным преобразованием Хаара. Оператор /, который вектору / ставит в соответствие вектор > также называют дискретным преобразованием Хаара. Если обозначить /<-п> = вектор с компонентами то

преобразование Хаара / можно задать следующими рекуррентными соотношениями:

+ = = 0,1>...)2'-'-1; (3)

Л(и)=/о(0)-

Исходный вектор значений /(л) можно восстановить по Р"\к)также рекуррентным соотношениям:

=/(я)(0);/2^ +/(й)(2/-1 +Л/2% =/Г} + />■ (4)

Формулы (3) называют быстрым преобразованием Хаара, а формулы (4) — быстры.и обратным преобразованием Хаара [2].

Пусть далее /<"■*> = (/-#•">)(/ = 0,1,...,2*-1;, = 0,1.....2* - 1)

прямоугольная матрица. При каждом фиксированном г е 0,2 й -1 обозначим через (у = 0,1,...,2^ -1) дискретное преобразование Хаара 1-Й строки матрицы /(М Л). Числа также образуют матрицу размерности 2М х2Л . Преобразование Хаара / -го столбца этой матрицы обозначим Полученную матрицу называют двумерным дис-

кретным преобразованием Хаара. Таким образом, по определению

/(М-М\и) = {мл)\ или иначе = где точка

указывает переменную, по которой берется внешнее преобразование Хаара. Очевидно, что если к матрице /(Л/,Л'(',./) применить обратное одномерное преобразование Хаара сначала по столбцам, а затем по строкам, то получим исходную матрицу /(,и'Л '.

ТЕОРЕМА. Пусть /(я'я) = (/$н)) и ^ =(/к"/>) - две матрицы размерности 2" - 1 х 2" - 1, и пусть для чисел

тх =2"'' +2"2 + ... + 2"1 (п-1>п2 >...>п3 >0), /я2 =2"_| +2"2 + ... + 2у° (л-1>У2 >...> уа >0)

справедливы равенства

„(".") _ А",") 8к,1

(А: = 0,1,...,/и, - 1; / = 0,1,...,/и2 - 1). (5)

Тогда для двумерного преобразования Хаара справедливы равенства:

¿ = 0,1,...,—1--1;/ = 0,1,...,—-1 2 2

|2Л 1 <от, <2",т] - четное, 2""' <т2<2" ,т2- четное.

Доказательство. Используя равенства (4) и (5), имеем

(¿("'т)(2""1 +/))=(§(п'иЧ'-2'1""1 + /))Л(2"~' + к) = = 1(^Г)(2»-1 + /) - ¿21'"1(2"~' +/))=

1-524,2/ 524,2/+1 524 + 1,2/ + «2А + 1.2/+1 (л,л)

)=1Г/(«,«)

' 4 \ 2 -т^

_ ¿-(п.") _ /-(4,4) +

2"-/И( +2к,2" -ГП2+21+1 2"-т,+2*+1,2"-т3+2/ •/2"-ш,+2*:+1,2"-т2+2/+]

т, + 24,2"-т2+2/ (я,л)

(л,я)

(л,я)

-/

(л.«)

2^2"-' |+1

+ Ил.л)

/

(л.п)

2 2 - + к

2"-' +2"-'-^- + / 2

( 2"_1 + 2"^' - —+ / г^-'-^+ЛД 2

= f- ^L + / j 1 f 2" - B- + Jfc j = - ^ + ti2- - T2. + / j. П

Теорема дает алгоритм решения задачи распознавания с использованием двоичного преобразования Хаара. Опишем этот алгоритм .

1. Разобьем исходную матрицу изображений F^M'N~> на квадратные матрицы-фрагменты где п < тт(М, N), и пусть /(л,п) - фрагмент изображения размерности 2" - 1 х 2" -1.

2. Среди фрагментов существует такой, что пара

удовлетворяет условиям теоремы 2. Для нахождения такого фрагмента необходимо исследовать на min выражение

2 2 X X

/=0 j = О

Fftn)(2n l +/,2"-' + У)-/(Я'И)^2Я -"> + /,2"-'^ +у || . (6)

2 2

3. Значения тит2,к,1, при которых достигается min, и дают тот фрагмент к которому близок выбранный фрагмент.

Для нахождения min формулы (1) требуется 2-2N+M22n операций, в то время как для нахождения min формулы (6) нужно 3 • 2N+M+2"~3 операций. Число операций можно уменьшить, если вместо (6) рассматривать функционал

[iLi mi 1

X Х^Г^'+^'+Л-Х X 2" + U2n - ~~ + j \ . (7)

1=0 j=0 i-0 7=0 V Z Z '

Минимум функционала (7) достигается при тех тх и т2, что и в (6), но

3

для нахождения min в (7) требуется всего -2' + операций, т.е. в

8

раза меньше, чем при нахождении min исходного функционала (1). Конечно, min в (7) может достигаться не в одной точке (тх,т2), а в нескольких. Однако количество таких точек невелико и нужная из них легко находится перебором.

Численный эксперимент показал высокую эффективность предлагаемого алгоритма при поиске фрагментов размерности 27 х 27 на изображении размерности 2й х 2Ь. Время, затраченное на поиск такого фрагмента, составляет не более 0.5 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кашин Б. С.,Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: А.ФЦ.1999.

2. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

УДК 517.984

А. С. Луконина

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ1

В статье рассматривается оператор I., порожденный дифференциальным выражением:

1(у) = Р/(х) + /(1 - хУР]{х)у{х)+Р2(х)у{1 -х) (1)

и интегральным граничным условием:

и(у)= = = 0 < а < 1, (2)

о '

где р2 ру(л')бС'[0,1] (/=1,2); на &(/) накладываются условия:

а) *(г)еС[ОД]пГ[ОД],

б) А2(1)-у2Л2(0)^0 , А:2(0>-у2Л20)^0 >™е У = Р-Л/рМ.

Граничное условие схожего с (2) вида: £ у{?)Ж = 0 для опера-

тора у'{х) впервые было рассмотрено А. М. Седлецким. Оператор (1),(2) при р^(х)= р2(х)=0 был подробно изучен А. П. Хромовым [1]. На основе этой работы для оператора (1),(2) автором была установлена равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям (в дальнейшем с.п.ф.) и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также получен аналог теоремы Жордана - Дирихле [2]. В настоящей статье исследуется суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора (1),(2). Рассматриваются обобщенные средние Рисса следующего вида:

где Кх/ =(Ь-ХЕ)~ / - резольвента оператора Ь, Е - единичный оператор, X - спектральный параметр; г такие, что на окружности | X | = г нет собственных значений оператора Ь ; g{X,r) удовлетворяет условиям:

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

69